Stosowanie rachunku współrzędnych w obliczeniach geodezyjnych 311[10].Z1.06

MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Bogumiła Wiatr Stosowanie rachunku współrzędnych w obliczeniach geodezyjnych 311[10].Z1.06 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 007

Recenzenci mgr inż. Wanda Brześcińska dr inż. Bożena Wasielewska Opracowanie redakcyjne: mgr inż. Bogumiła Wiatr Konsultacja: mgr Małgorzata Sienna Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[10].Z1.06 Stosowanie rachunku współrzędnych w obliczeniach geodezyjnych, zawartego w programie nauczania dla zawodu technik geodeta. Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy, Radom 007 1

SPIS TREŚCI 1. Wprowadzenie 4. Wymagania wstępne 6 3. Cele kształcenia 7 4. Materiał nauczania 8 4.1. Podstawowe związki w układzie współrzędnych prostokątnych oraz definicje i twierdzenia symboli rachunkowych Hausbrandta 8 4.1.1. Materiał nauczania 8 4.1.. Pytania sprawdzające 11 4.1.3. Ćwiczenia 11 4.1.4. Sprawdzian postępów 13 4.. Obliczanie współrzędnych punktów leżących na znanej linii pomiarowej lub jej przedłużeniu 14 4..1. Materiał nauczania 14 4... Pytania sprawdzające 15 4..3. Ćwiczenia 15 4..4. Sprawdzian postępów 16 4.3. Obliczanie współrzędnych punktów leżących na domiarach prostopadłych 17 4.3.1. Materiał nauczania 17 4.3.. Pytania sprawdzające 18 4.3.3. Ćwiczenia 18 4.3.4. Sprawdzian postępów 0 4.4. Obliczanie współrzędnych punktów wyznaczanych pojedynczymi wcięciami 1 4.4.1. Materiał nauczania 1 4.4.. Pytania sprawdzające 5 4.4.3. Ćwiczenia 6 4.4.4. Sprawdzian postępów 9 4.5. Obliczanie współrzędnych punktów zamierzonych metodą biegunową 30 4.5.1. Materiał nauczania 30 4.5.. Pytania sprawdzające 30 4.5.3. Ćwiczenia 30 4.5.4. Sprawdzian postępów 31 4.6. Metoda Hansena 3 4.6.1. Materiał nauczania 3 4.6.. Pytania sprawdzające 33 4.6.3. Ćwiczenia 33 4.6.4. Sprawdzian postępów 34 4.7. Obliczanie powierzchni 35 4.7.1. Materiał nauczania 35 4.7.. Pytania sprawdzające 36 4.7.3. Ćwiczenia 37 4.7.4. Sprawdzian postępów 38 4.8. Ustalanie współrzędnych punktów przecięć 39 4.8.1. Materiał nauczania 39 4.8.. Pytania sprawdzające 40 4.8.3. Ćwiczenia 41 4.8.4. Sprawdzian postępów 4

4.9. Transformacje 43 4.9.1. Materiał nauczania 43 4.9.. Pytania sprawdzające 45 4.9.3. Ćwiczenia 45 4.9.3. Sprawdzian postępów 46 5. Sprawdzian osiągnięć 47 6. Literatura 5 3

1. WPROWADZENIE Poradnik będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o stosowaniu rachunku współrzędnych w typowych obliczeniach geodezyjnych oraz w kształtowaniu umiejętności ich obliczania. W poradniku zamieszczono: wymagania wstępne wykaz umiejętności, jakie powinieneś mieć już ukształtowane, abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika, cele kształcenia wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z poradnikiem, materiał nauczania wiadomości teoretyczne niezbędne do opanowania treści jednostki modułowej, zestaw pytań, który umożliwi Ci sprawdzenie, czy już masz opanowane określone treści, ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz nabyć umiejętności praktyczne, sprawdzian postępów, sprawdzian osiągnięć, przykładowy zestaw zadań, którego zaliczenie potwierdzi opanowanie materiału całej jednostki modułowej, literaturę uzupełniającą. Modułowy Program Nauczania dzieli moduł na jednostki modułowe. 4

311[10].Z1 Mapa sytuacyjno-wysokościowa 311[10].Z1.01 Stosowanie instrumentów geodezyjnych 311[10].Z1.0 Opracowywanie mapy sytuacyjnej 311[10].Z1.03 Aktualizacja mapy sytuacyjnej na podstawie pomiarów terenowych 311[10].Z1.04 Opracowywanie przekrojów podłużnych i poprzecznych 311[10].Z1.05 Wykonywanie mapy warstwicowej 311[10].Z1.06 Stosowanie rachunku współrzędnych w obliczeniach geodezyjnych 311[10].Z1.07 Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.08 Projektowanie, pomiar i wyrównanie szczegółowej osnowy geodezyjnej 311[10].Z1.09 Wykonywanie pomiarów sytuacyjnych i sytuacyjno-wysokościowych 311[10].Z1.10 Sporządzenie mapy sytuacyjno-wysokościowej na podstawie pomiarów terenowych 311[10].Z1.11 Stosowanie technologii GPS w pomiarach geodezyjnych Schemat układu jednostek modułowych 5

. WYMAGANIA WSTĘPNE Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć: posługiwać się jednostkami miar stosowanymi w geodezji, określać zasady tworzenia odwzorowań kartograficznych, klasyfikować mapy ze względu na przeznaczenie, skalę, treść i formę, wykonywać obliczenia i opracowania graficzne z wykorzystaniem programów komputerowych, opisywać modele Ziemi stosowane w geodezji i związane z nimi układy współrzędnych, określać systemy odniesień przestrzennych, odczytywać z map informacje dotyczące przestrzennego rozmieszczenia obiektów terenowych, obsługiwać instrumenty geodezyjne (teodolity, niwelatory, dalmierze, tachimetry), mierzyć długości, kąty i zdejmować szczegóły sytuacyjne, obliczać współrzędne punktów ciągów poligonowych, przestrzegać przepisów bezpieczeństwa i higieny pracy, ochrony przeciwpożarowej oraz ochrony środowiska. 6

3. CELE KSZTAŁCENIA W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć: scharakteryzować podstawowe związki w układzie współrzędnych prostokątnych, wyznaczyć współrzędne punktu leżącego na zadanej linii pomiarowej (na przedłużeniu), obliczyć współrzędne punktu nie leżącego na prostej (na prostopadłej), zastosować zasady rzutowania punktów o znanych współrzędnych na odcinek, obliczyć wartość kąta ze współrzędnych, obliczyć współrzędne punktów wyznaczonych wcięciem liniowym, wcięciem kątowym w przód, kątowym wcięciem wstecz, obliczyć współrzędne punktu zmierzonego metodą biegunową, obliczyć współrzędne punktu przecięcia się linii pomiarowej z ramką sekcyjną, zastosować zasady transformacji współrzędnych punktów z jednego układu odniesienia do drugiego układu, obliczyć powierzchnię ze współrzędnych punktów obwodnicy, obliczyć współrzędne punktów przecięcia się boku osnowy z ramką sekcyjną arkusza mapy, obliczyć współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych, zastosować metodę Hansena w obliczeniach geodezyjnych. 7

4. MATERIAŁ NAUCZANIA 4.1. Podstawowe związki w układzie współrzędnych prostokątnych oraz definicje i twierdzenia symboli rachunkowych Hausbrandta 4.1.1. Materiał nauczania Podstawowe związki w układzie współrzędnych prostokątnych Rys. 1. Układ współrzędnych geodezyjnych [4] W geodezyjnym układzie współrzędnych prostokątnych (rys. 1), dodatni kierunek osi X pokrywa się z kierunkiem północy, a prostopadły do niego dodatni kierunek osi Y jest skierowany na wschód. Ćwiartki numeruje się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Dla ułatwienia obliczania azymutu, przyjmującego wartości w przedziale od 0 do 360, wygodne jest posługiwanie się kątem ostrym zwanym czwartakiem. Kąt ten definiowany jest jako kąt ostry zawarty pomiędzy linią osi X, czyli jej dodatnim lub ujemnym kierunkiem, a danym bokiem OP. W ćwiartkach: I oraz IV ramieniem wyjściowym dla czwartaków jest prosta skierowana na północ, natomiast w ćwiartkach: II i III ramię to stanowi prosta skierowana na południe. W poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych prostokątnych, występują zależności pomiędzy azymutem, a czwartakiem. Zależności te pozwalają na ustalenie orientacji dowolnego kierunku, czyli obliczenie jego azymutu. Oznaczając wartość czwartaka φ, oblicza się wartości azymutów w poszczególnych ćwiartkach z zależności; A I = φ, A II =180 - φ, A III =180 + φ, A IV = 360-φ. 8

Rys.. Zależności w układzie współrzędnych [oprac. własne] Przyrosty współrzędnych oblicza się ze wzorów (rys. ) xab = X B X A y AB = YB YA Azymut boku AB (w I ćwiartce równy czwartakowi φ), oblicza się ze wzoru yab tgaab =. xab Azymut boku BA to azymut odwrotny do AB czyli różny od niego o 180 lub 00 g. Obliczanie długości ze współrzędnych prowadzi się w oparciu o twierdzenie Pitagorasa d = x + y AB AB AB Ogólna zasada obliczania współrzędnych X N Y N punktów następnych na podstawie współrzędnych X P Y P punktów poprzednich i przyrostów między nimi określają wzory X X + x Y = Y + y N = P PN N P PN Wstępne definicje i symbole rachunkowe Hausbrandta Obliczenia stanowią duży dział pracy geodety. Zastosowanie właściwych metod rachunkowych i wybór najodpowiedniejszych środków ich technicznej realizacji decyduje o czasie wykonania i ekonomii pracy. W obliczeniach geodezyjnych, aby dojść najkrótszą drogą do ostatecznych rezultatów, konieczna jest znajomość metod, a także symboli rachunkowych Hausbrandta, które upraszczają, skracają obliczenia. Wiele rozwiązań typowych zadań geodezyjnych wykazuje pewne wspólne cechy, które poprzez wprowadzenie specjalnych symboli rachunkowych umożliwiają przyspieszenie ich rozwiązania. Twórcą takich symboli rachunkowych zwanych formami jest prof. Stefan Hausbrandt. Symbole te powodują skrócenie czasu wykonania obliczeń. Forma rachunkowa to zespół liczb składający się z czterech elementów zwany formą prostą, tworzący tabelę prostokątną lub zespół kilku takich tabel obok siebie tworzących formę rachunkową złożoną. a1 b1 a b... an bn f c d c d... c d Do rozwiązania takiej formy zdefiniowano kilka funkcji: 1) funkcja pierwsza to iloczyn wyznacznikowy oznaczający sumę wyznaczników f a d b c + a d b c + K+ a d b c = a d b c 1 1 n n ( ) 1 = 1 1 1 1 n n n n i i i i 9

) funkcja druga to iloczyn kolumnowy czyli suma iloczynów elementów poszczególnych kolumn f a c + b d + a c + b d + K+ a c + b d = a c + b d ( ) = 1 1 1 1 n n n n i i i i 3) funkcja zerowa to iloraz główny czyli iloraz funkcji pierwszej do drugiej f ( aid i bici ) 1 f 0 = = f a c + b d ( i i i i ) 4) funkcje względne proste to stosunki funkcji pierwszej i drugiej do sumy elementów dolnego lub górnego wiersza f1 () ( ) ; f f 1 = f ( ) c i + d i ( ) ; = c i + d i f () 1 = f a i + b i 1 ( ) ; ( ) f = a i + b i f ( ) ; 5) funkcje względne kwadratowe to stosunki funkcji pierwszej i drugiej do sumy kwadratów elementów dolnego lub górnego wiersza f = 1 f c + i d i 1 ( ) f = f c + i d i ( ) f = 1 f a + i b i 1 ( ) f = f a + i b i ( ) Obliczanie kąta ze współrzędnych W obliczeniach geodezyjnych rachunek kątów to jedna z podstawowych czynności. Obliczamy kąt ze współrzędnych trzech punktów (rys. 3); C wierzchołek kąta, L punkt na lewym ramieniu, a P to punkt na prawym ramieniu kąta. 10

Rys. 3. Oznaczenie ramion kąta β [oprac. własne] Kąt β można obliczyć z różnicy azymutów jego ramion. Obliczamy azymut ramienia lewego z tg A L i azymut ramienia prawego z tg A P czyli ycl ycp A CL z tgacl = i A CP z tgacp = xcl xcp a następnie kąt β = A P - A L Jeżeli β jest wielkością ujemną to dodajemy 360 lub 400 g. Kąt β możemy również obliczyć jako funkcję zerową wg symboli Hausbrandta xcl ycl f1 f = ; tg β = = f 0 x y f 4.1.. Pytania sprawdzające CP CP Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Jak oblicza się wartość przyrostu współrzędnych odcinka AB?. Jakim wzorem oblicza się wartość azymutu odcinka AB? 3. Jaka jest różnica między formą prostą, a złożoną w symbolach Hausbrandta? 4. Jaki wzór stosuje się do obliczania długości odcinka ze współrzędnych? 5. Jaka jest zasada obliczania współrzędnych punktu następnego? 6. Jakie są podstawowe formy w symbolach Hausbrandta? 4.1.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz długość oraz azymut odcinka AB i azymut BA jeżeli znane są współrzędne tych punktów. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory, obliczyć przyrosty xab = X B X A y AB = YB YA ) zastosować obliczone przyrosty do wyznaczenia długości AB d = x + y AB AB AB 3) zastosować obliczone przyrosty do wyznaczenia azymutu yab tgaab = xab 4) obliczyć azymut odwrotny różny o 180 lub 00 g od pierwotnego. 11

Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie Mając dane współrzędne trzech punktów A B C oblicz kąt lewy na punkcie środkowym różnymi metodami. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiedni wzór, xcl ycl f1 ) f = tg β = = f0 x y f CP CP 3) obliczyć kąty z zastosowaniem wzorów Hausbrandta, 4) ustalić azymuty linii, 5) obliczyć kąty z różnicy azymutów, 6) przeprowadzić kontrolę przez porównanie wyników. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie 3 Mając dane wartości czterech elementów: a, b, c, d oblicz formę pierwszą, drugą i zerową Hausbrandta. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory, ) wypełnić formy Hausbrandta danymi elementami wewnętrznymi form, 3) obliczyć konkretne sumy i różnice iloczynów oraz iloraz dla formy zerowej. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 1

Ćwiczenie 4 Mając dane wartości czterech elementów: a, b, c, d obliczyć formy względne proste i względne kwadratowe Hausbrandta. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory, ) wypełnić formy Hausbrandta danymi elementami wewnętrznymi form, 3) obliczyć formę pierwszą i drugą, 4) obliczyć formy względne proste; pierwszą i drugą; górna i dolną, 5) obliczyć formy względne kwadratowe; pierwszą i drugą; górna i dolną. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 4.1.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) obliczyć długość odcinka ze współrzędnych? ) określić pojęcie czwartaka? 3) obliczyć azymut ze współrzędnych? 4) rozwiązać formę pierwszą Hausbrandta? 5) rozwiązać formę drugą Hausbrandta? 6) rozwiązać formę złożoną Hausbrandta? 13

4.. Obliczanie współrzędnych punktów leżących na znanej linii pomiarowej lub jej przedłużeniu 4..1. Materiał nauczania Obliczanie współrzędnych punktu leżącego na znanej linii pomiarowej Zadanie to sprowadza się do wyznaczenia współrzędnych x i y punktu P zwanego punktem posiłkowym, położonego na prostej AB danej współrzędnymi skrajnych punktów A i B. Znana jest również odległość punktu P od punktu początkowego prostej czyli punktu A to jest odległość l AP (rys. 4). Współrzędne punktu P otrzymamy dodając odpowiednio do współrzędnych punktu A przyrosty: x AP i y AP.. X P =X A + x AP Y P =Y A + y AP Rys. 4. Punkt posiłkowy P na linii AB [opr. własne] Przyrosty: x AP i y AP. obliczamy z funkcji trygonometrycznych xap cos AAP = a więc x AP = l AP cosa AP l AP y AP sin AAP = a więc y AP = l AP sina AP l AP Azymuty boków AP i AB są jednakowe, ponieważ oba odcinki znajdują się na tej samej prostej i mają ten sam zwrot. Można więc zapisać x AB cosa = cos AAB = cos AAP = l AB oraz y AB sina = sina AB = sina AP = l AB Funkcje trygonometryczne azymutu boku AB czyli sinab i cosab to współczynniki kierunkowe boku AB. Odległość l AP to tzw. miara bieżąca punktu P, a odległość l AB to końcowa odcinka AB. 14

Ostateczne wzory na obliczenie współrzędnych punktu posiłkowego P położonego na prostej AB mają więc postać X P = X A + l AP cosa AB Y P = Y A + l AP sina AB Jako kontrolę obliczeń współrzędnych punktu P można przeprowadzić rachunek współrzędnych w przeciwnym kierunku czyli dla odcinka BP położonego na boku BA. Do obliczeń stosuje się zmodyfikowany wzór czyli X P = X B + l BP cosa BA Y P = Y B + l BP sina BA Długość l BP obliczymy jako różnicę między długością odcinka l AB i l AP, a azymut A BA to azymut odwrotny do azymutu A AB czyli różny od niego o 00 g. Obliczanie współrzędnych punktu leżącego na przedłużeniu linii pomiarowej AB Przedłużenie linii pomiarowej AB, do punktu P, ma taki sam azymut jak odcinek wyjściowy AB czyli również A AB. Do obliczenia współrzędnych stosujemy więc, te same wzory zwracając jedynie baczną uwagę, żeby do obliczeń współrzędnych brać, odległość od tego punktu, do którego współrzędnych, przyrosty będziemy dodawać. 4... Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Według jakiej zasady oblicza się przyrosty współrzędnych?. Co to jest punkt posiłkowy? 3. Jakie dane potrzebne są do obliczenia współrzędnych punktu na linii? 4. Z jakiego wzoru oblicza się długość odcinka AB? 5. Jakie są zasady obliczania azymutu linii AP? 6. Jaką wartość ma azymut odwrotny? 4..3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz współrzędne punktu P leżącego na linii AB jeżeli znane są współrzędne punktów A i B oraz odległość AP czyli l AP. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory, ) obliczyć przyrosty na linii AB, 3) obliczyć azymut AB będący jednocześnie azymutem linii AP, 4) obliczyć przyrosty AP ze znanego już azymutu i danej odległości l AP x AP = l AP cosa AP y AP = l AP sina AP 5) dodać przyrosty do współrzędnych wyjściowych i obliczyć ich wartości, 6) wykonać kontrolę wyznaczenia współrzędnych licząc odpowiednio współrzędne punktu P dla linii BA i odległości BP. 15

Wyposażenie stanowiska pracy: papier formatu A4, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie Oblicz współrzędne punktu P leżącego na przedłużeniu linii AB jeżeli znane są współrzędne punktów A i B oraz odległość AP. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory, ) obliczyć przyrosty na linii AB, 3) obliczyć azymut AB będący jednocześnie azymutem linii AP, 4) obliczyć przyrosty AP ze znanego już azymutu i danej odległości l AP x AP = l AP cosa AP y AP = l AP sina AP 5) dodać przyrosty do współrzędnych wyjściowych i obliczyć ich wartości, 6) wykonać kontrolę wyznaczenia współrzędnych licząc odpowiednio współrzędne punktu P dla linii BP. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 4..4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) wyjaśnić jak oblicza się przyrosty współrzędnych? ) wyjaśnić pojęcie punktu posiłkowego? 3) wyjaśnić zasadę obliczania azymutu? 4) określić różnice między azymutem i azymutem odwrotnym? 16

4.3. Obliczanie współrzędnych punktów leżących na domiarach prostopadłych 4.3.1. Materiał nauczania Obliczanie współrzędnych punktu leżącego na prostopadłej do linii AB Do wyznaczenia współrzędnych punktu P na domiarze prostokątnym (rys. 5) wystawionym z boku AB, a dokładnie z jego punktu P konieczna jest znajomość miary bieżącej l AP równej AP oraz P P= h. Domiar h we wzorach musi posiadać odpowiedni znak; + w prawo, a w lewo zależnie od znaku obszaru, w którym się znajduje. W prawo jest plus, a w lewo minus. Współrzędne obliczamy według wzorów X P = X A + x AP + x P P = X P + x P P Y P = Y A + y AP + y P P = Y P + y P P czyli X P = X A + l cosa h sina Y P = Y A + l sina + h cosa Rys. 5. Punkt P na domiarze prostokątnym [oprac. własne] Można też przeprowadzić obliczenia przy pomocy wzorów Hausbrandta f = d h sin A cos A 1, xap = f1 y = f P = A+ 1 YP = YA + f X X f 17

Obliczenie współrzędnych punktów na domiarze prostopadłym, tak jak prawie wszystkie podstawowe obliczenia geodezyjne, można również wykonać z zastosowaniem programów komputerowych. Pracując na C-Geo, wybiera się ikonkę, bo ona umożliwia wykonanie obliczeń współrzędnych punktu na domiarze. Wskazujemy prostą klikając na linii, albo podając z klawiatury numery punktu początkowego i końcowego prostej, a następnie wartość bieżącą, domiar i numer obliczanego punktu. Po podaniu danych pojawi się ikonka:, której wciśnięcie umożliwi wykonanie obliczeń. Rzutowanie punktów o znanych współrzędnych na odcinek Zadanie to wykorzystywane jest do obliczania domiarów prostokątnych l i h potrzebnych do zrealizowania w terenie punktu o określonych współrzędnych w oparciu o prostą daną punktami o znanych współrzędnych l = y AP sina + x AP cosa h = y AP cosa x AP sina lub stosując symbole Hausbrandta ( hl, ) 4.3.. Pytania sprawdzające yap xap = czyli h= f1, a l = f sin A cos A 1, Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Według jakiej zasady oblicza się przyrosty współrzędnych?. Co to są domiary prostokątne? 3. Jakie dane potrzebne są do obliczenia współrzędnych punktu na prostopadłej? 4. Na podstawie jakich funkcji oblicza się wartości domiarów prostokątnych do wyniesienia w teren punktu o znanych współrzędnych? 4.3.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz współrzędne punktu P, którego położenie wyznaczono metodą domiarów prostokątnych czyli miary bieżącej i domiaru prostopadłego do linii AB. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory X P = X A + l cosa h sina Y P = Y A + l sina + h cosa 1) obliczyć azymut linii na którą rzutuje punkt P czyli azymut linii A, ) podstawić dane do wzorów i obliczyć współrzędne, 3) wykonać obliczenia kontrolne z Pitagorasa ustalając wcześniej przeciwprostokątną czyli odległość punktu P od punktu początkowego prostej. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, 18

kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie Oblicz domiary prostokątne mając dane współrzędne punktu P oraz współrzędne punktów linii z której będzie realizowany w terenie. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory l = y AP sina + x AP cosa h = y AP cosa x AP sina ) obliczyć l i h wzorami tradycyjnymi, yap xap 3) wypełnić formę Hausbrandta ( hl, ) = sin A cos A 4) obliczyć h jako formę pierwszą i l jako formę drugą. 1, Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie 3 Oblicz współrzędne punktu na domiarze prostokątnym mając miarę bieżącą i domiar oraz współrzędne punktów linii, z której jest realizowany. Obliczenia wykonaj stosując program komputerowy C- GEO. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) uruchomić program komputerowy, ) kliknąć ikonkę obliczenia współrzędnych punktu na domiarze, 3) wskazać prostą klikając na linii i wpisać z klawiatury numery punktu początkowego i końcowego prostej, 5) podać wartości domiarów, 6) obliczyć wciskając odpowiednią ikonkę. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, komputer, program C- GEO, instrukcja obsługi C- GEO, literatura zgodna z wykazem zamieszczonym w poradniku. 19

4.3.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) wyjaśnić pojęcie domiarów prostokątnych? ) wyjaśnić jaka ikona obrazuje obliczenia na domiarze C-GEO? 3) wyjaśnić pojęcie zamknięty układ sterowania? 4) określić różnice między znakami obszarów dla prostej? 0

4.4. Obliczanie współrzędnych punktów wyznaczanych pojedynczymi wcięciami 4.4.1. Materiał nauczania Obliczanie współrzędnych punktów wyznaczonych wcięciem liniowym Wcięcie liniowe polega na określeniu współrzędnych wcinanego punktu na podstawie dwóch odległości a i b (rys. 6), pomierzonych do wyznaczanego punktu P od znanych punktów AB, będących bazą wcięcia. Wcięcie liniowe służy do zagęszczania osnowy pomiarowej i zdejmowania szczegółów sytuacyjnych. Rys. 6. Wcinany punkt P [oprac. własne] Aby wyznaczyć współrzędne punktu P mierzymy w terenie bazę AB lub obliczamy długość AB ze współrzędnych jako pierwiastek z sumy kwadratów przyrostów odcinka AB. Następnie z twierdzenia Carnota ( cosinusów), na podstawie znanych długości boków w trójkącie ABP obliczamy wyrażenia C A, C B, C C zwane carnotianami. C A = a + b + c C B = a b + c C C = a + b c Suma carnotianów może służyć do częściowej kontroli prowadzonych obliczeń. C + C + C = a + b + c A B C Można również obliczyć cosinusy kątów α i β, a dla kontroli także kąta na punkcie P czyli cosγ a b c C cosα = + + = A bc bc cos β cosγ + a b + c C = = B ac ac + a + b c C = = C ab ab 0 Kontrolą może być suma katów w trójkącie czyli: α + β + γ = 180. 1

Współrzędne punktu P otrzymamy ze wzorów X P = X ACB + YA4P+ XBCA YB4P C + C A B Y P X 4P+ YC + X 4P+ YC = C + C A A B B B A A B gdzie wyraz 4P jest poczwórnym polem trójkąta ABP obliczonym z carnotianów P = CC + CC + CC Kontrola obliczeń to C A ctgα =, 4P C B ctgβ =, 4P 4 A B A C B C C C 0 ctgγ = i α + β + γ = 180 lub (00 g ) 4P Wygodniejszym sposobem rozwiązania wcięcia liniowego w przód jest zastosowanie pomocniczych symboli rachunkowych Hausbrandta i obliczenie współrzędnych punktu P w oparciu o wzór X A YA XB YB ( X p, Yp) = 4P C + 4P C Innym, klasycznym, rozwiązaniem wcięcia liniowego jest wyznaczenie współrzędnych punktu P, po wcześniejszym ustaleniu wartości rzędnej h czyli wysokości w trójkącie oraz odciętej p lub q. Baza to odcinek AB= p+q = c h = a p = b q czyli B A ( 1,) p q = a b a b a b Obliczamy wartość p q = =, a następnie z obliczonych p i q oblicza się p+ q c wysokość h. Dalej postępujemy jak przy obliczaniu współrzędnych z domiarów prostokątnych. Obliczanie współrzędnych punktów wyznaczonych kątowym wcięciem w przód Kątowe wcięcie w przód polega na określeniu współrzędnych wcinanego punktu P na podstawie pomierzonych kątów poziomych na stanowiskach A i B tworzących bazę wcięcia (rys. 7). Celowe od punktów A i B do wyznaczanego punktu P to celowe zewnętrzne (wcinające) zwane również celowymi w przód. Rozwiązanie zadania można przeprowadzić w dwojaki sposób. Wieloetapowo czyli licząc azymuty wszystkich boków; najpierw A AB ze współrzędnych, a potem azymut AP i BP dodając odpowiednio do A AB kąty α i β.następnie z twierdzenia sinusów oblicza się długości boków AP i BP d AB d AB d AP = sin β d BP = sin α sin( α + β ) sin( α + β ) Przyrosty boków wcinających to xap = d AP cos AAP y AP = d AP sin A x = d cos A y = d sin A AP BP BP BP BP BP BP

Rys. 7. Kątowe wcięcie w przód [oprac. własne] Mając przyrosty dla dwóch linii można dwukrotnie obliczyć współrzędne punktu P lub X P = X A + x AP Y P = Y A + y AP X P = X B + x BP Y P = Y B + y BP Porównanie wyników dwukrotnie obliczonych współrzędnych może być kontrolą przeprowadzonych obliczeń. Do obliczenia kątowego wcięcia w przód można również zastosować symbole rachunkowe Hausbrandta (, Y X A YA X B YB P P ) = 1 ctgβ + 1 ctgα X (1, ) czyli X P = X A ctgβ + YA + X Bctgα Y ctgα + ctgβ B Y P = X A + YActgβ + X B + Y ctgα + ctgβ B ctgα Dla kontroli oblicza się kąt γ obliczając formę zerową xac yac f = tgγ = f0 x y 0 a następnie sprawdza sumę kątów: α + β + γ = 180 lub (00 g ) BC BC Obliczanie współrzędnych punktów wyznaczonych kątowym wcięciem wstecz Do rozwiązania wcięcia wstecz (rys. 8) można zastosować sposób klasyczny Kästnera znany jako zagadnienie Sneliusa-Pothenota. Polega ono na znalezieniu katów pomocniczych φ i ψ a następnie doprowadzenie tą metodą całego zadania do postaci wcięcia w przód dla dwóch baz. 3

Rys. 8. Wcięcie wstecz [oprac. własne] Aby wyznaczyć współrzędne zamierzone kątowym wcięciem wstecz, łatwiej i szybciej można zastosować formuły symboli Hausbrandta. Najpierw należy napisać ogólną formę Hausbrandta w postaci x01 y01 x0 y0 F = f,ϕ = ctgα 1 ctgα 1 1 Z niej ustalić wartości do obliczenia przyrostów. f1 f x0c = y C =F x F + 0 1 1 0 0 0C Przyrosty dodawane do znanych współrzędnych zerowego punktu celowania dadzą szukane wartości współrzędnych punktu C. X C =X 0 + Δx 0C, a Y C =Y 0 + Δy 0C Kontrolą poprawności obliczonych współrzędnych jest obliczenie z nich kąta 1C: 1C= α α 1 Rys. 9. Rozwiązanie zagadnienia Snelliusa sposobem Collinsa [oprac. własne] 4

Zagadnienie Snelliusa można również rozwiązać sposobem Collinsa (rys. 9). Przez znane punkty A i C oraz przez punkt określany P prowadzimy koło. Trzeci znany punkt B połączony z punktem określanym P przecina to koło w punkcie K Szukamy współrzędnych tego punktu, bo to umożliwi nam ustalenie wartości azymutu BP, a za pomocą kątów α i β, azymutów AP i CP. KAC=β, a KCA=α, bo oparte są na tych samych łukach. sinα Azymut A AK =A AC -β, a AK = AC. sin( α + β) sin β Azymut A CK =A CA +α, a CK = AC. sin( α + β) Współrzędne punktu K obliczymy ze wzorów X = X + AKcosA = X + CKcos A K A AK C CK YK = YA + AKsin AAK = YC + CKsin ACK. Mając współrzędne punktu K można określić azymut PB jako identyczny z KB czyli YB YK tgapb =. XB XK Dalej liczy się azymuty, kąty δ i γ oraz długości boków AP i BP. A = A ± 180= A α ± 180 AP PA PB A = A ± 180= A + β ± 180 CP PC PB γ = AAP AAB, a ACB ACP δ =. ABsin( α + γ) BC sin( δ + β) AP = oraz CP =. sinα sin β Na koniec liczy się dwukrotnie współrzędne punktu P X = X + APcosA = X + CPcos A P A AP C CP 4.4.. Pytania sprawdzające Y = Y + APsin A = Y + CPsin A P A AP C CP Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Z jakiego wzoru oblicza się przyrosty współrzędnych?. Co to są carnotiany? 3. W jakim celu wykonuje się wcięcia? 4. Jak wygląda funkcja Hausbrandta dla obliczenia współrzędnych metodą kątowego wcięcia w przód? 5. Jak wygląda funkcja Hausbrandta do obliczenia przyrostów metodą kątowego wcięcia wstecz? 6. W jakim rodzaju wcięcia pomiary wykonujemy na stanowisku, którego współrzędne wyznaczamy? 7. Jakie są kolejne etapy obliczeń przy klasycznym rozwiązywaniu wcięcia kątowego w przód? 5

4.4.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz współrzędne punktu P, dla którego położenie wyznaczono wcięciem kątowym w przód, licząc tradycyjnie, wieloetapowo. Sposób wykonania ćwiczenia. Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory, ) dokonać dostosowania oznaczeń terenowych do wzorów, wykonać szkic, 3) obliczyć azymut i długość bazy wcięcia ze współrzędnych, 4) obliczyć azymuty boków wcinających ze wzorów A AP =A AB +α oraz A BP =A BA - β 5) z twierdzenia sinusów obliczyć długości boków d AP i d BP ze wzorów d AB d = sin ( ) sin AP β α + β d AB d = sin ( ) sin BP α α + β 6) obliczyć przyrosty boków wcinających xap = d AP cos AAP y AP = d AP sin AAP xbp = d BP cos ABP ybp = d BP sin ABP 7) obliczyć współrzędne punktu P dwukrotnie; raz wychodząc z punktu A, a powtórnie z punktu B X P = X A + x AP Y P = Y A + y AP X P = X B + x BP Y P = Y B + y BP 8) dla kontroli obliczyć kąt na wyznaczanym punkcie P a następnie sprawdzić sumę kątów w powstałym trójkącie ABP. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie Oblicz współrzędne punktu P pomierzonego wcięciem kątowym w przód licząc na symbolach Hausbrandta. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać w materiałach dydaktycznych odpowiednie wzory, ) dokonać dostosowania oznaczeń terenowych do wzorów, 3) wypełnić złożona formę rachunkową Hausbrandta. X, Y X A YA X B YB P ) = 1 ctgβ + 1 ctgα (1, ) ( P 6

4) wykonać obliczenia na symbolach Hausbrandta X P = X A ctgβ + YA + X Bctgα Y ctgα + ctgβ B X A + YActgβ + X B + YBctgα YP = ctgα + ctgβ 5) obliczyć kąt ze współrzędnych i porównać z dopełnieniem do sumy kątów w trójkącie xpa ypa tgγ = x y PB PB 0 Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie 3 Oblicz współrzędne punktu P pomierzonego wcięciem liniowym z bazy AB. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać wzory, ) dokonać dostosowania oznaczeń terenowych do wzorów, 3) obliczyć ze współrzędnych długość bazy AB = c, 4) obliczyć na podstawie twierdzenia cosinusów ze znanych długości kąty; α na punkcie A, β na B i γ na P a b c cosα = + + bc cos β cosγ + a b + c = ac + a + b c = ab 0 5) sprawdzić sumę α + β + γ = 180, 6) obliczyć ze znanych kątów i boków wartości carnotianów C a cosα = bc C b cos β = cosγ = ac C c ab 7) sprawdzić sumę CA + CB + CC = a + b + c 8) obliczyć poczwórne pole trójkąta ABP na podstawie carnotianów stosując wzór P = CC + CC + CC 4 a b a c b c 9) obliczyć współrzędne punktu P przy pomocy symboli Hausbrandta 7

10) obliczyć współrzędne punktu P X Y X Y (X P, Y P ) = 4PC 4P C A A B B b a (1,) X P = X A C b + Y A 4P + X C a + C b B C a Y B 4P Y P = X A 4P + Y A C C a b + X + C b B 4P + Y B C a Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie 4 Oblicz współrzędne punktu P, którego położenie wyznaczono metodą wcięcia kątowego wstecz. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać wzory, ) dokonać dostosowania oznaczeń terenowych do wzorów, 3) podstawić dane do ogólnej formy złożonej Hausbrandta, która ma postać x01 y01 x0 y0 F = f,ϕ = ctgα ctgα 1 1 1 4) obliczyć przyrosty rozwiązując powyższą formę i wykonując działania f1 f xoc = yoc =F xoc F 1 0 1 5) obliczyć współrzędne X C, Y C dodając przyrosty do współrzędnych wyjściowych a wiec X C =X 0 + Δx 0C, Y C =Y 0 + Δy 0C. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 8

4.4.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) wyjaśnić pojęcie carnotianów? ) wyjaśnić cel wykonywania wcięć? 3) wyjaśnić pojęcie zamknięty układ sterowania? 4) określić formę rachunkową Hausbrandta do obliczenia wcięcia kątowego w przód? 5) sklasyfikować rodzaje wcięć? 6) określić strukturę rozwiązania wcięcia wstecz? 9

4.5. Obliczanie współrzędnych punktów zamierzonych metodą biegunową 4.5.1. Materiał nauczania Obliczanie współrzędnych punktu zamierzonego metodą biegunową Rys. 10. Wyznaczanie współrzędnych punktu P metodą biegunową [oprac. własne] Miary biegunowe (rys. 10) to kąt poziomy BAP = α oraz odległość pozioma AP = d AP. Ze znanych współrzędnych punktów A i B oblicza się azymut linii AB czyli A AB, a następnie uwzględniając kąt α ustala się azymut A AP. A AP = A AB + α. Przyrosty dla odcinka d AP obliczamy z funkcji trygonometrycznych xap = d AP cos AAP y AP = d AP sin AAP Współrzędne punktu P obliczamy dodając odpowiednio przyrosty X X + x Y = Y + y 4.5.. Pytania sprawdzające P = A AP P A AP Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Jakie miary nazywamy biegunowymi?. Jak obliczamy przyrosty ortogonalne z miar biegunowych? 3. Według jakiej zasady oblicza się współrzędne punktu następnego? 4. Jak oblicza się azymut kolejny mając poprzedni? 30

4.5.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz współrzędne punktu P zmierzonego metodą biegunową z linii AB. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać wzory, ) obliczyć azymut linii AB, 3) obliczyć azymut linii AP, 4) obliczyć przyrosty Δx AP, i Δy AP xap = d AP cos AAP y AP = d AP sin AAP 5) obliczyć współrzędne punktu P dodając do współrzędnych wierzchołka przyrosty. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopis, kalkulator funkcyjny, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 4.5.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) wyjaśnić pojęcie miar biegunowych? ) wyjaśnić sposób zamiany miar biegunowych na ortogonalne? 3) wyjaśnić sposób obliczania współrzędnych punktu następnego? 31

4.6. Metoda Hansena 4.6.1. Materiał nauczania Metoda Hansena Mając w terenie dwa niedostępne punkty 1 i o znanych współrzędnych, można wyznaczyć współrzędne dwóch punktów P i Q na których pomierzono kąty; A B C D. Zadanie to (rys. 11), można rozwiązać jako dwukrotne wcięcie w przód z podstawy 1. Trzeba najpierw ustalić w tym wcięciu wartości kątów wcinających: α, β, γ, δ. Aby dokonać tych obliczeń należy obliczyć wartość kąta Θ ze wzoru ctgactgd ctgb ctgc ctg Θ = ctg a następnie z sum kątów w trójkątach wartości katów wcinających α =Θ A, β = 180 ( β +Θ ), γ = 180 ( C +Θ ), δ =Θ D Kontrolą obliczeń jest α + β + A+ B= γ + δ + C+ D Dalej postępować jak przy rozwiązaniu kątowego wcięcia w przód. Rys. 11. Zadanie Hansena [oprac. własne] Zadanie Hansena obejmuje również inne przypadki (rys. 1), ale zachowując ten sam system wyznaczania kątów możemy korzystać z tych samych wzorów. Należy tylko pamiętać że: kąt A jest kątem prawoskrętnym liczonym od kierunku PQ do kierunku P, kąt B jest kątem prawoskrętnym liczonym od kierunku P1 do kierunku PQ, kąt C jest kątem prawoskrętnym liczonym od kierunku Q do kierunku QP, kąt D jest kątem prawoskrętnym liczonym od kierunku QP do kierunku Q1. 3

Rys. 1. Przypadki zadania Hansena [oprac. własne] Kąt Θ obliczamy tym samym wzorem ctg i dalej podobnie wykonując podwójne wcięcie kątowe w przód. Kąt Θ to kąt zawarty pomiędzy bokami 1 i PQ. Po obliczeniu współrzędnych, dla kontroli można obliczyć kąt Θ ze wzoru xpq ypq tgθ= x y 1 1 Jeżeli suma kątów A i B oraz Ci D jest bliska kąta prostego, wówczas punkty 1,, P, Q leżą na okręgu i zadanie Hansena ma wówczas nieskończenie wiele rozwiązań. 4.6.. Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Jaki problem terenowy rozwiązuje się według metody Hansena?. Do czego służy metoda Hansena? 3. Według jakiej zasady ustala się wartości kątów wcinających mając wyznaczony kąt Θ? 4. Jakie są zasady obliczania wcięcia kątowego w przód? 5. Z jakiego wzoru obliczamy kat Θ? 4.6.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz współrzędne punktów P i Q, z których wykonano pomiar kątów do dwóch punktów 1 i o znanych współrzędnych. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) ustalić kolejność obliczeń, ) odszukać wzory na ustalenie kąta Θ ctgactgd ctgb ctgc ctg Θ = ctg 3) obliczyć kąty przy znanych punktach 1 i z sum kątów w trójkątach, 4) obliczyć odległość 1- ze współrzędnych, 0 33

5) dostosować wzory Hausbrandta do rozwiązania dwukrotnego wcięcia kątowego w przód dla punktu wcinającego P i Q, 6) obliczyć współrzędne punktów P i Q, 7) przeprowadzić kontrolę wyznaczenia współrzędnych przez obliczenie ze współrzędnych kątów na punktach P i Q i porównanie ich z wartościami pomierzonymi. Wyposażenie stanowiska pracy: papier formatu A4, długopisy, kalkulatory funkcyjne, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 4.6.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) wyjaśnić kiedy należy zastosować rozwiązanie Hansena? ) wyjaśnić jak ustala się wartość kąta Θ? 3) wyjaśnić sposób obliczenia kątów wcinających? 4) określić różne przypadki rozwiązania zadania Hansena? 34

4.7. Obliczanie powierzchni 4.7.1. Materiał nauczania Obliczanie powierzchni ze współrzędnych Wyznaczenie pola powierzchni można przeprowadzić jedną z trzech podstawowych metod; analityczną, graficzną, mechaniczną lub kombinowaną zwaną również mieszaną, albo analityczno-graficzną. Polega ona na obliczaniu powierzchni częściowo z miar uzyskanych w terenie, czyli tak jak w metodzie analitycznej, a częściowo z pomiarów graficznych na mapie, czyli tak jak w metodzie graficznej. Metoda kombinowana zapewnia wyższą dokładność niż graficzna, ale niższą niż analityczna w czystej postaci. Wykorzystując mapę numeryczną można prowadzić obliczanie powierzchni metodą automatyczną. Potrzebne są wówczas komputery wyposażone w odpowiednie oprogramowanie oraz urządzenia elektroniczne digitizery lub planimetry elektroniczne. Digimetr, czyli przetwornik graficzno-cyfrowy lub koordynatometr (zwany czasem również digitizerem), jest urządzeniem, które przetwarza informacje graficzne (rysunek, mapa) na postać cyfrową. Jest to również urządzenie służące do mierzenia współrzędnych x, y punktów na rysunkach lub mapach, rejestrowania ich w postaci cyfrowej, dogodnej do dalszego ich przetwarzania. Istnieje już wiele różnorodnych konstrukcji digimetrów, najczęściej połączonych z komputerem; mogą być one przystosowane do digitalizacji punktowej lub powierzchniowej (skanowania). Do obliczania powierzchni na mapach stosuje się digitalizację punktową. Po ułożeniu mapy na stole digimetru operator nastawia ruchomy wskaźnik zaopatrzony w lupę, bardzo dokładnie nad punktami załamania figury, której powierzchnię wyznacza, a komputer rejestruje te współrzędne. Następnie uruchamia się odpowiedni program, który oblicza powierzchnię figury lub inne potrzebne wielkości geometryczne. Prowadząc obliczenia powierzchni można stosować podstawowe wzory geometryczne. Obliczane powierzchnie mogą przyjmować różne kształty. Mając współrzędne prostokątne (rys. 13) narożników wieloboku, jego powierzchnię można obliczyć stosując wzór Gaussa P x ( y y ) lub = n n+ 1 n1 ) P = yn ( xn+ 1 xn 1 Kierunek numeracji wierzchołków wieloboku dla stosowania wzoru Gaussa musi być zgodny z ruchem wskazówek zegara czyli w prawo. Rys. 13. Wielobok zamknięty w układzie współrzędnych prostokątnych [4 ] 35

Obliczanie powierzchni ze współrzędnych prostokątnych jest najczęściej stosowanym sposobem określania powierzchni metodą analityczną. Powierzchnię wieloboku można przedstawić jako sumę i różnicę poszczególnych powierzchni trapezów, raz równoległych do osi y, a raz do osi x. W postaci ogólnej wzory te, zwane wzorami trapezowymi, przyjmują postać i= n i= n i i+ 1 i+ 1 i P= xi + xi+ 1 yi+ 1 yi i= 1 i= 1 P= ( y + y )( x x ) ( )( ) Przy zastosowaniu obecnych narzędzi pomiaru często, mierzone są współrzędne biegunowe wieloboku (rys. 14). Można wówczas bez zamiany współrzędnych na prostokątne obliczyć tak zamierzoną figurę. Rys. 14. Wielobok zamknięty wyznaczany metodą biegunową [4] Do wykonania obliczeń należy zastosować wzór 4.7.. Pytania sprawdzające n P= r r sin( α α ) i= 1 i i+ 1 i+ 1 i Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Jakie są metody wyznaczania powierzchni?. Jaka to jest metoda kombinowana? 3. Jak wygląda wzór Gaussa do obliczania podwójnego pola powierzchni? 4. Jaki wzór umożliwia obliczenie powierzchni z pomiarów wykonanych metodą biegunową? 36

4.7.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz powierzchnię wieloboku 1,, 3, 4, 5 o danych współrzędnych za pomocą wzorów Gaussa. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać wzór Gaussa do obliczenia powierzchni P x ( y y ) = n n+ 1 n1 ) zastosować wzór obliczając P, 3) wykonać obliczenia kontrolne ze wzoru na P = y ( x x ) n n+ 1 n1 4) porównać ustalone wartości. Wyposażenie stanowiska pracy: papier formatu A4, długopisy, kalkulatory funkcyjne, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie Oblicz powierzchnię wieloboku 1,, 3, 4, 5 z pomiarów biegunowych. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać wzór do obliczenia powierzchni n P= rr sin( α α ) i i+ 1 i+ 1 i i= 1 ) zastosować wzór obliczając P, 3) ustalić wartość P. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopisy, kalkulatory funkcyjne, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 37

4.7.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) rozróżnić metody obliczania powierzchni? ) wyjaśnić pojęcie metody graficznej? 3) wyjaśnić pojęcie metody analitycznej? 4) określić różnice między powierzchniami różnych figur? 5) zastosować wzór Gaussa? 6) określić jak obliczyć powierzchnię z miar biegunowych? 7) określić powierzchnię wzorami trapezowymi? 38

4.8. Ustalanie współrzędnych punktów przecięć 4.8.1. Materiał nauczania Obliczanie współrzędnych punktów przecięcia się boku osnowy z ramką sekcyjną arkusza mapy Zdarza się, że bok osnowy nie mieści się na jednej sekcji, lecz przecina ramki. Wykreślenie ramki wymaga obliczenia współrzędnych punktu przecięcia tego boku z ramką i naniesienia jego położenia na ramce (rys. 15). Oznaczając punkty tworzące bok osnowy A i B, a szukaną wartość przecięcia ramki sekcyjnej poziomej przez M, a pionowej przez N. Wówczas X M to X R czyli ramki poziomej i analogicznie Y N =Y R czyli pionowej. Y = Y + ( X X ) tga X = X + ( Y Y ) ctga M A R A AB N A R A AB gdzie yab tg AAB = xab Kontrola naniesienia punktu przecięcia boku osnowy z ramką sekcyjną polega na graficznym sprawdzeniu odległości odcinków AM lub AN wyliczonych uprzednio ze współrzędnych. Rys. 15. Przecięcie z ramką sekcyjną [oprac. własne] Obliczanie współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych Mając dane współrzędne punktów A i B tworzących jedną prostą i współrzędne punktów C i D tworzące drugą prostą to ich punkt przecięcia możemy obliczyć różnymi sposobami. Można wyznaczyć tg azymutów prostych AB i CD czyli tgaab = λ oraz tga CB = µ i zastosować je we wzorach 39

a następnie X P Y Y + λ X µ X = λ µ C A A C Y = Y + λ( X X ) P A P A lub Y = Y + µ ( X X ) P c P C Można również zastosować obliczenia przecięcia z zastosowaniem form Hausbrandta. Równanie prostej AB w postaci wyznacznikowej to y y xx y AB A x A AB = 0 czyli y x+ x y+ ( y ) x ( x ) y = 0 AB AB A AB A AB otrzymując postać analityczną prostej Ax 1 + By 1 + C1 = 0 czyli A 1 = -Δy AB B 1 = Δx AB C 1 = ( ) ( ) y x x y A AB A AB i analogicznie dla prostej CD otrzymując postać Ax + By + C = 0 Z układu tych równań liczymy współrzędne punktu przecięcia się prostych y A C 1 1 A C A B = ; A 1 1 B x B C 1 1 B C A B = ; A 1 1 B 4.8.. Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń. 1. Jak oblicza się współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych?. Z jakich zależności oblicza się współrzędne punktu przecięcia się linii z ramką sekcyjną? 3. Jak wygląda równanie prostej w postaci wyznacznikowej? 4. Jak wygląda równanie prostej w postaci analitycznej? 5. Z jakiego wzoru liczymy współrzędne punktu przecięcia się prostych? 40

4.8.3. Ćwiczenia Ćwiczenie 1 Oblicz współrzędne punktu P, przecięcia się dwóch prostych, z których każda dana jest współrzędnymi dwóch ich punktów, wykonując zadanie metodą tradycyjną. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) odszukać wzory, ) obliczyć azymuty obu prostych oznaczając je jako λ i μ, 3) obliczyć YC Y + λ X A A µ XC X P = λ µ 4) obliczyć YP = YA + λ( XP X A) 5) przeprowadzić kontrolę, licząc długości odcinków i porównując je ze sobą: AB = AP + PB. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopisy, kalkulatory funkcyjne, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie Oblicz współrzędne punktu P przecięcia się dwóch prostych, z których każda dana jest współrzędnymi dwóch ich punktów, wykonując zadanie z zastosowaniem wzorów Hausbrandta. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) przygotować wzory, ) napisać równania prostych AB i CD w postaci wyznacznikowej y ya xxa y yc xxc = 0 i = 0 y x y x AB AB 3) ustalić postać analityczną prostych, 4) obliczyć współrzędne punktu przecięcia A1 C1 y = A C : A1 B1 B1 C1 ; x A B = B C : A1 B1 A B CD CD 5) przeprowadzić kontrolę, licząc długości odcinków i porównując je ze sobą: AB = AP + PB. Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopisy, kalkulatory funkcyjne, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 41

Ćwiczenie 3 Oblicz współrzędną X punktu przecięcia się prostej AB, danej współrzędnymi jej dwóch punktów, z ramką sekcyjną o współrzędnej Y (danej). Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) przygotować wzory, ) podstawić współrzędne obliczając X = X + ( Y Y ) ctga A Ramki A AB Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopisy, kalkulatory funkcyjne, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. Ćwiczenie 4 Oblicz współrzędną Y, punktu przecięcia się prostej AB danej współrzędnymi jej dwóch punktów, z ramką sekcyjną o współrzędnej X (danej). Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: 1) przygotować wzory, ) podstawić współrzędne obliczając Y = Y + ( X X ) tga A Ramki A AB Wyposażenie stanowiska pracy: papier, długopisy, kalkulatory funkcyjne, literatura zgodna z punktem 6 poradnika. 4.8.4. Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie 1) obliczyć współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych? ) obliczyć punkty przecięcia się linii z ramką sekcyjną? 3) wyjaśnić pojęcie prostej w postaci analitycznej? 4) określić prostą w postaci wyznacznikowej? 4

4.9. Transformacje 4.9.1. Materiał nauczania Transformacja współrzędnych punktów z jednego układu odniesienia do drugiego układu Przy tworzeniu map bardzo często pojawia się potrzeba przeliczeń (transformacji) współrzędnych pomiędzy różnymi, dawnymi i nowymi, układami odniesienia dla obszaru Polski. Jest to obecnie jeden z istotnych problemów polskiej geodezji, zwłaszcza, że od kilku lat, obowiązuje w Polsce europejski system odniesień przestrzennych ETRS z nowo wprowadzonymi układami odwzorowawczymi. Transformacja współrzędnych - jest to zadanie polegające na obliczeniu współrzędnych w nowym ( wtórnym) układzie, gdy dane są współrzędne w innym pierwotnym układzie i gdy dana jest pewna liczba punktów wspólnych (posiadających współrzędne zarówno w jednym jak i drugim układzie). Działaniami zmieniającymi parametry są; przesunięcie czyli translacja, obrót układu czyli rotacja oraz zmiana skali odległości o pewien współczynnik s zwany współczynnikiem redukcji lub przeskalowania, który jest stałym stosunkiem długości tego samego odcinka w układzie wtórnym do długości w układzie pierwotnym. Przeliczeń współrzędnych można dokonać różnymi sposobami zależnie od warunków odwzorowań i od ilości punktów wspólnych czyli punktów dostosowania. Przy dwóch punktach wspólnych stosujemy transformację Helmerta, a przy trzech punktach o danych współrzędnych w dwóch układach, transformację afiniczną czyli przeliczenia współrzędnych z jednego do drugiego układu w oparciu o liniową zależność obydwu układów. Jeżeli liczba punktów dostosowania jest większa niż konieczna, to mamy możliwość przeprowadzenia wyrównania transformacji. Rys. 16. Transformacja współrzędnych z dwoma punktami dostosowania 43

Najprostszym przypadkiem transformacji (rys. 16) jest zadanie polegające na obliczeniu współrzędnych punktu na domiarze prostokątnym. Początek linii, na którą rzutowany jest punkt P, jest wówczas początkiem nowego układu, czyli układu wtórnego. Kierunek tej linii jest jego osią x-ów, czyli osią x układu wtórnego. Po przekształceniu wzorów do obliczenia współrzędnych punktu na domiarze, otrzymuje się transformacyjne wzory na przeliczenie współrzędnych punktu P (x P, y P ) w układzie pierwotnym na współrzędne tego punktu w układzie wtórnym (X P, Y P ). Układy te są skręcone względem siebie o azymut linii, która tu jest osią x układu wtórnego czyli o kąt γ XP = X0 + xp cosγ yp sinγ YP = Y0 + xp sinγ yp cosγ gdzie x p i y p to współrzędne punktu P w układzie pierwotnym, X 0, Y 0 to współrzędne początku układu wtórnego, czyli początku linii pomiarowej, a X P,Y P współrzędne w układzie wtórnym. W, d Jeżeli występuje dodatkowo różnica skal s = to wzory przyjmą postać P d XP = X0 + sx ' P cos γ s' yp sinγ YP = Y0 + sx ' P sin γ s' yp cosγ Dokonanie obliczeń metodą transformacji za pomocą komputera umożliwia wiele programów geodezyjnych.wśród nich są C-Geo, WinKalk czy Geonet_unitrans. Wciskając ikonkę H możemy dokonać przeliczeń transformacyjnych metodą Helmerta, a jeżeli na ikonce jest A to dokonujemy przeliczeń metodą afiniczną. W celu przyspieszenia i ułatwienia prac obliczeniowych można korzystać z wielu programów komputerowych do realizacji typowych zadań geodezyjnych. Wymienić tu można tylko kilka a to C-Geo, WinKalk czy Geonet_unitrans. Po zakupieniu odpowiedniej wersji programu wybieramy z menu interesujące nas hasło i postępując zgodnie z instrukcją obsługi prowadzi się obliczenia. W programie C-Geo pojawia się, taka ikonka której wciśnięcie powoduje włączenie opcji wykonywania pomiarów i obliczeń na mapie. Dane punktów do obliczeń można wprowadzać ręcznie lub przez wskazywanie punktów myszką na mapie. Jeden z modułów C-GEO umożliwia wykonanie transformacji metodą Helmerta, afiniczną lub między układami. Wyboru metody przeliczania dokonuje się przez wciśnięcie odpowiedniej ikonki:, lub. Do wykonania przeliczenia konieczne jest wprowadzenie co najmniej -metoda Helmerta lub co najmniej 3 - metoda afiniczna punktów dostosowania czyli punktów, których współrzędne znane są zarówno w układzie pierwotnym (Xp, Yp) jak i w układzie wtórnym (Xw, Yw). Po wprowadzeniu punktów dostosowania należy wprowadzić punkty transformowane czyli punkty, których współrzędne znane są tylko w układzie pierwotnym. Wprowadzając dane terenowe można stosując program komputerowy wykonywać różne opcje projektowe. 44