ANALIZA ZYSKOWNOŚCI PRODUKTÓW UBEZPIECZEŃ NA ŻYCIE

Prace Naukowe Instytutu Organizacji i Zarządzania Nr 75 Politechniki Wrocławskiej Nr 75 Studia i Materiały Nr 7 2004 Wojciech BIJAK * Maja MANDELA ** Łukasz DELONG *** ss. 5 30 ANALIZA ZYSKOWNOŚCI PRODUKTÓW UBEZPIECZEŃ NA ŻYCIE Cele pracy jest przedstawienie odelu analizy zyskowności produktów ubezpieczeń na życie (testu zyskowności) oraz wyników syulacji zyskowności wybranych produktów w zależności od ziany poszczególnych paraetrów uwzględnionych w odelu. Prezentowany w pracy odel pozwala poddać analizie zarówno tradycyjne, jak i uniwersalne produkty ubezpieczeń na życie. Uożliwia on badanie wpływu zian czynników zewnętrznych w stosunku do przedsiębiorstwa (takich, jak np. stopy procentowe) oraz wewnętrznych (np. paraetrów określających produkty) na zyskowność poszczególnych produktów i portfela ubezpieczeniowego łącznie. Badania ogą być prowadzone w drodze analizy scenariuszy lub syulacji stochastycznej. Narzędzie do analizy zyskowności ubezpieczeń na życie zostało stworzone przy wykorzystaniu arkusza kalkulacyjnego MS Ecel 2000 oraz języka Visual Basic 2000.. CEL I ZAKRES PRACY.. WPROWADZENIE Firy ubezpieczeniowe są nastawione na zdobywanie i utrzyywanie pozycji rynkowej iędzy innyi poprzez oferowanie konkurencyjnych produktów ubezpieczeniowych oraz utrzyanie jak najwyższego poziou rentowności swojej działalności. Realizacja powyższych celów wyaga prowadzenia dokładnych analiz zyskowności oferowanych produktów oraz produktów będących dopiero w fazie projektowania. Brak takich analiz zwiększa ryzyko utraty udziału zakładu ubezpieczeń w rynku oraz oże narazić firę na poważne straty finansowe wynikające z wprowadzenia na ry- * Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Instytut Ekonoetrii; wojciech.bijak@sgh.waw.pl ** Ernst & Young Audit Sp. z o. o.; aja.andela@pl.ey.co *** Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Instytut Ekonoetrii; lukasz.delong@sgh.waw.pl

6 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong nek nieopłacalnych produktów, a w konsekwencji zagrozić jej wypłacalności i istnieniu. Konieczność stałego onitorowania produktów ubezpieczeń na życie została dostrzeżona przez organy regulujące rynek ubezpieczeniowy i została wprowadzona do przepisów prawa dotyczących działalności ubezpieczeniowej. Zgodnie z Rozporządzenie Ministra Finansów z dnia 6 grudnia 2003 roku zakłady ubezpieczeń na życie zostały zobowiązane dla każdego z oferowanych oraz wprowadzanych do sprzedaży produktów do zaieszczania w roczny raporcie o stanie portfela ubezpieczeń inforacji na teat zian w założeniach technicznych produktu, dokonanych w trakcie ostatniego roku kalendarzowego, wraz z uzasadnienie tych zian oraz określenie wpływu, jaki będą iały dokonane ziany na wielkość zobowiązań zakładu ubezpieczeń. Ponadto aktuariusz zakładu ubezpieczeń został zobowiązany do wydania opinii co do zgodności założeń technicznych, użytych do konstrukcji produktu, z faktycznyi danyi uzyskanyi w toku prowadzonej działalności ubezpieczeniowej w ostatni roku kalendarzowy, z uwzględnienie iędzy innyi założeń dotyczących stóp zwrotu z aktywów oraz uieralności. Analiza i prognozowanie wielkości zobowiązań i należności zakładu ubezpieczeń wynikających z zawartych uów ubezpieczenia są nieodłącznyi eleentai analizy zyskowności produktów ubezpieczeniowych. Można zate uznać, że realizacja wyagań określonych w rozporządzeniu Ministra Finansów dotyczący raportu o stanie portfela obliguje zakłady ubezpieczeń do corocznego przeprowadzania analiz zyskowności. Testy zyskowności produktów ubezpieczeń na życie wchodzą w wielu krajach do kanonu wykształcenia aktuariusza stanowiąc istotny eleent na egzainach aktuarialnych. Pierwsze ateriały do studiowania testów zyskowności opracowano w Institute of Actuaries w 986 roku [Hare i McCutcheon 99]. Testy zyskowności odgrywają również ważną rolę w kształceniu kadry enedżerskiej zakładów ubezpieczeń odpowiedzialnej za zarządzanie ryzykie, w szczególności zarządzanie dopasowywanie aktywów i zobowiązań [Conant i in. 996]. Cele pracy jest przedstawienie odelu służącego badaniu zyskowności produktów ubezpieczeń na życie oraz przykładowych rezultatów uzyskanych w drodze analizy scenariuszy i syulacji. Prezentowany w pracy odel uożliwia analizę następujących produktów ubezpieczeń na życie: tradycyjnych: dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śierci, terinowego ubezpieczenia na wypadek śierci, czystego ubezpieczenia na dożycie, ieszanego ubezpieczenia na dożycie, uniwersalnych: uniwersalnego ieszanego ubezpieczenia na dożycie. Rozporządzenie Ministra Finansów z dnia 6 grudnia 2003 roku w sprawie zakresu inforacji zawartych w roczny raporcie o stanie portfela ubezpieczeń, Dz.U. z dnia 29 grudnia 2003 roku Nr 222 Poz. 2203, 3 pkt.4 ust. 9.

Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 7 W analizie zyskowności uwzględnia się szereg czynników i przyjuje wiele założeń ających wpływ na uzyskiwane wyniki. Do podstawowych czynników należą iędzy innyi: rzeczywista i prognozowana sytuacja społeczno-ekonoiczna i deograficzna (uwzględniane np. poprzez stopę zwrotu z inwestycji, stopę bezrobocia, inflację, śiertelność). W analizie uszą być przyjęte założenia iędzy innyi co do oczekiwanych zysków, kosztów, aktualnej strategii selekcji ryzyka i rozwoju produktów ubezpieczeniowych. Testy zyskowności przeprowadzane są w oparciu o odele stanowiące część większych odeli opisujących całokształt działalności zakładu ubezpieczeń. Związane są one z odelai działalności technicznej. Przeprowadza się je zwykle w odniesieniu do ustalonych produktów ubezpieczeń na życie dla ustalonej kohorty ubezpieczonych. Testy zyskowności portfela ubezpieczeniowego danego produktu wyagają uwzględnienia struktury ubezpieczonych osób np. ze względu na płeć, wiek, i inne istotne czynniki określające ryzyko ubezpieczeniowe takie, jak np. palenie tytoniu lub niepalenie, wykonywany zawód. O ile testy zyskowności produktów pozwalają określić charakterystyczne cechy tych produktów i wpływ przyjowanych warunków polisowych na zyskowność, o tyle testy zyskowności portfeli ubezpieczeniowych uszą uwzględniać cechy charakterystyczne tych portfeli w konkretny zakładzie ubezpieczeń..2. MODELE STÓP PROCENTOWYCH ORAZ MODELE WYMIERALNOŚCI W ubezpieczeniach na życie podstawowyi czynnikai ającyi decydujący wpływ na działalność zakładu ubezpieczeń są stopy procentowe oraz przyjowane prawdopodobieństwa zgonów. Bardzo ważny eleente odelu syulacyjnego, którego zadanie jest wycena produktu ubezpieczeniowego, jest wybór odpowiedniego odelu stopy procentowej (risk-free rate of interest). Stopa procentowa jest bowie wykorzystywana nie tylko do dyskontowania przyszłych przepływów, ale także, w wielu typach ubezpieczeń, stopa procentowa wpływa na wysokość przepływu pojawiającego się w dany oencie. W literaturze finansowej (np. [Cairns 2004]) bardzo często za odele stopy procentowej przyjuje się jednoczynnikowe odele dyfuzyjne, tzn. zakłada się, że dynaika procesu stopy procentowej r (t) opisana jest stochastyczny równanie różniczkowy postaci dr ( t) = a( t, r( t)) dt + b( t, r( t)) dw ( t) () gdzie t oznacza czas, W (t) - jednowyiarowy ruch Browna, natoiast a ( ) oraz b ( ) - funkcje spełniające pewne techniczne założenia [Jakubowski i in. 2003].

8 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong W prezentowany odelu zyskowności ubezpieczeń na życie wykorzystany został odel Coa, Ingersolla i Rossa (dalej oznaczany jako odel CIR ). Przyjęte zostało założenie, że dynaika procesu r (t) jest dana równanie dr( t) = ( a br( t)) dt + σ r( t) dw ( t) (2) gdzie a,b, σ są dodatnii stałyi. Po zdyskretyzowaniu oraz uwzględnieniu warunku, że stopa procentowa nie oże być niejsza od zera, odel CIR oże być użyty w badaniu syulacyjny, w celu wygenerowania przyszłych scenariuszy dynaiki stopy procentowej. W badaniach ogą być wykorzystywane również deterinistyczne scenariusze dynaiki stopy procentowej, które odzwierciedlają subiektywne przekonania użytkownika odelu, co do przyszłego rozwoju rynków finansowych. Model CIR został zastosowany z uwagi na następujące jego właściwości [Ahlgri i in. 999]: odeluje krótkoterinową stopę spot (jest to odniesiona do okresu rocznego oczekiwana stopa zwrotu w ciągu następnego ustalonego krótkiego okresu); zakłada powrót krótkoterinowej stopy spot do długookresowej średniej (po wzroście stopy procentowej następuje jej spadek i odwrotnie); stopy procentowe przyjują wartości nieujene ; odel pozwala na szybkie i łatwe określenie struktury terinowej stóp procentowych, cen obligacji o różnych terinach zapadalności oraz cen akcji 2 ; zienność stóp jest proporcjonalna do poziou stóp w dany okresie. Model CIR nie stwarza probleów ipleentacyjnych, a jego dopasowanie do danych historycznych daje zadowalające rezultaty 3. W opracowany odelu badania zyskowności ubezpieczeń na życie wykorzystywane są cztery teoretyczne odele wyieralności: de Moivre a, Gopertza, Makehaa i Weibulla oraz prawdopodobieństwa zgonów z tablic trwania życia z lat 995-2002 opublikowanych przez Główny Urząd Statystyczny 4. Należy zauważyć, że właściwość ta jest zachowana w przypadku ciągłych stóp procentowych. Może się jednak zdarzyć, że dla odelu zdyskretyzowanego, stosowanego w syulacjach, stopy przyją wartości ujene. 2 Model CIR, wyprowadzając strukturę terinową z jednej krótkoterinowej stopy procentowej, zakłada idealną korelację poiędzy wszystkii obligacjai. Założenie to jest często krytykowane jako założenie nierealistyczne, znacznie ograniczające dynaikę struktury terinowej. Nie jest ono istotne w przypadku zastosowania odelu CIR do syulacji długoterinowych, takich jak oawiana. 3 Model CIR zastosowany do odelowania stóp procentowych dla danych historycznych z rynku aerykańskiego z okresu 45 lat (kwiecień 953 lipiec 998) daje rezultaty bliższe dany epiryczny, niż inne odele [Ahlgri i in. 999]. 4 Tablice trwania życia dostępne są na stronie internetowej GUS www.stat.gov.pl.

Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 9 2. OPIS TESTU ZYSKOWNOŚCI 2.. PARAMETRY MODELU Model służący przeprowadzaniu testów zyskowności składa się z równania wyniku technicznego oraz równań ziennych i paraetrów określających wynik techniczny. W oawiany w niniejszej pracy odelu analizie poddawany jest oczekiwany wynik techniczny przedsiębiorstwa ubezpieczeniowego w każdy roku trwania rozpatrywanej uowy ubezpieczenia na życie w zależności od wartości szeregu paraetrów ustalonych przez użytkownika odelu. Paraetry definiowane przez użytkownika zostały przedstawione w tabeli. Tab.. Paraetry odelu definiowane przez użytkownika Paraetry ogólne (dot. całego przedsiębiorstwa) aksyalna techniczna stopa procentowa (i T ), stopa zwrotu z inwestycji w roku obowiązywania uowy ubezpieczenia (i p, ), stopa służąca do dyskontowania w roku obowiązywania uowy ubezpieczenia (i d, ), stopa rezerw w roku obowiązywania uowy ubezpieczenia (i rez, ), stopa inflacji w roku obowiązywania uowy ubezpieczenia (i inf, ), nuer scenariusza startowego stóp procentowych, liczba syulacji (w przypadku stochastycznych scenariuszy stóp procentowych) liczba ubezpieczonych ogółe w portfelu ubezpieczeniowy w oencie rozpoczęcia analizy, udział poszczególnych produktów w portfelu ubezpieczeniowy (aksyalnie 4 produkty). Paraetry związane z poszczególnyi produktai Wiek ubezpieczonych: 0 80 lat. Płeć ubezpieczonych: ężczyzna / kobieta. Dodatkowe inforacje dotyczące zdrowia ubezpieczonego: palący / niepalący. Okres trwania ubezpieczenia: aksyalnie do 0 lat (oże być odroczony o ustaloną liczbę lat). Sua ubezpieczenia Wysokość początkowej suy ubezpieczenia: dowolna (w zł). Sposób ziany suy ubezpieczenia w kolejnych latach (ustalony algoryt lub iteracyjnie). Koszty: Koszty akwizycji pierwszoroczne: proporcjonalne do składki brutto lub suy ubezpieczenia, współczynnik proporcjonalności ograniczony (zelleryzacja). Koszty prowizji pośredników ubezpieczeniowych: proporcjonalne do składki brutto, współczynnik proporcjonalności dowolny (< 00%). Koszty adinistracyjne: proporcjonalne do początkowej suy ubezpieczenia, współczynnik proporcjonalności dowolny (< 00%). Składki Sposób płatności składek: jednorazowo, ratalnie (okres płacenia składek). Wysokość płaconych składek: stała (ożliwość zdefiniowania wysokości składki przyjętej w oparciu o wysokość składki brutto i netto) lub zienna (w ubezpieczeniu uniwersalny). Śiertelność: ożliwość wyboru jednej z dwunastu tablic trwania życia (4 tablice wg teoretycznych praw wyieralności oraz 8 tablic GUS z lat 995 2002).

20 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong Rezygnacje: ożliwość dowolnego zdefiniowania wysokości stóp rezygnacji w poszczególnych latach trwania ubezpieczenia oraz uzależnienia ich od stóp procentowych i stanu zdrowia ubezpieczonego. Rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe: netto oraz brutto (uwzględniające efekt zelleryzacji), obliczane w oparciu o zdefiniowaną przez użytkownika stopę rezerw. Opcje dodatkowe: ożliwość dowolnego wyboru opcji dodatkowych Opcja wykupu: ożliwość zdefiniowania potrącenia przy wykupie oraz liczby lat, po których przysługuje wykup. Opcja udziału ubezpieczonego w zysku: ożliwość ustalenia sposobu podziału zysku, uzależnienia udziału w zysku od wybranej wysokości stopy procentowej lub stopy rezygnacji, ożliwość ustalenia fory wypłaty udziału w zysku oraz wpływu opcji na przyszłe stopy rezygnacji. 2.2. WYNIK TECHNICZNY Oczekiwany wynik techniczny z czynnej polisy ubezpieczeniowej obliczony w roku, dla =,,n, wynosi WT ( P + W C )( + i p, ) q+ D p + = S (3) p + s + SV p + ( s + )( W + B ) gdzie: X zienna losowa oznaczająca wiek ubezpieczonego w oencie śierci, wiek ubezpieczonego w oencie zawarcia uowy ubezpieczenia, p = Pr ( X > + X > ) prawdopodobieństwo, że osoba w wieku przeżyje jeszcze co najniej lat, to znaczy osiągnie wiek + lat, q = Pr ( X + X > ) prawdopodobieństwo, że osoba w wieku nie przeżyje lat, tzn. nie osiągnie wieku + lat, P wysokość składki ustalonej do zapłacenia przez ubezpieczonego w -ty roku trwania uowy ubezpieczenia, C koszty (akwizycji, inkasa i adinistracyjne łącznie) poniesione w dany roku trwania uowy ubezpieczenia, i, wysokość stopy zwrotu z inwestycji w roku trwania uowy ubezpieczenia, p W - rezerwa brutto obliczona na oent, dla = 0,,..., n, zgodnie ze wzore (7) oraz W = 0, n D wysokość świadczenia z tytułu śierci ubezpieczonego obowiązująca w roku trwania uowy ubezpieczenia, S wysokość świadczenia z tytułu dożycia przez ubezpieczonego wieku + lat, obowiązująca w roku trwania uowy ubezpieczenia,

Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 2 s stopa rezygnacji w roku trwania uowy ubezpieczenia, SV wysokość wykupu przysługującego ubezpieczoneu w roku trwania uowy ubezpieczenia, B wysokość dywidendy przysługującej ubezpieczoneu w roku trwania uowy ubezpieczenia, Oczekiwany wynik techniczny obliczony w roku, dla =,..,n, wynosi gdzie ~ 0 = EWT = ~ p WT (4) ~ = + k. k = p, p p ( s ), dla 2 2.3. WSKAŹNIKI RENTOWNOŚCI Zyskowność poszczególnych produktów ubezpieczeń na życie oceniana oże być za poocą wielu kryteriów (wskaźników rentowności). Dla ustalonej kohorty ubezpieczonych rentowność ubezpieczenia ustalana jest w oparciu iędzy innyi o zagregowaną wartość oczekiwaną wyniku technicznego EWT. W oawiany odelu istnieje ożliwość obliczenia wartości następujących wskaźników rentowności danego ubezpieczenia na życie: wartości obecnej netto (NPV), arży zysku, wewnętrznej stopy zwrotu (IRR), kapitału początkowego, arży wydatków, arży czasu, arży ryzyka. Wartość NPV obliczana jest jako sua oczekiwanych wyników technicznych w poszczególnych latach trwania kontraktu ubezpieczeniowego zdyskontowanych na oent jego zawarcia, to znaczy NPV = n ( +, k ) = k= i d EWT (5) Za stopę użytą do dyskontowania w roku przyjuje się zdefiniowaną przez użytkownika wartość stopy i d,, przy warunku, że i d, i p,. Marża zysku obliczana jest jako stosunek obecnej wartości oczekiwanych przyszłych zysków (strat) do obecnej wartości oczekiwanych przyszłych składek (przy stopie i d, wykorzystanej do dyskontowania). Wewnętrzna stopa zwrotu IRR jest równa hipotetycznej stopie procentowej (przy założeniu, że byłaby ona stała przez wszystkie lata obowiązywania kontraktu ubezpie-

22 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong czeniowego), przy której wartość NPV jest równa zero. Przy obliczaniu IRR skorzystano z wbudowanej funkcji arkusza kalkulacyjnego MS EXCEL. Kapitał początkowy jest równy suie, jaką zakład ubezpieczeń usiałby dodatkowo pozyskać w oencie zawarcia uowy ubezpieczenia, aby wartość NPV była równa zero. Marża wydatków określona jest jako stosunek poszczególnych kategorii oczekiwanych ujenych przepływów zakładu ubezpieczeń zdyskontowanych na oent zawarcia uowy do oczekiwanych składek zdyskontowanych na ten oent (przy stopie procentowej służącej do dyskontowania w roku równej i d, ). Ujene przepływy obejują: wypłaty ogółe (równe suie przyszłych świadczeń z tytułu zgonu, dożycia, wykupów i poniesionych kosztów), wypłaty świadczeń ogółe (równe suie świadczeń z tytułu zgonu i dożycia), wypłaty świadczeń z tytułu zgonu, wypłaty świadczeń z tytułu dożycia, wykupy, koszty (równe suie kosztów akwizycji pierwszorocznej, przyszłych kosztów inkasa i kosztów adinistracyjnych.) Marża czasu oznacza iloraz średniego czasu wypłaty świadczeń do średniego czasu napływu składek. Niech SW, dla =,,n, oznacza oczekiwaną wartość wypłaconych świadczeń z tytułu czynnej polisy w roku równą Niech ponadto SW + = p + S + q+ D + p+ s SV (6) SW = n ( + id, k ) = k= ~ p SW (7) Wówczas średni czas wypłaty świadczeń określay jako: E ( T ) SW = ( + i ) n d, k k= = SW ~ p SW (8) wariancję czasu wypłaty świadczeń

Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 23 Var [ ] 2 ( T ) E( T ) E( T ) SW = (9) SW 2 SW Niech ponadto P = n ( + id, k ) = k= ~ p P (0) Wówczas przyjujey, że średni czas napływu składek jest równy: E ( T ) P = ( + i ) n d, k k= = P ~ p P () natoiast wariancja czasu napływu składek Marża czasu równa E Var ( TSW ) ( T ) E P [ ] 2 ( T ) E( T ) E( T ) P = (2) P 2 P określa ile razy przeciętny czas wypłaty świadczeń jest dłuższy od czasu napływu składki. Paraetr ten a istotne znaczenie przy ustalaniu polityki inwestycyjnej. Marża ryzyka zdefiniowana została jako iloraz współczynników zienności losowej czasu wypłaty świadczeń i czasu napływu składek. Współczynniki zienności losowej należą do klasycznych iar ryzyka. Zdefiniowana arża ryzyka oznacza więc w jaki stopniu ryzyko związane z wypłatą świadczeń przewyższa ryzyko związane z napływe składek. 3. OPIS TESTOWANYCH PRODUKTÓW 3.. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE TRADYCYJNE ORAZ UNIWERSALNE Prezentowany w niniejszej pracy odel oże być wykorzystany do testowania zyskowności produktów ubezpieczeniowych tradycyjnych oraz uniwersalnych. Tradycyjny ubezpieczenie na życie nazyway produkt, w który wysokości su ubezpieczenia oraz składek lub algoryty ich wyznaczania są ustalane w oencie zawierania uowy i obowiązują (niezienione) przez cały okres trwania uowy. Do tradycyjnych ubezpieczeń na życie zalicza się: dożywotnie i terinowe

24 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong ubezpieczenie na wypadek śierci, ubezpieczenie czyste na dożycie oraz ubezpieczenie ieszane na dożycie. Uniwersalny ubezpieczenie na życie nazyway produkt, w który wysokości su ubezpieczenia oraz składek ogą zieniać się każdego roku, a decyzję o zianie tych paraetrów podejuje sa ubezpieczony. Przy kalkulacji składek oraz rezerw przyjuje się jednak założenie, że paraetry ustalone przez ubezpieczonego, na początku kolejnego roku, pozostaną niezienione do końca trwania uowy. 3.2. SKŁADKI NETTO I BRUTTO Niezależnie od rodzaju ubezpieczenia, składki netto, płacone przez ubezpieczonego w kolejnych latach trwania uowy, oblicza się korzystając z zasady równoważności. Zasada równoważności (bilansu aktuarialnego) oznacza, że wartość oczekiwana, zdyskontowanych na oent zawarcia uowy, przepływów z tytułu śierci jest równa wartości oczekiwanej, zdyskontowanych na oent zawarcia uowy, przepływów z tytułu przeżycia. Zasadę równoważności [Gerber 997] ożey zapisać następujący równanie: + + v p q + = = 0 = 0 b π v p (3) gdzie: b jest wysokością świadczenia z tytułu śierci, które zakład ubezpieczeń wypłaci, jeżeli ubezpieczony urze w roku, czyli b = D dla =,2, n, oraz b = 0 dla > n, π jest wysokością przepływu, który pojawi się w oencie na skutek dożycia przez ubezpieczonego do oentu, dla = 0,,, v = jest stały w czasie czynnikie dyskontujący przepływy pieniężne. + i T Zasada równoważności opisana powyższy równanie pozwala wyznaczyć ciąg netto składek netto { P } n = dla dowolnie skonstruowanego produktu ubezpieczeniowego. Należy zwrócić uwagę, że ciąg płaconych składek { nie jest równoważny z netto P } n = ciągie przyszłych przepływów pieniężnych { π } =0. Ciąg { π } =0 uwzględnia bowie nie tylko przyszłe składki netto, ale także świadczenie { S } n wynikające z = przeżycia (uwaga: w równaniu są one zapisywane ze znakie inus!). Jako przykład, rozważyy terinowe n -letnie ubezpieczenie ieszane na dożycie, opłacane rocznyi składkai netto o stałej wysokości P, z którego w oencie

Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 25 śierci wypłacone zostanie D, natoiast w oencie przeżycia n lat S. Składkę netto w ty ubezpieczeniu ożey obliczyć stosując etodę równoważności, gdzie π 0 = π =... = π n = P, π n = S, π = 0, > n, b = b2 =... = bn = D, b = 0, > n. Składka netto służy wyłącznie do pokrycia przyszłych świadczeń z tytułu ubezpieczenia. Nie należy jednak zapoinać, że zakład ubezpieczeń ponosi dodatkowe koszty z tytułu swojej działalności i zarządzania polisą. Ty say zakład ubezpieczeń zuszony jest pobierać od ubezpieczonego składkę brutto. Składkę brutto ożna przedstawić jako suę czterech składek : P brutto netto α β γ = P + P + P + P (4) α β γ gdzie P, P, P są składkai, które ają zrównoważyć, w aktuarialny sensie (zgodnie z zasadą równoważności), ponoszone w kolejnych latach trwania uowy α wydatki związane z kosztai akwizycji (składka P ), kosztai prowizji pośredników ubezpieczeniowych (składka P ) oraz kosztai adinistracyjnyi (składka β γ P ). 3.3. REZERWA NETTO I BRUTTO Regulacje prawne nakazują tworzenie rezerw, z zachowanie ostrożności, w wysokości ustalonej etodą prospektywną. Dopuszcza się stosowanie etody retrospektywnej pod warunkie, ze daje ona wartości nie niższe od wartości rezerwy ustalonej etodą prospektywną lub gdy dla danej uowy ubezpieczenia nie jest ożliwe zastosowanie etody prospektywnej. Rezerwa netto na oent, V, według etody prospektywnej [Gerber 997], obliczana jest zgodnie ze wzore: + j+ ( + irez, ) j= 0 = + 0 V = 0, V = b p q (5) + j ( + rez, ) j= 0 = + + j + j+ j j + + + + j i π p dla gdzie i rez, jest techniczną stopą użytą do dyskontowania rezerw w roku. Łatwo zauważyć, że rezerwa netto obliczona na oent jest czynnikie bilansujący, w sensie aktuarialny, przyszłe przepływy z tytułu śierci oraz przyszłe przepływy z tytułu przeżycia.

26 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong Powyższy wzór ożna przekształcić do postaci, która pozwala na obliczanie rezerw netto w sposób rekurencyjny, przy czy rekurencja jest wsteczna. nv = S n, π + irez, + = b+ q + + + V p dla = n, n 2,...,, (6) 0 V = 0 ( )( ) V + + Rezerwę brutto W, ożey przedstawić jako suę czterech składników: α β γ α β γ W = V + V + V + V (7) gdzie V, V, V obliczane są zgodnie ze wzore (5), jako czynniki bilansujące, w sensie aktuarialny, przyszłe koszty akwizycji, prowizji pośredników ubezpieczeniowych, adinistracyjne oraz przyszłe wpływy ze składek P, P, P α β γ. 4. PRZYKŁADY WYKORZYSTANIA MODELU Prezentowany w pracy odel pozwala analizować wpływ zian wielu paraetrów na wybrane wskaźniki rentowności produktów ubezpieczeń na życie. Poniżej zaprezentowane zostały przykładowe wyniki analiz terinowego (dziesięcioletniego) ieszanego ubezpieczenia na dożycie. 800,00 600,00 Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny 400,00 200,00 0,00 2 3 4 5 6 7 8 9 0-200,00-400,00-600,00-800,00 Rok trwania uowy Rys.. Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny w kolejnych latach trwania uowy w zależności od scenariusza stopy procentowej

Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 27 0,000 20,00% 0,0900 0,0800 Histogra Dystrybuanta epityczna 00,00% 0,0700 80,00% 0,0600 Częstość 0,0500 0,0400 60,00% 0,0300 40,00% 0,0200 20,00% 0,000 0,0000-2,50% -2,5% -,80% -,44% -,09% -0,74% -0,38% -0,03% 0,32% 0,68%,03%,38%,74% 2,09% 2,44% 2,80% 3,5% 3,50% Marża zysku 3,86% 4,2% 4,56% 4,92% 5,27% 5,62% 5,98% 6,33% 6,68% 7,04% 7,39% 7,74% 8,0%,00% Rys. 2. Rozkład epiryczny arży zysku (dla 000 scenariuszy stóp procentowych) Tysiące,60,40 Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny,20,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 9 0 9 Okres płacenia składek w latach 8 7 6 5 4 3 2 3 7 5 Lata trwania uowy Rys. 3. Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny w poszczególnych latach trwania uowy w zależności od okresu płacenia składek

28 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong Tysiące 30,00 25,00 20,00 Zdyskontow any oczekiwany wynik techniczny 5,00 0,00 5,00 0,00-5,00-0,00-5,00 S4 S7 S0 S3 S9 S6 Stopa rezerw 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Lata trwania uowy S Rys. 4. Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny w poszczególnych latach trwania uowy w zależności od przyjętej stopy rezerw (NPV <> 0, stopa dyskonta > stopa zwrotu). 7 000,00 0,00% 6 000,00 NPV Marża zysku 8,00% 5 000,00 4 000,00 6,00% NPV 3 000,00 2 000,00 000,00 4,00% 2,00% Marża zysku 0,00-000,00-2 000,00 0% % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0,00% -2,00% -3 000,00 Stopa rezerw -4,00% Rys. 5. NPV i arża zysku w zależności od przyjętej stopy rezerw (przy stopie dyskonta wyższej niż stopa zwrotu i równej 6%)

Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 29 Na rysunku przedstawiona została zależność rentowności terinowego ieszanego ubezpieczenia na dożycie od scenariuszy stopy procentowej. Trajektorie stopy procentowej wygenerowane zostały przy poocy odelu CIR. Dodatkowo na rysunku przedstawiono średnie wartości zdyskontowane oczekiwanego wyniku technicznego oraz wartości percentyli rzędu 0,05 i 0,95. Rysunek 2 przedstawia histogra oraz skuulowane częstości rozkładu epirycznego (dystrybuantę epiryczną) arży zysku uzyskanego na podstawie wygenerowanych 000 scenariuszy stopy procentowej. Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono zależność zdyskontowanego oczekiwanego wyniku technicznego w poszczególnych latach trwania uowy ubezpieczenia od, odpowiednio, okresu płacenia składek i stopy procentowej rezerw. Wpływ stopy rezerw na NPV oraz arżę zysku ilustruje rysunek 5. 5. PODSUMOWANIE Rynek ubezpieczeniowy w Polsce jest stosunkowo łody i wciąż znajduje się w fazie rozwoju. Wejście Polski do Unii Europejskiej oznacza zwiększenie konkurencji wśród zakładów ubezpieczeń (brak barier wejścia na polski rynek dla zagranicznych fir ubezpieczeniowych) oferując z drugiej strony korzyści z działania na jednolity rynku ubezpieczeniowy. W tej sytuacji, analiza zyskowności i wypłacalności prowadzonej działalności staje się dla zakładów ubezpieczeń bardzo istotna. Z uwagi na powyższe, zadanie, jakie postawili sobie autorzy artykułu, było skonstruowanie odelu służącego do badania zyskowności produktów ubezpieczeń na życie, zaś cele artykułu przedstawienie przyjętych w odelu założeń, podstawowych probleów związanych z budową takiego odelu, a także przykładowych rezultatów uzyskanych przy poocy skonstruowanego odelu. Skonstruowany odel testu zyskowności produktów ubezpieczeń z pierwszej grupy działu I jest narzędzie bardzo elastyczny oraz wszechstronny, które pozwala na szczegółową analizę zyskowności ze względu na zianę wielu paraetrów, zarówno dotyczących bezpośrednio produktów, jak i związanych z otoczenie akroekonoiczny, w jaki zakład ubezpieczeń prowadzi działalność. Model uożliwia przeprowadzenie testu zyskowności całej szerokiej gay indywidualnych (na jedno życie) produktów z grupy pierwszej działu I, o czy świadczy uwzględnienie uniwersalnego ubezpieczenia na życie. Ubezpieczenie uniwersalne zazwyczaj nie jest opisywane w literaturze dotyczącej testów zyskowności ubezpieczeń na życie. Model testu zyskowności oże z powodzenie spełniać funkcję edukacyjną, poagając w zrozuieniu istoty funkcjonowania poszczególnych produktów ubezpieczeń na życie oraz czynników ających wpływ na przepływy finansowe związane z dany produkte. Dzięki zastosowaniu powszechnie znanej aplikacji (Ecel) i pro-

30 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong stego języka oprograowania (Visual Basic), oże być przez użytkownika łatwo odyfikowany i rozbudowywany o inne produkty (np. rentowe lub ałżeńskie), kolejne paraetry produktów (np. wynikające z prowadzonego underwritingu edycznego) lub wzbogacany o nowe odele czynników zewnętrznych (np. różne odele stopy procentowej). LITERATURA AHLGRIM, K.C., D ARCY, S.P., GORVETT, R.W. 999. Paraetrizing Interest Rate Models. Casualty Actuarial Society Foru; ss. 50. CAIRNS, A. 2004. Interest-Rate Models; [w:] Encyclopaedia of Actuarial Science. Wiley. CONANT, S., DESOUTTER, N.L., LONG, D.L., MACGROGAN, R. 996. Managing for Solvency and Profitability in Life and Health Insurance Copanies. LOMA, Atlanta. GERBER, H.U. 997. Life Insurance Matheatics. Springer, Swiss Association of Actuaries, Zürich, Berlin, Heidelberg, New York (third edition). HARE, D.J.P., MCCUTCHEON, J.J. 99. An Introduction to Profit Testing. Institute of Actuaries, London. JAKUBOWSKI, J., PALCZEWSKI, A., RUTKOWSKI, M., STETTNER, Ł. 2003. Mateatyka finansowa - instruenty pochodne. WNT, Warszawa. Rozporządzenie Ministra Finansów z dnia 6 grudnia 2003 roku w sprawie zakresu inforacji zawartych w roczny raporcie o stanie portfela ubezpieczeń; Dz. U. z 2003 roku, nr 222, poz. 2203.