Krzepnięc ie metal i i stopów L 12 PL TSSN 0208-9386 ISBN 83-04 -02634-1 Ossolineum 1987 Ryszard P arkitny Norbert Sczygiol RÓWNANlA KR ZEPNlĘClA OBJĘTOŚClOWEGO DW USK ŁADNlKOWYCH STOPÓW ł-.llitall l. Charakterystyka krzepnięcia obj~tościowego Krzepnięcie objętościowe n as tępuje poprzez jednoczesny wzrost kryształów równomiernie rozmieszczonyc h w calej, l ub tylko pewnej ograniczonej objętoś c i odlewu. Kr z ep nięcie objętoś ciowe Jest możliwe Jedynie w jednorodnym, będącym tylko funkcją czasu polu temperatur. K rzepnię - cie takie nazywane jest również endogenicznym, w o d różn i eniu od krzepnię c ia egzogenicznego, w którym zarodki kr yszta ł ów powstają na styku formy odlewniczej z ciekłym met alem, a kryształy.rosną nastę pnie w głąb cieklego metalu [10 J. K rzepnięcie objętościo we realizowane jest przez wzrost zarodków krystalizacji powstających samorzutnie wewnątrz cieklego obszaru odlewu (zarodki homogeniczne) lub wprowadzonych z zewnątrz (zarodki heterogeniczne) Wprowadzenie zarodków krystalizacji z zewnątrz mo ż e być celowe, np. w odlewaniu suspensyjnym [s, 11], lub następować w wyniku procesów zachod zących na froncie krzepnięcia oraz na styku cie kłe go metalu z fazą gazową. W dwóch ostatni ch przypadkach mówi się o tzw. " r o zmnożeniu" kryształów [1]. Konwekcja ciekłego metalu w obrębie dendrytycznego frontu krzepnięcia może prowadzić do odrywania fragmentów dendrytów [1], możliwe jest również roztapianie podstaw ramion dendrytów [6]. Powstale w ten sposób cząstki fazy stałej przenoszone są następnie w głąb obszaru c ieklego. Z kolei, zarodki krystalizacji powstające na powierzchni sty-
30 Ryszard Parkitny 1 Norbert S czygiol ku c i ek łego met al u z fazą gazową prow ad zą do tzw. me chani zmu "deszc z o~ wego" 'Jtprowad zania zarodków. Me chanizm ten zo stal odkryty przez R. T. Southina [1 2 J, a nas tępnie potwierdzony precyzyjnymi badaniami prze pro~ wadzonymi prze z S. Englera i K. G8ckmanna [ 3 ] oraz S. Englera i R. Ellerbroka [ 2]. Zarodki krystalizacji wprowadzone z z ew ną trz prowad zą do powstania z iaren r 0wnoo s iowych. Struktura wewnęt rzna tych zi aren jest n a jczęści ej dendrytyczna [ 7 ], stąd często zwane są one również den~ d rytami równoosiowymi. Wystąpienie kr zepnięc i a o bję toś c iowego, w którym powst a ją zarodki homogeniczne, je st u za leż n ione od stężenia dornie szki oraz gradientu temperatury w cieczy i prędkości krzepnięcia [lo], co zilu strowano schematycznie na rys. l. S c hemat ten mo ż na potraktować jak<:> pewne kryterium krzepmecie enctoąenlczne krzepmecie eqzoąemczne powierzchnio G -vv Rys. l. Wpływ składu chemic z nego i warunków krzepnięcia na charakter krzepnięcia: C 0 - stężenie wyjś c iowe domieszki, G - gradient tempera tury w fazie c iekłej, v - prędkość krzepnię c i a kr z epnię c ia objętościowego. Z kryterium tego wynik a, ż e dla odpowiednio dużego stężenia dornie s zki maleje wpływ warunków odbioru ci epla przez fo r mę, a zatem wpływ G i v na wystąpienie kr z epnięcia objętościowego.
Równania kr z epnięcia objętościow e go 31 P otwierd zilją to badania S E nglera i G. Schleit inga [ 4 J, którzy stwierdzili, że np. stop t\1-2\j Yo C u krzepnie obję toś c wwo zarówno w formie piaskowej, jilk i metalowej, podczas gdy stop A J- 4% Cu krzepnie obję tościowo jedy nie w formie piaskowej, n atomiast w formie metal owej - dendrytycznie. lnne kryterium krzepnięci a o b ję to ściowego poda l A. l. Wiejnik [ 13 ]; krzepnięcie objętoś c i ow e zajdzie, gdy zost a nie spe lniona pilstępująca zal eżność t. T -~k_r-'-z. ~ 1 ST ' gdzie t.t - przedział temperatur kr zepnięc i a, krz. ST - spadek temperatury n a przekro ju śc ianki odlewu. Z k ryterium tego wynika, jakie warunki odbioru ciepla z odlewu należy s pelnić, aby przy zad anym sk ladzie chemie znyn stopu (zad a nym t. Tk ) r z. odlew k rzepnąl o b jęt oś c io wo. I stotnym zagadnieniem w krzepnięciu objętościowym jest prędkoś ć tworzenia się zarodk ów krystalizac ji. Jest ona proporc jonalna do stę ż e nia subzarodków, tj. zarodków o promieniu mniejszym od krytycznego, rozrasta ją cyc h s i ę n astępnie wskutek fluktuacji ciepl nych. Prawdopodo bieństw o po w stania su b zarodków je s t proporcjonalne do wyrażeni a [ 8 J e gdzie t.gk - przyrost poten c j a łu termodynamicznego podczas tworzenia jednego zarodka, k - st a l a Bolt:.:manna, T - temperatura, zatem prędkość tworzenia się zarodków krytycznych ] wynosi.1g k -~ - Ae
32 Ryszard Parkilny, Norbert Sczygiol przy czym dla zarodka kulistego b.gk ~ 2 ' 3(b.g) A - w spókzynmk, 0 - wlaśctwc~ energw swobodrw, V - objętość molowa f<lzy zaro dkując ej, m b. g - rożni c n potenc jil lów termodynamicznych d la jednego mola fazy oek lej i stalej (ma wartość ujemną). l:ależność na J obowiązuje dopiero po pewnym określonym czasie inkubacji, podczas którego następuje wzrost subzarodków do rozmiarów krytycznych. W fau1ch skondensowanych, jak np. ciekłych metalach, dyfuzja cząstek, wzg lę dn i e tch przejście do zarodka wymaga dodatkowej energii aktyw acjt, wspókzynntk A na l eży więc zmodyfikować zgodnie z zależnością GD Arrhcniusa dln reakcji aktywowanych termicznie o czynnik Wtedy ( l.i_)e- h kt J ~ A 'kte gdzie A' - zmodyfikowany wspólczynnik A, b.gd - enet"gia aktywacji, h - stała Plancka. Zgodnie z tą za. l eżnośc ią dla małych przechłodzeń (dla ma ł yc h b. g) za- ' chodzi znikoma prędkość zarodkowania. Dopiero po przekroczeniu pewnej krytycznej wartości przech łod zenia następuje gwałtowny wzrost pr:ędkości zarodkowania. Wielkość zarodków krytycznych dla krytyc znego przechłodzenia wynosi około 100 cząste k (atomów lub molekul).. 2. Model matematyczny procesu krzepnię cia K rzepnący odlew potraktowano jako ciągły ośrodek materialny. Przyjęto, że podczas krzepnięcia w każdym punkcie (elemencie różniczkowym
Równania krzepnięcia objętościowego 33 o objętoś c i dv) odlewu, lub tylko w jego ograniczonym obszarze krzepnącym obj ęto ś c io wo, występuje jednocześnie faza ciekła i stała. Odlew stanowi więc mieszaninę dwufazową o zmiennym podczas krzepnię cia u dziale obu faz. Udział fazy sta łej w elemencie różniczkowym zdefiniowano następująco: dv (t) s d V (l) gdzie dv - objętość fazy stałej w elemencie różniczkowym d V. s Może on prz yjmow ać następujące wartości: O, od temperatury zalania do o s iągnięci a temperatury likwidusu 1 l') (t) - (0-1) 1 w przedziale temperatur likwidu su i solidu su, l, poni że j temperatury solidu su. Poniewa ż suma ud z iałów obu faz wynosi l, zatem udział fazy c iekłej jest równy l - ')(t) Przechodząc do krzepnięci a objętoś ci owego przyjęto, że odwzorowa niem wspomnianych elementów różniczkowych dv w odlewie rzeczywistym może być zi arno. Ziarna te mają kształt kulisty. Założono ponadto 1 że wszystkie ziarna krzepną jednakowo. Wobec tego p rze pływ masy musi zachodzić jedynie w obrębie tych ziaren, a z k aż de go zi arna musi w jednostce czasu wypływać jednakowa ilość ciepła. Ciepło Q wypływające z odlewu przejmowane jest przez formę odlewniczą. Je że li na przekroju symetrycznej ści anki odlewu krzepnie 2p ziaren, to ilość ciepła odbieranego w jednostce czasu z jednego ziarna wynosi Q/p (ciepło odbierane jest jednakowo przez obie ści anki odlewu) Przyjęto, ż e w ziarnie 1 czyli także w całym odlewie panuje jednorodne pole temperatur, równe temperaturze krz epnięcia. Temperatura krzepnięcia jest funkcją stężenia dornie s z ki i spada zgodnie z prze biegiem linii likwidu su i solidu su n a wykresie fazowym. Założono, ż e h nie likwidu su i solidusu są liniami prostymi. Współczynnik rozdziału domieszki k wyrazić można zatem następująco:
34 Ryszard Parkitny, Norbert Sczygiol gdzie C " stężenie domieszki, s - faza stała, - faza c iekła. 3. Bilans ciepła krzepnącego ziarna Strumień ciepła wypływającego z krzepnącego ziarna oblicza się z następującej zależności (por. rys. 2) gdzie A. f " w spółczynnik przewodzenia ciepła materiału formy 1 8 (x, t) - pole temperatur formy 1 B - połowa grubości odlewu, l - grubość ścianki formy, T, B L B )( Rys. 2. Schemat wyjaśniający oszacowanie ilości ciepła odprowadzanego z krzepnącego ziarna; r " promień ziarna, T - temperatura ziarna (od lewu)
Równania krzepnięci a objętoś c iowego 35 S - pole powierzchni styku formy z odlewem, V - polowa objętości odlewu. Uwzględniając 1 że B.. 2pr, gdzie p - liczba ziaren na długoś c i B, otrzymuje się poszukiwany strumień c i ep ł a, wypływający z jednego krzepną cego ziarna ~ l dt " - 2p.r '-'f a8(x, t) J ax x-l. (3) Na odprowadzane z ziarna ciepló skład a ją się: ubytek ciepła w fazie sta łej i ciekłej ziarna oraz ciepło wydzielające się w wyniku przyrostu fazy st alej. Bilans ciepła krzepną cego ziarna można więc zapisać następująco: gdzie C "' - ciepło właściwe 1 9 - gęstość,!:o. T - s p adek temperatury w ziarnie, L - ciepło krzepnięci a. Przekształcając to równanie oraz dzieląc je o bu stronnie prze z!:o. t i przechodząc do granicy otrzymuje się dq (t).. dt. Pod stawiając teraz po prawej stronie tego równania wyrażenie ( 3) otrzy muje się ostate.::znie [?(t)cs ą s +(l-?(t),)clqj d~[t)- 9sL daft).. l_a, 3Q(x,t)l. 2p.r f Clx x.. l ( 4)
36 Ryszard Parkitny, Norbert S czygiol 4. Bilans domieszki krzepnącego zi arna Bilans masy k rze pnące go ziarna jest n as t ępujący (rys. 3) : c...... -.;:: ~ ~ c._; --.. -+->..,..,... "'..._... ~ ::t:. $: c._; 1 1- r;ft) J Rys. 3. Schemat wy j a ś nia ją cy bilans masy kr z epną c ego ziarna t + f>t) d Q- JH e s( ~, 2 l + t.t)dq- JJJc 1 (~, t) d Q~ Q 2 (5) ~fjjc 1 (s, t)dq- HJ cs(s, t+ t.t)dq. Q - Q 3 3 Funkcję rozkładu stężenia w fazie stale j i ciekłej można przedstawić w postaci c c dc:(l t) C(~, t+ f.t) ~c( 5, t)+ Clt f>t. (6)
Równania krzepnięcia objętościowego 37 Rozważane zagadnienie jest osiowosymetryczne, a jedyn-i zmienną niezależną jest promień ziarna, Można więc w bilansie (5) przejść do ca łki pojedynczej. Podstawiając od razu (6) otrzymuje się po przekształceniach + ~?(t) ]sz a c:~ L t) d + O r;>(t) +M;(t) Poniew aż [9 J b j f(x)dx- (b- a ) f(~), a zatem przy t.t-0 i t.?(t)- O l d c '~ l t) d~ dt )+ ( 7 ) Podstawiając do ( 7) lewe strony równań dyfuzji w fazie stałej i cieklej w postaci d c cl t) d t (8) gdzie ~ D D --z, r przy czym dla rozważanego ziarna warunki brzegowe są następujące
38 Ryszard Parkitny, Norbert Sczygiol l d c n, t) l _ o, ds s-1 (9) otrzymuje się w rezultacie klasyczny warunek c iągłości masy na powierzchni kr ze pnię c i a ~l - D l s dq(t ).5-?(t) (C ( ~' t ) l - C (g' t ) l ). dt. ~-?(t) Z przeprowadzonych tuta j rozważań wynika, ż e pola stężeń w fazie stalej i cieklej ziarna są funkcjami współrzędnej ~ oraz czasu t. W t a kim przypadku współczynnik ro z działu domieszki określony jest wzorem ( 2). (lo) 5. Szczególne przypadki rozprowadzenia domieszki w ziarnie Przedst awiony w poprzednim punkcie bila ns masy dotyczy przypadku, gdy zar ówno w fazie stalej, jak i cieklej ziarna następuje dyfuzja domie szki. Ro zważ one z ostaną kolejne trzy interesujące przypadki rozpro~ wad zenia domie szki w ziarnie podczas jego krzepnięcia. Przypadki te dot yczą : - pełnego r ozprowadzenia domieszki w fazie stalej i ciekłej, - pelnego rozprowadzenia domieszki w f a zie cieklej oraz braku dy - fuzji domieszki w fazie stałej, - pełne go rozprowadzenia domieszki w fazie ciekłej oraz dyfuz ji do mie szki w f azie stałej. Dla przypadku pełnego ro zprowadzenia domieszki w fazie stalej i c ieklej ( rys. 4) nale ży uwzględnić (11)
Równania krzepnięcia objętościowego 39 c - -......, <:J ~..., ~ --- - (._) <-J - Q1 Q3 Q z - - -17(t) ~.1'1(1) l<-- r;(t +IJt - 1 ś 1- 'f7(t) j Rys. 4. Pelne rozprowadzenie domieszki w fazie stalej i cieklej Równanie (7) przyjmuje wtedy postać (12) 3 2()dry(t)Cl() O -?t~ t-. Rozwiązanie równania (12) jest następujące: 3 - (l - k)? o 3 ' (l - k)? (t) (13) natomiast dla zagadnienia płaskiego otrzymuje się klasyczne rozwiązanie opisane za pomocą zasady dźwigni
40 Ryszard P arkitny, Norbert Sczygiol l l - ( 1 - k) IJO c (t) - c - :-?::""\ o l- (l - k)l'}lt)' (13a ) gdzie? 0 - wymiar zarodka. W przyp9-dku pełnego r o zprowa d zenia domieszki w fazie ciekłej oraz braku dyfuzji dornie szki w fazie s t a ł ej ( rys. 5) c ~... ~ -1-.1 -::!::::.. "1.J <-> 1 _J Rys. S. Pelne rozprowadzenie domieszki w fazie ciekłej, domieszki w fazie s tałej brak dyfu zji s ~ c ( s' t) - s c (s )' l - c (t) ' ( 14) Należy również uwzględnić, ż e w tym przypadku s. D -O.
Równania krzepnięcia objętościowego 41 Zamiast równania (7) otrzymuje się wtedy wyrażenie (15) Rozwią zaniem tego równania jest: l c (t) - (l- 3)1-k '~o co :::.3 1_-k_' (16) (l -? (t)) natomiast dla zagadnienia plaskiego otrzymuje się E. Schei.la klasyczne rozwiązanie l c (t) - (l - l) ) 1-k o o (l - r) (t) ) 1-k c -- (16a) Dla przypadku pełnego rozprowadzenia dornie szki w fazie c iekłej oraz dyfuzji domieszki w fazie stalej (rys. 6) trzeba uwzględn ić zależno ści l t l c ( s ' t) - c (t) ' (17) k -..: c:...s...>. (..LI)...>.(:.t.t )'-'l...:.t.t) c 1 (t) R ównanie (7) przyjmuje w tym przypadku postać?l (t) 3d~~t ) r/(t) Cs(ry(t), t) + 3 J 5 2 Jc;(tg' t) d5 + o (18)
42 Ryszard Parkitny, Norbert Sczygi.ol c l l... --- «;).,_, :::j) ~..., ~'--- T cs(ś,t+tj~ <...! 2=- :::;> --..., (...) ~ -1-J... l:; ~ ~ Fr C 5 (ś,l:) "" f l S( /f Q3 Q2 '--"l(t)----, llf! (i) l<--- ł ~ "7 (t LJt) 1- r;ft! _J 1 ś Rys. 6. Pe lne rozprowadzenie domieszki w fazie ciekłej, w fazie stalej dyfuzja domieszki Po podstawieniu lewej strony r ównani a dyfuzji (8) w faz ie stalej zamiast równania ( 10) otrzymuje się + (19) 6. Zakończenie W pracy przedstawiono równania krzepnięcia objętościowego dwuskładnikowych stopów metali. Ro zważan i a przeprowadzono dla zi aren o ks z tałc ie kulistym. \\lyprowadzone równania pozwalają na obliczenie chwilowego rozkładu domieszki w kr ze pnącym ziarnie oraz na wyznaczenie końcowego rozkładu domieszki. Można ponadto obli czyć przebieg zmian temperatur krzepnięcia, a także ilość ciepła odprowadzonego do formy odlewniczej. O bliczenia pól stężeń można przeprowadzać dla czterech interesujących
Równania kr z epnięci a objętościowego 43 przypadków (patrz punkt 4 i S}. Dla przypadków pelnego rozprowadzenia domie szki w fazie stalej i c ieklej oraz pełnego rozprowad zenia domieszki w fazie cieklej i braku dyfuzji dornie szki w fazie stalej u zysk a no rozwią zan i a an alityczne ( wzory 1 3 i 16). W przy padku rozważania zagadnienia plaskiego otrzymuje się rozwiązania (l 3a) i ( 16a), znane w litera turze. Dla po zo s t a łyc h dwóch przy p adków można uzyskać jedynie ro zwią " zani a numeryczne lub an alityczne przy dodatkowyc h za ło żeniach upraszcza ją cyc h. Literatura l. Bower T. F., Flemings M.C., Formation of the c hill zone in ingot solidification, T rans. Met. Soc. AlME, 239, 2 (1967) 216-219. 2. E ngler S., Ellerbrock R., Zur Entstehung der inneren Globulitenzone in Gu ~ sttlcken, Metall, 30, 6 (l 976) 526-529. 3. E ngle r S., GBckmann K, Z ur E n t ste hu n g der Gu/)struktur be i g e richteter Erstarrung, Metall, 29, 3 (1975) 252-263. 4. Engler S., S chleiting G., Erstarrungsmorphologie von Aluminiumlegierungen bei Kokollengu(3, Giess.-Forsch., 30, l (1978) 15-24. 5. Gawroński J., Technologiczne aspekty odlewania suspensyjnego ż eliwa wysokochromowego, Krzepnięcie metali i stopów, 8 (1984) 109- - 132. 6. Kattamis T. Z., Coughli n J. C., Flemings M. C., Influence of co arsening on dendrite ar m spacing o f aluminium-copper alloys, Trans. Met. Soc. AIME, 239, 10 (1967) 1501.-1511. 7. Kattamis T. Z., Holmberg U.T., Flemings M.C., Influence of coarsening on dendrite arm spacing and grain size of magne sium-zinc alloy, J. lnst. Met., 95 (1967) 343-347. 8. Kleber W., EinHlhrung i n die Kristallographie, VEB Verlag Tec hnik, Berlin 1983. 9. Leja F., Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1969. 10. Patterson W., Engler S., Uber den Erstarrungsabl auf und die GrB~e und Aufteilung des Volumendefizits bei Gu0legierungen, Giesserei, Techn.-Wissen. Beihefte, 13, 3 (1961) 123-156.
44 Ryszard P arkitny 1 Norbert Sczygiol 11. Sakwa W. 1 Gawroński J. 1 Suspensyjne odlewanie żeliwa niskochromowego, Kr ze pnięcie metali i stopów,. (1983) 5-24. 12. Southin R. 1 Nucleation of the equiaxed zone in cast metal s. Trans. Met. Soc. AlME, 239, 2 (1967) 220-225. 13. Wiejnik A.l. 1 R asczot otliwki, Maszinostrojenije, Moskwa 1964.