Fragment książki Jarosława Strzeleckiego Logika z wyobraźnią. Wszelki uwagi merytoryczne i stylistyczne proszę kierować pod adres jstrzelecki@uwm.edu.pl PODZIAŁ LOGICZNY I. DEFINICJA: Podziałem logicznym jakiegoś zbioru Z jest układ przynajmniej dwóch (np. A, B) niepustych podzbiorów zbioru Z, takich że 1. Każdy element zbioru A jest elementem zbioru Z, ale nie każdy element zbioru Z jest elementem A (inaczej mówiąc zbiór A jest podrzędny względem zbioru Z). 2. Każdy element zbioru B jest elementem zbioru Z, ale nie każdy element zbioru Z jest elementem B (inaczej mówiąc zbiór B jest podrzędny względem zbioru Z). 3. Żaden element zbioru A nie jest elementem zbioru B oraz żaden element zbioru B nie jest elementem zbioru A (inaczej mówiąc A i B nie mają żadnych wspólnych elementów). 4. Zbiory A i B zostały utworzone w oparciu o określoną zasadę podziału. 5. Suma zbiorów A i B jest zbiorem Z. Zbiór Z Zbiór A Zbiór B II. POJĘCIA dodatkowe: 1. Całość dzielona (totum divisionis): zbiór Z 2. człony podziału (membra divisonis): zbiory A, B III. UWAGI: 1. Podział logiczny może być układem większej ilości podzbiorów niż tylko dwóch (A, B, C,...). 2. Przez pojęcie nazwy możemy rozumieć jej zakres, czyli zbiór wszystkich jej desygnatów. Wówczas podział logiczny będzie podziałem logicznym określonego pojęcia - nazwy. 3. Są dwa rodzaje zasad podziału: a) według cech sprzecznych (np. biały niebiały, parzysta nieparzysta, polski niepolski, śmiertelny nieśmiertelny, pijany niepijany). Podział taki nazywamy dychotomicznym albo dwudzielnym. b) według modyfikacji wybranej cechy (np. Wybraną cechą niech będzie kolor ludzkiej skóry. Jej modyfikacjami są różne kolory, zatem podział logiczny zbioru ludzi ze względu na kolor skóry jest następujący: biali, czarni, żółci, czerwoni). Podział taki nazywamy wieloczłonowym.
4. Formalnymi warunkami poprawności podziału logicznego są: a) warunek jedyności zasady podział posiada tylko jedną zasadę podziału (por. I.4.), b) warunek rozłączności członów podziału człony podziału nie mają żadnego wspólnego elementu (por. I.3), c) warunek zupełności suma członów podziały jest równa całości dzielonej (por. I.5.). IV. Przykłady. Mamy następujący zbiór przedmiotów o nazwie Żółty Zbiór: Dokonajmy na nim różnych podziałów logicznych. IV.I Poprawne podziały logiczne. Przypadek I. Całością dzieloną jest Żółty Zbiór. Zasadą podziału niech będzie układ cech sprzecznych: być trójkątem niebyć trójkątem. Wówczas mamy do czynienia z podziałem dychotomicznym, czyli dwudzielnym. Nasz Żółty Zbiór będzie posiadał dwa podzbiory: zbiór trójkątów oraz zbiór pozostałych figur. Oto graficzne przedstawienie tego podziału: Sprawdźmy, czy podział taki spełnia formalne warunki poprawności. Czy przyjęliśmy tylko jedną zasadę podziału? Tak. Jest nią zasada bycia trójkątem. Czy człony podziału są względem siebie rozłączne? Tak. Żaden element zbioru trójkątów nie jest elementem drugiego zbioru i na odwrót. Czy suma zbioru trójkątów i zbioru pozostałych figur jest równa Zbiorowi Żółtemu? Tak. Żółty Zbiór składa się z trzech trójkątów, trzech prostokątów, trzech okręgów. Z tych samych elementów składa się zbiór będący sumą zbiorów trójkątów i pozostałych figur. Przypadek II. Tym razem podzielimy Żółty Zbiór według modyfikacji pewnej cechy. Będzie nią kolor. Powinniśmy uzyskał podział wieloczłonowy. Członami podziału będą zbiory: figur niebieskich, czerwonych, zielonych. Oto on:
I tym razem podział logiczny jest poprawny formalnie. Został przeprowadzony ze względu na jedną tylko zasadę podziału (kolor). Człony podziału nie posiadają wspólnych desygnatów. Suma członów podziału równa jest Zbiorowi Żółtemu. Przypadek III. Oto graficzna reprezentacja logicznego podziału dokonanego na Żółtym Zbiorze A C B Członami podziału są zbiory A, B, C. Według jakiej zasady przeprowadzono w tym przypadku podział logiczny? Z pewnością jest to podział wieloczłonowy, a więc jego fundamentum divisionis (zasadą podziału) jest modyfikacja pewnej cechy. Jest nią, jak łatwo można się domyśleć, wielkość powierzchni danej figury. Elementami zbioru A są figury o największej powierzchni. Do zbioru B należą wszystkie figury o średniej powierzchni, a zbiór C stanowią figury o najmniejszej powierzchni. Zbiory A, B, C wykluczają się (spełniony warunek rozłączności). Ich suma jest równa Żółtemu Zbiorowi (spełniony warunek zupełności). IV.II Niepoprawne podziały logiczne. Tym razem rozpatrzmy przypadki niepoprawnych podziałów logicznych. Stwórzmy zbiór o nazwie Bohaterowie Bajek: Przypadek I. Zasadą podziału jest modyfikacja cechy być zwierzęciem (być przedstawicielem jakiegoś gatunku zwierzęcia). Chcemy zatem dokonać podziału wieloczłonowego. Przyjmijmy, że zakres nazwy człowiek wyklucza się z zakresem nazwy zwierzę, czyli że żaden człowiek nie jest zwierzęciem i żadne zwierzę nie jest człowiekiem. Wówczas zbiór wyglądałby następująco:
Spełniliśmy warunek jedyności zasady podziału. Nie naruszyliśmy również zasady rozłączności członów podziału, ponieważ żadne ze zwierząt nie należy do przynajmniej dwóch różnych podzbiorów zbioru Bohaterowie Bajek, czyli że każde zwierze jest przedstawicielem co najwyżej jednego gatunku. Niestety suma członów podziału nie jest równa całości dzielonej, tzn. że przeprowadzony podział logiczny jest niezgodny z warunkiem zupełności. Przypadek II. Spróbujemy dokonać takiego podziału logicznego, aby naruszona została zasada rozłączności członów podziału. Musimy zatem znaleźć taką zasadę podziału, w wyniku której pewne elementy zbioru Bohaterowie Bajek zostaną przypisani do więcej niż tylko jednego członu podziału. Niech fundamentum divisionis będzie pochodzenie (narodowość) bohatera. Całość dzielona wygląda następująco: Reksio i Miś Uszatek należą do zbioru polskich postaci bajkowych. Dziewczynka z zapałkami wywodzi się z Danii. Nemo jest bohaterem wymyślonym przez Amerykanów. Pinokio jest narodowości włoskiej. Problematyczna jest postać Kopciuszka. Może ona wywodzić się z Egiptu, Grecji, Rzymu, Chin, Francji lub Niemczech. Przypadek III. Przyjrzyjmy się naszemu zbiorowi Bohaterów Bajek: A C B Elementami zbiór A są bohaterowie, których przygody przyniosły największe zyski w Polsce. (Oczywiście tylko zakładamy, że tak jest!!). Zbiór B składa się z ulubionych bohaterów Jasia Kowalskiego, zaś zbiór C stanowią postaci, których dzieci boją się najbardziej (Nie jest to prawdą, ale ze względów dydaktycznych, uznajmy, że faktycznie tak jest). Nie mamy tutaj do czynienia z żadnym podziałem logicznym, ponieważ wszystkie zbiory (A, B, C) zostały wyróżniowe na podstawie innej zasady, a każdy podział logiczny posiada tylko jeden fundamentum divisionis.
KWALIFIKACJA I. DEFINICJA KWALIFIKACJA jest to uznanie, że jakiś przedmiot należy do wyróżnionego zbioru. II. UWAGI Zakres nazwy stanowi zbiór jej wszystkich desygnatów, zatem kwalifikacja może być utożsamiona z rozstrzygnięciem, czy jakiś przedmiot jest albo nie jest desygnatem danej nazwy. III. Przykład Mamy następujący przedmiot: Naszym zadaniem jest zakwalifikować go do właściwego zbioru zwierząt. Na przykład do takiego: Tygrysek należy do zbioru tygrysów. Zakresem nazwy jest zbiór jej wszystkich desygnatów, zatem dokonując kwalifikacji rozstrzygnęliśmy, że Tygrysek jest desygnatem nazwy tygrys. ANALIZA PRZEDMIOTU I. DEFINICJE ANALIZA PRZEDMOTU jest to wyodrębnienie w przedmiocie jego części. Składnik jest to samodzielna część przedmiotu. Własność jest to niesamodzielna część przedmiotu. PARTYCJA jest to wyodrębnienie w przedmiocie jego składników, czyli części samodzielnych. STRATYFIKACJA jest to wyodrębnienie w przedmiocie jego własności, czyli części niesamodzielnych. II. UWAGI 1. Partycja może być operacją realną (np. realną partycją na oknie byłoby faktyczne oddzielenie szyby od ram, wykręcenie klamek, zawiasów)
lub mentalną (np. tylko w myślach oddzielam od siebie szyby, ramę okna, klamki, zawiasy). 2. Stratyfikacja jest zawsze operacją mentalną. 3. Partycję i stratyfikację można przeprowadzać zarówno na zbiorach jak i na indywiduach. 4. Różnica między definicją nominalną a analizą przedmiotu jest taka, że w definicji nominalnej podawane jest znaczenie definiowanego wyrażenia (metajęzyk), a w analizie przedmiotu wyodrębniane są części przedmiotu (język przedmiotowy). 5. Różnica między definicją realną a analizą przedmiotu jest taka, że w definicji realnej podawana jest jednoznaczna charakterystyka przedmiotu (język przedmiotowy), a nie są wyodrębniane części przedmiotu (język przedmiotowy). III. Przykład I SOKRATES Mentalną partycją jest wyodrębnienie nosa, oczu, brody, łysiny. Gdybyśmy wzięli młotek i stukając nim w nos, oczy, brodę, łysinę, odłupalibyśmy te części, wówczas dokonalibyśmy partycji realnej. Stratyfikacja Sokratesa (mówiąc dokładniej popiersia Sokratesa) polegałaby na wyodrębnieniu własności twarzy Sokratesa, a więc: brzydka twarz, jajowata głowa, kartoflany nos itp..