E L E K T R O M A G N E T Y Z M. Niektóre powody dla których warto poznać ten dział:

E L E K T R O M A G N E T Y Z M Niektóre powody dla których warto poznać ten dział: zawiera wiele efektownych i łatwych do wykonania i zrozmienia doświadczeń, zawiera kilka bardzo poczających wyprowadzeń z których wynika nie tylko wzór końcowy ale np. sposób konstrkcji danego rządzenia, dane zjawisko ma łatwą do zrozmienia natrę mikroskopową, poznamy jeden z najważniejszych znaków mins w fizyce, ma szerokie zastosowania praktyczne a poza tym dobrze wiedzieć jak powstaje prąd elektryczny z którego korzystamy powszechnie, jak działa transformator i dlaczego stosjemy line wysokiego napięcia do przesyłania prąd, 1. Zjawisko indkcji elektromagnetycznej Zjawisko to jest podstawą konstrkcji żywanych w przemyśle prądnic prąd przemiennego i polega ono na indkowani się w obwodzie zamkniętym prąd pod wpływem zmian strmienia pola magnetycznego przenikającego przez ten obwód. Można to zademonstrować w następjącem doświadczeni. Z + W L 1 L 2 R ma Aby je przeprowadzić potrzebne są: zasilacz prąd stałego (Z), dwie cewki (L 1 i L 2 ) najlepiej takie aby można było mieścić je jedna w drgiej, miliamperomierz (ma) możliwiający pomiar zarówno wartości natężenia prąd jak też jego kiernk oraz dwa rdzenie (R) wykonanie z żelaza i alminim które można wkładać do cewek. Podłączamy wszystkie przyrządy jak na rysnk i obserwjemy że nawet przy 1

zamkniętym włącznik W w obwodzie cewki L 2 nie płynie żaden prąd (nie powinno to dziwić, ponieważ cewki L 1 i L 2 nie są ze sobą połączone) Indkje się on w następjących sytacjach: 1. w momencie otwierania i zamykania wyłącznika W 2. w momencie gdy porszamy cewką L 1 względem cewki L 2 ; ponadto w tym przypadk obserwjemy że amplitda zmian natężenia prąd jest wprostproporcjonalna do szybkości rch względnego cewek, Ponadto obserwjemy że po włożeni rdzenia żelaznego do cewki indkowany prąd znacznie zwiększa się; wzrost tego nie obserwjemy po włożeni rdzenia wykonanego z alminim. Widać zatem że stałe pole magnetyczne (a z takim mamy do czynienia gdy włącznik W jest zamknięty i w obwodzie cewki L 1 płynie prąd) nie indkje prąd w obwodzie cewki L 2. Prąd pojawia się gdy następje zmiana pola magnetycznego wytwarzanego przez cewkę L 1. Włożenie rdzenia z ferromagnetyka (żelaznego) zwiększa nie tylko samo pole magnetyczne ale powodje także że jego zmiany są większe i stąd zwiększenie indkowanego prąd. Indkowany w obwodzie cewki podłączonej do miliamperomierza (L 2 ) prąd jest sktkiem występowania tzw. siły elektromotorycznej indkcji wynosi ona: ε = Φ t - dla pojedynczego zwoj, ε = n Φ t - dla cewki o n zwojach. Aby wyprowadzić powyższy wzór rozważmy przewodnik o dłgości l porszający się bez żadnych oporów na szynach w jednorodnym pol magnetycznym (np. magnes podkowiastego) 2

Zakładając że rch przewodnika jest jednostajny prostoliniowy wi- l v F z F ε dzimy że siła zewnętrzna msi być równa sile elektrodynamicznej. Korzystając z definicji siły elektromotorycznej, pracy (W = F s), siły elektrodynamicznej (F = s B=const BIl), natężenia prąd (I = q t ) i strmienia pola magnetycznego (Φ = BS) mamy: ε = W q = F z s q = F s q = BIl s q = Bq t l S q = Φ t Otrzymaliśmy zatem z dokładnością do znak wzór na siłę elektromotoryczną indkcji. Widać zatem że o wielkości tego napięcia decydje nie samo pole magnetyczne ale szybkość jego zmiany w czasie (co jest zgodne z obserwacjami w doświadczeni). Rzeczą o wiele bardziej interesjącą jest występowanie we wzorze znak (da się do zasadnić analizjąc w naszym wyprowadzeni kiernek prąd względem kiernk pola magnetycznego), jest on konsekwencją następjącej regły Lentza: Indkowany w zjawisk indkcji elektromagnetycznej prąd wytwarza pole magnetyczne którego kiernek jest przeciwny do tego pola które prąd wyindkowało. Regła Lenza jest konsekwencją zasady zachowania energii co można zasadnić następjąco (w sposób jakościowy) Indkowanie się siły elektromotorycznej zachodzi kosztem pracy wykonywanej przez źródło napięcia (włączanie i wyłączanie) albo kosztem pracy mechanicznej (rch cewek lb rch przewodnika w wyprowadzeni). Wyobrażmy sobie że nie ma znak we wzorze na siłę elektromotoryczną indkcji wówczas indkowany w obwodzie cewki L 2 prąd powodował by powstanie takiego pola magnetycznego które oddziałjąc na obwód cewki L 1 DOSTARCZAŁOBY energię do tego 3

obwod i np. powodowałoby samoczynny rch cewek. Innymi słowy mielibyśmy prądnicę zwiększającą swoje obroty pod wpływem indkowanego przez siebie napięcia czyli nic innego jak perpetm mobile pierwszego rodzaj. W naszym wypadk (przykład z przewodnikiem na prostoliniowych torach ) regła Lentza gwarantje nam, że przy przemieszczani przewodnika w obwodzie zostanie wzbdzony prąd o takim kiernk, że siła Lorentza będzie zawsze przeciwna do siły elektrodynamicznej, niezależnie od tego w kórą stronę będziemy przemieszczali przewodnik. Regła ta implikje kiernek indkowanego prąd w następjący sposób. Rozważmy cewkę podłączoną do (mili)amperomierza (mogącego wyznaczać także kiernek płynącego prąd) i magnes sztabkowy. Oczywistą jest rzeczą że przybliżając lb oddalając magnes do cewki będziemy obserwować wychylanie się miliamperomierza. zbliżanie magnes: S N N S kiernek prad ma oddalanie magnes: N S N S kiernek prad ma Zgodnie z regłą Lentza cewka msi wytworzyć takie pole magnetyczne aby 4

hamować rch magnes co atomatycznie wyznacza nam kiernek prąd płynącego przez cewkę i miliamperomierz. Bardzo efektowną demonstracją regły Lentza (który to przykład ma praktyczne zastosowanie) jest doświadczenie z magnesem neodymowym i miedzianą lb alminiową sztabką. Mimo iż alminim, czy miedź nie jest przyciągane nawet przez tak silny magnes (w rzeczywistości oddziaływją ale nie jesteśmy w stanie tej siły łatwo zaobserwować) to gdy porszamy magnesem w pobliż sztabki alminiowej, czy miedzianej to odczwamy wyraźną siłę hamjącą. szybki rch magnes alminim Siłą ta jest konsekwencją regły Lentza. Porszając silnym magnesem neodymowym w pobliż alminiowej płytki wzbdzamy w niej tzw. prądy wirowe (inaczej prądy Focat) Prądy te wytwarzają pole magnetyczne które będąc w każdej chwili przeciwne do pola magnes neodymowego (regła Lentza) hamje jego rch. Zjawisko obserwowane w tym prostym eksperymencie ma ważne zastosowanie w hamlcach indkcyjnych; żywanych np. w atobstach czy lokomotywach. Hamlec ten możliwia po prost wytworzenie siły hamjącej na podobnej zasadzie jak w naszym doświadczeni (tylko w większej skali oczywiście). Proszę zwrócić wagę że siła ta jest proporcjonalna do prędkości (magnes metalowa sztaba) i zanika gdy prędkość jest równa zero; co również jest zaletą takich hamlców (nie trzeba np. modlować siły hamowania jak w samochodowych systemach ABS). Dotychczasowa analiza opierała się na danych doświadczalnlnych; można jednak zasadnić występowanie zjawiska indkcji i wyznaczyć jej siłę elektromotoryczną korzystając z model swobodnych nośników ładnk elektrycznego w przewodnikach. Rozważmy w tym cel metalowy przewodnik porszający się (jako całość) w pol magnetycznym jednorodnym i załóżmy że nie będziemy zajmować się rozważaniem rch termicznego elektronów swobodnych (niech spoczywają względem przewodnika). 5

Z wagi na rch przewodnika na znajdjące się w nim elektrony swobodne zacznie działać siła Lorentza (ponieważ porszają się wraz z całym przewodnikiem w pol magnetycznym) i nastąpi ich przemieszczenie ale wówczas koncentracja tych elektronów na jednym końc przewodnika będzie większa niż na drgim co spowodje powstanie jednorodnego pola elektrycznego hamjącego dalsze przemieszczanie się elektronów swobodnych. Powstanie stan równowagi ale potencjał jednego końca przewodnika będzie inny niż drgiego; różnica tych potencjałów to siła elektromotoryczna indkcji. V 1 v F E v = V 1 V 2 B=const F L B=const V 2 W stanie równowagi: F L = F E korzystając z definicji siły Lorentza i siły w pol elektrycznym (pamiętamy że v jest prostopadła do B i że pole elektryczne jest jednorodne) Bvq = Eq Bv = l = Bvl 3. Zjawisko samoindkcji Rozważmy pojedynczą cewkę przez którą płynie prąd o zmieniającym się natężeni. Wytwarza on pole magnetyczne którego zmienny strmień przenika jednocześnie przez rozważaną cewkę indkjąc w niej siłę elektromotoryczną indkcji. Opisane zjawisko nazywa się indkcją własną lb samoindkcją, ponieważ indkowanie się napięcia w cewce odbywa się pod wpływem niej samej. Aby wyznaczyć od czego zależy strmień pola magnetycznego wytwarzany przez cewkę msimy przyglądnąć się bliżej jak jest ona zbdowana. Z regły (poza patologiami typ cewka jako fragment obwod drkowanego np. w antenach 6

satelitarnych czy telefonach komórkowych) składa się z karkas będącego zwykle walcem czy prostopadłościanem na który nawija się w odpowiedni sposób izolowany drt (najczęściej miedziany). Karkas jest zwykle psty w środk co możliwia wkładane do jego wnętrza ferromagnetycznego rdzenia dzięki którem zyskjemy z jednej strony znaczne zwiększenie strmienia pola magnetycznego wytwarzanego przez cewkę ale z drgiej pojawiają się bardzo trdne go ilościowej analizy zjawiska nieliniowe. Cewki znalazły szereg ważnych zastosowań; oto kilka z nich: obwody rezonansowe, kłady kształtowania implsów, jako elementy przekaźników, jako elementy elektrycznych filtrów (blokjących np. dany zakres częstotliwości) aktywnych (zawierajcych np. tranzystory) i pasywnych, w elektromagnesach, w siłownikach kładów sterjących (cewki z rchomym rdzeniem) Dla proszczenia analizy obwodów przyjmje się często tzw. model cewki idealnej, której rezystancja jest równa zero. W rzeczywistości oprócz opor cewka posiada także pewną pojemność elektryczną (mamy przecież do czynienia z kładem przewodników przedzielonych dielektrykiem) Niezależnie jednak od tego jak zbdowana jest cewka wytwarzany przez nią strmień pola magnetycznego jest wprostproporcjonalny do natężenia prąd płynącego przez cewkę, zaś współczynnikiem proporcjonalności jest wielkość fizyczna zależna jedynie od parametrow cewki indkcyjność (L) Φ I Φ = LI Korzystając z prawa Ampera można pokazać, że indlcyjność cewki o dłgości l, pol przekroj poprzecznego S, z rdzeniem o przenikalności magnetycznej µ r i zawierającej n zwojów przewodnika wynosi: 7

n zwojow S L = µ 0µ r Sn 2 l µ r l Aby wyznaczyć siłę elektromotoryczną indkcji własnej (samoindkcji) skorzystamy z definicji siły elektromotorycznej indkcji i skorzystamy z fakt, że strmień indkcji wytwarzany przez cewkę wynosi: Φ = LI, zaś L dla danej cewki jest wielkością stałą: ε = Φ t = (LI) t = L I t Rozważmy następjący obwód złożony z cewki, żródła napięcia stałego i włącznika (1) (2) W L W L L L t W momencie WŁĄCZANIA obwod przyrost prąd płynącego przez cewkę L indkje w niej napięcie o znak przeciwnym do zasilającego które powodje że napięcie na cewce łagodnie narasta do wartości napięcie zasilającego () rysnek (1). Jednakże w momencie WYŁĄCZENIA cewki spadek płynącego przez nią prąd indkje napięcie o znak identycznym jak napięcie zasilania powodjąc chwilowy wzrost napięcia cewce (przepięcie) co może doprowadzić do jej szkodzenia! 8 t

rysnek (2). Obserwowany w przykładzie (2) tzw. efekt wyłączeniowy może doprowadzić do szkodzenia wyłączanego rządzenia; szczególnie gdy ma ono charakter indkcyjny (silniki, projektory) i w stanie pracy pobiera prąd o dżym natężeni. Zabezpieczeniem może być kład przedłżający moment wyłączania (pamiętajmy przecież że siła elektromotoryczna samondkcji jest odwrotnie proporcjonalna do czas w którym następje zmiana strmienia magnetycznego!) 4. Prądnica prąd przemiennego Siła elektromotoryczna indkcji jest wprostproporcjonalna do szybkości zmiany strmienia pola magnetycznego, chcąc zatem zyskać jak najszybszą zmianę pola magnetycznego należy jak najszybciej zmieniać strmień pola magnetycznego. Jak wiadomo strmień zależy od wartości indkcji magnetycznej, pola powierzchni i kąta między kiernkiem indkcji a wektorem normalnym (prostopadłym do powierzchni) n Φ = SB B n S α Φ = SBcos ( n, B) Φ = SBcos(α) Szybka zmianaindkcji magnetycznej czy pola powierzchni cewki jest oczywiście nierealna; możemy natomiast w bardzo prosty sposób zmieniać kąt α wystarczy obracać ramką lb cewką w jednorodnym pol magnetycznym i taka jest właśnie zasada działania prądnicy. Rozważmy ramkę (dla proszczenia w kształcie prostokąta) na którą nawinięto n zwojów drt i mieszczono w jednorodnym pol magnetycznym tak że można nią swobodnie obracać. 9

n(t+ t) n(t) S ω t B=const S N Zakładając, że prędkość kątowa obracającej się ramki jest stała i wynosi ω to w czasie t przekręci się o kąt ω t. Korzystając ze wzor na indkcję elektromagnetyczną możemy obliczyć zmianę strmienia magnetycznego przy obrocie ramki o taki kąt: ε = Φ t = BS (cos(ωt)) ( ) t Od strony formalnej wyrażenie (cos(ωt)) t jest pochodną i to jeszcze fnkcji złożonej ale nie będziemy się tym przejmować i po prost ją wyliczymy korzystając ze tożsamości trygonometrycznych. Najpierw jednak rozpiszemy formalnie jak wygląda zmiana fnkcji cosins. (cos(ωt)) = cos(ω(t + t)) cos(ωt) = cos(ωt + ω t) cos(ωt) = cos(ωt) cos(ω t) sin(ωt) sin(ω t) cos(ωt) Jednym z powodów dla którego zdecydowałem się wyprowadzać tą pochodą są poniższe przybliżenia fnkcji sin i cos mające bardzo dże znaczenie w fizyce 10

(wiele znanych praw opiera się na tych założeniach) sin(x) x gdy x 0 cos(x) 1 gdy x 0 W naszych rozważaniach założymy że rozważana chwila czas t jest bardzo mała i wółczas ω t 0 i korzystając z powyższych wzorów otrzymjemy: cos(ω t) = 1 sin(ω t) = ω t Po podstawieni do rozważanego równania mamy: cos(ωt)1 sin(ωt)ω t cos(ωt) = sin(ωt)ω t = (cos(ωt)) Podstawiając z kolei to wyrażenie do wzor na strmień magnetyczny (wzór ( )) otrzymjemy: ε = BS (cos(ωt)) t = BS( sin(ωt)ω t) t Po proszczeni otrzymjemy wzór na siłę elektromotoryczną indkowaną w prądnicy prąd przemiennego: ε = BSωsin(ωt) względniając jeszcze fakt, że na ramkę nawinięto n zwojów przewodnika otrzymjemy: ε = nbsωsin(ωt) Widać, że zyskiwana w prądnicy siła elektromotoryczna zmienia się w czasie w sposób sinsodalny, w przypadk gdy w chwili początkowej kąt między wektorem normalnym (prostopadłym) do ramki a początkiem kład współrzędnych nie jest równy zero i wynosi ψ otrzymjemy ostateczną formłę na indkowaną w prądnicy siłę elektromotoryczną: ε = nbsωsin(ωt + ψ) = ε 0 sin(ωt + ψ) Warto zwrócić jeszcze wagę od czego zależy amplitda tego napięcia (ε 0 ); jest ona wprostproporcjonalna do ilości zwojów, indkcji magnetycznej, pola 11

powierzchni ramki na którą nawijamy cewkę i szybkości kątowej. Spodziewamy się zatem że prądnice przemysłowe (w których zależy nam przecież na syskiwani możliwie największych sił elektromotorycznych) będą rządzeniami dżymi (pole pow. ramki), ciężkimi (dża ilość zwojów i ciężkie rdzenie zwiększające indkcje magnetyczną) i wysokoobrotowymi (dża prądkość kątowa). Okazje się że rzeczywiście prądnice przemysłowe takie są. 5. Podstawowe pojęcia charakteryzjące prąd zmienny W wynik działania prądnicy otrzymjemy prąd przemienny sinsoidalny (prąd zmienny jest pojęciem bardziej ogólnym; np. nie msi on zmieniać kiernk). Napięcie takiego prąd ma oczywiście postać: = 0 sin(ωt + ψ) zaś jego kształt przedstawia poniższy rysnek: ψ o T pp t 0 amplitda lb wartość szczytowa napięcia, pp wartość międzyszczytowa napięcia, T okres zmian napięcia ψ faza początkowa. Wartość średnia półokresowa napięcia wnika z def. średniej wartości fnkcji: 1/2 S s S p Chcąc znaleźć średnią wartość napięcia msimy przybliżyć sinsa prostokątem o tym samym pol (S s = S p ) korzystając ze wzor na pole prostokąta mamy T 1/2 1/2 = S s stąd 1/2 = 1 T 1/2 S s, obliczając S s (całkowanie) T 1/2 12 = 2 Π 0 i podobnie I 12 = 2 Π I 0 12

Wartość średnia okresowa ze względ na symetrię sinsoidy wynosi zero. Wartość skteczna napięcia (natężenia) prąd zmiennego to taka wartość napięcia (natężenia) prąd stałego który płynąc w tych samych warnkach przeniesię tą samą energię. Zatem wyrażając moc przez natężenie prąd i rezystancję dla prąd zmiennego: P = R(I 0 sin(ωt)) 2 = RI 2 0 sin2 (ωt) Widzimy że moc ta zmienia się w czasie. Aby obliczyć jej wartość średnią w okresie posłżymy się sbtelnym rozmowaniem dr matematyki Łoskota z którym miałem przyjemność mieć zajęcia z analizy matematycznej. Aby obliczyć wartość średnią fnkcji f(x) = sin 2 (x) korzysta się z rachnk całkowego zaś wykonanie całki z kwadrat sinsa czy cosinsa jest nietrywialne. Warto jednak zaważyć rzecz następjącą, gdy popatrzymy na jedynkę trygonometryczną sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 oraz skorzystamy z fakt że fnkcja sin 2 (x) jest przesnięta względem fnkcji cos 2 (x) o Π 4 to widzimy że pola pod wykresami ob fnkcji w przedziale (0,2Π) są równe a zatem i ich wartości średnie są identyczne ale przecież (jedynka trygonometryczne) w smie mszą dać 1 więc: A zatem moc średnia wynosi: < sin 2 (x) >=< cos 2 (x) >= 1 2 < P >= RI 2 0 < sin2 (ωt) >= 1 2 RI2 0 = R( I 0 2 ) 2 Porównjąc to z mocą prąd stałego P = RI 2 sk. Z porównania ob mocy otrzymjemy: I sk = I 0 2 i podobnie sk = 0 2 13

6. Transformator rządzeniem wykorzystjącym zjawisko indkcji elektromagnetycznej jest tansformator. Składa się on z dwóch cewek połączonych (mówiąc precyzyjniej sprzężonych) rdzeniem z ferromagnetyka miękkiego. Transformator pracje tylko na napięci zmiennym, zaś jego działanie polega na zamianie (transformacji): napięcia, prąd i impedancji. I I 1 2 ε 1 n n ε 1 2 2 2 1 Φ Rsnek przedstawia transformator poglądowo, zaś jego zasada działania jest następjąca: Pod wpływem napięcia 1 podanego na zwojenie pierwotne zawierające n 1 zwojów zaczyna płynąć prąd i wytwarza on strmień magnetyczny Φ który w cewce obwod wtórnego indkje napięcie 2 Jak widać przyjmjemy następjąc nazewnictwo: obwód pierwotny (oznaczany konsekwentnie indeksem 1 ), do tego obwod doprowadzamy napięcie i obwód wtórny (z indeksem 2 ) będący obwodem wyjściowym zawierającym odbiornik. Wracając do opis transformatora. Zakładając że cewki transformatora są idealne, wytworzony w rdzeni strmien magnetyczny Φ indkje w cewce obwod pierwotnego napięcie ε 1 równe napięci 1 i wynosi ono: ε 1 = 1 = n 1 Φ t Natomiast w cewce obwod wtórnego indkje się napięcie ε 2 będące jednocześnie napięciem na odbiornk 2 i jest ono równe ε 2 = 2 = n 2 Φ t Dzieląc powyższe równania stronami otrzymjemy podstawową zależność opis- 14

jącą transformator: 1 2 = n 1 n 2 ( ) Wprowadzając z kolei pojęcie sprawności transformatora η określoną jako: η = P 2 P 1 możemy pomnożyć to równanie stronami przez P 1, skorzystać z definicji mocy (P = I) oraz ze wzor ( ) i dostaniemy kolejny wzór opisjący transformator: P 1 = η P 2 1 I 1 = η 2 I 2 1 2 = η I 2 I 1 n 1 n 2 = η I 2 I 1 W przypadk transformatora idealnego η = 1 i mamy ostatecznie: n 1 n 2 = I 2 I 1 = 1 2 Transformator mimo swojej prostoty znalazł szereg różnorodnych zastosowań; oto niektóre z nich: podwyższanie napięcia przemiennego w sieciach przesyłowych, obliżanie napięcia przemiennego w zasilaczach rządzeń np. domowego żytk, galwaniczna separacja obwodów np. dla podniesienia bezpieczeństwa (tzw. atotransformatory mające tyle samo zwojów w zwojeni pierwotnym co we wtórnym), dopasowywanie impedancyjne kładów danego rządzenia (aby przekaz energii między połączonymi rządzeniami był optymalny ich impedancje mszą być jednakowe), jako elementy obwodów rezonansowych, Interesjącym zagadnieniem, wartym szerszego omówienia, jest podwyższanie napięcia dla potrzeb sieci przesyłowych. Klasyczna prądnica przemysłowa wytwarza napięcie około 6000V i gdyby przesyłać taki prąd bezpośrednio to jego 15

natężenie byłoby stosnkowo dże i powodowałoby to spore straty w liniach przesyłowych. Proszę pamiętać że moc wydzielana np. na lini przesyłowej wyraża się wzorem: P = I 2 R a więc jest proporcjonalna do kwadrat natężenia prąd warto więc żeby natężenie to było jak najmniejsze. Dla przykład chcąc przesłać moc 6MW z elektrowni przy napięci 6000V okaże się że w lini przesyłowej popłynie prąd o natężeni ok. 1000A, natomiast gdy podniesiemy napięcie do 600000V to natężenie prąd w lini będzie wynosić jedynie 10A co spowodje że tracona moc zmniejszy się 10000 razy! 7. Energia pola magnetycznego Cewka o indkcyjności L, przez którą płynie prąd o natężeni I wytwarza pole magnetyczne. Można pokazać że energia tego pola wynosi: E = LI2 2 Gęstość energii pola magnetycznego Aby obliczyć gęstość energii skorzystamy z wyrażenia na indkcyjność zwojnicy oraz wyrazimy natężenie prąd w zwojnicy przez wartość wektora indkcji w jej wnętrz. L = µ 0Sn 2 B = µ 0In I = Bl l l µ 0 n l Po podstawieni L i I do wzor na energię pola megnetycznego otrzymamy: E = SlB2 2µ 0 E = VB2 2µ 0 Korzystając ze wzor na gęstość energii (w = E V ) otrzymjemy: w = B2 2µ 0 Otrzymany wynik zawiera bardzo ważną informację fizyczną: pole magnetyczne jest realnym obiektem materialnym, którem można przypisać określoną energię. 16

8. Obwody RLC prąd przemiennego, sinsoidalnego Analiza obwodów prąd zmiennego jest trdna przede wszystkim dlatego, że na poziomie licem nie są omawiane liczby zespolone który to formalizm mocno praszcza analizę takich obwodów. Omawiając obwody prąd zmiennego przyjmniemy następjące mowy: watości chwilowe napięcia czy natężenia oznaczamy małymi literami! wartości maksymalne napięcia oznaczamy z indeksem 0 wartości skteczne oznaczamy bez żadnego indeks prawa wyprowadzone dla wartości maksymalnych są identyczne jak dla wartości sktecznych (ponieważ są one do siebie proporcjonalne) Analizjąc obwody prąd zmiennego należy ważać; np. stosowane powszechnie w obwodach prąd stałego prawo Ohma NIE OBOWIĄZJE DLA WARTOŚCI CHWILOWYCH!!! Do analizy obwodów RLC prąd zmiennego potrzebny nam będzie opis jak zachowje się cewka (L) i kondensator (C) zasilony napięciem przemiennym, sinsoidalnym. CEWKA Rozważmy następjący kład: ε L i Pod wpływem prąd, którego wartość przyjmniemy dla proszczenia w postaci: na cewce indkje się napięcie: i = I 0 sin(ωt) ε = L i t 17

które na mocy II prawa Kirchhoffa jest równe napięci zasilania ε =. Z wagi na to, że wyrażenie i t jest formalnie pochodną prąd po czasie mamy: ε = = L di dt = L( i)( ) dla przyjętej przez nas wartości prąd, jego pochodna wynosi: i = i 0 ωcos(ωt) i po podstawieni do równania ( ) otrzymamy: ε = = i 0 ωlcos(ωt) ale przecież napięcie również powinno być sinsoidalne czyli mieć postać: = 0 sin(ωt + ψ) i po podstawieni otrzymjemy: 0 sin(ωt + ψ) = i 0 ωlcos(ωt) wykonajmy teraz takie operacje aby po obydw stronach równania był sins ; skorzystamy w tym cel ze wzor redkcyjnego (cos(α) = sin(90 α)) i z fakt, że fnkcja sins jest nieparzysta ( sin(α) = sin( α)) 0 sin(ωt + ψ) = i 0 ωlsin(90 o ωt) 0 sin(ωt + ψ) = i 0 ωlsin(ωt 90 o ) Porównjąc obie strony możemy wyciągnąć następjące wnioski: 0 = i 0 ωl porównjąc tą zależność z prawem Ohma ( = IR) mamy że wyrażenie ωl jest odpowiednikiem rezystancji dla prąd stałego; nazywa się ona REAKTANCJĄ indkcyjną, zatem: X L = ωl ψ = 90 o oznacza to, że napięcie WYPRZEDZA prąd o 90 o (dla zrozmienia należy przypomnieć że jeżeli fnkcję f(x) przesniemy o wektor [p,q] to otrzymamy fnkcję: g(x) = f(x p) + q) Dla graficznego przedstawienia jak zachowją się względem siebie napięcia i prądy przemienne stosjemy tzw. wykresy wskazowe. Wskazem nazywamy wirjącą z 18

prędkością kątową ω strzałkę (proszę nie mylić jej z wektorem) o dłgości takiej jak amplitda napięcia czy natężenia prąd przemiennego. Wirowanie odbywa się przeciwnie do rch wskazówek zegara. Koniec takiej strzałki zrztowany na odcinek daje kolejne wartości fnkcji sins czy kosins a zatem moąe je reprezentować; widać do dokładnnie na poniższym rysnk. ω (5) (4) (3) (2) (1) 0 90 180 270 360 Wirjąca z prędkością kątową ω strzałka rysje po zrztowani na prostą kolejne wartości fnkcji sins. Dla cewki zasilonej napięciem sinsoidalnym, wykres wskazowy ma postać: 0 = ε 0 I 0 KONDENSATOR Rozważmy następjący kład: ω c C Zakładając dla proszczenia że w kładzie płynie prąd o natężeni: i 19

i = I 0 sin(ωt) oraz korzystając ze wzor na pojemność kondensatora i z definicji natężenia prąd otrzymjemy równanie określające zmiany natężenia prąd w obwodzie zkondensatorem C = q q = C idt = C Jedyna trdność to oczywiście całka określająca ilość ilość ładnk przenoszonego przez płynący prąd; można pokazać że wynosi ona: idt = A zatem napięcie w obwodzie ma postać: = 1 C I 0 sin(ωt)dt = I 0 1 ω cos(ωt) idt = I 0 1 ωc cos(ωt) Postępjąc podobnie jak dla cewki, oraz korzystając ze wzor sin(180 α) = sin(α) doprawadzamy powyższy wynik do postaci: = 0 sin(ωt + ψ) 1 = I 0 ωc cos(ωt) = I 1 0 ωc sin(90 ωt) = I 1 0 ωc sin(ωt + 90) Porównjąc oba równania możemy wyciągnąć następjące wnioski: 1 0 = I 0 ωc porównjąc tą zależność z prawem Ohma ( = IR) mamy że wyrażenie 1 ωc jest odpowiednikiem rezystancji dla prąd stałego; nazywa się ona REAKTANCJĄ pojemnościową, zatem: X C = 1 ωc ψ = 90 o, co oznacza że napięcie OPÓŹNIA się względem prąd o 90 o 20

Można więc narysować wykres wskazowy i jest on następjący: ω I 0 0 = C REZYSTOR W tym przypadk mamy identyczną sytację jak dla prąd stałego; nie ma żadnego przesnięcia między napięcem na rezystorze a natężeniem prąd płynącego przez niego. Podsmowjąc można narysować zależności rezystancji, reaktancji indkcyjnej i reaktancji pojemnościowej od częstotliwości; R X X L C X L OBWÓD RL, SZEREGOWY R X C f Rezystancja nie zależy od częstotliwości, reaktancja indkcyjna jest wprostproporcjonalna do częstotliwości, zaś reaktancja pojemnościowa jest odwtotnie proporcjonalna do częstotliwości Zawiera on połączone szeregowo rezystor i cewkę, jak pokazano to na rysnk: L R L R i Przyjmjąc, podobnie jak poprzednio dla proszczenia, że natężenie prąd wynosi: i = I 0 sin(ωt) możemy łatwo narysować wykres wskazowy, ponieważ napięcie na rezystorze jest w fazie z natężeniem zaś napięcie na cewce wyprzedza 21

natężenie o 90 o L0 0 ϕ R0 i 0 Z wykres widać, że 2 0 = 2 R + 2 L i po skorzystanio z prawa Ohma dla poszczególnych elementów i dla obwod otrzymamy: I 2 z 2 = I 2 R 2 + I 2 X 2 L z = R 2 + ω 2 L 2 Otrzymana wielkość to impedancja jest to zmiennoprądowy odpowiednik rezystancji. Kąt ϕ to tzw. kąt przesnięcia fazowego; jego wartość jest równie łatwa do policzenia: tan(ϕ) = L0 R0 = IωL IR tan(ϕ) = ωl R OBWÓD RC, SZEREGOWY C R C R i Przyjmjąc, podobnie jak poprzednio dla proszczenia, że natężenie prąd wynosi: i = I 0 sin(ωt) możemy łatwo narysować wykres wskazowy, ponieważ napięcie na rezystorze jest w fazie z natężeniem zaś napięcie na kondensatorze opóźnia się względem natężenia o 90 o ϕ R0 i 0 C0 0 Z wykres widać, że 2 0 = 2 R + 2 C 22 i po skorzystanio z prawa Ohma dla

poszczególnych elementów i dla obwod otrzymamy: I 2 z 2 = I 2 R 2 + I 2 X 2 C z = R 2 + 1 ω 2 C 2 Otrzymana wielkość to impedancja jest to zmiennoprądowy odpowiednik rezystancji. Kąt ϕ to tzw. kąt przesnięcia fazowego; jego wartość jest równie łatwa do policzenia: tan(ϕ) = C0 = I 1 ωc R0 IR tan(ϕ) = 1 ωrc Rezonans napięć (połączenie szeregowe) Rozważmy obwód szeregowy RLC taki jak na poniższym rysnk: L C R L C R i Dla małych częstotliwości będzie dominowała reaktancja pojemnościowa (X C 1 f ) i obwód będzie miał charakter pojemnościowy, zaś dla dżych częstotliwości reaktancja indkcyjna (X L f) i obwód będzie miał charakter indkcyjny. Zatem wykresy wskazowe dla X L > X C (dże częstotliwości) i X C > X L (małe częstotliwości) są następjące: L0 L0 R0 L0 C0 R0 L0 C0 I 0 I 0 C0 23 C0

Z których widać, że 2 0 = 2 R + ( L C ) 2 a zatem postępjąc podobnie jak dla obwodów RC i RL możemy policzyć impedancję: I 2 z 2 = I 2 R 2 + I 2 (X L X C ) 2 z = i kąt przesnięcia fazowego: R 2 + (ωl 1 ωc )2 tan(ϕ) = L0 C0 = I(X L X C ) R0 IR tan(ϕ) = ωl 1 ωc R W przypadk gdy X L = X C następje rezonans; napięcie na cewce i na kondensatorze znoszą się (stąd nazwa rezonans napięć) i wówczas wartości chwilowe są następjące: L0 R0 I 0 2ΠLf 0 = 1 2ΠCf 0 f 2 0 = 1 4Π 2 LC f 0 = 1 2 LC f 0 2ΠL C0 W czasie rezonans w obwodzie znaczenie ma tylko rezystor bo z(f 0 ) = R. Impedancja ma zatem wartość najmniejszą a więc natężenie prąd w obwodzie dla częstotliwości rezonansowej będzie maksymalne; pokazano to na poniższych wykresach: z i f 0 f f 0 f 24

Fala elektromagnetyczna Falą elektromagnetyczną nazywamy kład zmiennich sinsoidalnie w czasie i prostopadłych do siebie pól; elektrycznego ( E) i magnetycznego ( B). kiernek drgan wektora E E kiernek drgan wektora B B kiernek propagacji Fala elektromagnetyczna może rozchodzić się nawet w próżni a jej prędkość w danym ośrodk można wyrazić wzorem: v = 1 µε W przypadk próżni µ = µ 0 = 4Π 10 7H m i ε = ε 0 = 8,85 10 12F m i po podstawieni do wzor na prędkość fali elektromagnetycznej otrzymjemy: v = c = 3 10 8m s Falę elektromagnetyczną można wytworzyć w tzw. obwodzie nadawczym, który powstaje z obwod LC w następjący sposób: C C C L L zrodlo energii L emisja fali obwod LC C obwod nadawczy C Częstotliwość tej fali jest oczywiście częstotliwością rezonansową obwod LC czyli wynosi: 1 f = 2Π LC 25

Fale elektromagnetyczne obejmją bardzo szeroki zakres dłgości i w zależności od tejże dłgości mają różne nazwy i zastosowania. Zaczynając od fal NAJDŁŻSZYCH mamy: fale radiowe przekaz informacji, fale telewizyjne przekaz informacji, mikrofale przekaz informacji (tech. satelitarna i tel. komórkowe i sieci WiFi), kchenki mikrofalowe, promieniowanie podczerwone przekaz informacji światło widzialne promieniowanie elektromagnetyczne możliwe do zarejstrowania przez człowieka bezpośrednio, promieniowanie ltrafioletowe prodkcja procesorów, promieniowanie Roentgena (X) prześwietlenia, analiza kryształów, promieniowanie gamma (γ) sterylyzacja, Równania Maxwella Są one streszczeniem i ogólnieniem wiedzy z elektryczności i magnetyzm I prawo przyczyną pojawienia się pola magnetycznego jest prąd lb zmienne w czasie pole elektryczne: jest to ogólnienie prawa Ampera B l = µ0 i + ǫ r ǫ 0 S E II prawo przyczyną pojawienia się wirowego, zmiennego pola elektrycznego, jest zmienne pole magnetyczne t E l = Φ t Φ t = 0 E = 0 jest to ogólnione prawo indkcji Faradaya III prawo Źródłem pola elektrycznego jest ładnek elektryczny E S = Q 26 ǫ 0

jest to ogólnione prawo Gassa IV prawo Nie istnieją odosobnione biegny magnetyczne będące źródłem pola magnetycznego E S = 0 jest to konsekwencja fakt, że linie pola magnetycznego tworzą krzywe zamknięte 27