Daniel Lewandowski. Komputerowy system sterujcy lewitacj kulki w polu magnetycznym

SAMODZIELNY ZAKŁAD SIECI KOMPUTEROWYCH P O L I T E C H N I K A Ł Ó D Z K A 90-924 Łód ul. Stefanowskiego 18/22 tel./fax. (42) 636 03 00 e-mail: szsk@zsk.p.lodz.pl Daniel Lewandowski Komputerowy system sterujcy lewitacj kulki w polu magnetycznym praca dyplomowa magisterska Promotor: dr in. Michał Morawski Dyplomant: Daniel Lewandowski nr albumu 93614 Łód, maj 2003

Spis treci Spis treci... 2 Wykaz skrótów i oznacze... 3 Wprowadzenie... 5 Cel i zakres pracy... 5 Modelowanie i symulacja... 7 Model z trzema równaniami... 7 Równania układu... 7 Model zlinearyzowany... 11 Wartoci własne i regulator... 14 Model nieliniowy z dyskretnym regulatorem... 15 Odpowied układu na zaburzenia... 16 Model z dwoma równaniami... 27 Równania układu... 27 Model zlinearyzowany... 28 Wartoci własne i regulator... 29 Model nieliniowy z dyskretnym regulatorem... 30 Odpowied układu na zaburzenia... 30 Porównanie obu modeli... 35 Przyblienie rzeczywistoci... 35 Szybko stabilizacji... 35 Odtworzenie prdkoci... 36 Róniczkowanie... 36 Obserwator liniowy... 40 Obserwator nieliniowy... 40 Odpowied modelu z dwoma równaniami i obserwatorem nieliniowym... 41 Cz praktyczna... 48 Mechaniczna cz układu... 48 Wyznaczenie indukcyjnoci... 49 Sposoby pomiaru połoenia... 53 Impuls napiciowy... 53 Impuls prdowy... 56 Czujnik optyczny... 60 Elektroniczna cz układu... 62 Przetwornik... 62 Wzmacniacz... 62 Odprowadzanie ciepła... 72 Układ optyczny... 73 Program sterujcy... 75 Algorytm... 75 Wymagania czasowe... 77 Próbkowanie z uyciem instrukcji delay until... 77 Próbkowanie z uyciem przerwa sterownika... 78 Próbkowanie z uyciem przerwa systemu... 79 Priorytet programu... 79 Obsługa... 80 Wnioski... 81 Literatura... 83 2

Wykaz skrótów i oznacze - czas - szeroko przedziału czasu midzy kolejnymi operacjami próbkowania wektora stanu lub połoenia w modelu dyskretnym i programie sterujcym - dla danej chwili czasu zdefiniowano odpowiadajcy jej numer przedziału czasu jako - połoenie kulki - prdko kulki - przypieszenie kulki - masa kulki - przypieszenie ziemskie - prd płyncy w obwodzie - pocztek przedziału czasu o numerze - połoenie w przedziale czasu o numerze - prdko w przedziale czasu o numerze - prd w przedziale czasu o numerze - sterowanie w przedziale czasu o numerze - indukcyjno cewki w funkcji połoenia kulki - pochodna indukcyjnoci wzgldem połoenia - druga pochodna indukcyjnoci wzgldem połoenia - indukcyjno cewki, gdy kulka jest umieszczona w nieskoczonoci - zmiana indukcyjnoci cewki, gdy kulka jest umieszczona przy rdzeniu - współczynnik okrelajcy szybko zmiany indukcyjnoci - napicie sterujce - rezystancja rzeczywistej cewki - rezystancja opornika pomiarowego lub rezystancja całego układu - wektor stanu układu - punkt równowagi - połoenie równowagi - prdko w punkcie równowagi - prd w punkcie równowagi 3

- sterowanie w punkcie równowagi - macierze układu liniowego - wartoci własne macierzy - funkcja wektorowa opisujca zachowanie układu - funkcja wektorowa opisujca wyjcie układu - wektor sprzenia zwrotnego przetwornik A/C (analogowo cyfrowy) urzdzenie pomiarowe przekształcajce napicie na liczb całkowit o postaci binarnej przetwornik C/A (cyfrowo analogowy) przetwornik całkowit w postaci binarnej na napicie urzdzenie pomiarowe przekształcajce liczb karta pomiarowa firmy Advantech PCI-1710HG posiadajca przetwornik A/C oraz przetwornik C/A 4

Wprowadzenie Cel i zakres pracy Zjawisko magnetycznej lewitacji znajduje w przemyle szerokie zastosowania praktyczne. Funkcjonujce dzi pocigi poruszajce si na poduszce magnetycznej pozwalaj na osignicie olbrzymich prdkoci przy duej sprawnoci energetycznej w porównaniu do tradycyjnej kolei. Wysoki komfort transportu nie pozostaje bez wpływu na dobre samopoczucie podrónych. Łoyska magnetyczne s wykorzystywane tam gdzie wana jest długotrwała praca, a zwykłe elementy nie zdaj egzaminu lub s zbyt zawodne [19]. Celem pracy była budowa komputerowego systemu sterujcego lewitacj kulki w polu magnetycznym. Zadaniem systemu jest utrzymywanie kulki w zadanym połoeniu równowagi poprzez odpowiednie sterowanie przepływem prdu przez elektromagnes na podstawie pomiaru jej połoenia [9], [16]. Sterowanie takim procesem moe by równie przeprowadzone z wykorzystaniem mikrokontrolera z wbudowanym przetwornikiem A/C [20], [21]. Uproszczony schemat układu magnetycznej lewitacji przedstawia poniszy rysunek: Rysunek 1. Model układu lewitacji kulki w polu magnetycznym z zaznaczonymi elementami podstawowymi. Na kulk w takim układzie działaj dwie siły: - siła grawitacji; - siła przycigania magnetycznego, której ródłem jest elektromagnes; Układ składa si z nastpujcych elementów: 5

- kulki wykonanej z materiału magnetycznego; - elektromagnesu wykonanego z rdzenia w kształcie litery E oraz cewki o odpowiednich parametrach; - czujnika połoenia np. czujnika optycznego mierzcego połoenie kulki; - systemu komputerowego, który na podstawie mierzonego połoenia wystawia taki sygnał sterujcy, i kulka jest utrzymywana w zadanym połoeniu równowagi; - wzmacniacza sterujcego przepływem prdu przez cewk elektromagnesu według sygnału sterujcego pochodzcego z systemu komputerowego; Poniewa Samodzielny Zakład Sieci Komputerowych nie posiadał na wyposaeniu samego układu, koniecznym stało si jego stworzenie w ramach tej pracy. W trakcie konstruowania obiektu okazało si, e uzyskanie odpowiednich parametrów jest trudne, ale jednak moliwe. Zakres pracy obejmował zarówno cz teoretyczn jak i praktyczn. Na cz teoretyczn złoyło si: - opracowanie modelu teoretycznego; - opracowanie regulatora i jego deskretyzacja; - symulacja działania regulatora; - opracowanie obserwatora odtwarzajcego pełny wektor stanu; - symulacj działania regulatora wraz z obserwatorem i próbkowaniem połoenia kulki; - opracowanie metod dokonywania pomiarów indukcyjnoci i połoenia; Ten etap prac przebiegał bez wikszych problemów, a dokonane symulacje pozwoliły na uniknicie zbdnych prac. Cz praktyczna objła nastpujce etapy: - badania nad wykorzystaniem cewki do pomiaru połoenia kulki; - budowa czci mechanicznej układu; - budowa wzmacniacza prdowego; - budowa czujnika połoenia; - wybranie odpowiedniego systemu operacyjnego; - napisanie programu sterujcego; - zbadanie poprawnoci działania całego systemu; Okazało si, e główn trudno stanowiła budowa fizycznego układu oraz dobranie parametrów komponentów wchodzcych w jego skład. Kłopot sprawiła równie zmiana modelu i zwizane z tym przeprojektowanie wzmacniacza sterujcego przepływem prdu przez uzwojenie elektromagnesu. 6

Modelowanie i symulacja Model z trzema równaniami Równania układu Tworzenie modelu teoretycznego rozpoczto od okrelenia rodzajów sił i ich kierunków działajcych na kulk. Przyjto, e połoenie bdzie rozpatrywane jako najmniejsza odległo midzy rdzeniem elektromagnesu, a powierzchni kulki. W układzie oznaczono w nastpujcy sposób działajce siły: F m F g Rysunek 2. Siły wystpujce w układzie rzeczywistym. S to [1]: - siła grawitacji ; - siła pola magnetycznego, której ródłem jest elektromagnes; Elektromagnes wykazuje działanie przycigajce w stosunku do przedmiotów wykonanych z materiału o charakterze magnetycznym tylko w przypadku, gdy przez uzwojenie cewki płynie prd [3]. Wraz z nim naley zatem rozpatrywa układ elektryczny zasilajcy uzwojenie cewki. 7

L CEWKA U R OPORNIK Schemat 1. Wzmacniacz napiciowy zasilajcy układ RL Pierwsze rozwizanie problemu oparto na zastosowaniu ródła napiciowego, które wzmacnia sygnał sterujcy oraz zapewnia odpowiedni wydajno prdow. Obcieniem była cewka oraz opornik pomiarowy. Wykorzystujc prawo Ohma wyznaczano przy jego uyciu prd płyncy w obwodzie na podstawie pomiaru napicia [3]. W trakcie dalszych prac załoono, e przez opór obwodu rozumie si sum rezystancji opornika i cewki. Rzeczywista cewka oprócz indukcyjnoci wprowadza do układu rezystancj, której przyczyn jest opór drutu uytego do nawinicia uzwojenia [3]. Opierajc si na prawie powszechnego cienia mona napisa, e na kulk działa siła grawitacji skierowana do rodka Ziemi [1]: gdzie: masa kulki; przypieszenie ziemskie o wartoci (1) ; Wzór na sił pola magnetycznego mona wyprowadzi korzystajc z [1]. Indukcyjno cewki jest zalena tylko od masy kulki oraz jej odległoci od rdzenia 1, zatem jest funkcj - połoenia kulki. Energia zgromadzona w cewce jest zalena od indukcyjnoci i prdu płyncego przez jej uzwojenie: gdzie: połoenie kulki; indukcyjno ; warto płyncego przez cewk prdu; kulk: (2) Pochodna zgromadzonej energii wzgldem połoenia jest sił, z jak cewka przyciga 1 W czci praktycznej umieszczono dane pomiarowe, które wskazuj na to, e indukcyjno cewki zaley równie od prdu. 8

(3) sił [1]: Poniewa w dowolnej chwili na kulk działaj siły i mona zapisa wypadkow gdzie prdko kulki [1]: Korzystajc z równa (1), (3), (4) otrzymano: (4) (5) (6) Przekształcajc (6) uzyskano: (7) Powysze równania wi ze sob prdko oraz połoenie. Aby znale równanie wice prd w układzie naley odwoła si do pierwszego prawa Kirchhoffa dotyczcego obwodów prdu zmiennego [1], [3]. Ponisze równanie opisuje zachowanie prdu w układzie ze schematu (1): (8) gdzie: rezystancja obwodu przedstawionego na schemacie (1); Std: (9) Biorc pod uwag równania (9), (7), (5) mona zapisa układ równa opisujcych układ: 9

(10) Taki układ stanowi punkt wyjcia do analizy utworzonego modelu. Analiza modelu nieliniowego naley do rzeczy złoonych i skomplikowanych obliczeniowo. Przy załoeniu, e kulka bdzie poruszała si w niewielkim otoczeniu pewnego pocztkowego połoenia, mona dokona linearyzacji tego układu. Tak utworzony model jest znacznie prostszy do zbadania, a w literaturze dostpne s gotowe metody oceny stabilnoci układu i wyznaczania regulatorów [2]. oraz: Oznaczajc: Równanie (10) mona zapisa w postaci: lub: (11) (12) (13) (14) Aby otrzyma pełny opis układu nieliniowego naley jeszcze poda równanie opisujce wyjcie układu. W realnych warunkach moemy zmierzy połoenie i prd, jednak na potrzeby wyznaczenia regulatora przyjto dostp do pełnego wektora stanu. Zapisano to w nastpujcy sposób: 10

(15) Model zlinearyzowany Dla modelu liniowego mona wybra jeden z kilku rodzajów regulatora: - PID [2], [17]; - dwupołoeniowy z histerez [2]; - nieliniowy [5], [17]; - ujemne sprzenie zwrotne [2], [17]; Wybrano ostatni typ regulatora. Poniewa taki regulator tworzony jest na podstawie układu liniowego, koniecznym jest stworzenie takiego układu, przybliajcego układ nieliniowy w niewielkim otoczeniu wybranego punktu równowagi. Aby znale współrzdne wektora stanu punktu równowagi naley rozwiza układ równa o postaci [2], [13], [9]: przy warunku Korzystajc z (12) otrzymano: (16). Połoenie zostało wybrane jako rodek zakresu pracy cewki. (17) A std: (18) Aby przeprowadzi dalsze kroki linearyzacji posłuono si danymi z rzeczywistego obiektu regulacji (patrz rozdział Wyznaczenie indukcyjnoci): 11

(19) Std otrzymano pozostałe współrzdne punktu równowagi odpowiadajce wybranemu połoeniu : (20) Układ nieliniowy opisany przez równania (14) i (15) daje si przybliy przez układ równa róniczkowych liniowych [2]: (21) Oznaczajc: (22) mona (21) zapisa w postaci znaczniej bardziej przypominajcej układ liniowy [2]: (23) Odpowiednie macierze układu zlinearyzowanego dla dowolnego punktu równowagi wyraaj si nastpujcymi wzorami 2 : 2 Wczeniej załoono, e musi by klasy C 1. Do wyznaczanie macierzy oraz potrzeba, aby funkcja ta była klasy C 2 i nie mogła by równa zeru dla. 12

(24) (25) (26) (27) Dla punktu macierze układu liniowego przyjmuj posta: (28) Ostatecznie układ zlinearyzowany ma posta: 13

(29) Wartoci własne i regulator Wartoci własne macierzy A wynosz [2]: (30) Poniewa ley w prawej czci płaszczyzny zespolonej, wic układ jest niestabilny [2]. Wartoci własne nie maj czci urojonej, zatem układ nie wpada w oscylacje. Jeeli kulka wychyli si od połoenia równowagi to, albo spadnie, albo zostanie przycignita przez elektromagnes w zalenoci od kierunku wychylenia. Aby ustabilizowa układ naley przesun wartoci własne: (31) Przesunicie wartoci własnych do wskazanych pozycji uzyskano stosujc ujemne sprzenie zwrotne o postaci: Podstawiajc: Otrzymano równanie układu liniowego ze sprzeniem zwrotnym: (32) (33) (34) Równanie (33) podaje wprost, e sterowanie jest iloczynem transponowanego wektora sprzenia zwrotnego i aktualnego wektora stanu. Jest to gotowa do implementacji metoda wyznaczania sterowania na podstawie połoenia, prdkoci i prdu w obwodzie. 14

Model nieliniowy z dyskretnym regulatorem Po zaprojektowaniu regulatora sprawdzono jego działanie korzystajc z programu Simulink. Model jest zapisany w pliku o nazwie model_napieciowy.mdl i umieszczony na płycie CD dołczonej do pracy. Schemat modelu jest umieszczony poniej: (a) (b) Schemat 2. (a) model układu z cigłym regulatorem, (b) wewntrzna budowa systemu nieliniowego napiciowego W celu jak najwierniejszego przyblienia rzeczywistego układu w modelu, skorzystano z układu równa róniczkowych nieliniowych (10). W ten sposób osignito lepsze odwzorowanie rzeczywistego obiektu, ni gdyby to miało miejsce za pomoc układu zlinearyzowanego. Do budowy modelu na potrzeby symulacji uyto równania (10). Jednak pamita naley o ograniczeniach wystpujcych w rzeczywistym układzie. Połoenie musi zawiera si w przedziale. Dolne ograniczenie wynika z faktu, e kulka nie moe przebi si przez rdze elektromagnesu. Natomiast górne ograniczenie wynika std, e wpływ pola magnetycznego na kulk praktycznie zanika po przekroczeniu połoenia. Maksymalny prd w układzie jest funkcj wydajnoci zasilacza i wynosi około. Z kolei minimalny prd musi wynosi. Maksymaln prdko mona wyznaczy zakładajc pocztkowe połoenie kulki oraz wyłczon cewk. Korzystajc z równania (10) otrzymano: 15

(35) Std: gdzie. Ostatecznie (36). Doln granic wyznacza maksymalna prdko, jak moe jej nada siła pola magnetycznego przy maksymalnym nateniu prdu, gdy połoenie pocztkowe kulki wynosi. Wyznaczenie dokładnej wartoci jest zbyt skomplikowane i z punktu widzenia symulacji niezbyt potrzebne. Przyjto jako dolne ograniczenie warto trafne załoenie.. Jak si okazało w trakcie przeprowadzania symulacji było to Dodatkowo dodano ograniczenie na zakres napicia sterujcego ograniczajc maksymalne napicie wartoci, oraz ustalajc warto minimaln na. równa: Zatem biorc pod uwag powysze ograniczenia, oraz równanie (10) otrzymano układ (37) z ograniczeniami: (38) Tak opisany układ został stworzony jako symulacja w programie Simulink, wraz z regulatorem o równaniu (32). Odpowied układu na zaburzenia Symulacj objto przypadek zaburzenia połoenia, poniewa mona w tym wypadku prawidłowo okreli warto wychylenia. Rozpatrywanie zaburzenia prdkoci nie ma 16

wikszego sensu zwaywszy na fakt, e praktycznie nie mona oceni w rzeczywistoci wielkoci takiego zakłócenia. Na pocztku postarano si odpowiedzie na pytanie czy wspomniany wczeniej układ jest stabilny dla niewielkiego wychylenia. Gdyby uyto układu zlinearyzowanego, to odpowied na pytanie znajduje si w metodzie wyznaczania sprzenia zwrotnego. Natomiast dla układu nieliniowego z liniowym regulatorem nie mona opracowa oczywistej odpowiedzi. Odpowied układu na zaburzenie (połoenie pocztkowe ) przedstawiaj ponisze wykresy: 17

3.5 x 10-3 0.02 3 0 (a) h [m] v [m/s] 2.5-0.02 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 t [s] 2.4 5.5 2.2 5 2 4.5 (b) i [A] u [V] 1.8 4 1.6 3.5 1.4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 3 t [s] Wykres 1. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) i napicia (czerwony) w funkcji czasu dla wychylenia 1 mm dla modelu z cigłym regulatorem. Na wykresie (a) pokazano przebieg prdkoci i połoenia kulki. Regulator stabilizuje układ w cigu. Pocztkowy wzrost prdkoci zwizany jest ze zbyt mał sił przycigania elektromagnesu. Zwikszenie napicia na cewce nie wie si z natychmiastowym wzrostem natenia prdu. Po siła przycigania jest wystarczajca, aby przewyszy przyciganie ziemskie, a regulator dba o odpowiednie zmniejszenie prdkoci. Wykres (b) pokazuje malejcy charakter sterowania oraz nadanie natenia prdu za zmianami napicia sterujcego. 18

Zatem dla niewielkiego wychylenia połoenia o znaku dodatnim układ wraca do połoenia równowagi. Natomiast odpowied układu na zaburzenie o przedstawiaj ponisze wykresy: 2 x 10-3 0.04 1.5 0.02 (a) h [m] v [m/s] 1 0 0.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 t [s] 1.6 3.5 1.5 1.4 3 1.3 2.5 (b) i [A] 1.2 u [V] 1.1 2 1 0.9 1.5 0.8 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 1 t [s] Wykres 2. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) i napicia (czerwony) w funkcji czasu dla wychylenia -1 mm dla modelu z cigłym regulatorem. Na wykresie (a) umieszczono przebieg połoenia i prdkoci kulki. Czas sprowadzenia układu do połoenia równowagi wynosi w tym przypadku. Zaobserwowano opónienie reakcji kulki na sterowanie. Jest to zwizane, tak samo jak w poprzednim rodzaju zaburzenia, ze zmian natenia prdu, która ma charakter wykładniczy. Opónienie reakcji 19

jest zwizane z całkowitym rozładowaniem cewki i zmian kierunku działania siły wypadkowej. Dopiero po zmianie znaku prdkoci, regulator podejmuje prac, której celem jest takie wyhamowanie kulki, aby znalazła si w połoeniu równowagi. Zwrócono równie uwag na niesymetryczno zachowania si układu na zaburzenia. Odpowiednie wykresy pokazuj, e wychylenie o znaku dodatnim wie si z czasem stabilizacji wikszym od przypadku z zaburzeniem o znaku przeciwnym. Takie zachowanie ma zwizek z nieliniow zalenoci siły przycigania magnetycznego w funkcji połoenia. Gwałtowny spadek jej wartoci dla dodatniego wychylenia jest równoznaczny z wikszym nateniem prdu, który musi płyn przez cewk, aby zrównoway sił przycigania ziemskiego. Jednak wzrost natenia, jest ograniczony przez indukcyjno cewki i std wynika dłuszy czas reakcji na zmian sterowania. Z powyszych symulacji wynika, e regulator ustabilizuje układ dla niewielkich zaburze połoenia. Poniewa w rzeczywistym systemie sterujcym wektor stanu dostpny jest tylko, co pewien okrelony, stały przedział czasu, wic postanowiono przeprowadzi dalsze symulacje z uwzgldnieniem tego ograniczenia. Ustalono, e wektor stanu bdzie próbkowany co, co odpowiada czstotliwoci próbkowania równej. Model układu z dyskretnym regulatorem jest zapisany w pliku o nazwie model_napieciowy_regulator_dyskretny.mdl na dołczonej płycie CD. Schemat modelu jest przedstawiony poniej: 20

(a) (b) Schemat 3. (a) model układu z dyskretnym regulatorem, (b) wewntrzna budowa systemu nieliniowego napiciowego Jak wida ten model róni si od modelu z cigłym regulatorem jedynie elementem próbkujcym wektor stanu co okrelony przedział czasu odpowied układu na wymuszenie. Ponisze wykresy obrazuj dla układu z dyskretnym regulatorem, a ich porównanie z analogicznymi wykresami nasuwa wniosek, e okres próbkowania nie wprowadza zbyt duego powikszenia czasu odpowiedzi. 21

3.5 x 10-3 0.02 3 0 (a) h [m] v [m/s] 2.5-0.02 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 t [s] 2.4 5.5 2.2 5 2 4.5 (b) i [A] 1.8 4 u [V] 1.6 3.5 1.4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 3 t [s] Wykres 3. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) i napicia (czerwony) w funkcji czasu dla wychylenia 1 mm dla modelu z dyskretnym regulatorem. Dla tego typu wychylenia nie stwierdzono wpływu ograniczenia czstotliwoci próbkowania. Przebiegi wektora stanu i napicia sterujcego nie uległy znaczcym zmianom, poza widoczn dyskretyzacj. Natomiast odpowied układu z regulatorem dyskretnym dla zaburzenia przedstawiaj ponisze wykresy. Równie w tym przypadku zmiana odpowiednich przebiegów jest widoczna. 22

2 x 10-3 0.04 1.5 0.02 (a) h [m] v [m/s] 1 0 0.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 t [s] 2 4 1.5 3 (b) i [A] u [V] 1 2 0.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 1 t [s] Wykres 4. Przebieg (a) połoenia h kulki, (b) prdkoci v kulki, (c) prdu i, (d) napicia u sterujcego w funkcji czasu dla wychylenia -1 mm dla układu z dyskretnym regulatorem. Wzgldna warto wychylenia dla powyszych symulacji wynosi: (39) Na podstawie powyszego uznano wyniki powyszych symulacji za zadowalajce. Poniewa nie stwierdzono wikszego wpływu na przebiegi, dalsze symulacje przeprowadzono z uyciem elementu próbkujcego wektor stanu z czstotliwoci. 23

Drugim rodzajem zaburzenia wzbudzajcym szczególne zainteresowanie jest takie odchylenie od połoenia równowagi, dla którego regulator nie jest w stanie ustabilizowa układu. Dla maksymalnego wychylenia odpowied układu przedstawia si nastpujco: 2 x 10-3 0.1 (a) h [m] 1 0 v [m/s] 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 t [s] 1.8 4 1.6 3.5 1.4 3 1.2 2.5 (b) i [A] 1 2 u [V] 0.8 1.5 0.6 1 0.4 0.5 0.2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 t [s] Wykres 5. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) i napicia (czerwony) w funkcji czasu dla wychylenia -2 mm dla modelu z dyskretnym regulatorem. Dla tego wychylenia regulator sprowadza wektor stanu do punktu równowagi. Porównujc z mniejszym zaburzeniem o tym samym znaku stwierdzono wzrost prdkoci o rzd wielkoci. Wie si to z niebezpieczestwem utraty stabilnoci rzeczywistego układu, 24

poniewa proces odtwarzania prdkoci zostanie zaburzony przez zakłócenia zwizane z pomiarem połoenia. Czas stabilizacji nie zmienił si i wynosi, podobnie jak w przypadku, gdy wychylenie miało mniejsz warto. Badajc górny zakres stabilnoci stwierdzono, e dla wychylenia regulator nie sprowadza kulki do połoenia równowagi: 6 x 10-3 0.2 (a) h [m] 5 0.1 v [m/s] 4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 t [s] t 4 10 (b) i [A] 2 9 u [V] 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 8 t [s] Wykres 6. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) i napicia (czerwony) w funkcji czasu dla wychylenia 2.25 mm dla modelu z dyskretnym regulatorem. 25

Jest to zwizane z ograniczeniami fizycznymi wzmacniacza napiciowego. Po czasie zostaje osignita maksymalna wydajno prdowa układu ( ) i po tym zdarzeniu wzrost prdkoci jest liniowy. W tym przypadku wzgldne odchylenie wynosi: (40) Uznano, e zakres stabilnoci układu jest wystarczajcy i stanowi podstaw do budowy rzeczywistego systemu. 26

Model z dwoma równaniami Równania układu L CEWKA I R OPORNIK Schemat 4. Wzmacniacz prdowy zasilajcy układ RL Wyprowadzony model z uyciem wzmacniacza napiciowego nakłada na system wymóg mierzenia prdu płyncego w obwodzie. Stanowi to dodatkowy kłopot zwizany z pomiarem oraz zbytecznie komplikuje algorytm. Wzmacniacz napiciowy, pozwala na porednie sterowanie prdem. Postanowiono zastosowa układ, który bdzie bezporednio kontrolował przepływ prdu przez cewk. Konstrukcja takiego układu jest trudniejsza, poniewa obcienie indukcyjne nie jest podatne na gwałtowne zmiany tego parametru. Do kontroli przepływu prdu znakomicie nadaje si ródło prdowe sterowane napiciowo. Podstawiajc: do równania (10) i usuwajc ostatnie równanie otrzymano: (41) (42) Oznaczajc: (43) oraz: równanie (42) mona zapisa w postaci: (44) 27

(45) Nastpnie załoono dostpno całego wektora stanu (dwuelementowego): (46) Tym samym układ nieliniowy opisano nastpujco: (47) W przypadku tak zdefiniowanego układu zdecydowano si równie na liniowy regulator. Model zlinearyzowany Wykonano kolejne kroki linearyzacji. Punkt równowagi wyznaczono z równania: Przy warunku, tak jak poprzednio (48), układ (16) mona zapisa jako: (49) Std: (50) Tak jak oczekiwano, połoenie, prdko, natenie prdu jest takie samo jak w modelu opartym na trzech równaniach. Zalet tego modelu jest to, e teraz s tylko dwa, proste równania. Oczywicie wzory (22) (24) obowizuj tu równie. Przy czym naley pamita, e w tym miejscu uywane s inne funkcje,, inny wektor oraz zmienna sterujca. Wykonujc linearyzacj otrzymano nastpujc posta macierzy układu liniowego w dowolnym punkcie równowagi: 28

(51) (52) (53) (54) W wyznaczonym punkcie równowagi macierze te przyjmuj posta: (55) Natomiast równania układu zlinearyzowanego wygldaj nastpujco: (56) Wartoci własne i regulator Wartoci własne macierzy wynosz: (57) Jak si spodziewano, jedna z wartoci własnych - ley w prawej półpłaszczynie. Przesunito obie wartoci własne do nowych połoe: (58) Przy uyciu ujemnego sprzenia zwrotnego o postaci: 29

(59) Model nieliniowy z dyskretnym regulatorem Stworzony w poprzednim rozdziale regulator wpisany w ptl ujemnego sprzenia zwrotnego o postaci (59) został sprawdzony w symulacji obiektu opartego na równaniach nieliniowych (44) przy ograniczeniach (38). Opierajc na wnioskach z poprzednich symulacji ograniczono si tylko do przeprowadzenia symulacji na modelu nieliniowym z dyskretnym regulatorem o czstotliwoci próbkowania wektora stanu co. Model układu jest zapisany w pliku o nazwie model_pradowy_regulator_dyskretny.mdl na dołczonej płycie CD. Jego schemat jest przedstawiony poniej: (b) (a) Schemat 5. (a) model układu z dyskretnym regulatorem, (b) wewntrzna budowa systemu nieliniowego prdowego Odpowied układu na zaburzenia Odpowied układu na zaburzenie o postaci przedstawia si nastpujco: 30

3 x 10-3 0 2.8-0.005-0.01 (a) h [m] 2.6 2.4-0.015-0.02 v [m/s] 2.2-0.025-0.03 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.035 t [s] 2.8 2.6 2.4 (b) u [A] 2.2 2 1.8 1.6 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 7. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia 1 mm dla modelu z dyskretnym regulatorem. Dla tego typu wychylenia regulator stabilizuje kulk w połoeniu równowagi w cigu. Porównujc z analogicznym wykresem z poprzedniego rozdziału zauwaono, e ten układ jest znacznie szybszy. Ma to bezporedni zwizek z uytym ródłem prdowym, które kontroluje przepływ prdu w obwodzie. Nie stwierdzono zmiany znaku sterowania i opónie reakcji na zmian sterowania. Dla wychylenia uzyskano nastpujce przebiegi: 31

(a) h [m] 2 x 10-3 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 v [m/s] 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 t [s] 1.6 1.4 1.2 (b) u [A] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 8. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia -1 mm dla modelu z dyskretnym regulatorem. Obserwacje potwierdzaj wnioski poprzedniego typu odchylenia. W tym przypadku równie zaobserwowano szybki powrót kulki do połoenia równowagi. Czas stabilizacji wynosi i jest mniejszy ni w poprzednim wypadku. Zaobserwowana asymetryczno zachowania si układu jest zwizana, podobnie jak w poprzednim modelu, z zalenoci siły przycigania elektromagnesu od połoenia kulki. Zakres stabilnoci wyznaczono szukajc (podobnie jak poprzednio) maksymalnych wychyle, dla których regulator stabilizuje kulk. Doln granic wyznacza wychylenie o 32

wartoci, które odpowiada kulce dotykajcej powierzchni do rdzenia elektromagnesu. Odpowied układu jest nastpujca: 2 x 10-3 0.1 1.8 0.09 1.6 0.08 1.4 0.07 1.2 0.06 (a) h [m] 1 0.05 v [m/s] 0.8 0.04 0.6 0.03 0.4 0.02 0.2 0.01 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 t [s] 1.6 1.4 1.2 1 (b) u [A] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 9. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia -2 mm dla modelu z dyskretnym regulatorem. Natomiast górn granic stanowi zaburzenie o wartoci, dla którego regulator nie spełnia swojego zadania ze wzgldu na fizyczne ograniczenia wydajnociowe ródła prdowego: 33

6 x 10-3 0.4 5.9 0.35 5.8 5.7 0.3 5.6 0.25 (a) h [m] 5.5 5.4 0.2 0.15 v [m/s] 5.3 5.2 0.1 5.1 0.05 5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 t [s] 5 4.8 4.6 4.4 (b) u [A] 4.2 4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 10. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski) i prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia 3.1 mm dla modelu z dyskretnym regulatorem. W tym wypadku system osiga maksymalne natenie prdu o wartoci. Siła przycigania nie jest wystarczajca, aby pokona przyciganie ziemskie, wic kulka opada. 34

Porównanie obu modeli Przyblienie rzeczywistoci Model oparty na trzech równaniach oddaje rzeczywisto znacznie lepiej ni model oparty na dwóch równaniach. Dzieje si tak za spraw załoenia dotyczcego istnienia idealnego ródła prdowego. Rzeczywiste ródło, ma bardzo due ograniczenia spowodowane tym, i obcienie indukcyjne jest trudne do sterowania. Natomiast ródło napiciowe w rzeczywistoci zachowuje si znacznie lepiej, poniewa sam model nie wprowadza dodatkowych zniekształce spowodowanych niepewnymi załoeniami. Jednak w pobliu punktu równowagi, oba modele oddaj bardzo dobrze zachowanie rzeczywistych układów i w takim wypadku, wanym staje si prostota oblicze i mniejsze wymagania pomiarowe. Prostota modelu dwurównaniowego jest okupiona trudn realizacj praktyczn wzmacniacza prdowego. Sam dobór elementów, które mog pracowa przy duych przepiciach generowanych przez obcienie indukcyjne nie jest prosty. Szybko stabilizacji Model z zastosowanym wzmacniaczem prdowym zapewnia mniejszy czas stabilizacji układu w stosunku do wzmacniacza prdowego. Dzieje si to za spraw samego ródła, które dba o zapewnienie odpowiedniego prdu płyncego przez cewk. Czas narastania prdu płyncego przez obwód przy uyciu wzmacniacza napiciowego jest ograniczony stał czasow obwodu RL i std włanie wynika przewaga drugiego modelu. 35

Odtworzenie prdkoci Wanym problem, który pojawił si w trakcie opracowywania rzeczywistego regulatora jest do istotny mankament fizycznego układu. Do wyliczenia wartoci napicia sterujcego wzmacniaczem (zarówno prdowym jak i napiciowym) niezbdny jest cały wektor stanu. Składaj si na dwie wartoci: - połoenie; - prdko; O ile pierwsz z nich mona otrzyma poprzez zastosowanie czujnika mierzcego stosown warto, o tyle z drug jest wicej problemu. Prdkoci metalowej kulki nie mona zmierzy wprost, ale mona j wyznaczy przy zastosowaniu: - pochodnej połoenia; - obserwatora liniowego; - obserwator nieliniowego; Estymowana warto prdkoci wraz z pomiarem połoenia składa si w odtworzony wektor stanu i dopiero na jego podstawie wylicza si sterowanie. Róniczkowanie Na podstawie (5) mona wyprowadzi wzór, według którego mona aproksymowa prdko kulki. Zastpujc róniczki rónicami skoczonymi otrzymano: (60) gdzie oznacza kolejny przedział czasu próbkowania. Wzór ten pozwala tylko w pewnym przyblieniu, wyznaczy prdko na podstawie pomiaru połoenia w dwóch kolejnych przedziałach czasu. Dodatkowo, wzór (60) działa jak filtr wyostrzajcy powodujcy, i wszelkie zakłócenia i szumy zostan uwypuklone. Sprawdzono t metod estymacji prdkoci, a model jest zapisany w pliku model_pradowy_rozniczka.mdl na dołczonej płycie CD. Schemat znajduje si poniej: 36

1 h 1 z 1/T* u 1 v (b) (a) (c) Schemat 6. (a) model układu z dyskretnym regulatorem i obserwatorem, (b) wewntrzna budowa obserwatora opartego na wzorze (60), (c) wewntrzna budowa systemu nieliniowego prdowego Przeprowadzono symulacj dla wychylenia : 37

3 x 10-3 2.9 2.8 2.7 2.6 (a) h [m] 2.5 2.4 0 v [m/s] 2.3 2.2 2.1 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] 4 3.5 3 (b) u [A] 2.5 2 1.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 11. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski), prdkoci (czarny), wyznaczonej prdkoci na podstawie (60) (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia 1 mm. Natomiast dla wychylenia o przeciwnym znaku : 38

2 x 10-3 1.5 1.5 1 (a) h [m] 1 0.5 v [m/s] 0.5 0 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.5 t [s] 4 3.5 3 2.5 (b) u [A] 2 1.5 1 0.5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 12. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski), prdkoci (czarny), wyznaczonej prdkoci na podstawie (60) (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia -1 mm. Wystpujce w pocztkowych chwilach czasu gwałtowne zmiany prdkoci mona pomin, poniewa nie maj one wikszego znaczenia dla działania regulatora. Zmiany te s spowodowane brakiem w pocztkowej chwili czasu odczytu połoenia. Przyjta domylna warto jest przyczyn takiego zachowania si obserwatora. Jak wynika z wykresów, odtwarzanie prdkoci przebiega w stopniu, który mona uzna za bardzo dobry. Czasy stabilizacji nie uległy znaczcym pogorszeniom w stosunku do przypadku, gdy dostpny jest pełny wektor stanu. 39

W dalszych pracach zrezygnowano z tej metody estymacji prdkoci. Jej główn wad jest wspomniana wczeniej wraliwo na szumy i zakłócenia. Równie przyjta aproksymacja odczytu połoenia uzyskiwanego z czujnika optycznego, wprowadza dodatkowe zniekształcenia do odtwarzanej prdkoci. Dla sprawdzenia przypuszcze zaimplementowano ten rodzaj obserwatora w rzeczywistym systemie. Okazało si, e kulka jest utrzymywana w połoeniu równowagi. Jednak w przebiegu sterowania pojawiły si oscylacje o duej czstotliwoci, które przełoyły si na wyczuwalne drgania kulki i słyszalne wibracje. W zwizku z powyszym zrezygnowano z tej metody w systemie komputerowym. Jednak opierajc si na tych symulacjach zbudowano regulator przy uyciu mikrokontrolera ATtiny15L firmy ATMEL. Wybór układu został podyktowany cen oraz duymi moliwociami układu. Wbudowany przetwornik A/C oraz generator PWM pozwolił na zbudowanie prostego regulatora na powierzchni nie przekraczajcej [22]. Poniewa ten sposób sterowania układem przekracza załoon tematyk pracy, zrezygnowano ze szczegółowego opisu. Obserwator liniowy Działanie obserwatora liniowego polega na przyblianiu całego wektora stanu na podstawie pomiaru dostpnych wartoci, oraz modelu układu liniowego. Zrezygnowano z uycia tej metody ze wzgldu na zbyt du złoono obliczeniow, oraz konieczno wyznaczania macierzy obserwatora. Dokładny sposób budowy obserwatora liniowego znajduje si w [2]. Obserwator nieliniowy Rozwaono nastpujce równanie wystpujce w (42): (61) Mnoc obie strony przez otrzymano: (62) Nastpnie całkujc obustronnie od do uzyskano: (63) Std: 40

(64) W powyszym równaniu nie scałkowano drugiego członu po prawej stronie, poniewa w modelu oraz s zalene od czasu. Zapis o tym fakcie pominito w równaniach dla prostoty oblicze. Zakładajc, e w chwili oraz równanie (64) mona zapisa w postaci: (65) W rezultacie otrzymano prosty wzór na wyznaczenie prdkoci w dowolnej chwili czasu. Jednak w systemie komputerowym potrzeba wartoci prdkoci w konkretnych chwilach czasu: W takim wypadku (65) przyjmie posta: (66) (67) Aby uy powyszego w praktyce naley przekształci równanie do postaci dyskretnej, zastpujc róniczk rónic skoczon, a całk sum. Korzystajc z faktu, e przekształcono (67) do postaci dyskretnej: sterowania (68) Powysze równanie zawiera wewntrzn sprzeczno. Nie mona wykorzysta wartoci, poniewa zostanie ona wyznaczona na podstawie wartoci oraz. T sprzeczno usunito zastpujc wartoci oraz zakładajc, e otrzymano:. W wyniku (69) Równanie w tej postaci mona zastosowa do odtworzenia prdkoci kulki. Odpowied modelu z dwoma równaniami i obserwatorem nieliniowym Do sprawdzenia w symulacji działania obserwatora nieliniowego, skorzystano z wczeniej uytego modelu opartego na dwóch równaniach z dyskretnym regulatorem. W 41

symulacji obserwator zbudowano korzystajc z (65). Model układu z obserwatorem nieliniowym zapisano w pliku o nazwie model_pradowy_obserwator.mdl na dołczonej płycie CD. Schemat modelu jest umieszczony poniej. u h h u_he u ograniczenie v system nieliniowy pradowy v probkowanie (b) xe regulator liniowy F* u u v h obserwator (a) Schemat 7. (a) model układu z dyskretnym regulatorem i obserwatorem nieliniowym, (b) wewntrzna budowa obserwatora nieliniowego, (c) wewntrzna budowa systemu nieliniowego prdowego Zbadano odpowied takiego układu na wychylenia kulki od połoenia równowagi. Dla uzyskano nastpujce przebiegi: (c) 42

3 x 10-3 0.02 2.5 0 (a) h [m] v [m/s] 2-0.02 1.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.04 t [s] 3 2.5 (b) u [A] 2 1.5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 13. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski), prdkoci (czarny), wyznaczonej prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia 1 mm. Na wykresie kolorem czerwonym zaznaczono odtworzon prdko przy uyciu obserwatora nieliniowego. Zbadano równie odpowied układu dla wychylenia : 43

2.2 x 10-3 0.05 2 0.04 1.8 0.03 (a) h [m] 1.6 0.02 v [m/s] 1.4 0.01 1.2 0 1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.01 t [s] 1.6 1.4 1.2 (b) u [A] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 14. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski), prdkoci (czarny), wyznaczonej prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia -1 mm. Porównujc ze sob odpowiednie wykresy zauwaono, e obserwator nie odtwarza prdkoci dokładnie, a jedynie zblia si do właciwej wartoci. Poniewa niedokładno nie jest zbyt dua zdecydowano si na uycie obserwatora nieliniowego. Dla : 44

3 x 10-3 0.1 2 0.05 (a) h [m] v [m/s] 1 0 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.05 t [s] 1.6 1.4 1.2 1 (b) u [A] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 15. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski), prdkoci (czarny), wyznaczonej prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia -2 mm. Dla uzyskano nastpujce przebiegi: 45

6 x 10-3 0.4 (a) h [m] 5.5 0.2 v [m/s] 5 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 t [s] 5 4.8 4.6 4.4 (b) u [A] 4.2 4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t [s] Wykres 16. Przebieg (a) połoenia kulki (niebieski), prdkoci (czarny), wyznaczonej prdkoci (czerwony), (b) natenia prdu (niebieski) w funkcji czasu dla wychylenia 3.2 mm. Analizujc wykresy (13) (16) (b) mona łatwo zauway, e tak zbudowany obserwator odtwarza prdko z do du dokładnoci. Oczywicie rozbieno midzy rzeczywist prdkoci, a estymowan jest widoczna. Obserwator najlepiej pełni swoje zadanie przy duych zmianach rzeczywistego parametru. Uyte w tym przypadku całkowanie działa jak filtr dolnoprzepustowy, który tłumi zakłócenia i szumy. Podwysza to niezawodno całego systemu. Zauwaono, e uycie obserwatora nie zmniejsza wczeniej oszacowanego zakresu poprawnej pracy dyskretnego regulatora. Wobec tak wyranych zalet zdecydowano si na uycie tego rozwizania przy odtwarzaniu pełnego wektora stanu układu. 46

W programie sterujcym równanie (69) nie jest praktycznym rozwizaniem, poniewa wymaga zapamitania wszystkich pomiarów połoe i wyznaczonego sterowania, poczwszy od chwili czasu o numerze. Zauwaono jednak, e wyznaczajc rónic midzy wyznaczonymi prdkociami w chwilach i otrzymano: (70) Std: (71) Co oznacza, e do wyznaczania prdkoci w chwili potrzeba: - prdkoci z chwili, - sterowania z chwili, - połoenia z chwili ; - okresu próbkowania ; - załoenia, e ; - załoenia, e ; ; ; Ostatecznie otrzymano łatwy w implementacji sposób wyznaczania prdkoci. Niestety po jego zastosowaniu ujawniła si wada równania (71), któr jest brak stabilnoci numerycznej w przypadku operacji na rzeczywistych pomiarach o długim czasie trwania [15]. Metoda ta kumuluje szumy i niedokładnoci pomiaru połoenia. W efekcie odtwarzana prdko miała charakter oscylacji i regulator nie zapewniał nawet minimalnej stabilnoci układu. Zastosowanie metody całkowania Simpsona pozwoliło na poprawienie stabilnoci numerycznej oraz zwikszenie odpornoci na zakłócenia [15]:!"#$!%!""&#$!% (72) Tak zdefiniowana metoda estymacji prdkoci pozwoliła uzyska stabilno regulatora i jego poprawne działanie. 47

Cz praktyczna Mechaniczna cz układu Układ elektroniczny został zbudowany w oparciu o specjalnie zaprojektowan płytk drukowan. Cało wraz z transformatorem toroidalnym o mocy ' i napiciu została umieszczona w obudowie o wymiarach (wysoko x szeroko x głboko). Obudowa została wykonana z tworzywa sztucznego o gruboci cianki ze wzgldu na du wytrzymało ciepln materiału. Z tyłu obudowy umieszczono na rubach dystansowych radiator o wymiarach. Jego zadaniem jest odprowadzanie ciepła wydzielanego na tranzystorze i oporniku pomiarowym. W prawej ciance umieszczono włcznik sieciowy oraz bezpiecznik topikowy umieszczone w obudowie z tworzywa sztucznego. Dodatkowo znajduj si tu wyprowadzenia kabla sieciowego oraz przewody doprowadzajce napicie z czujnika połoenia i sterowanie z systemu komputerowego. Elektromagnes zamocowano w ramie w kształcie zblionym do litery U o wymiarach zewntrznych i gruboci cianki. Poniej elektromagnesu umieszczono połoone naprzeciw siebie diod nadawcz podczerwieni oraz fototranzystor. Przewody zasilajce oraz pomiarowe zostały umieszczone wewntrz ramy mocujcej. 48

Wyznaczenie indukcyjnoci Jedn z metod pomiaru indukcyjnoci jest wykorzystanie skoku napicia. Cewka nie moe zmienia w sposób skokowy prdu, który przez ni płynie. Jakakolwiek zmiana prdu ma charakter wykładniczy. Wyprowadzajc odpowiednie wzory na stany nieustalone mona w prosty sposób wyznaczy indukcyjno. Budujc układ ze schematu (1) oraz odmierzajc na oporniku R napicie wyznacza si prd płyncy w obwodzie korzystajc z prawa Ohma [3]: (73) Podajc skok napicia mona wymusi wykładniczy spadek prdu w obwodzie. Jest to klasyczny przypadek stanu nieustalonego. Warto prdu w chwili przedstawia si nastpujco (gdy skok nastpił w chwili gdzie: ): (74) (75) jest stał czasow cewki, a R jest łcznym oporem układu. Dodatkowo uwzgldniajc (73) mona wylicza indukcyjno korzystajc tylko z pomiaru napicia w dwóch chwilach: (76) gdzie jest czasem, po którym dokonano drugiego pomiaru napicia na oporniku pomiarowym. Std otrzymano wzór na obliczenie indukcyjnoci: (" (77) Biorc pod uwag, e, otrzymano nastpujc posta wzoru: 49

(" (" (78) Pomiaru dokonano wykorzystujc nastpujcy układ: L CEWKA I(U) D R wzmacniacz rónicowy + - Uwyj Schemat 8. Rzeczywiste ródło prdowe z układem rozładowania cewki Przy pomocy ródła prdowego ustalano prd płyncy przez cewk do danej wartoci, a nastpnie wyłczono ródło. Poniewa prd w cewce nie moe si zmieni skokowo, wic prd zaczyna płyn przez opornik i diod, która zamyka układ. W ten sposób na oporniku odkłada si takie napicie, aby warto płyncego przez obwód prdu w chwili była równa. Nastpnie cewka rozładowuje si przez opornik. Dla takiego obwodu zachowane zostaj wczeniej przestawione wzory. Wyniki pomiarów obu napi dla rónych połoe kulki oraz wyliczon odpowiadajc im indukcyjno zawiera ponisza tabela. 0 7.60 1.60 0.0112 1.1 7.60 1.20 0.0094 2.2 7.60 1.00 0.0085 3.3 7.60 0.90 0.0081 4.4 7.60 0.85 0.0077 5.5 7.60 0.80 0.0076 7.60 0.80 0.0076 Tabela 1. Pomiary napi dla rónych połoe kulki przy prdzie 1A płyncym przez obwód. 50

11.5 x 10-3 11 10.5 10 L [H] 9.5 9 8.5 8 7.5 0 1 2 3 4 5 6 h [m] x 10-3 Wykres 17. Indukcyjnoci cewki dla połoe kulki z tabeli 1 (niebieski) oraz aproksymacja indukcyjnoci w funkcji połoenia kulki. postaci: Na wykresie zaznaczono na niebiesko pomiar, a na czerwono aproksymacj o gdzie: indukcyjno przy maksymalnym oddaleniu kulki; (79) współczynnik o ile zmienia si indukcyjno przy zblieniu kulki z nieskoczonoci do ; współczynnik zmiany indukcyjnoci.; W powyszym wyznaczono, e: 51

Jak wida na wykresie (17) aproksymacja nie jest zbyt dokładna. Dobierajc parametry funkcji indukcyjnoci kierowano si bardziej gładkoci krzywej ni dokładnym dopasowaniem do punktów pomiarowych. 52

Sposoby pomiaru połoenia Impuls napiciowy Tworzc model teoretyczny układu rzeczywistego załoono zaleno indukcyjnoci od połoenia. Funkcja opisujca t zaleno jest odwracalna. Oznacza to, e znajc indukcyjno cewki mona wyznaczy połoenie kulki. W ten sposób mona wykorzysta elektromagnes zarówno jako element wykonawczy jak i element pomiarowy. Pierwsza próba wykorzystania takiego sposobu pomiaru wie si z pierwszym modelem. Wykorzystano w nim uycie wzmacniacza napiciowego. Pomiar indukcyjnoci przeprowadzono wprowadzajc do sygnału sterujcego dodatkowy sygnał prostoktny. Schemat układu przedstawiony jest poniej: U + Us L CEWKA RL U RL R wzmacniacz rónicowy R + - Uwyj Schemat 9. Pomiar indukcyjnoci z uyciem impulsu napiciowego Do sygnału sterujcego dodawany jest sygnał prostoktny o załoonym stopniu wypełnienia, amplitudzie i czstotliwoci. Napicie z opornika pomiarowego R jest podawane na dodatnie wejcie wzmacniacza rónicowego o wzmocnieniu ). Napicie sterujce jest podawane na dzielnik rezystorowy złoony z oporników o wartociach RL i R. Stanowi on ródło napicia odniesienia. Rezystor RL odpowiada oporowi rzeczywistej cewki. Napicie na dzielniku jest takie samo jak na oporniku w układzie w stanie ustalonym dla tego samego napicia sterujcego. 53

Napicie z dzielnika jest podawane na wejcie odejmujce wzmacniacza rónicowego. Napicie wyjciowe jest rónic napicia, midzy układem w stanie ustalonym, a napiciem w stanie nieustalonym. Poniewa pomiaru dokonuje si na opornikach, wic napicie wyjciowe jest rónic midzy prdami w tych dwóch układach pomnoon przez. Prd w układzie z indukcyjnoci potraktowany napiciem prostoktnym, bdzie zmieniał swój przebieg w sposób wykładniczy: 0.35 0.3 0.25 i [A] 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t [s] Wykres 18. Przebieg prdu w modelu przy sygnale prostoktnym o czstotliwoci 100Hz, wypełnieniu 40% i amplitudzie 1V. Kolorem niebieskim oznaczono przebieg, gdy kulka jest najbliej cewki. Kolorem czerwonym, gdy najdalej. Powyszy wykres ukazuje zmian przebiegu prdu w modelu układu RL dla dwóch skrajnych połoe kulki. Postanowiono wykorzysta do pomiaru indukcyjnoci przebieg opadajcy, poniewa siła przycigania elektromagnesu jest znacznie wiksza ni przyciganie ziemskie. W zwizku z tym stwierdzono, e regulator bdzie kompensował takie zakłócenie. Dokonujc pomiaru napicia na oporniku pomiarowym w dwóch chwilach oddalonych od siebie o wartoci: mona wykorzysta wzór (77). Zatem do pomiaru indukcyjnoci potrzebne s - oporu układu; 54

- pomiaru napicia w dwóch momentach czasu: przy zboczu opadajcym zboczu i przy zboczu rosncym; - czasu pomidzy dwoma pomiarami (na powyszym wykresie czas ten wynosi ); Dla stałego napicia sterujcego, taki układ wykazał si du dokładnoci pomiaru połoenia. Jednak próba wykorzystania go podczas pracy regulatora zakoczyła si porak. Przeprowadzono symulacj dla sprawdzenia co było tego przyczyn. Wykres 19. Symulacja działania wzmacniacz rónicowego. Kolor czerwony odpowiada prdowi w układzie w stanie ustalonym dla zadanego napicia sterujcego, kolor niebieski rzeczywistemu przebiegowi prdu, a kolor czarny ich rónicy. Uyto jako sygnału prostoktnego parametrów z poprzedniej symulacji. Powyszy wykres ukazuje co było przyczyn poraki. Amplituda sygnału wyjciowego wzmacniacza rónicowego zmienia si analogicznie do zmian prdu na dzielniku rezystorowym. Przyczyn takiego zachowania, okazało si załoenie, zgodnie z którym rozwizano równanie układu elektrycznego - w chwili układ powinien by w stanie ustalonym. Okazało si, e w rzeczywistych warunkach to załoenie nie jest prawdziwe. Czas midzy kolejnymi przedziałami czasu, kiedy trzeba wyznaczy połoenie jest znacznie mniejszy od stałej czasowej obwodu RL. Zatem prd nie zdy osign stanu ustalonego i 55

wzmacniacz rónicowy nie spełnia swej roli. Przesdziło to o ostatecznym porzuceniu tej metody pomiaru. Impuls prdowy Problem stanu ustalonego, który opisano w poprzednim rozdziale, rozwizano zmieniajc model układu, oraz typ wzmacniacza. Model dwurównaniowy wprowadził uproszczenie w obliczeniach, oraz wymusił zastosowanie wzmacniacza prdowego. Uycie ródła prdowego powoduje, e nie ma problemu ze stanem ustalonym, poniewa w układzie płynie prd, zadany przez napicie sterujce. L CEWKA I(U) D R wzmacniacz rónicowy + - Uwyj Schemat 10. Pomiar indukcyjnoci z uyciem impulsu prdowego. Powyszy układ, pozwala na ominicie problemów zwizanych ze stanem ustalonym. ródło prdowe wymusza, aby przez cewk płynł odpowiedni prd, zaleny od napicia sterujcego. Naleało zmieni w tym wypadku sygnał, który słuy do zbadania indukcyjnoci. W tym układzie wyłczano ródło prdowe, w chwilach, gdy sygnał prostoktny miał amplitud równ. Po zamkniciu ródła, cewka rozładuje si przez diod zabezpieczajc oraz opornik. Mierzc, z uyciem wzmacniacza rónicowego napicie na tym oporniku, uzyskano przebieg prdu w tym obwodzie. Poniewa przebieg rozładowania jest zaleny od indukcyjnoci cewki, idea pomiaru zostaje zachowana. Zmieniaj si tylko parametry układu. Mała czstotliwo sygnału prostoktnego powodowała, e pomiar połoenia odbywał si zbyt rzadko. Aby zwikszy czstotliwo pomiarów, oraz zachowa zakres zmian prdu, zwikszono kilkakrotnie opornik R. Pozwoliło to na zmniejszenie stałej czasowej układu RL i zwikszenie czstotliwoci sygnału prostoktnego do. Przykładowe przebiegi pokazano na poniszych oscylogramach. Ze wzgldu na fakt, i rozładowanie cewki ma charakter wykładniczy, zmiany przebiegu s zauwaalne po upływie około. 56

(a) (b) (c) Oscylogram 1. Rozładowanie cewki przy prdach pocztkowych (a) 1A, (b) 2A, (c) 3A oraz połoeniach kulki: (niebieski) daleko, (czerwony) blisko. Na powyszym oscylogramie, wida przebieg rozładowania cewki przy prdzie pocztkowym równym. Kolorem czerwonym oznaczono przebieg przy połoeniu kulki, a niebieskim, gdy kulka jest daleko. Zaobserwowano, e przy tym samym prdzie pocztkowym i rónym połoeniu kulki, rozładowanie cewki przebiega w inny sposób. Wyrany i znaczny szum, utrudnia dokładn ocen napicia w chwili. Zakłócenia stanowi znaczn cz właciwego sygnału. Dodatkowo, samo rozładowanie cewki przebiega w lekko róny sposób, np. w chwilach pocztkowy prd jest róny. Prawdopodobnie, wpływ na to ma pojemno cewki. Natomiast przy prdzie pocztkowym równym, prd pocztkowy jest taki sam dla obu skrajnych połoe kulki. Wielko szumu pozostaje taka sama, jednak zwiksza si dwukrotnie napicie rednie przebiegu. 57

Przy pocztkowym prdzie, wida wyranie, e napicie na cewce przy zamkniciu ródła nie jest takie, jakiego naley oczekiwa. Jest nisze o około. W przypadku, gdy kulka jest blisko, wzrasta indukcyjno cewki. Zatkanie ródła prdowego przy tak duej indukcyjnoci powoduje wolniejszy wzrost napicia w punkcie B. Szybko tego wzrostu jest wystarczajco mała, aby cewka zdyła si czciowo rozładowa przez pojemno ródła i uzwoje cewki. 58

Prd pocztkowy Maksymalne oddalenie kulki Maksymalne zblienie kulki 1A (a) (b) 2A (c) (d) 3A (e) (f) Oscylogram 2. Przebieg napi w punktach A (czerwony), B (czarny) i rónicy tych napi (niebieski). Porównujc ze sob powysze oscylogramy nasuwaj si nastpujce wnioski: 59

- wyjtkiem od tego jest zachowanie si układu przy prdzie pocztkowym i wynika z niedostatecznej wydajnoci ródła prdowego; - szumy w układzie s due i szczególnie widoczne przy prdach rzdu i ; - przebieg rozładowania cewki nie jest stały i dla tego samego prdu lekko oscyluje; Najbardziej oczywistym mankamentem tej metody, jest znaczne rozładowanie cewki w cigu. Nawet, jeli udałoby si wyznaczy połoenie, to po zmianie sterowania trzeba ponownie nasyci cewk prdem. Poniewa punkt równowagi znajdował si w okolicach, ukazuje to, jakimi parametrami musiałby si cechowa wzmacniacz prdowy. Zwikszenie napicia zasilania podnosi wymagania dla elementów elektroniki oraz urzdzenia pomiarowego. Niestety równie w tej metodzie napotkano na bardzo due szumy, które stanowiły duy procent uytecznego pomiaru. Równie wymagany zakres pomiaru napicia, przekraczał moliwoci uytego przetwornika, a dzielnik rezystorowy wprowadzał dodatkowe szumy, praktycznie uniemoliwiajce dokonanie uytecznego pomiaru. Dla prdu pocztkowego, maksymalne napicie na cewce wynosi, a po. Oznacza to, e do pomiaru wykorzystywano by całego zakresu urzdzenia pomiarowego. Zaobserwowane zmiany przebiegu rozładowania cewki (wspomniane wczeniej oscylacje) wytłumaczono rozbienoci midzy rzeczywistym układem, a przyjtym modelem. Czujnik optyczny Układ zbudowany jest nastpujco w ramie, w której umocowany jest elektromagnes zamocowano diod nadawcz pracujc w podczerwieni. Diod, zamocowano w porodku ramy w taki sposób, e metalowa obudowa dotyka rdzenia. Po przeciwnej stronie analogicznie zamocowano fototranzystor [21]. Kulka, w zalenoci od swego połoenia, bdzie wpływa na natenie wiatła docierajcego do czujnika. Fototranzystor, w zalenoci od natenia padajcego promieniowania podczerwonego, steruje płyncym przez niego prdem. Mierzc wielko tego parametru, opracowano aproksymacj połoenia kulki, w funkcji prdu płyncego przez czujnik podczerwieni. Tak zbudowany układ pomiarowy, pozwala na dokładny pomiar połoenia. Dodatkowo pomiar jest niezaleny od prdu płyncego przez cewk. Wpływ elektromagnesu na przewody 60