GEOMETRYCZNE 1) Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe odcinki: AX, XY i YB. Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB. Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe pola. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra. zad1) pole trójkątów.ggb AX = XY = YB = 1 a = 1 AB 3 3 to podstawy trójkątów DAX, DXY i DYB. Odcinek AD = h to wysokość tych trójkątów. Podstawiając nasze dane do wzoru na pole P = a h, 2 otrzymamy: 1 3 P DAX = a h = P 2 DXY = P DYB = P = a h 6
2) Na rysunku AB CD. Udowodnij, że α + γ = β Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra Zad2) odcinki równoległe i kąty.ggb
3) Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB CD. Udowodnij, że AED = BAE + CDE. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra Zad3) trapez i punkt E na ramieniu.ggb Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych.
4) Udowodnij, że α = β + γ + δ Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych i odpowiadających Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra zad4) kąty w trójkątach.ggb
5) Dany jest okrąg jak na rysunku. Punkty C, D, E, O są współliniowe. Punkty A, B, C też są współliniowe. Długość odcinka BC jest równa promieniowi okręgu. Udowodnij, że 3α = β Zastosowanie właściwości trójkątów i kątów przyległych Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra zad5) okrąg i katy.ggb
AO = BO = BC = r AOB i OCB to trójkąty równoramienne γ = 180 o 2α δ = 180 o 180 o 2α = 2α ε = 180 o 2δ = 180 o 4α α + ε + β = 180 o kąty przyległe β = 180 o α ε β = 180 o α 180 o 4α po wykonaniu przekształceń algebraicznych otrzymamy: β = 3α c.n.d.
6) Na rysunku przedstawiono trzy półproste o początkach w wierzchołkach trójkąta. Udowodnij, że α + β + γ = 360 o Zastosowanie właściwości trójkątów Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra zad6) trójkąt i kąty zewnętrzne.ggb
7) Udowodnij, że kąt ostry wyznaczony przez przekątne prostokąta ma miarę dwa razy większą od miary kąta, który tworzy przekątna z dłuższym bokiem prostokąta. Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych, wierzchołkowych i przyległych Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra zad7) prostokąt i przekątne.ggb
8) Uzasadnij, że oba kąty przy podstawie AB trójkąta równoramiennego ABC są równe. Zastosowanie właściwości trójkątów I kątów przyległych Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra zad8) trójkąt i kąty wewnętrzne.ggb
9) Na rysunku przedstawiono dwa równoległoboki ABCD i ABEF. Uzasadnij, że czworokąty CDAG oraz EFGB mają równe pola. Wizualizacja zadania przy pomocy programu GeoGebra zad9) równoległoboki i pola.ggb Zastosowanie wzorów na pola równoległoboku i trójkąta
Pola wielokątów: P ABCD = P ABEF = a h r P ABG = a h 2 P DCGA = P ABCD P ABG P DCGA = a h r a h 2 P EFGB = a h r a h 2 co oznacza, że P EFGB = P ABEF P ABG P DCGA = P EFGB c.n.d.
ALGEBRAICZNE 1) Wykaż, że liczba a = 3 27 + 3 29 jest podzielna przez 30. Stosujemy przekształcenia algebraiczne: Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias oraz działania na potęgach, a = 3 27 + 3 29 a = 3 27 1 + 3 2 a = 3 27 10 = 3 26 3 10 Liczba 3 27 dzieli się przez 3, a więc iloczyn 3 27 10 dzieli się przez 3 i 10, tzn. że dzieli się przez 30. co należało udowodnić
2) Wykaż, że suma trzech kolejnych parzystych liczb naturalnych jest podzielna przez 6. Zapisujemy liczby w postaci wyrażenia algebraicznego jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną to 2n jest dowolną liczbą parzystą, a 2n + 2 i 2n + 4 jest kolejnymi liczbami parzystymi Zapisujemy sumę tych liczb parzystych i stosujemy przekształcenia algebraiczne: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6 n + 1 co należało udowodnić.
3) Napisz dowolną liczbę dwucyfrową i dopisz z jej prawej strony liczbę lustrzaną, np.: dana jest 21 jej liczba lustrzana to 12 czyli otrzymamy liczbę 2112. Czy każda tak utworzona liczba dzieli się przez 11? Sprawdź to na kilku innych przykładach. Zapiszmy kilka liczb zgodnie z poleceniem: 4334, 5445 i 7117 Aby znaleźć dzielniki możemy wykonać rozkład danych liczb na czynniki pierwsze W każdym rozkładzie 4334 2167 197 1 2 11 197 5445 1815 605 121 11 1 3 3 5 11 11 7117 647 1 11 647 widać, że liczba 11 jest jednym z dzielników danych liczb. co należało sprawdzić.
4) Napisz trzy dowolne cyfry. Utwórz z nich liczbę trzycyfrową największą i najmniejszą. Różnica tych liczb jest podzielna przez 9. Czy to prawda czy fałsz? Sprawdź, to na kilu przykładach. Zapisujemy dowolne cyfry np.: 7, 4, 9. Liczba najmniejsza to 479 a największa to 974. Różnica tych liczb: 974 479 = 495 Sprawdzając cechę podzielności liczb przez 9, otrzymamy sumę cyfr liczby 4 + 9 + 5 = 18 to znaczy, że liczba 495 dzieli się przez 9. Inne przykłady: 1) dowolne cyfry: 5, 8, 3 liczba najmniejsza to 358 a największa to 853 różnica tych liczb: 853 358 = 495 suma cyfr liczby 4 + 9 + 5 = 18 to znaczy, że liczba 495 dzieli się przez 9. 2) dowolne cyfry: 2, 8, 6 862 268=594 5 + 9 + 4 = 18 9 jest dzielnikiem liczby 594 Przyjrzyj się powyższym rozważaniom i podaj spostrzeżenia.
5) Czy można skrócić ułamek 333 10 5 1? W pierwszej kolejności należy mianownik ułamka doprowadzić do najprostszej postaci, tzn. wykonać potęgowanie a następnie odejmowanie: 10 5 1 = 100000 1 = 99999 333 = 10 5 1 333 99999 = 37 11111 co należało wykonać.
6) Jak jest ostatnia cyfra liczby, która jest wynikiem działania 3 74 4 17 + 7 25. Należy ustalić ostatnie cyfry kolejnych potęg danych w działaniu: 3 74 3 1 = 3 3 5=4+1 = 243 3 2 = 9 3 6=4+2 = 729 3 3 = 27 3 7=4+3 = ostatnia cyfra to 7 3 4 = 81 3 8=2 4+0 = ostatnia cyfra to 1 Potęgę 74 dzielimy przez 4 i otrzymamy wynik 18 reszty 2 Reszta 2 oznacza, że ostatnia cyfrą potęgowania liczby 3 jest cyfra 9 4 17 4 1 = 4 4 5=4+1 = ostatnia cyfra to 4 4 2 = 16 4 6=4+2 = ostatnia cyfra to 6 4 3=2+1 = 64 4 7=4+3 = ostatnia cyfra to 4 4 4=2 2+0 = 256 4 8=2 4+0 = ostatnia cyfra to 6 Potęgę 17 dzielimy przez 2 i otrzymamy wynik 8 reszty 1 Reszta 1 oznacza, że ostatnia cyfrą potęgowania jest cyfra 4
7 25 7 1 = 7 7 5=2 2+1 = ostatnia cyfra to 7 7 2 = 49 7 6=3 2+0 = ostatnia cyfra to 9 7 3=2+1 = 147 7 7=3 2+1 = ostatnia cyfra to 7 7 4=2 2+0 = 1029 7 8=2 4+0 = ostatnia cyfra to 9 Potęgę 25 dzielimy przez 2 i otrzymamy wynik 12 reszty 1 Reszta 1 oznacza, że ostatnia cyfrą potęgowania jest cyfra 7 a więc ostatnią cyfrą działania 3 74 4 17 + 7 25 jest ostatnia cyfra wyniku sumy ostatnich cyfr poszczególnych potęg, tzn.: 9-4 + 7 = 12 a więc jest to cyfra 2 co należało wykonać.
7) Czy różnica między liczbą czterocyfrową, której cyfrą dziesiątek jest zero, a liczbą zapisaną za pomocą tych samych cyfr, ale w odwrotnej kolejności, jest podzielna przez 9? Zapisujemy liczby 2307 i 7032, badamy ich różnicę 7032 2307 = 4725 Sprawdzamy cechę podzielności liczby przez 9, otrzymamy sumę cyfr liczby 4 + 7 + 2 + 5 = 18 to znaczy, że liczba 4725 dzieli się przez 9. Inne przykłady: 1) dowolne liczby: 1608 i 8061 różnica tych liczb: 8061 1608 = 6453 suma cyfr liczby 6 + 4 + 5 + 3 = 18 to znaczy, że liczba 6453 dzieli się przez 9. 2) dowolne liczby: 2307 i 7032 7032 2307= 4725 4 + 7 + 2 + 5 = 18 9 jest dzielnikiem liczby 4725 co należało udowodnić.
8) Znajdź cyfrę A, dla której iloczyn AA 99 jest liczbą czterocyfrową o cyfrze dziesiątek równej 2. Zastosujmy prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania tj. zamiast 99 podstawimy różnicę (100 1) AA 99 = AA 100 1 = AA00 AA otrzymaliśmy zamiast iloczynu liczb AA 99 różnicę liczb (AA00 AA ) co pozwala znacznie szybciej wyznaczyć niewiadomą cyfrę A Możemy podstawiać kolejno cyfry od 1 do 9 i znajdziemy szukaną, którą jest A = 7 77 99 = 7700 77 = 7623 w której cyfrą dziesiątek jest cyfra 2 co należało udowodnić.
9) Liczbę 550 przedstaw jako różnicę dwóch liczb, z których pierwsza jest 11 razy większa od drugiej. Jeśli jedna liczba jest 11 razy większa od drugiej liczby, to ile razy większa od drugiej liczby jest różnica tych liczb? 11a a = 550 11a a = a 11 1 = a 10 = 550 10 a = 550 to znaczy, że różnica jest 10 razy większa od szukanej liczby a więc szukaną liczbą jest 55 co należało udowodnić.
10) Przedstaw liczbę 63 w postaci sumy takich dwóch liczb, że mniejsza z nich jest równa różnicy między nimi. Powinniśmy określić ile razy większa od mniejszej liczby powinna być większa liczba? a + b = 63 Jeśli a jest mniejszą z nich, to a = b a czyli większa z nich jest 2 razy większa od mniejszej b = 2 a a więc ich suma jest równa 3 a 3 a = 63 Szukane liczby to: a = 21 i b = 42 co należało udowodnić.
11) Na podwórku są koty i sroki. Razem jest ich 20 i mają 54 nogi. Ile jest kotów, a ile srok? Z informacji zawartych w zadaniu wiemy, że zwierząt jest 20 sztuk Do każdej sztuki przydzielamy po 2 nogi a zatem przydzielono 40 nóg Zostało nie przydzielonych 14 nóg, nie możemy przydzielić po jednej ponieważ ani koty ani sroki nie mają po trzy nogi Możemy z 14 nóg przydzielić po dwie 7 stworzeniom, które będą miały po 4 nogi tzn. że kotów jest 7 sztuk a srok (20 7) czyli 13 sztuk co należało udowodnić.
12) Udowodnij, że liczba 10 11 + 10 12 + 10 13 + 10 14 jest podzielna przez 101. Należy posłużyć się przekształceniami algebraicznymi: 10 11 + 10 12 + 10 13 + 10 14 = = 10 11 (1 + 10 + 10 2 +10 3 ) = = 10 11 1111 = = 10 11 1100 + 11 = = 10 11 11 100 + 1 = = 10 11 11 101 z tego wynika, że suma danych liczb dzieli się przez liczbę 101 co należało udowodnić.
13) Ile jest nieparzystych liczb dwucyfrowych? Należy ustalić ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych ostatnia liczba dwucyfrowa to 99 a ostatnia jednocyfrowa to 9 Po odjęciu liczb jednocyfrowych od ostatniej liczby dwucyfrowej otrzymamy 99 9 = 90 liczb dwucyfrowych Wiemy, że co druga liczba dwucyfrowa to liczba nieparzysta A więc gdy podzielimy 90 przez 2 otrzymamy ilość liczb dwucyfrowych nieparzystych 90 : 2 = 45 liczb nieparzystych dwucyfrowych co należało udowodnić.