REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH JANUSZ BARAN, KRZYSZTOF MARCHELEK

MECHANIKA TEORETYCZNA STOSOWANA, 9 (97) REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH JANUSZ BARAN, KRZYSZTOF MARCHELEK (SZCZECIN) Przy modelowaniu maszyn za pomocą ukł adów dyskretnych bardzo waż ną rolę odgrywa dobór liczby stopni swobody modelu. Zwykle model charakteryzuje się znaczną liczbą stopni swobody, co utrudnia analizę i obliczenia, a także może wpł ywać na dokładność obliczeń. Stą d dą ż noś ć do modelowania maszyn za pomocą układów dyskretnych o moż liwie małej liczbie stopni swobody. Należy jednakże pamię tać o tym, aby model opisywał zasadnicze cechy ukł adu rzeczywistego. Redukcja stopni swobody musi być naukowo uzasadniona, nie moż na jej dokonywać w sposób dowolny. fk -) Rys.. Typowe układy czę ś ciowe Jedną z metod redukcji stopni swobody ukł adów dyskretnych opracował i przedstawił RIWIN w pracy [I]. Metoda Riwina polega na redukcji ukł adów czę ś ciowych, charakteryzują cych się duż ymi czę stotliwoś ciami drgań wł asnych. W wię kszoś i c praktycznych przypadków, zakres czę stotliwoś i c sił wymuszają cych jest taki, że nie wymaga się znajomoś ci wyż szych czę stotliwoś i c własnych układu. RIWIN wyznaczył wzory redukcyjne dla dwóch podstawowych parametrów ukł adu, mianowicie masy i współ czynnika sztywnoś ci. Przy obliczeniach charakterystyk dynamicznych modelu na maszynie matematycznej konieczna jest znajomość wartoś ci współczynników tł umienia, aby współ rzę dne tych charakterystyk przyjmowały wartoś ci skoń czone. W pracy przedstawiono modyfikację metody Riwina, dają cą moż liwość wyznaczania wzorów redukcyjnych dla współ czynników tł umienia. Każ dy układ dyskretny moż na rozbić na dwa typowe układy czę ś ciowe (rys. ł). Jeś li wprowadzić poję cie zespolonego współ czynnika sztywnoś ci () = - +iwh,,

202 J. BARAN, K. MARCHELEK gdzie: kj współczynnik sztywnoś ci, ej współ czynnik podatnoś ci, hj współczynnik tłumienia, wówczas równania równowagi ukł adu czę ś ciowego pokazanego na rys. la przyjmą postać K k (<Pk <Pk+i) = - Ws+ i- Dla drgań harmonicznych moment wymuszają cy i ką t skrę cenia wyrazić moż na w postaci (3) Mj = Moj^' mt, <f>j <Poj ela:t Podstawiają c wyraż enia (3) do równań (2), po dokonaniu prostych przekształ ceń otrzymuje się J _J (4) lub k- i. co* (5) Ł-' ^ O o przy czym (6) gdzie: a) o< czę stotliwość drgań własnych układu czę ś ciowego typu a. Po podstawieniu do wzoru (6) wyraż enia () uzyskuje się e k- e lk Bezwzglę dną wartość czę stotliwoś i cdrgań własnych wyrazić moż na zależ noś ąci (8) 0)8. -

REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH 203 Rzą d wartoś ci poszczególnych skł adników wzoru (8) po podstawieniu parametrów z tablicy jest nastę pują cy: (9) cof o «]/ 0 2 + co 2 0 6. Z zależ nośi c(9) wynika, iż dla co < 0 rad/ sek drugi składnik moż na pominą ć bez szkody dla dokł adnoś ci wyniku. Wówczas czę stotliwość drgań wł asnych ukł adu a wyznaczyć moż na z wzoru (0) w g a ^ ± l Postę pując analogicznie w przypadku ukł adu typu b, równania równowagi tego ukł adu napisać moż na w postaci Po podstawieniu zwią zków (3) i uporzą dkowaniu wyraż eń, układ równań (3) przyjmie postać (2) przy czym (3) gdzie: oj% b czę stotliwość drgań własnych układu czę ś ciowego typu b. Uwzglę dniając wyraż enia () we wzorze (3) uzyskuje się c ' J o* = = _ i l J k J k+l Bezwzglę dną wartość wyraż enia (4) wyznaczyć moż na ze wzoru (5) Rzą d wielkoś ci poszczególnych skł adników we wzorze (5) po podstawieniu parametrów z tablicy jest nastę pują cy (6) K;, w j/ fo"+ a> 2 0 6 ~ Z oszacowania (6) wynika, że dla a> < 0 3 rad/ sek drugi składnik we wzorze (5) moż na bez szkody dla dokł adnoś ci wyniku pominą ć. Wówczas czę stotliwość drgań własnych układu b bę dzie moż na wyznaczyć ze wzoru (7)

204 J. BARAN, K. MARCHELEK Ukł ady czę ś ciowe a i b bę dą sobie wówczas równoważ ne, gdy co 0a s= co ob. Aby układ typu a mógł być zastą piony układem typu b parametry układu b muszą spełniać równania: A- Ki x x n, " k- J^k k ~ + Po podstawieniu zwią zków (8), (9), (20) do ukł adu równań (2) uzyska się równania ruchu układu zamienionego (2) Porównują c ukł ad równań (2) z układem równań (5) łatwo zauważ yć iż róż ni ą się / 2 \ one mię dzy sobą o skł adnikfl j-. Jeż el i spełniona jest nierówność ca 2 <C «o a wówczas moż na przyją ć II j-\ sa i uznać, że układy równań (5) i (2) są sobie równoważ ne. Moż na postą pić odwrotnie, zastę pując układ typu b układem typu a, wówczas parametry układu a muszą spełniać zależ nośi c (22) n- *n+jhu (23) - =S-«(24) 4r - W wyniku podstawienia zwią zków (22), (23) i (24) do ukł adu równań (5) otrzyma się równania ruchu układu zamienionego róż nią e c się od ukł adu równań (2) o skł adnik \ G>06/ Jeś li spełniona jest nierówność co 2 <c a>lb, wówczas moż na uznać, że oba układy równań są sobie równoważ ne. Ogólnie moż na napisać, że (25) co^- L,

REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁ ADÓW DYSKRETNYCH 205 przy czym dla ukł adu typu a (26) J J k ; e = ~, zaś dla ukł adu typu b ' (27) 7* Przy redukowaniu liczby stopni swobody należy w pierwszej kolejnoś ci redukować ukł ady czę ś ciowe charakteryzują ce się mał ym iloczynem Je. W równaniach zamiany (8)- (20) i (22)- (24) wystę puj e zespolony współ czynnik sztywnoś ci K. Podstawiając wyraż enie () do kolejnych równań zamiany, moż na ustalić w jakim zakresie czę stotliwośi cskł adnik zawierają cy współ czynnik tł umienia może być pominię ty. Podstawiając do wzoru (8) zależ ność () i dokonując prostych przekształ ceń uzyska się Dla co < 0 3 rad/ sek czę ść urojoną wyraż enia (28) moż na pominą ć; uzyska się wówczas kl Po podstawieniu wyraż enia () do wzoru (20) i dokonaniu prostych przekształ ceń uzyska się Ą ia)h?e ek- i- UoWLi<Ci e a k- iwh k e? ^ J l /...l.b*b\ 2 l t...l.a a \ 2~ ' Dla a><^lo 6 rad/ sek wyraż enie + (co/jj- ej) 2 napisać w postaci as i wówczas zależ ność (30) moż na (3) el Postę pując analogicznie wyznaczyć moż na równanie zamiany dla masy 7c+ l (32) ^ Z porównania czę śi crzeczywistej i urojonej lewej i prawej strony równania (3) wynikają zwią zki (33) 4^ 4- i+4, (34) h k -

206 J. BARAN, K. MARCHELEK W przypadku zamiany układu b układem a równania zmiany, po dokonaniu podstawienia zwią zku () do wyraż eń (23)- (24) uzyska się odpowiednio dla co < 0 3 rad/ sek. (35) J b - el, (36) (37) jb - el I el V (38) u Przykł ad: Przedstawioną metodę redukcji stopni swobody zastosowano przy obliczeniach charakterystyk amplitudowo- fazowych napę du głównego obrabiarki. Napę d główny frezarki Fula moż na zastą pić modelem o oś miu stopniach swobody [2]. Postać analityczna charakterystyki amplitudowo- fazowej dla ką ta skrę cenia mierzonego na wrzecionie jest skomplikowana. Zł oż oność charakterystyki amplitudowo- fazowej pogł ę bia się ze wzrostem liczby stopni swobody. Dlatego też przy obliczeniach praktycznych (projektowych) dą ży się do zastosowania moż liwie najmniej skomplikowanego modelu, a wię c o moż liwie najmniejszej liczbie stopni swobody. Dokonano redukcji układu o oś miu stopniach swobody do układu o pię ciu stopniach swobody. Parametry ukł adu wyjś ciowego podano w tablicy. Tablica. Wartoś ci parametrów okreś lają cych właś ciwośi c dynamiczne napę du frezarki Fula n = 80 obr/ min JLp. 7 ; kgmsek 2 li; kgm sek kjkgra/ rad.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 25,7-0- 3,25-0- 3 0,284-0- 3 0,769-0- 3,45- O- 3 6,50-0- 3 96,00-0- 3 99,44-0- 3 0,8 0,042 0,09 0,037 0,0975 0,87 0,72 3,00 7,53 0 3 3,79-0 3 0,839-0 3,372-0 3 4,0-0 3 2,80-0 3 5,25-0 3,92-0 3 W rozpatrywanym przykładzie zastę pować się bę dzie układy typu a układami typu b. W tym celu najwygodniej jest posł ugiwać się metodą tablicową. W tablicy 2 podano schemat modelu dyskretnego opisany wartoś ciami parametrów /,-, hj, ej oraz obliczone wartoś ci parametrów układów czę ś ciowych według wzorów (26) i (27). Z tablicy 2 wynika, że najmniejszą wartość iloczynu Jj- ej ma układ czę ś ciowy typu a o masie J 3. Układ ten zamieniono ukł adem typu b o parametrach / *, / * *, e% i h% (rys. 2).

REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH 207 Tablica 2 25,7- ilf 3.25-0" 3 0.284-0" 3 0,769- ID 3,45 g6,q00 3 99,40-0 3 3 O [O,I33- ^ 7 hi 0,8 ha,2-0' 3 I - t- J- e k 0,6-0" 6 i0,06h0" e i i. i,9- ID 3 0,726- itf 3 D,2S- D 3 e o,35a- to" 3 o,io- i5 3 h 5 ha 0,09 0,037 0,0975 0,87 0,7Z 3,00. i 0,50 3 i,8- tf 3 6,D7- Ó 3! 50.2-0 3 > e= ; 0,0885-0" 3 [ 0,ZI5- Ó 3 0,86-# 0,M8-0" 3 0,fZ4- TCf 3 I 0,6-0' 3 J k -e 0,- ID" 6 0,06-0' 0,27-0 6 j 0,96-0 8,9-0 } 5.9-0 6 Parametry ukł adu obliczono na podstawie wzorów (29), (30), (33) i (34). 7 3 * = ^ J 3 = 0,233 0-3 [kgmsek 2 ], / * = J 3 = 0,05 0-3 [kgmsek 2 ], e* = e 2 +e 3 =,454- O- 3 [rad/ kgm],. h 2 e\ą - h 3 el 0,042-0,264 2 + 0,09.,9 2 et 2 I,454 2 = 0,04 [kgmsek]. ^ h, o,oa Rys. 2. Schemat zamiany ukł adu typu a układem typu b przy redukcji układu o oś miu stopniach swobody Momenty bezwładnoś ci J 2 i J! oraz / ** i / 4 sumuje się, uzyskują c ukł ad czę ś ciowy o momentach bezwładnoś ci J' 2 i J' 3 (rys. 2) j^ = / 2 + J* =,483-0- 3 [kgmsek 2 ], Ą = / **+ J 4 = 0,820-0- 3 [kgmsek 2 ]. W wyniku zamiany układu czę ś ciowego typu a układem typu b zredukowano liczbę stopni swobody modelu napę du głównego frezarki Fula o jeden, uzyskują c model o siedmiu stopniach swobody.

208 J. BARAN, K. MARCHELEK Przy dalszej redukcji stopni swobody postę puj e się podobnie. W tablicy 3 podano schemat modelu o siedmiu stopniach swobody, jego parametry oraz parametry ukł adów czę ś ciowych. Najmniejszą wartość iloczynu J ej ma ukł ad czę ś ciowy typu a o masie J 2. Tablica 3 J ~Jl,+J J- e k 25,9'ilf.483-0 3 0,82- to 5,45# B.50-0 5 96,0D# 99,40# Ji J2 J3 JĄ J5 06 J7 e, Ny A54- W 3 O.7Z6- I0 3 e e 3 2 0,55# Ny hi 0,8 0,04 0,037 0,0975 i U- to' I 0.53-0 3 i D,52'0 3 I - O.raB- IO" 8 I 0,77-0" s io,37e- )0" e I, I.8-0" 3 Ny hj _ Q,9tD 3 e B e 7 he 0,72 3,00 "T 6.07- D 3 I 50,2- I0tf I I I 2,W- 0 6 l g,55-0 e=7 0J22-0" 3 0,86-0" 3! 0.48-0 3 O,I6 3 0,8H0 6 I, 0,Z7# j 0,96# j I.9-0 6 5,9-ifl 6 0,33-W' 3 483-W' 3 t,454-!0 J, j; 0,8 o, on Rys. 3. Schemat Zamiany układu typu a ukł adem typu b przy redukcji układu o siedmiu stopniach swobody Tablica 4 27,06- iff 0,943- (J a,«3 6,50-If 3 96,00-O 3 93,40-iff l ~]i,5smi?f~ o,726-i5 3 p^ O,B-#f"ln 3 5B-i8 3 ri (M 9'"' 3 '~ MK hi "" hi ha bs 0,03 0,037 0,0975 0,87 0,72 3,00 3~- 'k+jk+ 0,95-0"',8-iS 3 50,2-0 3 J-e k,45-ffl 6 0,Z95-iO a Z,7-ff 6 9,55-0! e=l^ O,5 J 3 O,24-B 3 I 0,6-0 3 0,47-iff 8 0,27-IJ 6 O,96-O 8 I,9'iff 6 ] 5,g-IJ 6 j

REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH 209 Układ ten zamieniono układem typu b. Schemat zamiany pokazano na rys. 3. Uzyskano model o sześ ciu stopniach swobody. W tablicy 4 podano schemat modelu o sześ ciu stopniach swobody, jego parametry oraz parametry ukł adów czę ś ciowych. Najmniejszą wartość iloczynu J- ^ima układ czę ś ciowy typu a o masie Ą. Układ ten zamieniono ukł adem J.45-0' 3 0,25- W 3 JUMfTjJ 0,037 0,0975 Rys. 4. Schemat zamiany ukł adu typu a ukł adem typu b przy redukcji ukł adu o sześ ciu stopniach swobody 27,08-0''M- W~ J 7,S8- W' 3 9B.00- W' 3 99,0- W 3 ' ^S70- ^0ff7S/ 0' 3^S5S!ff- J^0/ S/ ff- J ^ 0,84-0i 0,0/ 30 0,0266 0J37 0,72 3~00 m Rys. 5. Model ukł adu o pię ciu stopniach swobody Tablica 5. Parametry modelu o 5 stopniach swobody Lp. / jkgmsek 2 n = 80 obr/ min AjkGmsek fcjkgm/ rad. 2. 3. 4. 5. 27,06-0- 3,34-0- 3 7,58-0- 3 96,00-0" 3 99,40-0- 3 0,03 0,0266 0,87 0,720 3,00 0,63-0 3,020-0 3 2,80-0e 5,25-0 3,92-0 3 Tablica 6. Czę stotliwoś i c drgań własnych napę du głównego frezarki Fu- la przy prę dkoś i c n = 80 obr/ min obrotowe MODEL foi Czę stotliwoś ic drgań wł asnych w H z / o* fos / o6 8 masowy 5 masowy 0,6 0,6 9,8 9,7 53,2 53,2 02,6 02,6 227,2 87,2 346,6 387,6 4 Mechanika teoretyczna

a - II - 3- I - 0 _ 00 200 500 fwfhz} Rys. 7. Charakterystyka amplitudowo- czestotliwos'ciowa modelu o oś miu stopniach swobody napę du głównego frezarki Fu- la przy prę dkoś i cobrotowej n = 80 obr/ min m 500 fw[hz] 6 -?n Rys. 8. Charakterystyka fazowo- czę stotliwoś ciow a modela o oś miu stopniach swobody napę du głównego frezarki Fu- la przy prę dkoś i cobrotowej n 80 obr/ min 4* [2]

22 J. BARAN, K, MARCHELEK typu b. Schemat zamiany pokazano na rys. 4. Uzyskano w ten sposób model o pię ciu stopniach swobody (rys. 5), którego parametry podano w tablicy 5. W tablicy 6 podano wartoś ci czę stotliwoś i cdrgań własnych modelu o oś miu oraz modelu o pię ciu stopniach swobody, obliczone metodą HOLZERA [3] na maszynie matematycznej. Ulu)- D 3 [ra4/ k6m] 20 3 iwu)- W 3 [rad/ kgm] ~o,ooi Ulo)- 0 3 [rad/ kbm] Rys. 9. Charakterystyka amplitudowo- fazowa modelu o pię ciu stopniach swobody napę du głównego frezarki Fu- la przy prę dkoś i cobrotowej n = 80 obr/ min Na rys. 6, 7 i 8 pokazano wykresy charakterystyki amplitudowo- fazowej, charakterystyki amplitudowo- czę stotliwoś ciowe j i charakterystyki fazowo- czę stotliwoś ciowe j modelu o oś miu stopniach swobody, natomiast na rys. 9, 0 i pokazano te same charakterystyki dla modelu o pię ciu stopniach swobody. Charakterystyki obliczono na maszynie matematycznej.

3 - - wo 200 300 fwfhz) Rys. 0. Charakterystyka amplitudowo- czę stotliwoś ciow a modelu o pię ciu stopniach swobody napę du głównego frezarki Fu- la przy prę dkoś i cobrotowej n 80 obr/ min 00 200 300 400 500 fw[h z ] 3, 3 - Jl 3,2 V Rys.. Charakterystyka fazowo- czę stotliwoś ciow a modelu o pię ciu stopniach swobody napę du głównego frezarki Fu- la przy prę dkoś i cobrotowej n => 80 obr/ min [23]

24 J. BARAN, K. MARCHELEK Wnioski. Z porównania uzyskanych wyników dla redukcji ukł adu o oś miu stopniach swobody (tablica 6 oraz rys. 6- ) wynika, że proponowana metoda daje dobre wyniki dla celów praktycznych w zakresie czę stotliwoś i cco < 0 3 rad/ sek. W zakresie czę stotliwoś i cco > 0 3 rad/ sek wystę pują rozbież nośi czarówno w przypadku czę stotliwoś i c drgań własnych (tablica 6), jak w przypadku charakterystyk fazowo- czę stotliwoś ciowych. Wynika stą d, że dla czę stotliwoś i cco > 0 3 rad/ sek nie moż na pomijać członów urojonych we wzorach redukcyjnych. 2. Róż nice w wartoś ciach rzę dnych charakterystyk amplitudowo- czę stotliwoś ciowyc h (rys. 7 i 0) rosną ze wzrostem czę stotliwoś ci/! Wynika to z powodu maleją cej dokładnoś ci obliczeń na maszynie matematycznej. Zastosowanie dokładniejszej maszyny matematycznej powinno dać wyniki praktycznie zgodne, szczególnie w zakresie co < 0 3 rad/ sek. 3. Przyję cie w proponowanej metodzie idei kolejnej redukcji ukł adów czę ś ciowych o najwyż szych czę stotliwoś ciach drgań własnych jest uzasadnione, ponieważ amplitudy drgań w rezonansach o duż ych czę stotliwoś ciach są wielokrotnie (nawet kilkaset razy) mniejsze od amplitud drgań w rezonansie podstawowym, który wystę puje zwykle przy jednej z niż szych czę stotliwoś i c drgań wł asnych. 4. Wyznaczenie wzorów opisują cych współ czynniki tł umienia zastę pczego ukł adu czę ś ciowego ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ umoż liwia zastosowanie maszyn matematycznych do obliczeń charakterystyk dynamicznych. Literatura cytowana w tekś cie. E. H. PHBHHJ Memod ymenbiuenun cmeneneu ceoóodbi e paciemnux cxemax i/ ennux u pa3aemeaeuuux cucme/ iiax, MauiHHOcrpoeHne N S, 966. 2. K. MARCHELEK, Teoretyczne podstawy dynamicznych obliczeń napę dów głównych frezarek, Zeszyty Naukowe Politechniki Szczeciń skiej nr 03, Prace Monograficzne nr 49, Szczecin 968. 3. J. P. DEN HARTOG, Mechanical Vibrations, New York- Toronto- London, McGraw- Hil Book Company, 956. P e 3 M M e nphbeflehhe CTEIIEHEPl CBOEQUBI.HHCKPETHLIX CHCTEM B pa5oie coflep>khtch BHflo3MeHeHHbiH Mewm 3. H. Praiina nphbeflehhh cteneheft cbo6oflbi CHCTeM. IIpH BBefleHHH nohhthh KOMnJieKCHoro KO3(J)<J>HiiHeHTa HcecTKOcm nonyqehbi nphbcfleima KoatpiJamiieHTOB 3aTyxaHHH. ITpeflCTaBJieHHbift Meiofl nphbe^ehhh creneheft CBOnpHMenerr gnu pac^eia amnjihty«h0- cpa30bwx xapaktepiicthk rjiabhoro nphbofla cramo Fu- la. H a ochobe noniraehkbix pe3yjn.tat0b Haiin,eHOj MTO npe^naraembih MeioA oaei xoponihe p,nn npau- B flaana30he ca < 0 3

REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH 25 Summary REDUCTION OF THE NUMBER OF DEGREES OF FREEDOM IN DISCRETE SYSTEMS The paper presents a modification of Rivin's method of reduction of the number of degrees of freedom of discrete systems. By introducing the notion of a complex rigidity coefficient the reduction formulae for the damping coefficients are obtained. The method is then applied to the calculation of the amplitude- phase characteristics of the main drive of the Fu- la milling machine. The results of these calculations indicate that the proposed method is practically accurate and applicable in the frequency range of a> < 0 3 sec-. POLITECHNIKA SZCZECIŃ SKA Praca został a zł oż onaw Redakcji dnia 20 kwietnia 970 r.