Jerzy Krysztof Samorządowa Szkoła Podstawowa w Sicinach Liczby pierwsze - 2003 -
Spis treści: 1. Wstęp 3 2. Określenie liczby pierwszej (definicje) 4 3. Wyznaczanie liczb pierwszych 6 4. Rodzaje liczb pierwszych 9 5. Czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele? 12 6. Znaczenie liczb pierwszych (zastosowanie) 17 7. Programy komputerowe do znajdowania liczb pierwszych 19 8. Wielkie internetowe poszukiwania liczb pierwszych 25 9. Wyznaczanie liczb pierwszych metodą sita Eratostenesa -konspekt zajęć lekcyjnych w szkole podstawowej 28 10. Zakończenie 33 11. Suplement 34 12. Bibliografia 35 2
1. Wstęp Co jest najmądrzejsze? Liczba. Co jest najpiękniejsze? Harmonia. Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią. Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków. Ten poetycki werset pokazuje jak wielkie znaczenie przypisywano liczbie już w starożytności. Pitagorejskie "igraszki" z liczbą nie były jałowe, bo obok cudacznych spekulacji pitagorejczycy poczynili odkrycia, które do dziś nie straciły swej wartości. Oni pierwsi podzielili liczby na parzyste i nieparzyste, odkryli liczby trójkątne i kwadratowe (przypadki szczególne liczb wielokątnych), doskonałe, zaprzyjaźnione. Oni wreszcie odkryli liczby niewymierne. Jeśli dziś uważamy, że jedną z najpiękniejszych dyscyplin matematycznych jest teoria liczb, to musimy pamiętać, że prekursorami jej byli pitagorejczycy. Szczególnie ważnym zagadnieniem w matematyce jest podział liczb naturalnych na liczby pierwsze i złożone. Liczby pierwsze bada się od tysięcy lat, niestety wraz z wzrostem wiedzy o nich rośnie również liczba pytań na które wciąż szukamy odpowiedzi. - Jak można określić (wskazać) kolejne liczby pierwsze? - Ile jest liczb pierwszych? - Jak brzmi ogólny wzór (formuła), za którego pomocą można określić liczbę pierwszą? W swej pracy spróbuję sprecyzować - czym są liczby pierwsze, jakimi własnościami się charakteryzują, gdzie się je stosuje? 3
2. Określenie liczb pierwszych Można przypuszczać, że każdy podręcznik szkolny, w którym określa się liczby pierwsze i złożone, zawiera te same treści. Ostatnio podręczniki wciąż się zmieniają, więc przytoczę definicję liczby pierwszej i liczby złożonej z zestawienia materiału objętego programem szkolnym dla szkół podstawowych: M. Dobrowolska, M. Karpiński, P. Zarzycki, Matematyka 5 - Podręcznik dla klasy V szkoły podstawowej, GWO, Gdańsk 2000, str. 28: Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,.... Liczbę naturalną różną od zera, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,.... Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze ani złożone. Zestawienie materiału objętego programem szkoły średniej: R. Leitner, W. Żakowski, Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie, WNT, Warszawa 1974 (wyd. 10), str. 48: Liczbę naturalną n > 1 nie mającą innych podzielników prócz 1 i n nazywamy liczbą pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Liczbę naturalną n > 1 nie będącą liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną, np.: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,... Liczby 1 nie zaliczamy ani do liczb pierwszych, ani do liczb złożonych. 4
Inne źródła wiedzy: Mały słownik matematyczny, Wiedza Powszechna, Warszawa 1967, str. 146: liczby pierwsze: liczby naturalne n > 1, które mają tylko dwa dzielniki naturalne: 1 oraz n. liczby złożone: liczby naturalne n > 1, które nie są pierwsze Z. Muzyczka, M. Kordos Słownik szkolny. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1996, str. 85: liczby pierwsze, liczby naturalne mające dokładnie dwa podzielniki naturalne. Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, str. 122: liczby pierwsze: liczby naturalne p > 1, których jedynymi dzielnikami są 1 oraz p. Liczby 1 nie zalicza się do l. p. liczby złożone: liczby naturalne n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, mają więc dzielnik naturalny k spełniający nierówność 1 < k < n. Wreszcie podręczniki akademickie: W. Sierpiński Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1968 (wyd. 4), str. 86: Liczbę naturalną p większą od jedności nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli p ma tylko dwa dzielniki (mianowicie 1 i p). Na to więc, żeby liczba naturalna p była pierwsza, potrzeba i wystarcza, żeby spełniała równanie (p) = 2. Tutaj (n) jest liczbą dzielników naturalnych liczby n. 5
Wł. Narkiewicz Teoria liczb, PWN, Warszawa 1977, str. 12: Każda liczba naturalna n > 1 ma przynajmniej dwa dzielniki naturalne - liczby 1 i n. Jeśli nie ma innych, to mówimy, że n jest liczbą pierwszą. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Liczby n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, nazywamy liczbami złożonymi. 6
3. Wyznaczanie liczb pierwszych. Około roku 200 p.n.e. grecki matematyk Eratostenes podał algorytm na znajdowanie liczb pierwszych. Mimo zaproponowania bardzo prostego algorytmu do dnia dzisiejszego matematyka nie zna lepszego sposobu na uzyskanie liczb pierwszych. Eratostenes(276-194 p.n.e.), kustosz wielkiej Biblioteki Aleksandyrskiej, był jednym z najbłyskotliwszych ludzi świata starożytnego. Za jego najbardziej znaczące osiągnięcia można zapewne uznać zmierzenie promienia Ziemi w czasach, gdy mało kto wierzył w jej kolistość, przez porównanie długości cieni rzucanych w południe przez dwie długie tyczki ustawione w Aleksandrii i w dzisiejszym Asuanie. Jednak dla ludzi zajmujących się cyferkami (teorią liczb), Eratostenes kojarzył się będzie z sitem liczb pierwszych. Tak jak rolnik odsiewa wartościowe ziarno do bezużytecznych plew, tak Eratostenes używał swego sita do oddzielenia cennych liczb pierwszych, od ich zwyczajnych, złożonych koleżanek. Oto jak powstaje sito. Wypisujemy kolejne liczby naturalne (z przedziału dla którego chcemy znaleźć liczby pierwsze np. od 0 do 100), 7
Zadanie polega na tym, iż stajemy na 2 (omijamy 1, która nie jest ani pierwsza ani złożona) i od 2 (którą zaznaczamy w kółeczko) skreślamy co drugą liczbę. Następnie na 3 (którą zaznaczamy w kółeczko) i od 3 skreślamy co trzecią liczbę. Na 4-ce nie stajemy, bo została skreślona (przy 2 i kroku dwa) Dalej na piątce i tak dalej aż zakreślimy wszystkie liczby. Zakreślone (w kółko) w ten sposób liczby to liczby pierwsze z przedziału od 0 do 100. 8
4. Rodzaje liczb pierwszych Liczby bliźniacze Liczby bliźniacze to dwie liczby pierwsze róźniące się o 2. Np. (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19),... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Liczby czworacze Liczby czworacze to takie liczby: p, p+2, p+6, p+8, że każda z nich jest liczbą pierwszą. Np.:5, 7, 11, 13; 821, 823, 827, 829. Liczby izolowane Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa liczba pierwsza różni się od niej co najmniej o 4. Np.: 89, 157, 173. Liczby Sophie Germain Liczba pierwsza p jest liczbą Sophie Germain, jeśli liczba 2p+1 także jest liczbą pierwszą. Np.: 5, 11, 23, 29. Liczby te badano w związku z wielkim twierdzeniem Fermata. Nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele, ale prawdopodobieństwo trafienia na liczbę Sophie Germain wsród n początkowych liczb pierwszych dąży do zera (dla n dążącego do nieskończoności). Liczby Fermata Liczby Fermata są to liczby postaci F 2 2n 1. Słynny matematyk Pierre de Fermat (1601-1665). Przypuszczał, że wszystkie te liczby są pierwsze. Wykazał to dla F 4. Nie potrafił tego wykazać dla kolejnej liczby, ani znaleźć odpowiedniego kryterium. F 0 3 n F 1 5 9
F 2 F 3 F 4 17 257 65537 W 1772r. L. Euler wykazał, że liczba F 5 2 2 5 1 4294967297 641 6700417 jest liczbą złożoną podzielną przez 641. W 1880r. E. Lucas (mając 82 lata) znalazł rozkład F 6 274177 67280421310721 Liczba F 7 została rozłożona na czynniki dopiero w 1970r. przez M.A. Morrisona i J. Brillharta, a liczba F 8 w 1981r. przez R.P. Brenta i J.M. Pollarda w 1981r. Znany jest jeszcze pełny rozkład liczb F 9 i F 11. Największą znaną dziś liczbą pierwszą Fermata jest F 4 65537. Największą znaną liczbą Fermata złożoną jest F 23471. Najmniejszą znaną dziś liczbą złożoną (udowodnili to w 1963r. J.L. Selfridge i A. Hurwitz.), której żaden dzielnik pierwszy nie jest znany jest F 14. Najmniejsze liczby Fermata o których nie wiadomo, czy są pierwsze czy złożone, są F 24 i F 28. Liczby Mersenne'a Liczby Mersenne'a to liczby postaci 2 p 1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Marin Mersenne (filozof, matematyk, popularyzator nauki) był franciszkańskim mnichem, który przeżył większą część swojego życia w paryskich klasztorach. Był autorem dzieła pt. Cogniata Physico- Matematica, w którym stwierdzał bez dowodu, że liczby 2 p 1 (oznaczane Mp) są pierwsze dla p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 10
127 i 257 i dla żadnych innych liczb pierwszych p<257. Potwierdzenie tezy Mersenne'a zajęło 300 lat. Ostatecznie w 1947 roku stwierdzono, że Mersenne zrobił pięć błędów - liczby M61, M89 i M107 są pierwsze, zaś M67 i M257 złożone. Nie wiadomo, czy wśród liczb Mersenne'a jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, nie wiadomo też, czy wśród liczb tych jest nieskończenie wiele liczb złożonych. Liczby Mersenne'a zasługują jednak na szczególną uwagę, gdyż wśród nich możliwe jest wskazanie największych znanych liczb pierwszych. Największą znaną obecnie liczbą pierwszą Mersenne'a jest 39 liczba Mersenne'a dla p=13466917, mająca w rozwinięciu dziesiętnym 4053946 cyfr. Znalezienie każdej nowej liczby pierwszej Mersenne'a powoduje odkrycie nowej parzystej liczby doskonałej (liczby doskonałe to liczby, których suma dzielników tej liczby oprócz niej samej równa jest tej liczbie np.:6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14). Tabela zawierająca liczby pierwsze Mersenn a nr P ilość cyfr rozwinięcie dziesiętne rok odkrywca 1. 2 1 3 - - 2. 3 1 7 - - 3. 5 2 31 - - 4. 7 3 127 - - 5. 13 4 8191 1461 nieznany 6. 17 6 131071 1588 P. A. Cataldi 7. 19 6 524287 1588 P. A. Cataldi 8. 31 10 2147483647 1750 L. Euler 9. 61 19 2305843009213693951 1883 I. M. Pierwuszin 10. 89 27 * 1911 R. E. Powers 11. 107 33 * 1913 E. Fauquembergue 12. 127 39 * 1876 E. Lucas 13. 521 157 * 1952 R. M. Robinson 14. 607 183 * 1952 R. M. Robinson 15. 1279 386 * 1952 R. M. Robinson 16. 2203 664 * 1952 R. M. Robinson 11
17. 2281 687 * 1952 R. M. Robinson 18. 3217 969 * 1957 H. Riesel 19. 4253 1281 * 1961 A. Hurwitz 20. 4423 1332 * 1961 A. Hurwitz 21. 9689 2917 * 1963 D. B. Gillies 22. 9941 2993 * 1963 D. B. Gillies 23. 11213 3376 * 1963 D. B. Gillies 24. 19937 6002 * 1971 B. Tuckerman 25. 21701 6533 * 1978 L. C. Noll i L. Nickel 26. 23209 6987 * 1979 L. C. Noll 27. 44497 13395 * 1979 H. Nelson i D. Slowinski 28. 86243 25962 * 1982 D. Slowinski 29. 110503 33265 * 1988 W. N. Colquitt i L. Welsh, Jr. 30. 132049 39751 * 1983 D. Slowinski 31. 216091 65050 * 1985 D. Slowinski 32. 756839 227832 * 1992 D. Slowinski i P. Gage 33. 859433 258716 * 1993 D. Slowinski i P. Gage 34. 1257787 378632 * 1996 D. Slowinski i P. Gage 35. 1398269 420921 * 1997 J. Armengaud (GIMPS) 36. 2976221 895932 * 1997 G. Spence (GIMPS) 37. 3021377 909526 * 1998 Roland Clarkson (GIMPS) 38. 6972593 2098960 * 1999 Nayan Hajratwala (GIMPS) 39. 13466917 4053946 * 2001 Michael Cameron (GIMPS) *- rozwinięcia dziesiętne tych liczb można znaleźć na www.mersenne.obywatel.pl/ 12
5. Czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele? Na to pytanie potrafimy odpowiedzieć. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele Pierwszy znany dowód znajduje się w "Elementach" Euklidesa (ok. 365 - ok. 300 pne). Dowód: Niech A={p 1,p 2,..., p n } będzie dowolnym niepustym, skończonym zbiorem liczb pierwszych. Wtedy istnieje liczba pierwsza q nie należąca do tego zbioru: niech m = p 1 * p 2 *... * p n + 1. Każda z liczb p 1, p 2,..., p n jest większa lub równa 2, więc m > 2 - liczba m nie może być ani zerem, ani jedynką. W takim razie liczba m ma rozkład na czynniki pierwsze, w którym występuje co najmniej jedna liczba pierwsza q. Liczba q jest pierwsza i q dzieli m. W takim razie liczba q nie może być elementem zbioru A, bo dla każdego numeru i liczba m daje resztę 1 z dzielenia przez p i. Inny wariant dowodu Euklidesa: Twierdzenie. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p większa od n. Dowód Niech n oznacza jakąkolwiek liczbę naturalną. Liczba m=n!+1 (gdzie n! oznacza iloczyn 1, 2,... n) jest oczywiście większe >1, a więc ma dzielnik pierwszy p. Liczba p nie może być żadną z liczb 1, 2, 3,..., n, gdyż przy dzieleniu liczby m przez każdą z nich otrzymujemy resztę 1, a więc nie są one dzielnikami liczby 13
m (która jest >1). Musi więc być p>n. Dowodzimy zatem, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p większa od n. Wynika stąd, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Przypuszczenie GOLDBACHA Najsłynniejszą, do dziś nieudowodnioną hipotezą dotyczącą liczb jest HIPOTEZA GOLDBACHA, wedle której każda liczba parzysta większa od dwóch jest sumą dwóch liczb pierwszych. Jaka jest jej historia? 7 czerwca 1742 roku rosyjski matematyk Christian Goldbach wysłał list do jednego z najsławniejszych matematyków europejskich tamtych czasów Leonarda Eulera. W liście tym wyraził przypuszczenie, że "każdą liczbę całkowitą można wyrazić jako sumę trzech liczb pierwszych". Euler nie umiał stwierdzić czy to prawda, zauważył jednak, że jeśli tak, to skoro jedną z tych trzech liczb pierwszych, wyrażających liczby parzyste, będzie dwa (a dwa jest jedyną parzystą liczbą pierwszą), wypływa z tego oczywisty wniosek, że każda liczba parzysta jest sumą dwóch liczb pierwszych (suma trzech liczb pierwszych większych od 2 z konieczności jest nieparzysta). W ten sposób sformułował on ostatecznie hipotezę, którą dzisiaj znamy pod nazwą hipotezy Goldbacha. 14
Pomimo prostoty sformułowania do dzisiaj nikomu nie udało się hipotezy tej ani potwierdzić, ani obalić. Dotychczasowe prace nad jej rozwiązaniem przyniosły jedynie częściowe rezultaty: W roku 1923 angielscy matematycy G. H. Hardy i J.E. Littlewood wykazali, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta może być przedstawiona jako suma trzech liczb pierwszych. W roku 1930 radziecki matematyk L.G. Sznirelman wykazał, że każda liczba naturalna może być przedstawiona jako suma nie więcej niż dwudziestu liczb pierwszych. W roku 1937 J. M. Winogradow udowodnił, że każda dostatecznie duża liczba nieparzysta może być zapisana w postaci sumy co najwyżej trzech liczb pierwszych (w ten sposób uściślił wynik Hardy ego i Littlewood a z 1923 roku, podając oszacowanie tej liczby na 15 e e ). W roku 1973 chiński matematyk Chen Jing Run pokazał, że dostatecznie duża parzysta liczba pierwsza da się przedstawić w postaci sumy liczby pierwszej i liczby będącej iloczynem co najwyżej dwóch liczb pierwszych. W roku 1998 Jean-Marc Deshouillers, Yannick Saouter i Herman te Riele dowiedli także, że przypuszczenie Goldbacha jest prawdziwe dla liczb parzystych mniejszych od 4x10 14. 15
Nie da się także wykluczyć, że hipotezy Goldbacha w ogóle nie da się udowodnić, jeśli stosuje się do niej twierdzenie o niezupełności! Z przypuszczenia Goldbacha wynika z łatwością twierdzenie Czebyszewa: Dla każdej liczby naturalnej n>1 między n i 2n leży co najmniej jedna liczba pierwsza. W samej rzeczy, jeżeli n jest liczbą naturalną >1, to w myśl przypuszczenia Goldbacha, 2n+2 jako liczba parzysta >4 jest sumą dwóch liczb pierwszych nieparzystych, 2n+2=p+q, i możemy założyć, że 3 p q, skąd q<2n oraz n 2 2q q jest więc liczbą pierwszą zawartą między n i 2n. 2, zatem q>n. Liczba 16
6. Znaczenie liczb pierwszych Nasuwa się pytanie: po co to wszystko? Czy te wszystkie twierdzenia i hipotezy mogą się do czegoś konkretnego przydać? Co z tego, że być może kiedyś będziemy wiedzieli, ile jest par liczb bliźniaczych i poznamy dokładny rozkład liczb pierwszych? Nie wydaje się, by rozwiązanie takiego czy innego problemu natychmiast przysporzyło nam dochodu narodowego lub znalazło zastosowanie na przykład w konstrukcjach lotniczych. Rozstrzygnięcia hipotez matematycznych nie mają jednak jednoznacznego przełożenia na gotówkę. w tej nauce w badaniach często decydującą rolę odgrywa nieprzeparta chęć poznania, ta sama, która kazała człowiekowi zdobywać bieguny, najwyższe szczyty górskie i lecieć w kosmos. Matematyka jest dziedziną wiedzy, w której trudno natychmiast przewidzieć praktyczne zastosowania wyników. Jest to cecha bardzo niedobra z punktu widzenia urzędników zarządzających nauką. Oni chcieliby wiedzieć na pewno, ile ważnych hipotez zostanie rozwiązanych w danym roku i jaki będzie z nich pożytek. Nieprzewidywalność i trudności z planowaniem decydują też o pięknie matematyki; czy byłaby taka pociągająca, gdyby wszystko można było zaplanować? Jest coś niezwykłego w tym, że pewne twierdzenia, czy nawet całe teorie przez lata istnieją nie zauważone, by nagle zabłysnąć jak diamenty... O teorii liczb mówiło się czasem, że jest najczystszą z czystych dziedzin matematycznych; o ile inne działy wyrosły z bardziej lub mniej bezpośrednich zastosowań, o tyle teorię liczb można by 17
uważać za "sztukę dla sztuki". Tym niemniej... Na przykład uporczywe próby pokonania Wielkiego Twierdzenia Fermata, które jako problem matematyczny jest jedynie ciekawostką (gdyż od dawna było wiadomo, że rozwiązanie tego konkretnego równania nie ma znaczenia praktycznego ani nie pomoże w rozwiązywaniu podobnych równań), przyczyniły się istotnie do ogromnego rozwoju wielu dziedzin matematyki i rozwinięcia technik bardzo przydatnych w rozmaitych sytuacjach. Podobnie ataki na twierdzenie o rozkładzie liczb pierwszych spowodowały rozwój metod niezwykle użytecznych w teorii funkcji zmiennych zespolonych, prowadzących nawet do praktycznych zastosowań. Poszukiwanie wielkich liczb pierwszych też wydawało się tylko zabawą. Tymczasem duże liczby pierwsze niespodziewanie znalazły zastosowanie w teorii kodowania informacji przy konstrukcji tak zwanych szyfrów z kluczem publicznym. Otóż można zaszyfrować informację, podać sposób i klucz szyfrowania, a mimo to tekst odczyta tylko osoba, dla której był on przeznaczony - dzięki temu, że wie, których liczb pierwszych użyto, przy czym liczby te muszą być odpowiednio duże. Z tego też powodu odnajdywane olbrzymie liczby pierwsze nie są podawane do publicznej wiadomości (z wyjątkiem największej aktualnie znanej). 18
7. Programy komputerowe do znajdowania liczb pierwszych Najprostszą metodą wyszukiwania liczb pierwszych w ograniczonym zbiorze jest sito Eratostenesa. Aby omówić algorytm wyszukiwania liczb pierwszych zobaczmy jak działa sito Eratostenesa. Przykład Spróbujmy wg tej metody odszukać wszystkie liczby pierwsze w zbiorze 30 kolejnych liczb naturalnych. {1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30} Oto początkowy zbiór liczb. Najpierw usuniemy z niego liczbę 1 - nie jest to liczba pierwsza, ponieważ nie posiada dokładnie dwóch różnych podzielników. { 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 } Bierzemy pierwszą liczbę 2 i usuwamy ze zbioru wszystkie jej wielokrotności. W ten sposób pozbyliśmy się liczb parzystych. Zauważ iż obliczanie wielokrotności nie wymaga mnożenia - wystarczy dodawać daną liczbę. { 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 } Następną wolną liczbą jest 3. Usuwamy ze zbioru wszystkie wielokrotności liczby 3. Pozostaną więc liczby niepodzielne przez 2 i przez 3. { 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 } Teraz pozostawiamy w zbiorze liczbę 5 usuwając z niego wszystkie jej wielokrotności. { 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 } Wykonane - w zbiorze pozostały same liczby pierwsze. 19
Pozostaje naturalne pytanie, do jakiej liczby pierwszej należy dojść, aby mieć pewność, iż reszta zbioru składa się wyłącznie z liczb pierwszych. Odpowiedź brzmi - do liczby pierwszej równej lub bezpośrednio mniejszej od pierwiastka z największej liczby w zbiorze wyjściowym. U nas największą liczbą było 30. Pierwiastek z 30 wynosi 5,47 - czyli do liczby pierwszej 5. Dalsze sprawdzanie wielokrotności nie ma sensu, ponieważ w zbiorze nie pozostały żadne liczby podzielne przez 7, 11, 19... Weźmy dla przykładu liczbę 7 (dla pozostałych jest identycznie). Jeśli któraś z następnych liczb miałaby jeden z podzielników równy 7, to drugi podzielnik musiałby być mniejszy od 5, gdyż 7 x 5 = 35 > 30. Skoro tak, to liczba taka zostałaby wyeliminowana ze zbioru przed dojściem do 5 przy usuwaniu wielokrotności tego podzielnika. Tak stało się z liczbą 14 (2 x 7), 21 (3 x 7) oraz 28 (2 x 2 x 7). Z rozważań tych wynika następujący wniosek: Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych { 2 3 4 5... n } wyrzucamy wielokrotności początkowych liczb, aż do napotkania liczby większej od pierwiastka z n. Wtedy możemy już przestać - przez sito Eratostenesa wypadły wszystkie liczby złożone, pozostały wyłącznie pierwsze. Schemat blokowy Zanim podamy sposób wyznaczania liczb pierwszych przy pomocy sita Eratostenesa, wyjaśnijmy metodę przechowywania tych liczb w pamięci komputera. Otóż wykorzystamy do tego celu tablicę, której elementami będą wartości logiczne. Wartość liczby będzie określona przez numer indeksu danego elementu: a[3] - reprezentuje liczbę o wartości 3, a[17] - liczbę o wartości 17, itd. 20
Zawartość elementu będzie informować nas, czy dana liczba została pozostawiona w zbiorze, czy też usunięto ją, ponieważ była wielokrotnością innej, wcześniejszej liczby. a[i] = true - liczba i-ta jest pierwsza - pozostała w zbiorze a[i] = false - liczba i-ta jest złożona - usunięto ją ze zbioru. Na początku działania algorytmu ustawiamy wszystkie elementy w tablicy na true. Następnie algorytm sita Eratostenesa usunie z tablicy wielokrotności liczb pierwszych zastępując je wartościami false. Na końcu wystarczy przeglądnąć tablicę i wypisać indeksy wszystkich elementów o wartości logicznej true, pomijając elementy o wartości false. Tablica będzie rozpoczynać się od indeksu 2. Na schemacie blokowym zostały użyte następujące symbole: a[...] tablica tworzonych liczb pierwszych n i,j numer ostatniego elementu tablicy a[...] zmienne licznikowe pętli maxi zakres przeglądania tablicy a[...] 21
Wykonanie algorytmu rozpoczynamy od wypełnienia całej tablicy a[...] wartościami true. Jest to konieczne, ponieważ usunięcie elementu będzie polegało na wpisaniu na jego pozycji wartości logicznej false. Po wykonaniu tego zadania obliczamy największą liczbę maxi, do której mamy dojść przy wyrzucaniu z tablicy kolejnych wielokrotności. Następnie tworzymy pętlę z licznikiem przebiegającym po wartościach od dwóch do maxi, w której eliminujemy z tablicy wielokrotności licznika pętli. Gdy licznik pętli przekroczy ostatnią pozycję, w tablicy a[...] pozostaną jedynie same liczby pierwsze. Liczby te możemy odczytać przeglądając tablicę a[..] i biorąc pod uwagę jedynie te indeksy elementów, których wartość wynosi true. Elementy o wartości logicznej false będą reprezentować liczby wyrzucone z tablicy, będące wielokrotnościami wcześniejszych liczb pierwszych. Oczywiście podany algorytm nie jest optymalny - ponieważ wszystkie liczby pierwsze z wyjątkiem 2 są liczbami nieparzystymi, można np. pominąć w tablicy a[..] wszystkie liczby parzyste, a kolejne indeksy mogą odnosić się do kolejnych liczb nieparzystych o wartości 2i+1, gdzie i - numer indeksu elementu. Uzyskamy dzięki 22
temu dwukrotny wzrost pojemności naszej tablicy. Jeszcze efektywniejszym podejściem byłoby zastosowanie bitów do reprezentacji kolejnych liczb - 1 bajt zawiera 8 bitów, więc w jednej komórce pamięci można zmieścić informację o 8 liczbach naturalnych. Tablica zajmująca 1MB zawiera ich ponad 8 milionów. Liczbom wyrzuconym mogą odpowiadać bity o wartości 0, a bity o wartości 1 mogą reprezentować liczby pierwsze, które pozostały w tablicy. 23
Przykładowe programy do wyznaczania liczb pierwszych: Autor: Jacek Kędzierski Program wyświetla liczby pierwsze i złożone z podanego zakresu (zawiera błąd do liczb pierwszych zalicza też liczbę 1). Autor: Paweł Kmak Program wyświetla liczby pierwsze z podanego zakresu. Wyszukane liczby można w prosty sposób skopiować do edytora. 24
8. Wielkie internetowe poszukiwania liczb pierwszych Bardzo starym i znanym sposobem poszukiwania liczb pierwszych jest sito Eratostenesa. Ta prosta metoda zawodzi jednak w wypadku ogromnej długości i przy jej zastosowaniu obliczenia trwały zbyt długo, żeby ten zachęcający algorytm uznać za przydatny. W jaki sposób znaleźć więc wielkie liczby pierwsze. Używając niezwykle potężnych i piekielnie drogich superkomputerów Cray z serii T90, wyposażone w potężny algorytm Lucasa-Lehmera. Patent na użycie Craya do wyszukiwania kolejnych liczb pierwszych ma przede wszystkim wchodząca w skład specjalnego zespołu Silicon Graphic s Cray Research sławna para matematyków David Slowinski Paul Gage. Szczególnie Slowinski uważany jest za łowcę wielkich liczb pierwszych. Ten program jest ważny nie tylko dlatego, że bije rekordy, ale i dlatego, iż jest on cennym narzędziem do testowania każdego nowego modelu superkomputera. Techniki, stosowane do przyspieszenia działania programu wyszukiwania liczb pierwszych, mają duże znaczenie dla rozwiązywania niezwykłej wagi problemów, w rodzaju obliczania pewnych prognoz pogody czy analizy danych, służących poszukiwaniu nowych złóż ropy. Inny od użycia superkomputera sposób poszukiwania On twierdzi, że 2 756839-1 jest ostatnią liczbą pierwszą, więcej jego pamięć nie mieści. 25
liczb pierwszych polega na zebraniu kilkudziesięciu czy kilkuset przyjaciół i wykonanie tej pracy zespołowo, przy podziale jej na mniejsze fragmenty. Dokładnie na tym polega projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), w ramach Którego Joel Armengaud Jako pierwszy, odkrył nową liczbę pierwszą Mersenne a: 2ⁿ-1 gdzie n=1398269 ( liczby Mersenne a są to liczby które da się zapisać w postaci 2ⁿ-1 gdzie n musi być liczbą pierwszą; niektóre z nich też są pierwsze. Liczby Mersenne a dość łatwo poddają się testowaniu). Dokonał tego, używając opracowanego przez George a Woltmana modyfikacji algorytmu Lucasa-Lehmera i pracując wspólnie z ponad 700 matematykami, komunikującemu się przez Internet. Obecnie w projekcie GIMPS bierze udział już około 2 tysięcy entuzjastów liczb pierwszych. Założyli sprawdzenie wszystkich liczb Mersenne a o wykładniku mniejszym niż 1345000 jeszcze przed końcem 1997 roku, a do końca 2000 roku chcą sprawdzić wykładniki aż do 2655000. Z początkiem 1996 roku sam Woltman dołączył do zespołu GIMPS. Największą znalezioną dotąd liczbą pierwszą jest liczba: 2 13466917-1. Rekordzistkę odkryto 14 listopada 2001 roku. Liczba ta składa się z 4053946 cyfr! Co więcej, liczba ta należy do tzw. liczb Mersenne'a (jest to 39 liczba pierwsza Mersenne'a). Odkrycie zostało dokonane w ramach wspomnianego wyżej programu GIMPS, w którym obliczeń dokonują wspólnie pracujące w Internecie komputery ponad 130 tysięcy badaczy-ochotników, zaprzęgając do poszukiwań ponad 200 tysięcy komputerów PC. 26
Polska strona GIMPS 27
9. KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI DLA KLASY V SZKOŁY PODSTAWOWEJ Temat: Wyznaczanie liczb pierwszych metodą sita Eratostenesa. Cel ogólny: Uczeń znajduje liczby pierwsze mniejsze od 100 stosując sito Eratostenesa. Cele operacyjne: Uczeń potrafi: Uczeń zna: Dokonać podziału liczb naturalnych, Wskazać liczby podzielne przez 2 i wielokrotności liczby 2 Wskazać liczby podzielne przez 3 i wielokrotności liczby 3 Wskazać liczby podzielne przez 5 i wielokrotności liczby 5 Wskazać liczby podzielne przez 7 i wielokrotności liczby 7 Dzielić pisemnie. Liczby pierwsze i złożone, Cechy podzielności liczb naturalnych przez 2, 3, 5 i 7 Tabliczkę mnożenia i dzielenia. Formy pracy: zbiorowa, grupowa jednolita, indywidualna jednolita Metody: słowna (rozmowa), praktycznego działania ETAPY LEKCJI ZAANGAŻOWANIE BADANIE PRZEBIEG LEKCJI Odczytują zadanie domowe, Kto to był Eratostenes? Uczniowie przypominają: co to są liczby pierwsze, liczby złożone oraz co wiedzą o liczbach 0 i 1. Wyjaśniam uczniom, że celem lekcji jest znalezienie wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 100 stosując metodę zwaną sitem Eratostenesa. Rozdaję uczniom zadania napisane na kartkach. (załącznik 1) Uczniowie w parach zapoznają się z treścią przydzielonych zadań. Planują sposób pracy w zespole. Udzielam dodatkowych wyjaśnień i odpowiedzi na postawione pytania. UMIEJĘTNOŚCI KLUCZOWE -komunikowanie się nauczyciel- uczeń, -organizowanie uczenia się -planowanie własnego uczenia się -współpraca w grupie, -przydział ról w grupie -rozwiązywanie problemów, -komunikowanie uczeń-uczeń, uczeńnauczyciel UWAGI 28
PRZEKSZTAŁCANIE PREZENTACJA DOSKONALENIE REFLEKSJA Uczniowie rozwiązują te same zadania. Przedstawiają pomysły rozwiązań, wybierają elementy wspólne, porównują wyniki. Obserwuję pracę uczniów nie ingerując w ich prace. Udzielam ewentualnych odpowiedzi na postawione pytania. Nie daję jednak gotowych recept. Członkowie poszczególnych grup omawiają sposób rozwiązania zadania. Przedstawiają wyniki pracy, tabelkę z zaznaczonymi liczbami pierwszymi mniejszymi od 100. Odczytują liczby pierwsze i podają ich ilość. Grupy, które prawidłowo rozwiążą zadanie nagradzam ocenami Uczniowie samodzielnie siadają do komputera. Uruchamiają grę Sito Eratostenesa i zapoznają się z zasadami gry. Rywalizują ze sobą i poprzez zabawę doskonalą nabyte umiejętności. (załącznik 2) Wspólna dyskusja: -czego nauczyłeś się na lekcji? -co było najłatwiejsze? -co było najtrudniejsze? Uczniowie dokonują samooceny pracy na lekcji (załącznik3). Na koniec lekcji uczennica czyta wiersz pt. Ballada o Eratostenesie (załącznik 4) -analiza, -komunikowanie się uczeń-uczeń -rozwiązywanie problemów we współpracy z innymi -twórcze rozwiązywanie problemów -ocena wyników własnego uczenia się -komunikowanie uczeń-uczeń - wykorzystywanie nabytej wiedzy - sprawne działanie -organizowanie i ocenianie wyników własnego uczenia się (ewaluacja) -komunikowanie się nauczyciel-uczeń -samoocena pracy każdego ucznia 29
Załącznik 1 Przeczytaj uważnie tekst i wykonaj podane zadania. Oto sposób zwany sitem Eratostenesa na znalezienie wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż 100. a) skreśl 1, gdyż nie jest liczbą pierwszą b) zostaw 2 i kolorem niebieskim skreśl kolejne wielokrotności liczby 2 c) zostaw 3 i kolorem zielonym skreśl kolejne wielokrotności liczby 3 d) zostaw 5 i kolorem żółtym skreśl kolejne wielokrotności liczby 5 e) zostaw 7 i kolorem brązowym skreśl wszystkie liczby podzielne przez 7 Liczby, które pozostaną nie skreślone są liczbami pierwszymi mniejszymi od 100 (dlaczego?). Wypisz je i policz ile ich jest. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 59 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 30
Załącznik 2 Plik Sito Eratostenesa.exe (wydruk planszy końcowej) Autor: Eugeniusz Jakubas Załącznik 3 Uczniowie wybierają i zapisują na kartkach jedną z trzech liczb pierwszych według oznaczeń: 5- pracowałem dobrze 3-pracowałem słabo 2- nie pracowałem 31
Załącznik 4 Ballada o Eratostenesie. Ballada się nasza zaczyna, Nie pęknie od tego głowa, Istniała liczbowa kraina, W której bałagan panował. Trwało tam wciąż zamieszanie, Liczby nie chciały się zgodzić, Aż wreszcie zwołano zebranie, Aby w tym względzie coś zrobić. I wtedy wkroczył na scenę, Grek mądry ciut pogłówkował, Matematyk Eratostenes, Bałagan uporządkował. W przyszłości to wszystkim pomoże, Czas przyjdzie perspektyw szerszych, Gdy w miejscu nieładu tu stworzę Przepiękną krainę liczb pierwszych. Potrzebne jest sito w tym celu, Liczby, zostaną przesiane Ubędą liczby złożone, A liczby pierwsze zostaną. Chcąc bardziej ułatwić tę sprawę, By wszyscy to mogli zrozumieć, Wyłożę kawę na ławę, Jak liczby te poznać w tłumie. Dokładnie dwa dzielniki mają, Są różne od jeden i zera, Pierwszymi się więc nazywają, Te liczby czy wiecie już teraz? Dziś prawdy przedstawię najszczersze, Niech dowie się kto jeszcze nie wie, Przez jeden te liczby pierwsze, Dzielą się i tylko przez siebie. Tak geniusz Eratostenes, Grek, który nie pisał wierszy, Na naukowej arenie, Stworzył krainę liczb pierwszych. 32
10. Zakończenie Praca jaką napisałem z całą pewnością tylko w niewielkim stopniu przedstawia zagadnienia dotyczące liczb pierwszych. Postawione we wstępie pytania w części mają już swoje odpowiedzi, ale na wiele wciąż jeszcze się ich szuka, w tym na najważniejsze z nich: Jak brzmi ogólny wzór (formuła), za którego pomocą można określić liczbę pierwszą?. Swoista przypadkowość jaka cechuje rozmieszczenie liczb pierwszych skłania do postawienia tezy, że jest to niemożliwe. Jak pasjonujące jest to zagadnienie niech świadczy to jak wielu słynnych matematyków próbowało rozwiązać ten problem. W 1801 roku w artykule Disquisitiones Arithmeticae C.F. Gauss pisał: Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na czynniki pierwsze uchodzi za najważniejsze i o dużym praktycznym znaczeniu w arytmetyce....sama powaga nauki zdaje się wymagać, aby dołożyć wszelkich możliwych starań do rozwiązania tak eleganckiego i tak słynnego zagadnienia. 33
11. Suplement Już po napisaniu tej pracy w prasie polskiej pojawiła się informacja o znalezieniu przez GIMPS nowej, 40 liczby Mersenne a. Jest nią 2 20996011-1, a do jej zapisu potrzeba 6320430 cyfr. Liczba ta pojawiła się na komputerze Michaela Shefera 17 listopada 2003r. 34
Bibliografia 1. Sierpiński W.: Co wiemy a czego nie wiemy o liczbach pierwszych. PZWSz, W-wa 1961. 2. Sierpiński W.: Czym się zajmuje teoria liczb. Wiedza Powszechna, W-wa 1957. 3. Sznirelman L.: Liczby pierwsze. PWN, W-wa 1954. 4. Rademacher H., Toeplitz O.: O liczbach i figurach. PWN, W-wa 1956. 5. Narkiewicz W.: Teoria liczb. PWN, W-wa 1977. 6. Sporer Z.: Och, ta matematyka. Nasza księgarnia, W-wa 1991. 7. Ribenboim P.: Mała księga wielkich liczb pierwszych. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, W-wa 1997. 8. Strony www: - www.mersenne.org - www.mersenne.obywatel.pl - www.znak.com.pl/doxiadis/math1.html - www.math.uni.wroc.pl/~s102606/liczby/prime.html - www.pi.home.staszic.waw.pl/liczby/pierw.html - www.jakubas.pl - www.wiem.onet.pl/wiem/00f5dc.html 35