Astronomia II, ćwiczenia, podsumowanie 1 Wielkościgwiazdowe Definicja wielkości gwiazdowej: Kolokwium I m= 2.5log F F 0, (1) gdzief jestnateżeniempromieniowaniapoch adz acego od danej gwiazdy, af 0 nateżeniempromieniowaniagwiazdy,dlaktórejzostałoustalonem=0 (imjaśniejszagwiazda,tymmniejszajejwielkośćgwiazdowa!).nateżeniepromieniowania, przy założeniu, że gwiazda jest ciałem doskonale czarnym można wyrazić wzorem: F= σt4 4πR 2 4πd 2, (2) gdzieσjeststał astefana-boltzmanna,ttemperatur aefektywn agwiazdy, Rpromieniemgwiazdy,dodległości agwiazdy. Wielkościgwiazdowemówi anam,jakijeststosuneknateżeniapromieniowania jednej gwiazdy do drugiej: m 1 m 2 = 2.5log F 1 F 2. (3) Wceluporównania,którazdwóchgwiazdjestjaśniejszaużywasieabsolutnych wielkości gwiazdowych- jansności jakie miałyby te gwiazdy obserwowane zjednakowejodległościwynosz acej 10pc(parseków). M= 2.5log F(d=10pc) F 0. (4) Różnica jasności obserwowanej i absolutnej danej gwiazdy nazywana jest modułem odległości: m M= 2.5log F(d[pc]) F(10pc) = 2.5log(10pc)2 (d[pc]) 2=5logd[pc] 5. (5) ac od gwiazdy do obserwatora, ulega po drodze Formułatawykorzystywanajestprzypomiarachodległościzapomoc atzw. świec standardowych, czyli ciał niebieskich, których jasność absolutna jest przewidywalna(gwiazdypulsuj ace, supernowe). Promieniowanie,pod ażaj rozproszeniuiabsorpcji.sumatychdwóchzjawisknosinazweekstynkcji.sprawiaona,żegwiazdystaj asieciemniejsze,czylirośnieichwielkośćgwiazdowao zależnyododległościczłona(d).zawieraj acaekstynkcjewielkośćgwiazdowa: 1
m= 2.5log F F 0 +A(d), (6) moduł odległości: m M=5logd[pc] 5+A. (7) 2 Sferaniebieskaiukładywspółrzednych Odległościdogwiazds atakduże,żewpierwszymprzybliżeniumożnaprzyj ać, żeleż aonewjednakowejodległości,czylis a rozmieszczone na sferze o olbrzymim a.wśrodkutejsferyznajdujesieziemia(1), promieniu,zwanymsfer aniebiesk leczzewzgledunafakt,żejejpromieńjestznikomomaływporównaniuz odległościamigwiazd,możnaprzyj ać, że każdy z obserwatorów na powierzchni Ziemi jest w środku sfery niebieskiej. Promień Ziemi jest jednak na tyle duży, żeobserwatorowinaziemiwydajesie,żejestonapłaskaiwidzitylkopołowe sferyniebieskiej,oddzielon a od drugiej połowy horyzontem fizycznym(horyzont astronomiczny jest widoczny tylko na spokojnym morzu lub oceanie, 2). Rysunek 1: Ziemia z obserwatorem i sfera niebieska Ziemia,jakkażdeinneciało,poruszasiewprzestrzeni.Pierwszym,najlepiej widocznymruchemjestruchobrotowywokółositrwaj acyniecoponad24godziny,objawiaj acysieci agłymprzemieszczaniemsiewszystkichciałniebieskich 2
Rysunek 2: Sfera niebieska i punkty kardynalne na horyzoncie ponieboskłoniepotorachbed acych kołami. Miejsca na sferze niebieskiej, przez któreprzechodziośobrotuziemipozostaj a nieruchome w ruchu obrotowym i zwanes abiegunaminieba,aośobrotuniebanazywasieosi a świata(oczywiście ośświataiośobrotuziemitojestjednaitasamaoś).kołowielkie(czylikoło, powstaj acewwynikuprzecieciasferypłaszczyzn aiktórezawieraśrednicesfery) prostopadłe do osi świata to równik niebieski(leży on w jednej płaszczyźnie z równikiem Ziemi, 3). DrugimrodzajemruchuZiemijestruchorbitalnydookołaSłońca,trwaj acy około365dni.obserwatorowinaziemiwydajesie,żetosłońceporuszasie wokół Ziemi, a odwzorowaniem tego ruchu na niebie jest koło wielkie zwane ekliptyk a(4). Gdyby oś obrotu Ziemi była prostopadła do płaszczyzny orbity, równikniebieskiiekliptykapokrywałybysie.ośobrotujestjednaknachylona dopłaszczyznyorbityok atǫ=23 27.Wzwi azku z tym ekliptyka jest kołem wielkimnachylonymdorównikaniebieskiegooǫ.punktyprzecieciarównikai ekliptykinosz anazwygwiazdozbiorów,wktórychznajdowałysie,gdynadawano imnazwy(aterazs a w innych wskutek precesji). Punkt, w którym Słońce znajdujesieprzedprzejściemnapółnocn astroneniebanosinazwepunktubarana (tusłońceznajdujesiepierwszegodniawiosnyczyliokoło21marca).nastepnie Słońcewznosisiepoekliptyce,aż22czerwcaosi aga maksymalne wychylenie na północbed acwpunkcieraka,poczymznowuzaczynazbliżaćsiedorównika, przecinaj acgowpunkciewagiokoło23września.potemprzechodzinapołu- 3
O ś św ia t a o Rysunek 3: Sfera niebieska i równik niebieski dniowa cześć niebia, osiagaj ac wychylenie około 22 grudnia (punkt najwieksze koziorożca), po czym wraca znowu do punktu barana. 2.1 Układy współrzednych na sferze niebieskiej Aby orientować sie na sferze niebieskiej i przekazywać informacje pomiedzy ob serwatoriami należało wprowadzić na sferze niebieskiej współrzedne, jednoznacznie definiujace położenie ciała niebieskiego. Doskonale do tego celu nadaja sie współrzedne sferyczne. Do połóżenia na niebie wystarczaja tylko dwie z tych współrzednychdwa k aty, liczone od dwóch prostopadłych do siebie płaszczyzn. Pierwszym układem współrzednych, jest układ horyzontalny, czyli układ, w którym płaszczyzna podstawowa jest horyzont. Pierwszym katem definiujacym położenie gwiazdy jest wysokość nad horyzontem H (5), mierzona oczywiście prostopadle do horyzontu. Gwiazdy znajdujace sie ponad horyzontem maja wy sokość dodatnia, pod horyzontem ujemn a. Drug a a jest kat współrzedn pomiedzy kierunkiem na punkt południa, a kierunkiem na punkt, leżacy na horyzoncie pod gwiazda (czyli kat pomi edzy kołem przechodz acym przez zenit, nadir i punkt po łudnia, oraz kołem przechodzacym przez zenit, nadir oraz dane ciało niebieskie) zwany azymutem A. Liczony jest on on punktu południa w kierunku zachodnim (gwiazda leżaca nad punktem południa ma azymut 0, nad punktem zachodu 90, nad punktem północy 180 oraz nad punktem wschodu 270 ). Współrzedne 4
Rysunek 4: Ekliptyka. tenies auniwersalne-nieboobracasieiwszystkieciałaniebieskiezmieniaj awysokość i azymut, a dodatkowo w danym momencie każdy obserwator na Ziemi mainnewspółrzednehoryzontalnedanegociałaniebieskiego. Dwanastepneukładywspółrzednychzwi azanes a z równikiem niebieskim. K atpomiedzyciałemniebieskimirównikiem(analogicznydowysokości)nazywanyjestdeklinacj aδ(6)ijestonjednakowywobuukładachwspółżzednychrównikowych.gwiazdyleż acenapółnocodrównikamaj adeklinacjedodatni a,napołudniezaśujemn a. W pierwszym układzie zwanym równikowym godzinnymdrugawspółrzednajestk atempomiedzykołemprzechodz acym przez bieguny niebieskie oraz zenit i nadir, które nazywane jest południkiem lokalnym,orazkołemprzechodz acym przez bieguny niebieskie i dane ciało niebieskie.współrzednatanosinazwek ata godzinnego t, i mierzona jest również w kierunku zachodnim. W wyniku ruchu obrotowego Ziemi, deklinacja pozostajeniezmienna,natomiastk atgodzinnyciałastalenarasta.k at godzinny najcześciejpodajesiewmierzegodzinnejk ata(24 h =360 ),bojestonściśle zwi azanyzczasemgwiazdowym.podobniejakwprzypadkuwspółrzednychhoryzontalnych,każdyobserwatornaziemimainnyk at godzinny danego ciała wdanejchwili,aleprzeliczenietejwspółrzednej,gdyznanes a długości geograficzne miejsc obserwacji jest trywialne. Drugiukładwspółrzednychrównikowychjestbardziejuniwersalnyiwnim podawanes awspółrzedneciałniebieskichwkatalogach.pierwsz awspółrzedn a 5
Rysunek5:Współrzednehoryzontalne jestoczywiściedeklinacja,druganatomiasttok atpomiedzykołemprzechodz acym przez bieguny niebieskie oraz punkt barana, którego położenie na tle gwiazd w krótkich skalach czasowych(kilkanaście lat) jest praktycznie niezmienne. Współrzednatanosinazwerektascensjiα(7)ijestliczonawkierunkuwschodnim(przeciwnieniżazymutik at godzinny, co też ma praktyczne zastosowanie w pomiarach czasu, o czym później). W długich skalach czasowych deklinacja i aosiob- rektascensjagwiazdteżulegaj aczmianom.zwi azanejesttozprecesj rotu Ziemi dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny orbity Ziemi(precesja jest wywołanaprzezoddziaływaniesłońcaiksieżycanaziemie,którejośobrotu niejestprostopadładopłaszczyznyorbityziemiiksieżyca,jejokreswynosi 26000lat,8).Ciałaniebieskiezmieniaj aswojewspółrzednerównieżwwyniku ruchów własnych(szczególnie łatwo zauważalnych w przypadku planet Układu Słonecznego,którewci agukilkudnidosyćznaczniezmieniaj gwiazd). apołożenienatle 6
Rysunek6:Współrzednerównikowegodzinne 7
Rysunek7:Współrzednerównikowerównonocne aβ(9).druga Kolejnyukładwspółrzednychzwi azanyjestzekliptyk a.k atpomiedzykierunkiemnagwiazdeiekliptyk azwanyjestszerokości aekliptyczn współrzednaliczonajestanalogiczniedorektascensjiijestk atempomiedzy kołemprzechodz acym przez bieguny ekliptyki i punkt barana oraz kołem przechodz acymprzezbiegunyekliptykiiciałoniebieskie.nosionanazwedługości ekliptycznej λ i mierzona jest w kierunku wschodnim. Precesja sprawia, że oś światarotujewokółosiprzechodz acejprzezbiegunyekliptykiacozatymidzie punktbaranaprzemieszczasiepoekliptycewkierunkuzachodnimipełnyobieg ekliptykizajmujemu26000lat.zalet awspółrzednychekliptycznychjestto,że precesjaniezmieniaszerokościekliptycznej,adługośćekliptycznazmieniasie wbardzoprostysposób-wwynikuprzemieszczaniasiepunktubaranaruchem jednostajnym po ekliptyce, długość ekliptyczna ciał niebieskich narasta również jednostajnie. 8
Rysunek 8: Zjawisko precesji osi obrotu Ziemi. 9
Rysunek9:Współrzedneekliptyczne 10
3 Trójk atysferyczneiprzeliczaniewspółrzednych z' z B c A a b C y' b C''' A-90 y C'' C' x=x' Rozpatrzmytrójk atsferyczny(czylipowstaj acywwynikuprzecieciatrzech KÓŁWIELKICH,promieńsferyniechwynosi1)jakna3.Układwspółrzednych xyzjesttaki,żeośzprzechodziprzezpunktatró jk ata,abokcleżywpłaszczyźnieyz.zapiszmyterazwspółrzednex,yizpunktucwtymukładzie: x=sinbsina, (8) y= sinbcosa, (9) z=cosb. (10) Obracamyterazukładwspółrzednychwokółosix=x,otrzymuj ac układ x y z taki,żeośz przechodziprzezpunktb.wnowymukładziewspółrzedne punktucwynosz a: x =sinasinb, (11) y =sinacosb, (12) z =cosa. (13) 11
Zgeometriiznanes awzorynaprzekształceniawspółrzednychprzyobrocie ok atcdookołaosix: x =x, (14) y =zsinc+ycosc, (15) z =zcosc ysinc. (16) Popodstawieniudotychwzorówwspółrzednychzwzorów1-6otrzymujemy trzy wzory: sinasinb=sinbsina, (17) sinacosb=cosbsinc sinbcosccosa, (18) cosa=cosbcosc+sinbsinccosa. (19) TosamomożnazrobićdlapunktówAiBotrzymuj ac analogiczne wzory sinbsinc=sincsinb, (20) sinbcosc=coscsina sinccosacosb, (21) cosb=cosccosa+sincsinacosb, (22) sincsina=sinasinc, (23) sinccosa=cosasinb sinacosbcosc, (24) cosc=cosacosb+sinasinbcosc. (25) Terazweźmytrójk at z wierzchołkami w zenicie, biegunie niebieskim(północnym ale południowy też oczywiście działa) i jakiejś gwieździe(rysunek 10). awspółrzedne Wtakimtrójk acie,zwanymtrójk atemparalaktycznym,wystepuj horyzontalne oraz równikowe godzinowe. Może zatem służyć on do przeliczania jednychwspółrzednychnadrugiedladanegoczasuimiejscaobserwacji. Analogicznetrójk atykonstruujesiedoprzeliczaniawspółrzednychrównikowych równonocnych na ekliptyczne i odwrotnie. 12
Rysunek10:Trójk at paralaktyczny 13
4 Refrakcja Światłogwiazdy,przechodz acprzezatmosfereziemsk a, ulega załamaniu na poszczególnych warstwach(zmiana parametrów atmosfery sprawia, że obszar zmianyjestgranic a, na której zachodzi załamanie). Dla pewnego zakresu odległościzenitalnych(dookoło45 )atmosferemożnaprzybliżyćjakozłożon a z wielu płasko-równoległych warstw, przy czym każda ma współczynnik załamaniaµ i,gdzieiprzebiegaod1don,gdzie1odpowiadawarstwiepołożonej najbliżejpowierzchni,anwarstwiepołożonejnadostatni agranic a.zniechoznaczapocz atkow aodległośćzenitaln agwiazdy,z n 1,z n 2 itd.odległościzenitalne wposzczególnychwarstwachatmosfery,az odległośćzenitaln aobserwowan az Ziemi(por. 11). Wtedy dla każdej warstwy możemy zapisać prawo załamania: sinz sinz n 1 =µ n 1, (26) sinz n 1 sinz n 2 = µ n 2 µ n 1, (27) i tak dalej, aż dochodzimy do warstwy przy powierzchni Ziemi: sinz 1 sinz = µ 0 µ 1. (28) Mnoż ac lewe strony wszystkich tych praw załamania dla kolejnych warstw otrzymujemy sinz sinz,natomiastzprawejstronypozostajeµ 0.Zapisuj acz=z +R, gdzierjestk atem refrakcji otrzymujemy: czyli sin(z +R)=µ 0 sinz, (29) sinz cosr+cosz sinr=µ 0 sinz. (30) K atrjestmałymk atem,zatemprzyjmujemycosr=1,sinr=r sin1. Wtey nasz wzór otrzymuje postać: sk adotrzymujemywzórnarefrakcje: (µ 0 1)sinz =R sin1 cosz, (31) R = µ 0 1 sin1 tgz =αtgz. (32) Współczynnik α wyrażamy w sekundach łuku. Za;eży on od ciśnienia i temperatury,adlaciśnienia760mmitemperatury0 Cwynosi60,3.Wzórdziała tylkodlaodległościzenitalnychniewiekszychod45.nahoryzoncierefrakcja wynosiokoło35. 14
Rysunek 11: Zjawisko refrakcji atmosferycznej 15
Kolokwium II 5 Paralaksa Zjawisko paralaksy polega na tym, że wskutek zmiany położenia obserwatora bliższeobiektyzmieniaj a położenie na tle dalszych. W astronomii dotyczy to bliżejleż acych gwiazd, które wskutek ruchu orbitalnego Ziemi(paralaksa heliocentryczna)zmieniaj a położenie na tle odleglejszych gwiazd. W wyniku tego zjawiskagwiazdyzakreślaj ananiebiewci agurokuelipsyotymwiekszym spłaszczeniu im mniejsza jest ich szerokość ekliptyczna β(czyli im bliżej leża płaszczyznyorbity).wzórnaparalaksejestnastepuj acy: π=π 0 sinψ, (33) gdzieπ 0 jestparalaks aroczn a,októrejbedziezachwileaψk atempomiedzy kierunkiemnagwiazdeikierunkiemnasłońce.odzjawiskaparalaksypochodzi jednostka odległości zwana parsekiem. Parsek zdefiniowany jest jako odległośćm zktórejpromieńorbityziemi(150mlnkm)widzianyjestpodk atem1.odległośćtawynosi3,26rokuświetlnego.zatemparalaksarocznagwiazdyleż acej wodległości1pcwynosiπ 0 =1,czyliotylemaksymalniezmienisiepołożenie gwiazdynaniebiewskutekparalaksy(wzgledempołożeniaśredniego).gwiazda leż acawodległości2pcmaparalakseroczn aπ 0 =0,5. 16
Rysunek 12: Zjawisko paralaksy heliocentrycznej 17
6 Aberracjaastronomiczna Zjawiskoaberracjiastronomicznejzwi azanejestzruchemziemiwzgledemgwiazd. Najwiekszeznaczeniewobserwacjachmaaberracjarocznawynikaj acazorbitalnegoruchuziemidookołasłońca.aberracjemożnazrozumiećprzezanalogie doczłowiekaid acegozparasolempodczasdeszczupadaj acego w twarz. Gdy stoionwmiejscutrzymaparasoltak,abyjegoośbyłarównoległadokierunku padaniadeszczu.gdyzaczniesieporuszać,abydeszczniepadałnaniegomusi pochylićparasolniecobardziej,gdyżwydajesie,żedeszczpadazniecoinnego kierunku-bardziejpoziomo.podobniejestzgwiazdami-ziemiaporuszasiei kierunek jej ruchu w przestrze jest zmienny zatem w zależności od tego gdzie zmierzaziemia,gwiazdybed awidzianewniecoinnychkierunkachniżs aw rzeczywistości.wzórokreślaj acyaberracjemapostać: k=20,5 sinθ, (34) gdzieθjestk atempomiedzykierunkiemnagwiazdeakierunkiem,wktórym zmierza Ziemia(punkt na sferze niebieskiej, w który skierowany jest wektor predkościzieminazywanyjestapeksemipod ażaonpoekliptyce90 zasłońcem). Rysunek 13: Zjawisko aberracji rocznej 18
7 Czas 7.1 Czasgwiazdowy CzasgwiazdowywdanymmiejscunaZiemidefiniujesiejakok at godzinny punktubarana,czylikiedypunktbaranaznajdujesienapołudnikulokalnym (góruje)mamygodzine0:00czasugwiazdowego.zdrugiejstronymożnazauważyć,żek at godzinny punktu barana równy jest rektascensji gwiazdy, która górujewdanymmomencie.wiecostatecznieczasgwiazdowyrównyjestk atowi godzinnemupunktubaranaorazrektascensjigwiazdygóruj acej: T =t γ =α g.górujacej. (35) Oczywiście na różnych długościach geograficznych w danym momencie górój a różne gwiazdy, czyli na każdym południku mamy inny czas gwiazdowy. 7.2 Czassłoneczny Podobnie do czasu gwiazdowego zdefiniowany jest czas prawdziwy Słoneczny: jesttok atgodzinnysłońcapowiekszonyo12godzin(abygdyk at godzinny Słońcawynosi0 h,czyligdysłońcegóruje,czassłonecznywynosił12 h ). T =t +12 h. (36) Zewzgledunato,żeZiemiaobiegaSłońce,jejpełenobrótwzgledemSłońca trwaniecodłużejniżpełenobrótwzgledemodległychgwiazd,zatemdobagwiazdowa jest nieco krótsza niż doba słoneczna, czyli 1 sekunda czasu gwiazdowego jest krótsza od sekundy czasu słonecznego. Pełen obieg Ziemi dookoła Słońca, czyli rok, trwa około 365,25 dób słonecznych i 366,25 dób gwiazdowych. Można st ad policzyć, że stosunek różnicy czasu wyrażonej w czasie gwiazowym i różnicy czasu wyrażonej w czasie słonecznym wynosi k= 366,25 =1,0027. (37) 365,25 T =t +12 h. (38) Czas prawdziwy słoneczny może być wprost odczytywany z zegarów słonecznych, ale oczywiście dla każdej długości geograficznej jest on inny, a ponadto Słońceporuszasieniejednostajniepoekliptyce(boorbitaZiemijesteliptyczna) wwynikuczegodobysłonecznenies a sobie równe. Aby wyrównać doby słonecznewprowadzonoczasśrednisłoneczny.wtymceluwprowadzonopojecie Słońcaśredniego,czylipunktunasferzeniebieskiej,któryporuszasieporówniku niebieskimjednostajniewci agu roku. Czas średni słoneczny jest zdefiniowany podobniejakczasprawdziwysłoneczny-jesttok at godzinny Słońca średniego zwiekszonyo12godzin: Różnicapomiedzyczasemsłonecznymśrednimiczasemsłonecznymprawdziwym(równaróżnicyk ata godzinnego Słońca średniego i Słońca prawdziwego) 19
nazywanajestrównaniemczasueijegoprzebiegwci agurokumożebyćobliczony przy znajomości parametrów orbity Ziemi: E=T T =t t. (39) Czas ten jest również inny dla każdej długości geograficznej, dlatego wprowadzonodoużytkuczasstrefowy.wtymceluziemiepodzielonona24plastry wzdłużpołudników.pierwszastrefaczasowa,wktórejczasnazywasieuniwersalnymzbudowanajestnapołudniku0.szerokośćkażdejstrefywynosi15, czyliczasuniwersalnyobowi azujepomiedzypołudnikami7,5 Ea7,5 W (w azuje).w rzeczywistościposzczególnekrajedecyduj a,którastrefawnichobowi danej strefie czas jest taki, jaki jest czas średni słoneczny na środkowym południkutejstrefy,czyliczasutjesttaki,jakijestwdanejchwiliczasśredni słonecznyna0 południku. Przykładowe zagadnienie: Znamyrównanieczasudanegodnia,długośćgeograficzn a miejsca obserwacji oraz mamy zegar słoneczny. Jak określić czas strefowy? Rozwi azanie: Zzegarasłonecznegoodczytujemygodzine-tojestczasprawdziwysłoneczny T.Dodaj ac do tego czasu równanie czasu E otrzymujemy czas śrefni słoneczny T nadługościgeograficznej,naktórejsieznajdujemy.nastepnieobliczamyjaki jestśrodkowypołudnikstrefyczasowej,wktórejsieznajdujemyijakajestróżnica długości geograficznej naszej i środkowego południka strefy λ(w mierze godzinowej).odczasuśredniegosłonecznegot odejmujemyróżnicedługości geograficznej λ i wynik tego działania jest szukanym czasem strefowym. 8 Przeliczaniewspółrzednych Jakwspomnianojużwcześniej,doprzeliczaniajednychwspółrzednychnadrugie służ atrójk aty złożone z obiektu oraz odpowiednich biegunów, np. w przypadku współrzednychhoryzontalnychirównikowychgodzinnychjesttotrójk at paralaktyczny. Aby obliczyć wysokość i azymut jakiegoś ciała niebieskiego musimy znaćjegodeklinacjeik atgodzinnyorazszerokośćgeograficzn a miejsca obserwacji.deklinacjajestniezmienn awspółrzedn a,jednakk at godzinny ciała zmienia siezobrotemziemiijestinnydlakażdegopołudnika.abygoobliczyćmusimy znaćczasgwiazdowywmiejscuobserwacji(czylik at godzinny punktu barana) orazrektascensjeinteresuj acegonasobiektu,wtedyk at godzinny ciała jest różnic a czasu gwiazdowego oraz rektascensji ciała. 20