Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-PAP-06 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania ). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl. 6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie. 7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie. 8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. 0. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL. Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe. Życzymy powodzenia! ARKUSZ I MAJ ROK 006 Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów Wypełnia zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO
Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. ( pkt) =, B { x R: x 0} Dane są zbiory: A { x R: x 4 7} a) zbiór A, b) zbiór B, c) zbiór C = B\ A. a) = >. Zaznacz na osi liczbowej: Zapisuję nierówność x 4 7 w postaci alternatywy nierówności: x 4 7 lub x 4 7 i rozwiązuję każdą z nich. x lub x. Zaznaczam na osi liczbowej zbiór A. 0 b) Rozwiązuję nierówność x 0 x > 0. Zaznaczam na osi liczbowej zbiór B. c) 0 Zaznaczam na osi liczbowej zbiór C. 0 Nr czynności...... Wypełnia Maks. liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. ( pkt) W wycieczce szkolnej bierze udział 6 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych trzech osób będą dokładnie dwie znające okolicę. Ω jest zbiorem wszystkich trzyelementowych podzbiorów zbioru szesnastoelementowego. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne, więc korzystam z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Obliczam, na ile sposobów można wybrać trzy osoby spośród 6: 6 6 5 4 Ω= = = 560 Zdarzenie A wśród trzech wybranych osób będą dwie, które znają okolicę i jedna, która okolicy nie zna. Obliczam, na ile sposobów można wybrać trzy osoby, wśród których będą dwie znające okolicę i jedna, która okolicy nie zna: Obliczam prawdopodobieństwo zdarzenia A: A 7 9 PA= ( ) = =. Ω 560 70 A 4 4 = 7 = =. Nr czynności...... Wypełnia Maks. liczba pkt
4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (5 pkt) Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę 0 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 50 losowo wybranych kostek masła. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. Masa kostki masła ( w dag ) 6 8 9 0 Liczba kostek masła 5 4 68 6 6 a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. b) Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki masła jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza dag. Czy kontrola zakładu wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij. Obliczam średnią masę kostki masła: 6 + 8 5+ 9 4+ 0 68+ 6+ 6 x = = 0. 50 Obliczam wariancję: 4 + 5 + 4 + 68 0 + 6 + 6 9 σ = =. 50 5 9 Obliczam odchylenie standardowe: σ =,5. 5 Odp.: Kontrola zakładu nie wypadła pozytywnie, ponieważ odchylenie standardowe przekroczyło dag. Nr czynności...... Wypełnia Maks. liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 4. (4 pkt) Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a =, a = 7. a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz a n, dla każdej liczby naturalnej n. c) Oblicz wyraz a 6. Wyznaczam iloraz ciągu geometrycznego: stąd q = lub q =. Odrzucam odpowiedź wniosek: ilorazem tego ciągu jest Wyznaczam wzór na a n : q a 7 9 = = = ; a 4 q =, ponieważ a > 0 i ciąg jest rosnący. a n q =. = n. Obliczam a 6 : a 6 = = 9. 8 5 Nr czynności 4.. 4.. 4.. Wypełnia Maks. liczba pkt
6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 5. ( pkt) o o Wiedząc, że 0 α 60, sin α < 0 oraz 4 tg α = sin α + cos α a) oblicz tg α, b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta. Obliczam tangens kąta α z podanego równania: 4tgα = sin α + cos α, ( ) 4tgα = sin α + cos α. Korzystam z tożsamości tgα =. 4 sin α cos α + = i otrzymuję: Zaznaczam w układzie współrzędnych kąt α. y 7 6 5 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - - 4 5 6 7 8 9 x - - - -4-5 -6-7 Punkt ( 4, ) leży na końcowym ramieniu szukanego kąta. Nr czynności 5.. 5.. 5.. Wypełnia Maks. liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 6. (7 pkt) Państwo Nowakowie przeznaczyli 6000 zł na zakup działki. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przylegających do siebie działek w skali :000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 5 zł. Oblicz, czy przeznaczona przez państwa Nowaków kwota wystarczy na zakup działki P. E P A B C D P AE EC BC = 5 cm, = cm, = 6,5 cm. Trójkąty ACE i DCB są podobne. Z twierdzenia o polach figur podobnych otrzymuję zależność: gdzie k jest skalą podobieństwa trójkątów. BC 6,5 Wyznaczam skalę podobieństwa k: k = = =. EC P = k, P Δ ACE Wyznaczam zależność między polami trójkątów podobnych P i P = k P Δ ACE, stąd P = P ΔACE. 4 P Δ ACE : Obliczam długość odcinka AC z trójkąta AC: AC = 5 = cm. Obliczam pole trójkąta ACE (na rysunku): PΔ ACE = 0 cm. Obliczam pole działki P (na rysunku): P = PΔ ACE = 7,5 cm. 4 Obliczam pole działki P w rzeczywistości: ( ) P cm m Obliczam koszt zakupu działki P : 750 5 = 650 zł. = 7,5 000 = 750. Odp.: Przeznaczona kwota nie wystarczy na zakup tej działki, zabraknie 50 zł. Wypełnia egzaminator! Nr czynności 6.. 6.. 6.. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt
8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrąglij do 0,0 m. Środki okręgów na przedstawionym w zadaniu szkicu są wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku długości a =. Obliczam wysokość tego trójkąta: h =. Obliczam wysokość kanału ciepłowniczego: d = r+ h, d = +. Odp.: Wysokość kanału z zadanym zaokrągleniem jest równa d,87 m a jego szerokość s = m. Nr czynności 7.. 7.. 7.. 7.4. Wypełnia Maks. liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie 8. (5 pkt) Dana jest funkcja f ( x) = x + 6x 5. a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości. b) Podaj rozwiązanie nierówności f ( x) 0. Wyznaczam współrzędne wierzchołka paraboli: b p = ; a Δ= 6 ; 6 p = =, Δ q =, 4a stąd W = (,4). 6 q = = 4 4 Wyznaczam miejsca zerowe funkcji: x =, x = 5. y 6 5 4-4 5 6 7 x - - - Zbiór wartości funkcji: (,4. Rozwiązaniem nierówności f ( x) 0 są wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału,5. Nr czynności 8.. 8.. 8.. 8.4. 8.5. Wypełnia Maks. liczba pkt
0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 9. (6 pkt) Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do o płaszczyzny podstawy pod kątem 60. a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości. b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia m potrzebne są 4 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas. S D C E O 60 F A a B Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku: a= AB = 4 m. Trójkąt EFS jest równoboczny. Wysokość ściany bocznej SF = 4m. Obliczam pole powierzchni dachu: 4 4 P= 4 = m. Obliczam liczbę dachówek bez uwzględniania zapasu: 4 = 768 sztuk. Obliczam, ile dachówek należy kupić, uwzględniając zapas: 08% 768 = 89, 44. Odp.: Należy kupić 80 sztuk dachówek. Wypełnia egzaminator! Nr czynności 9.. 9.. 9.. 9.4. 9.5. Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 0. (6 pkt) Liczby i są pierwiastkami wielomianu W ( x) = x + ax + bx + 0. a) Wyznacz wartości współczynników a i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. Do rozwiązania zadania wykorzystuję twierdzenie Bézouta. ( ) W = 0 9a+ b+ 84= 0, ( ) W = 0 a b+ 8= 0. Rozwiązuję układ równań: a = 4, b = 4. 9a+ b+ 84= 0 a b+ 8 = 0 Podstawiam obliczone wartości współczynników a, b i zapisuję wielomian ( ) W x = x 4x + 4x+ 0. Wielomian ( ) W x dzielę przez ( )( ) ( ) ( ) x x+ = x x : x 4x + 4x+ 0 : x x = x 0. Obliczam trzeci pierwiastek: x 0= 0 x = 5. Nr czynności 0.. 0.. 0.. 0.4. 0.5. 0.6. Wypełnia Maks. liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki S Zadanie. ( pkt) Sumę S = + + +... + + można obliczyć w następujący sposób: 4 4 7 7 0 0 04 04 07 a) sumę S zapisujemy w postaci 4 7 4 0 7 04 0 07 04 S = + + +... + + 4 7 4 0 7 04 0 07 04 b) każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków 4 7 4 0 7 04 0 07 04 = + + +... + + 4 4 7 4 7 4 0 7 0 7 04 0 04 0 07 04 07 04 stąd S = + + +... + + 4 4 7 7 0 0 04 04 07 więc S = + + +... + + 4 4 7 7 0 0 04 04 07 c) obliczamy sumę, redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim 06 S = =. 07 07 4 4 4 4 Postępując w analogiczny sposób, oblicz sumę S = + + +... +. 5 5 9 9 8 85 5 9 5 9 85 8 Zapisuję sumę S w postaci: S = + + +... +. 5 9 5 9 85 8 Zapisuję każdy składnik sumy w postaci różnicy ułamków: 5 9 5 9 85 8 S = + + +... + 5 5 9 5 9 5 9 9 85 8 85 8 stąd S = + + +... + 5 5 9 9 8 85 więc S = + + +... +. 5 5 9 9 8 85 Obliczam sumę, redukując parami wyrazy sąsiednie, poza pierwszym i ostatnim: 84 S = =. 85 85 Nr czynności...... Wypełnia Maks. liczba pkt
Egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS