Metod numerne Wkład nr 7 Dr Potr Fronak
Rónana róŝnkoe ajne Rónane róŝnkoe ajne persego rędu d d arunkem poątkom nalene krej ędąe unkją. Np. roaŝm następująe rónane: d 0.. 7e d Dla arunku poątkoego
Numerne roąane rónana róŝnkoego ór punktó które prlŝają unkję. Metoda Eulera d d d d d Całkę moŝem polć jedną metod omóon na poprednm kłade. Najprostsa metoda prostokątó: gd stałe To samo uskam prlŝają poodną a pomoą róŝn kł d d
Prkład: d 0.. 7e d 70 0. 4. 9 e 9 e Predał 0.5 Warunek poątko 0. rok 0.5 0 0. 0.5 0. 5 0.5. 7e 4. 7 0. 0.5 0.5. 7e 4. 89 0. 0.5.5 0.5. 7e 4. 550 4 4 0.4 0.5 5 4 0.5.4 7e 4. 05 5 4 0.5 0.5.5 6 5 0.5.5 7e. 54 6 5 5.0 4.5 4.0.5 0.0 0.5.0.5.0.5 5.0 4.5 4.0.5 0.0 0.5.0.5.0.5
Anala łędó Błęd aokrągleń Błęd oęa Wnkają artmetk mennoprenkoej komputere Wnkają prjętego prlŝena metod roąana rónań. Da rodaje: Błąd lokaln ąan pojednm krokem metod Błąd akumuloan ąan naarstanem sę łędó popredn krokó. Raem dają one ałkot łąd oęa.
Lokaln łąd oęa Dokładne roąane kroku dane jest pre ronęe sereg Talora: d d Talor NS NS ξ NS roąane numerne gde NS Porónują metodą Eulera d d ξ jest lą męd. NS NS NS Dostajem lokaln łąd oęa e NS d O d TR Talor ξ
Akumuloan łąd oęa Całkot łąd oęa punke : E TR TS Całkot łąd oęa punke * : TS NS TR TS NS E Prada artość moŝe ć raŝona pre ronęe sereg Talora: d d TS TS TS η
Odejmują od otrmujem [ ] NS TS TR TR d d E E η Terdene o artoś średnej JeŜel jest ągła na amknętm predale [a] róŝnkoalna na a to stneje take tm predale Ŝe a a d d ' Zatem [ ] TR NS TS NS TS E γ γ gde γ jest artośą męd a NS TS TR TR d d E E η γ
E Cl górne osaoane łędu: TR TR E γ d E C [ C] TR E M TR d M Tera oam jak łąd oęa akumuluje sę kolejn kroka. TR TS NS E 0 o E TR M E η [ C] M M [ C] M M {[ C] } [ C] [ C] TR TR E { } E TR 4 M Ne [ C] m m
E TR M [ C] M C C {[ ] } C Z rónana tego trudno ąŝ osaoać rąd elkoś łędu. Zróćm jednak uagę Ŝe e C s s e s s...! C C C! E C C e [ ] C C e TR M C { C e } Po N kroka ałkot łąd oęa nese E TR N M C Cl E TR O N M C... { CN } { C } N e e oć e TR O o N N
Nejana metoda Eulera Rónane to jest ogólnoś nelnoe mus ć roąane jedną metod omóon na kłade nr. Rąd łędu jest tak sam jak kłej metode Eulera.
Zmodkoana metoda Eulera ZałoŜene Ŝe nalene męd punktam jest stałe ło głónm źródłem łędó metode Eulera. Nalene metode modkoanej jest średną nalena na poątku predału osaoana nalena na końu predału. Nalene na poątku predału: d d B osaoać nalene na końu predału najper trea osaoać : Eu Eu lone kłą metodą Eulera Wrese saujem nalene d d Eu Eu
Eu
Zmodkoana metoda Eulera MdPont. W metode tej nalene jest saoane na podstae artoś środku predału. m m lone kłą metodą Eulera d d m m m m m
Metod Rungego-utt W metoda t nalene saoane jest na podstae klku punktó enątr predału. RóŜne metod R klaskoane są e ględu na rąd odpoadają le punktó ęt do saoana nalena Np. metoda R drugego rędu ma lokaln łąd oęa O akumuloan łąd oęa O. Metod Rungego-utt drugego rędu a a Stałe aleŝą od ranej metod drugego rędu
Zmodkoana metoda Eulera posta metod R drugego rędu a Eu Prpomnene Rónana te moŝna otrmać ałkują ogólne rónane róŝnkoe ajne a pomoą metod trapeó.
Metoda MdPont posta metod R drugego rędu 0 a
Metod R drugego rędu ronęe sereg Talora moŝna prlŝć seregem: O d d d d d d d d d d O
a Dla metod R drugego rędu: Rojają sereg Talora: O a Wstaają do *: O a O Porónują ra tego samego rędu tu tu
Otrmujem: a Tr rónana ter neadome atem ele roąań. Da prkład pokaalśm eśnej.
Metod Rungego-utt artego rędu 4 4 4 4 4 4 4 a a a lasna metoda R IV rędu 0 6 6 4 4 4 4 4 a a a Wted 6 4 4
Całkot łąd oęa metode R IV rędu jest O 4. Rónana eronej rame moŝna proadć ałkują ogólne rónane róŝnkoe a pomoą metod Smpsona /.
Prkład RoąŜm rónane d d Dokładne roąane e Warunek poątko: rok: 0. 0 Pojedn krok: 4 [ ] 0. 0 0. 0 0.05.05 0.05. / [ ] 0. 0..04988 6 0. [ ]. 0489 4 0. 0. 0.0475 0.09499 0.04988
4 Wart. re 0 0. 0.0475 0.04988 0.09499 0..0489.09489 0.0948 0.707 0.98 0.7875.0489 0..8597.78597 0.786 0.50 0.685 0.508.8597 0..404.504 0.504 0.805 0.865 0.08.404 0.4.46875.0875 0.087 0.08 0. 0.54.46875 0.5.6078.578 0.58 0.664 0.67 0.7799.6079 0.6.7788.7788 0.7788 0.847 0.8459 0.864.7788 0.7.87646.8646 0.865 0.806 0.89 0.7454.87647 0.8.04458.74458 0.7446 0.6068 0.5999 0.4046.04459 0.9.5096.4096 0.404 0.49 0.64 0.876.5097.877.877 0.87 0.4 0.48 0.9586.878 Błąd ardo mał. 5 -.49 -.4 4 Metoda R IV rędu Y Value 0 0 4 - -4-6 -8 Wart. dokł. R IV rędu -0 X Value
Porónane męd metodam drugego artego rędu pokauje róŝnę: Porónane metod R Błąd metod 4 0.00 8.00 łąd R II łąd R IV Y Value 0 - -4 0 4 Błąd asolutn 6.00 4.00-6 -8-0 Wart. re. rąd II rąd IV.00 0.00 0 4 5 X Value X Value
Układ rónań róŝnko n n n n n n n Y t t dt d Y t t dt d Y t t dt d............ Roąane układu r. r. a pomoą metod R Najper lm dla sstk rónań. Potem lm dla dla sstk rónań. Gd nam sstke olam sstke.
d d d d d d akrese [a] arunkam poątkom a a a. Prkład: Układ tre rónań róŝnko RO : Lm RO : Lm
4 4 4 RO : Lm RO 4: Lm 4 RO 5: Lm 4 4 4 6 6 6
Rónana róŝnkoe Ŝs rędó n d n d Warunk poątkoe: n d d d... n d d d d dla n a A A... A n n d a d a d a Rónane n-tego rędu moŝna prekstałć układ n rónań persego rędu: d d d... d d d d d d d n n n n Mam atem układ: d d d d d d arunkem a A arunkem a A... n n arunkem n a A n
Prkład: Rónane róŝnkoe treego rędu d d 4 d d d d arunkam poątkom: 0 d d 0 d d 0 7 moŝna prekstałć do posta d arunkem 0 d d arunkem 0 d d 4 arunkem d 0 7
Stalność metod Gd roąujem rónane róŝnkoe numerne elśm łąd ne narastał ra kolejnm krokam roąana. Casam jednak tak ne jest ojaa sę ted nestalność metod. W ogólnoś stalność roąana aleŝ od:. Wranej metod numernej. roku uŝanego metode. Spek rónana róŝnkoego. Istneje klka sposoó analoana stalnoś roąań. Jak akumuluje sę łąd aokrągleń? Porónane roąań korstaną pojedną preją oleń loat roąnam podójną preją doule. Jak akumuluje sę łąd oęa? Porónane roąań pr róŝnej elkoś kroku.
Inn sposó: eźm rónane którego roąane jest nane analtne. jeśl metoda jest nestalna pr anale tego rónana to moŝna oekać Ŝe ęde teŝ nestalna pr anale nn rónań. Weźm rónane: d d α α > 0 pr arunku 0 Roąane analtne: e α Zatem punke : TS α α α α TS e e e e e α Roąane numerne metodą Eulera: α α Porónują oa rónana dm Ŝe -α jest prlŝenem kładnka roąanu analtnm.
< α < 0 < α < Warunek stalnoś. PoneaŜ α aleŝ od rónana onaa to Ŝe metoda ęde stalna dla starająo małego.
Prkład: d d.5 pr arunku 0 Wnosek: Metod jane Eulera Runge-utt są numerne stalne jeśl krok jest starająo mał. Metod nejane są earunkoo stalne.