Generator strukturalnej siatki elementów przestrzennych Robert Bieda Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Kierunek Informatyka, Rok V robert.bieda@gmail.com Streszczenie W niniejszej pracy zaprezentowany został nowy generator trójwymiarowy siatek strukturalnych. Generator ten wypełnia obszar elementami czternastościennymi, których kształt zbliżony jest do kuli. Rozwiązanie takie pozwala na znacznie lepsze odwzorowanie struktury krystalicznej występującej między innymi w metalach. Odpowiednie rozmieszczenie wykorzystanych elementów zapewnia całkowite wypełnienie przestrzeni, bez konieczności uzupełniania powstałych luk elementami innego kształtu. Elementy o kształtach różniących się od czternastościanu Kelvina powstają jedynie na brzegach dyskretyzowanej bryły. 1 Wstęp Metoda elementów skończonych ma ogromne znaczenie w obliczeniach nie jednego złożonego problemu inżynierskiego. Jedną z najbardziej kosztownych i zarazem jedną z najtrudniejszych faz tej metody jest utworzenie siatki elementów skończonych, w której elementy, pod względem wielkości i kształtu odwzorowywałyby model najwierniej jak to tylko możliwe. Opisane w literaturze metody generowania trójwymiarowych siatek elementów skończonych dzielą się na trzy kategorie: metoda triangulacji objętości (the volume triangulation method), większości przypadków składa się z dwóch części [3], generacji węzłów oraz generacji czworościanów (triangulacja Delaunay (Delaunay s triangulation)[7]) ekstrakcja elementów (element extraction), polega na ekstrakcji czworościanów na podstawie geometrii i danych topologicznych dotyczących bryły [8][6] rekursywna dekompozycja przestrzeni (recursive spatial decomposition), przykładem jest metoda drzew czwórkowych(2d) lub ósemkowych(3d); siatka sześcienna zwierająca obiekt, który ma być zdyskretyzowany jest rekursywnie dzielona dopóki nie zostanie osiągnięta oczekiwana rozdzielczość [4] 1
W dwóch pierwszych przypadkach siatka tworzona jest wyłącznie z czworościanów, w trzecim przypadku mogą się pojawić sześciany, graniastosłupy, ostrosłupy oraz inne elementy bryłowe[5]. Każda z wyżej wymienionych metod może generować elementy zniekształcone. Elementy te w większości skoncentrowane są w pobliżu brzegów modelu. Celem niniejszej pracy jest przedstawienie sposobu generowania siatki elementów przestrzennych z wykorzystaniem hybrydowych elementów czternastościennych tzw. czternastościanów Kelvina, których kształt zbliżony jest do kuli. Wykorzystane w niniejszej pracy elementy skończone mogą w sposób lepszy niż używane w wymienionych powyżej metodach czworościany i sześciany, odwzorować strukturę krystaliczną metali oraz ich stopów[1]. To od struktury krystalicznej zależą własności fizyczne metalu, takie jak na przykład wytrzymałość, twardość, temperatura topnienia czy przewodność elektryczna i cieplna. Opisywane elementy są bardzo przydatne do modelowania ziaren oraz warstw międzyziarnowych w stopach będących w stanie stało-ciekłym[2]. 2 Struktura krystaliczna metali Sieć krystaliczna to sposób w jaki atomy wypełniają przestrzeń tak, że pewna konfiguracja atomów zwana komórką elementarną jest wielokrotnie powtarzana. Wiele spośród ciał stałych ma budowę krystaliczną. Oznacza to, że atomy, z których się składają ułożone są w określonym porządku. Od dawna wiadomo, że badanie struktury metali dostarcza wielu cennych informacji na temat rodzaju i stanu materiału. Dzięki obrazom mikroskopowym rozpoznajemy odlewy, możemy się również dowiedzieć, czy ich struktura jest prawidłowa, spełniająca wymagania użytkownika, czy też posiadają one ukryte wady, widoczne tylko pod mikroskopem. Rys. 1: Ziarna w strukturze drutu wykonanego z czystego tytanu (po lewej), struktura krystaliczna miedzi (po prawej) Podstawową cechą metali obok struktury krystalicznej jest wielkość ziarna będącego obszarem monokrystalicznego uporządkowania. Ziarna (krystality) mogą układać się w sposób uporządkowany tworząc okrągłe (lub sferyczne) sferolity, dendryty o budowie drzewiastej, igły i inne. Wielkości ziaren i ich orientacji ma decydujący wpływ na strukturę danego materiału a tym samym na jego właściwości. Im mniejsza jest średnia wielkość ziarna, tym większa jest granica plastyczności, wytrzymałość i twardość, natomiast 2
mniejsza plastyczność materiału. Gruboziarnistość często powoduje kruchość i zmniejsza wytrzymałość. Niejednakowa wielkość ziarna pogarsza właściwości mechaniczne, a może też powodować wyraźną kruchość materiału. 3 Generacja siatki Struktura metalu i jego stopów, a w zasadzie ich sieć krystaliczna jest zbudowana z elementów wyglądem przypominającą kule. Utworzenie siatki z elementów sferycznych nie jest możliwe, nie daje ona pełnego zapełnienia obszaru. Czternastościan Kelvina (Rys. 2) kształtem zbliżony jest do sfery oraz umożliwia pełne wypełnienie obszaru. Element ten powstał poprzez ścięcie narożników ośmiościanu i składa się z ośmiu sześciokątów i sześciu kwadratów. Zadaniem generatora siatki opisanego w tej pracy jest utworzenie, Rys. 2: Czternastościan Kelvina, od lewej: dwie pozycje ukierunkowania elementu oraz sposób powstania tetradekahedronu. siatki elementów w oparciu o opis geometrii zadanego obszaru (w przestrzeni trójwymiarowej). Siatka tworzona przez program jest strukturalna, co oznacza że liczba krawędzi incydentnych do poszczególnych węzłów jest stała. Sposób tworzenia siatki zależy bezpośrednio od wielkości brzegów obszaru, a także od szeregu dodatkowych parametrów pozwalających wpływać na ostateczny kształt siatki, jej gęstość, a tym samy na wielkość i ilość elementów. Dzięki temu możliwe jest uwzględnienie istotnych wymagań, parametrów uzależnionych od czynników związanych z rodzajem procesu fizycznego, wybraną metodą jego symulowania czy specyfiką obszaru, wewnątrz którego proces zachodzi. 3.1 Specyfikacja danych wejściowych generatora Dane wejściowe programu wczytywane są z przygotowanego pliku, zawierającego parametry opisujące modelowany obszar oraz siatkę elementów, która ma zostać utworzona. Modelowany obszar będący prostopadłościanem, opisany jest za pomocą trzech wartości zmiennych (a, b, c), dla każdego z kierunków przestrzeni (Rys. 3) gdzie zmienna a odpowiada kierunkowi osi x, b kierunkowi osi y a c kierunkowi osi z. Na liczbę elementów siatki, wpływa liczba podanych elementów w danym kierunku, bądź rozmiar pojedynczego elementu skończonego. Modyfikacja odpowiednich parametrów pliku pozwala wybrać jeden z dwóch pozycji ukierunkowania elementu względem modelowanego obszaru(rys. 3
Rys. 3: Fragment siatki elementów przestrzennych wraz zarysem modelowanego obszaru. 2), co wpływa na charakterystykę siatki. Wpływ na charakterystykę ma również możliwość wyśrodkowania elementów siatki względem modelowanego układu w dowolnym z kierunków. 3.2 Algorytm generujacy Metoda generacji siatki opiera się na podziale elementu skończonego na trzy warstwy różne pod względem położenia węzłów. Rys. 4: Podział elementu na warstwy dla jednej z dwóch pozycji ukierunkowania elementu. Rys. 5: Podział elementu na warstwy dla jednej z dwóch pozycji ukierunkowania elementu. Warstwy te różnią się również w zależności od położenia elementu względem obszaru (Rys. 4 i 5). Niezależnie jednak od ułożenia elementu, układ węzłów w danej warstwie 4
powtarza się cyklicznie co trzecia generowana warstwa. Zaletą tej metody jest możliwość wykorzystania rekurencji do tworzenia węzłów na danej warstwie oraz kolejnych warstw na podstawie uprzednio wyznaczonych. W przypadku wyznaczania kolejnych warstw zmianie ulega jedynie zmienna odpowiedziana za położenie danej warstwy na kierunku osi y. Rys. 6: Pierwotne warstwy podziału w zależności od ukierunkowania elementu. 3.3 Elementy brzegowe Przed rozpoczęciem generacji siatki, niezbędne jest: wyznaczenie liczby elementów w każdym z trzech kierunku modelowanego układu rozmiaru pojedynczego elementu określenie położenia pierwszego elementu warstwy pierwotnej, będącego punktem odniesienia dla tworzonych warstw Jako rozmiar elementu przyjmuje się długość boku kwadratu oraz sześciokąta składających się na czternastościan Kelvina. Rys. 7: Przykładowe elementy brzegowe. Elementy brzegowe ulegają zniekształceniu, a ich wyznaczenie jest dość trudne. Przesunięcie warstw względem siebie wpływa na zróżnicowanie elementów brzegowych, po względem kształtu oraz liczby węzłów składających się na dany element. W zależności od wprowadzonych parametrów generowania może powstać do 32 różniących się pod względem geometrii elementów brzegowych (Rys. 7). 5
4 Przykłady zastosowań Siatka wygenerowana przez opisany w niniejszej pracy generator może być stosowana w obliczeniach numerycznych, zjawisk fizycznych i zagadnień inżynierskich, w których struktura badanych materiałów może być odwzorowana przez kształt elementów wykorzystanych do jej utworzenia. Przykładem takich obliczeń może być modelowanie pękania stopów o strukturze równoosiowej w stanie stało-ciekłym. Kolejnym przykładem zastosowanie elementów, prezentowanych w niniejszej pracy może wyznaczanie przenikalności cieplej polistyrenów, których sieć krystaliczna zbudowana jest z sferolitów. 5 Podsumowanie W niniejszej pracy przedstawiony został schemat generowania trójwymiarowej strukturalnej siatki elementów przestrzennych. Elementami wypełniającymi określony obszar są czternastościany, których kształt zbliżony jest do sfery. Elementy te pozwalają lepiej odwzorować strukturę krystaliczną metali, stopów oraz materiałów zbudowanych z krystalitów w kształcie sferolitu, niż tradycyjne elementy (czworościany, sześciany) używane podczas badania zagadnień w przestrzeni trójwymiarowej. Literatura [1] Szwarc G., Modelowanie pękania stopów o strukturze równoosiowej w stanie stałociekłym, Praca doktorska, Częstochowa, 2003. [2] Parkitny R., Sczygiol N., Szwarc G., Modelowanie pękania kruchych materiałów ziarnowych w ujęciu hybrydowych elementów skończonych, Zeszyty Naukowe Politechniki Białostockiej. Mechanika, 2001. [3] E. Amezua, M. V. Hormaza, A Hernandez, M. B. G. Ajuria, A method for the improvement of 3D solid fine-element meshe.s, Bilbao, Hiszpania, 1995. [4] N. Sapidis, R. Perucchio, Combining recursive spatial decomposition and domain Delunay tetrahedralization for meshing arbitrary shaped solid models., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1993. [5] R. Perucchio, M. Saxena,A. Kela, Automatic mesh generation from solid models based on recursive spatial decompositions., International Journal of Applied Mechanics and Engineering, 1989. [6] T. C. Woo, T. Thomasma, An algorithm for generating solid elements in objects with holes., Computer Structures, 1984. [7] Nguyen-Van-Phai, Automatic mesh generation with tetrahedron elements., Int. J. numer. Meth. Engng, 1982. [8] B. Wördenweber, Automatic mesh generation of 2 and 3 dimension curvilinear manifolds., Computer Laboratory, University of Cambridge, Cambridge, U.K., 1981. 6