Modelowanie systemów biomedycznych - automaty komórkowe (czy jest to "nowe oblicze nauki"?) Arkadiusz Mandowski
Modelowanie... R. Tadeusiewicz (2008)
Modelowanie... R. Tadeusiewicz (2008)
Jak rozpoznać życie?
Jak rozpoznać życie?
Jak rozpoznać życie?
Formy życia temat do dyskusji Załóżmy, że przybywając do odległej planety mamy zidentyfikować nowe formy życia. Zadanie: spróbuj sformułować 7 cech, których użyjesz do określenia, czy dana forma materii jest żywa. Czy istnieje uniwersalna definicja życia? Jak zdefiniować sztuczne życie (Alife = artificial life) i jak je odróżnić od zwykłego życia?
John von Neumann: życie = rozmnażanie...? kinematon, kinematic beast
Stwór Kinematyczny von Neumann'a A - maszyna budująca B - maszyna kopiująca C - maszyna sterująca F - ciąg instrukcji do budowy maszyny (Stwór jest zanurzony w oceanie części zamienych) Zykov V., Mytilinaios E., Adams B., Lipson H. (2005) "Self-reproducing machines", Nature Vol. 435 No. 7038, pp. 163-164
Stwór Kinematyczny II - realizacja von Neumann'a i Ulama Koncepcja Automatu Komórkowego 1. Przestrzeń złożona z ok. 200 000 komórek 2. Każda komórka może się znajdować w jednym z 29 stanów 3. Zmiana stanu komórki uzależniona jest od ogólnych reguł automatu i aktualnego stanu jej sąsiadów (200 000) 29 10 154 stanów Stanisław Ulam: Czy mechanizmy rekursywne mogą wyjaśnić przyczynę złożoności świata? Czy złożoność jest w istocie pozorna, bo reguły za nią stojące są proste?
Historia automatów komórkowych John von Neumann (1903-1957) - w latach 1930/40 stworzył teorię gier (z myślą o ekonomii). Koncepcja automatu samo-powielającego się (kinematic beast - factory/duplicator/controller/instructions - łącznie 200 000 komórek o 29 stanach). Stanisław Ulam (1909-1984) - twórca pierwszych gier komputerowych 2-D i 3-D. Gry strategiczne na różnego rodzaju sieciach komórkowych (np. trójkątne, sześciokątne) "obiekty geometryczne zdefiniowane rekursywnie". John Horton Conway (1937- ) - matematyk w Gonville and Caius College (Cambridge) potem Princeton. w 1970 r. uprościł automat von Neumann'a (game of life). Teoria gier i teoria liczb. Stephen Wolfram (1959 - ) - Eton/Oxford/Caltech; 1974 - pierwszy artykuł, 1979 Ph.D. (Caltech - fizyka teoretyczna). Fizyka wysokich energii, pól kwantowych, kosmologia, dynamika cieczy. Od 1986 tworzy program Mathematica. 1982 - klasyfikacja automatów komórkowych 1-D; (2002) książka New kind of science.
John von Neumann (1903-1957) Stanisław Ulam (1909-1984)
John H. Conway (1937- )
Automaty Komórkowe (cellular automata) CA - dyskretne systemy dynamiczne, których zachowanie jest w pełni określone poprzez lokalne reguły. Automat komórkowy jest wymyślonym wszechświatem, w którym przestrzeń jest reprezentowana poprzez jednorodną sieć z komórkami zawierającymi niewielką ilość informacji (właściwości = stan komórki). Czas ma również charakter dyskretny i jest określony przez kolejne generacje automatu.
Automaty komórkowe definicja I Automat Komórkowy (AK) to sieć N komórek, z których każda jest w jednym z k stanów w czasie t Każda z komórek podlega tym samym prawom rozwoju Stan komórki s w czasie t+1 zależy od jej własnego stanu, oraz stanu pewnej liczby jej sąsiadów w chwili t Dla 1-D AK otoczenie komórki składa się z r sąsiadów po każdej stronie, stąd parametrami AK są k i r k 2r +1 możliwości różnego sąsiedztwa k k 2r +1 możliwych reguł ewolucji (typów AK)
Automaty komórkowe definicja II Zbiór (K, E, S, f) jest nazwany automatem komórkowym, jeżeli: K jest siecią komórek 4 3 2 1 1 2 3 4 (i, j)
E jest zbiorem stanów elementarnych np: np. E { zdrowy = czarny, zakażony = czerwony, uzdrowiony = niebieski } S sąsiedztwo (otoczenie) i, j Moore i, j+1 i-1, j i, j i+1, j i, j-1 Von Neumann f funkcja lokalna nowy stan w miejscu (i, j) = f ( sąsiedztwo (i, j) )
Przykładowe typy sieci Jednowymiarowe (1-D) Dwuwymiarowe (2-D) sieć kwadratowa sieć trójkątna sieć heksagonalna Trójwymiarowe (3-D) sieć kubiczna 12 3 4 13 14 5 1 11 10 2 9 8 7 6 19 18 17 15 16 12 3 4 13 14 5 1 11 10 2 9 8 7 6 19 18 17 15 16 12 3 4 13 14 5 1 11 10 2 9 8 7 6 19 18 17 15 16 12 3 4 13 14 5 1 11 10 2 9 8 7 6 19 18 17 15 16 12 3 4 13 14 5 1 11 10 2 9 8 7 6 19 18 17 15 16 12 3 4 13 14 5 1 11 10 2 9 8 7 6 19 18 17 15 16 12 3 4 13 14 5 1 11 10 2 9 8 7 6 19 18 17 15 16
Problem nieskończoności - warunki brzegowe (w implementacjach) Ograniczone Periodyczne
Typy sąsiedztwa (otoczenie - neighborhood) otoczenie von Neumann a otoczenie Moore a rozszerzone otoczenie Moore a
Gra w życie (game of life - Conway) Zasady (jeden z wariantów) 1. Przetrwanie: gdy żywa komórka ma 2 lub 3 sąsiadów 2. Śmierć: gdy żywa komórka ma mniej niż 2 lub więcej niż 3 sąsiadów 3. Narodziny: gdy martwa komórka ma dokładnie 3 sąsiadów 4. Typ sąsiedztwa: sąsiedztwo Moore a
Typowe struktury automatów 2-D Typ I obiekty statyczne Typ III obiekty ruchome Typ II oscylatory Typ IV żyjące komórki IVa działo (emituje szybowce) IVb parowiec IVc hodowla Typ V obiekty niestabilne
Automaty 1-D (Wolfram) Jednowymiarowa sieć komórek z periodycznymi warunkami brzegowymi Każda komórka ma dwóch sąsiadów Każda komórka znajduje się w jednym z dwu stanów (np. 0, 1 OFF i ON )
Klasyfikacja automatów 1-D (CAR Cellular Automata Rule) Przyszły stan komórki określony jest przez: aktualny stan komórki stan jej sąsiadów Tryplet Typ sąsiedztwa Kolejny krok 2 8 =256 reguł CAR = = 01101010 2 = = 106
Przykład CAR30 step 1: step 2: step 3: step 4: step 5: step 6: step 7: step 8: step 9: step 10:
Klasy automatów komórkowych (Wolfram) Klasa 1: po skończonej liczbie kroków AK zmierza do osiągnięcia określonego stanu wychodząc z niemal każdych warunków początkowych Klasa 2: AK wytwarza struktury powtarzające się periodycznie lub stabilne Klasa 3: prawie dla wszystkich warunków początkowych AK zmierza do struktur aperiodycznych (chaotycznych), których statystyczne właściwości upodabniają się do struktur początkowych (samopodobieństwo fraktalne) Klasa 4: bardziej złożona; po skończonej liczbie kroków AK zwykle wymiera; może pozostać jedynie kilka stabilnych lub periodycznych struktur; pomieszanie porządku i przypadkowości
CAR30-250 kroków
CAR30-1000 kroków
CAR90-250 kroków
CAR90-1000 kroków
Złożoność automatów komórkowych (przykład: sąsiedztwo Moore'a; 2 stany) Dla 1-D AK: 2 3 = 8 możliwych "typów sąsiedztwa" 2 8 = 256 możliwych reguł rozwoju Dla 2-D AK: 2 9 = 512 możliwych "typów sąsiedztwa" 2 512 10 154 możliwych reguł rozwoju (GoL) Dla 3-D AK: 2 27 = 134 217 728 możliwych "typów sąsiedztwa" 2 227 10 40 403 562 możliwych reguł rozwoju
Wszechświat (liczby dla porównania) Promień Wszechświata: R min 4.7 10 10 lat św. 4.4 10 26 m Gęstość materii: ρ 9.9 10-27 kg/m 3 (tylko 4% materii 0.25 atomów na m 3 ) (max. 6 atomów na m 3 wliczając ciemną materię) Ilość atomów we Wszechświecie: 4 3 4 26 N π R n = 3.14 4.4 10 6 N 3 1 3 210 81 ( ) 3
Automaty Jednowymiarowe (1-D)
Automaty Dwuwymiarowe (2-D)
Wirtualne mrówki Langton a 1. Zacznij w dowolnym punkcie płaszczyzny euklidesowej 2. Wykonaj krok naprzód 3. Jeżeli stoisz na polu białym pokoloruj je na czerwono i wykonaj zwrot o 90 w prawo 4. Jeżeli stoisz na polu czerwonym pokoloruj je na biało i wykonaj zwrot o 90 w lewo 5. Przejdź do kroku 2 i powtarzaj dowolną ilość iteracji
Mrówki Langton a - przykład 1 2 3 4 5 6 7 8
Mrówki Langton a - przykład Pierwsze 10 000 iteracji wydaje się być chaotyczne. W końcu mrówki formują ścieżkę 5 000 it. 10 000 it. 12 000 it.
Optymalizacja drogi (Marco Dorigo) a) Mrówki podążają z A do E. b) Ustawiamy przeszkodę; mrówka może ją obejść z równym prawdopodobieństwem c) Na krótszej ścieżce mrówki zostawiają więcej feromonu
Optymalizacja drogi - zastosowanie
Płatki śniegu - symulacje na sieci heksagonalnej S. Wolfram A New Kind of Science, Wolfram Media, Champaign 2002
Co mogą automaty komórkowe? Modelować układy stabilne okresowe chaotyczne złożone Tworzyć struktury samo-powielające się (organizmy żywe?) Emulować maszynę Turinga (a więc i rozwiązać dowolne zagadnienie algorytmizowalne) Efektywnie rozwiązywać niektóre złożone zagadnienia obliczeniowe (np. problem komiwojażera i mrówcze ścieżki ) Zaleta: są naturalne dla komputerów (naturalnie dyskretne)
Czy rzeczywiście nowe oblicze nauki? S. Wolfram A New Kind of Science, Wolfram Media, Champaign 2002 Wolfram: Świat jako automat komórkowy (złożoność wynikająca z prostych reguł) fizyka biologia kryptografia ekonomia........ Wątpliwości: arbitralność wyboru automatu brak mocy predykcyjnej (opis jakościowy) Zalety: prostota modeli możliwość praktycznych zastosowań Co z opisem świata?
Czy rzeczywiście nowe oblicze nauki? S. Wolfram A New Kind of Science, Wolfram Media, Champaign 2002 Wolfram: Świat jako automat komórkowy (złożoność wynikająca z prostych reguł) fizyka biologia kryptografia ekonomia........ Wątpliwości: arbitralność wyboru automatu brak mocy predykcyjnej (opis jakościowy) Zalety: prostota modeli możliwość praktycznych zastosowań Co z opisem świata?