Uniwersytet Wrocławski, Instytut Fizyki Doświadczalnej, I Pracownia Ćwiczenie nr 43 PRAWO OHMA DLA PRĄDU STAŁEGO I. WSTĘP O przepływie prądu elektrycznego mówimy, gdy ładunki elektryczne poruszają się w sposób ukierunkowany, np wzdłuż metalowego drutu. W metalach możliwość ruchu mają elektrony przewodnictwa, które przed utworzeniem kryształu metalu były w oddzielnych atomach elektronami walencyjnymi, tzn. obsadzały najbardziej zewnętrzne powłoki elektronowe. Gdy atomy tworzą sieć krystaliczną metalu, to dyskretne, charakterystyczne dla poszczególnych atomów wartości energii (obsadzone i nieobsadzone poziomy energetyczne) ulegają rozszczepieniu i tworzą zbiory blisko leżących poziomów, zwane pasmami. Pasmo obsadzone elektronami, położone w skali energii najwyżej, nazywa się pasmem przewodnictwa metalu. Elektrony z położonych bliżej jądra atomu powłok elektronowych, nie biorą udziału w przewodzeniu prądu, gdyż są zbyt silnie związane z jądrami poszczególnych atomów. W paśmie przewodnictwa tylko część poziomów o energii mniejszej lub równej tzw. energii Fermiego E F, jest zapełniona elektronami. Nie obsadzone poziomy dają elektronom o energii bliskiej E F możliwość ruchu, gdyż, aby się poruszać elektron musi zwiększyć swoją energię całkowitą o wartość odpowiadającą energii kinetycznej. Wewnątrz metalu elektrony przewodnictwa możemy traktować jako elektrony swobodne, podobnie do cząsteczek gazu idealnego umieszczonego w zamkniętym naczyniu. Nie mogą one jednak opuścić metalu i wyjść na zewnątrz, bez dostarczenia im dość sporej (w porównaniu z energią kinetyczną ich ruchu) energii. Elektrony przewodnictwa biorą udział w chaotycznym ruchu cieplnym, podobnym do ruchu atomów w gazie idealnym. Po przyłożeniu zewnętrznego pola elektrycznego E są unoszone w kierunku przeciwnym do pola elektrycznego (elektrony niosą ładunek ujemny), ze średnią prędkością v u. Prędkość ta jest bardzo mała i w typowych warunkach przepływu prądu wynosi ok. 7.4. 10-5 m/s, czyli nie osiąga nawet 0.1 mm/s. Gdyby sygnał elektryczny rozchodził się tak jak podłużna fala sprężysta (np. fala akustyczna), to żarówka oddalona o 1 metr od kontaktu, zaświeciła by po upływie prawie 3 godzin od momentu włączenia prądu. Na szczęście tak nie jest, gdyż po zamknięciu obwodu elektrycznego wzdłuż drutu rozchodzi się fala elektromagnetyczna z prędkością równą prędkości światła c. Ta fala wymusza praktycznie jednoczesny start wszystkich elektronów przewodnictwa w kierunku przeciwnym do pola elektrycznego we wnętrzu metalu. Prostym dowodem na powstanie fali elektromagnetycznej w momencie włączenia prądu elektrycznego są towarzyszące temu trzaski w odbiornikach radiowych. Również rozchodzenie się sygnałów elektrycznych w liniach telegraficznych i telefonicznych odbywa się na analogicznej zasadzie. Jako prostą analogię tego mechanizmu można podać start kolumny piechurów na komendę "marsz!". Mimo iż prędkość piechura niewiele przekracza wartość 1 m/s, to cała kolumna rusza praktycznie jednocześnie, gdyż prędkość dźwięku w powietrzu jest wielokrotnie większa (ok. 300 m/s) i wszyscy piechurzy słyszą komendę praktycznie w tym samym momencie. W kryształach półprzewodników elektrony walencyjne znajdują się w całkowicie zapełnionym paśmie, Półprzewodnik E [ev] Krzem Si 1.1 German Ge 0.7 Galena PbS 0.34-0.37 Piryt FeS 2 0.7-1.2 GaAs 1.4 ZnSe 2.6 diament 6 LiF 12. 0 Tabela 1. Szerokości przerwy wzbronionej E dla niektórych półprzewodników i izolatorów. zwanym podstawowym, albo walencyjnym. W tym paśmie elektrony nie mogą się poruszać, gdyż wszystkie stany dozwolone są już zajęte i dlatego przyrost energii kinetycznej pojedynczego elektronu nie jest możliwy. W skali energii, powyżej pasma walencyjnego znajduje się jeszcze tzw. pasmo przewodnictwa, złożone z wielu blisko leżących poziomów energetycznych, które jednak w temperaturze zera bezwzględnego jest całkowicie puste, gdyż wszystkie elektrony walencyjne obsadziły tylko pasmo podstawowe. Pomiędzy obu pasmami istnieje przedział energii "zakazanych" dla elektronów. Nazywa się go przerwą wzbronioną, lub przerwą energetyczną, i oznacza E. Szerokość przerwy energetycznej jest charakterystycznym parametrem półprzewodnika. Dla różnych półprzewodników wynosi ona od ułamków elektronowolta do ok. 3 ev. Substancje o większej wartości E uważa się za izolatory. Wartość 3 ev została wybrana arbitralnie, jedynie w oparciu o wartość przewodności elektrycznej substancji w temperaturze pokojowej.
2 W tabeli 1 podano wybrane wartości przerwy wzbronionej E niektórych czystych półprzewodników i izolatorów. Dla substancji zawierających domieszki innych pierwiastków, jak na przykład rudy metali (tlenki i siarczki) mogą powstać nowe dozwolone poziomy i pasma energetyczne, leżące w przedziale energii wzbronionych. W temperaturach bliskich zera bezwzględnego wszystkie półprzewodniki są dobrymi izolatorami i nie przewodzą prądu. W temperaturach wyższych, np. w temperaturze pokojowej, półprzewodniki przewodzą tym lepiej, im mniejsza jest wartość ich przerwy energetycznej. Przewodnictwo tych ciał tłumaczy się tym, że kosztem uzyskanej energii termicznej, elektrony z pasma walencyjnego mogą przejść do pasma przewodnictwa, gdzie mają możliwość ruchu, podobnie jak elektrony w metalu. Takie przewodnictwo nazywamy przewodnictwem elektronowym. Ponadto, wskutek takich przejść elektronów, w paśmie walencyjnym pojawiają się wolne, niezapełnione stany energetyczne (po elektronach, które przeszły do pasma przewodnictwa). Te stany nazywane są dziurami. Dziury mogą być obsadzane przez sąsiednie elektrony z pasma walencyjnego, te zaś przemieszczając się, pozostawiają po sobie nowe dziury. Można więc powiedzieć, że dziury poruszają się w paśmie walencyjnym. Tak naprawdę nośnikami prądu w paśmie walencyjnym są elektrony, jednakże ze względu na inne właściwości tego przewodnictwa, trzeba wprowadzić pojęcie przewodnictwa dziurowego. W półprzewodnikach, przewodzenie prądu polega więc na ruchu elektronów i dziur. Warto tu zaznaczyć, że większość rud metali (siarczki i tlenki metali) pod względem ich właściwości elektrycznych jest zaliczana do półprzewodników o złożonej strukturze pasm energetycznych, wynikającej z obecności dużej ilości zanieczyszczeń. W przewodnikach drugiego rodzaju, czyli w tzw. elektrolitach przewodzenie prądu elektrycznego polega na ruchu jonów dodatnich i ujemnych ( w przeciwnych kierunkach) pomiędzy elektrodami. Ruch taki jest możliwy w roztworach kwasów, zasad i soli, ale także w stopionych solach (np. elektroliza stopionych soli jest wykorzystywana przy produkcji aluminium). Wynika stąd, że także magma we wnętrzu Ziemi, podobnie jak i stopione szkło, może nieźle przewodzić prąd jonowy, czyli być dobrym przewodnikiem prądu elektrycznego. Przewodnictwo jonowe występuje także w zjonizowanych gazach, zwłaszcza przy obniżonym, w porównaniu z atmosferycznym, ciśnieniu. Przewodzenie prądu w lampach wyładowczych (świetlówki, lampy rtęciowe i sodowe do oświetlania ulic) polega na ruchu dodatnich jonów i elektronów pomiędzy elektrodami. Niezależnie od mechanizmu przewodnictwa elektrycznego, dla jego ilościowego opisu wprowadza się wielkość skalarną zwaną natężeniem prądu J, charakteryzującą szybkość przepływu ładunku elektrycznego Q przez określony przekrój przewodnika: dq J (1) dt Jednostką natężenia prądu jest 1 amper (1A). Definicja tej jednostki w układzie SI jest oparta na pomiarze siły oddziaływania dwu równoległych, prostoliniowych przewodników, przez które płynie prąd o jednakowym natężeniu. Oddziaływanie przewodników odbywa się za pośrednictwem pól magnetycznych, wytwarzanych przez przepływający prąd. Czasem, zamiast natężenia prądu J, trzeba użyć wielkość wektorową - wektor gęstości prądu j zdefiniowany jako: dj j i 0 (2) ds gdzie S jest powierzchnią przekroju poprzecznego przewodnika, a wersor i 0 pokazuje kierunek przepływu prądu. Jednostką gęstości prądu j jest amper na metr kwadratowy. Jeśli do końców jednorodnego przewodnika o długości l przyłożymy różnicę potencjałów równą ϕ = ϕ 2 ϕ 1, to w przewodniku powstanie pole elektryczne o natężeniu E : ϕ2 ϕ E = 1 io (3) l Gęstość prądu j jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E w przewodniku: j = σ E (4)
Substancja ρ [ Ω. m] Szafir (a-al 2 O 3 ) > 10 16 Teflon > 10 16 Kwarc topiony 10 14-10 16 Grafit C 10-1 Krzem (cz.) 2.5. 10-3 Platyna 1.1. 10-7 Miedź 1.7. 10-8 Srebro 1.6. 10-8 *Nadprzewodnik (0K<T< 100K) Tabela 2. Oporności elektryczne ρ niektórych izolatorów, półprzewodników i metali w temperaturze pokojowej 3 gdzie współczynnik proporcjonalności σ jest nazywany przewodnością elektryczną materiału. Odwrotność tej wielkości ρ = 1/σ nazywamy opornością elektryczną danej substancji (dawniej nazywano ją oporem właściwym). Jednostką oporności jest 1 om. metr (1 Ω. m), a przewodności 1 Ω 1.m -1 (1 siemens, czytaj zimens). Wartości oporności różnych materiałów zestawiono w Tabeli 2. Wzór (4) nosi nazwę różniczkowego prawa Ohma, gdyż może być przepisany przy użyciu pochodnych w postaci: dj dϕ = σ (5) ds dl Prawo Ohma jest bardziej znane w postaci: ϕ = U = J R (6) Różnica potencjałów ϕ na końcach przewodnika zwana także napięciem elektrycznym U, jest proporcjonalna do natężenia prądu J. Współczynnik proporcjonalności R nazywa się oporem elektrycznym danego przewodnika, albo jego rezystancją. Jednostką oporu elektrycznego jest 1 om [1Ω]. Ze wzoru (6) wynika, że opór 1Ω posiada taki odcinek przewodnika, w którym po przyłożeniu różnicy potencjałów 1 wolta, płynie prąd o natężeniu 1 ampera. Związek pomiędzy oporem elektrycznym przewodnika, a przewodnością σ, lub opornością elektryczną materiału ρ, z którego jest on wykonany podaje wzór (7): l l R = ρ = (7) S σs gdzie l - jest długością przewodnika, a S - powierzchnią jego przekroju. Prawo Ohma (w obu formach matematycznych) przewiduje liniową zależność natężenia prądu (lub gęstości prądu) od przyłożonego napięcia U, (lub odpowiednio od natężenia pola elektrycznego E). Tak naprawdę taką zależność można otrzymać eksperymentalnie tylko dla metali i to w dodatku tylko w ściśle określonych warunkach, np. w stałej temperaturze, lub przy stosowaniu niewielkich napięć. Okazuje się bowiem, że opór R, a więc także oporność ρ, zależą silnie od takich parametrów jak temperatura T, czy też wartość napięcia pomiarowego U. Zacznijmy od metali. W dość szerokim przedziale temperatur (z wyjątkiem temperatur bardzo niskich, rzędu 10 kelwinów) ich oporność elektryczna ρ zwiększa się przy wzroście temperatury według wzoru: ρ ρ r 0 T [ K ] Rys. 1. Zależność oporu właściwego metalu od temperatury ρ = ρ ο (1 + α T) (8) gdzie ρ o - oporność elektryczna danej substancji w temperaturze T 0, α współczynnik temperaturowy oporu, T = T T 0 różnica temperatur (w skali Celsiusza). Wykres tej zależności pokazano na Rys. 1. Okazuje się, że głównym mechanizmem odpowiedzialnym za utrudnianie ruchu elektronów w metalu są ich oddziaływania z dodatnimi jonami metalu, tworzącymi sieć krystaliczną. Jony te drgają wokół położeń równowagi. Przy wzroście temperatury rośnie amplituda tych drgań, zwanych fononami. Zwiększa to tzw. przekrój czynny na rozpraszanie elektronów, czyli powierzchnię przeszkód, z którymi "zderza się" elektron. Oprócz rozpraszania elektronów na fononach, możliwe są jeszcze inne mechanizmy, jak np. rozpraszanie elektronów na innych elektronach przewodnictwa, na domieszkach obcych atomów w metalu, a także na defektach struktury krystalicznej, (zaburzeń regularnego ułożenia jonów w krysztale metalu). Udział tych mechanizmów staje się zauważalny dopiero w przedziale niskich temperatur, gdzie zależność ρ=ρ(t) przestaje być liniową, a w temperaturze bliskiej zera bezwzględnego pojawia się niezależna od temperatury tzw. oporność resztkowa ρ r, której wartość zależy tylko od czystości
4 chemicznej i doskonałości struktury krystalicznej danej próbki (pokazano to na Rys. 1). Dla półprzewodników zależność oporności elektrycznej ρ od temperatury T jest bardzo złożona. Tylko dla czystych półprzewodników zależność tę można opisać równaniem pojedynczej eksponenty: ln ρ 0 Rys. 2. Zależność oporności półprzewodników domieszkowanych (w skali logarytmicznej) od odwrotności temperatury 0 J a b 1 T [K -1 ] Rys. 3. Zależność natężenia prądu J od napięcia U, dla żarówki (a), opornika wzorcowego (b) i diody półprzewodnikowej (c). c U E k E B T ρ = ρoe = ρo exp (9) k BT gdzie ρ o - oporność w temperaturze początkowej, np. w pokojowej, E - szerokość przerwy wzbronionej półprzewodnika, k B stała Boltzmanna. Dla większości realnych półprzewodników zawierających domieszki obcych atomów krzywa zależności oporu próbki od temperatury składa się z dwu, lub więcej eksponent, przedzielonych odcinkami poziomymi (Rys. 2). Najogólniej można powiedzieć, że przy wzroście temperatury, opór elektryczny metali zwiększa się, a dla półprzewodników maleje. Uwzględnienie wpływu temperatury na wartość oporu elektrycznego powoduje, że wykres zależności natężenia prądu elektrycznego od napięcia dla metali (jak przewiduje prawo Ohma), nie jest linią prostą. Tak na przykład temperatura włókna żarówki zmienia się od ok 20 o C przy wyłączonej żarówce, do około 2800 o C przy pełnym napięciu. Opór elektryczny włókna wolframowego zwiększa się wskutek tego prawie dwudziestokrotnie. To powoduje, że charakterystyka prądowo - napięciowa żarówki ma kształt pokazany na Rys. 3 (krzywa a). Na tym samym rysunku pokazano także charakterystykę opornika wzorcowego, wykonanego ze specjalnego stopu metali (manganinu), którego opór elektryczny nie zależy od temperatury (krzywa b), a także charakterystykę diody półprzewodnikowej (krzywa c). W tym ostatnim przypadku, nieliniowość charakterystyki jest spowodowana zmianami wysokości bariery potencjału na kontakcie nazywanym złączem p - n w półprzewodniku. Istnienie elementów o nieliniowej charakterystyce prądowo napięciowej w obwodach elektrycznych, wskazuje na konieczność zdefiniowania tzw. oporu różniczkowego R r, du R r = (10) dj Jego wartość wyznacza się dla danego napięcia z nachylenia stycznej do krzywej J = J(U) przy wybranym napięciu. Jest rzeczą ciekawą, że niektóre nieliniowe elementy elektroniczne jak np. dioda tunelowa, wzmacniacz z dodatnim sprzężeniem zwrotnym, a także lampy z wyładowaniem łukowym, wykazują odcinek charakterystyki prądowo - napięciowej o ujemnym oporze różniczkowym, tzn., że przy wzroście natężenia prądu spadek napięcia na tym elemencie maleje. II. OPIS EKSPERYMENTU Celem niniejszego ćwiczenia jest pomiar charakterystyk prądowo napięciowych dla poniższych czterech elementów przewodzących: - drutu oporowego, wykorzystywanego m.in. w grzejnikach elektrycznych. - żarówki - diody półprzewodnikowej (prostowniczej) - termistora (półprzewodnikowy czujnik temperatury). Dioda, żarówka i termistor znajdują się w pudełku zamkniętym przeźroczystym dnem natomiast drut oporowy nawinięty jest na izolator i zamontowany na oddzielnej płytce.
5 W ćwiczeniu korzystamy z zasilacza, który daje możliwość regulacji albo napięcia U, albo natężenia prądu J w obwodzie. Płytę czołową tego zasilacza pokazano na Rys. 4. Do regulacji napięcia służą pokrętła A (regulacja zgrubna) i B (regulacja precyzyjna). Do regulacji natężenia prądu w obwodzie, służą odpowiednio LAMPKI A B C D WŁ P Z P M WYJŚCIE Rys. 4. Płyta czołowa zasilacza pokrętła C i D. Dla bardziej precyzyjnej regulacji prądu zasilacz posiada przełącznik zakresów P Z, którym można ustalić dopuszczalną maksymalną wartość natężenia prądu na 2,5A, 250mA lub 25mA. Dwie lampki zamocowane w górnej części płyty czołowej wskazują, czy zasilacz pracuje jako regulator napięcia (wtedy świeci się lampka zielona), czy też jako regulator natężenia prądu (wtedy świeci się lampka czerwona). Gdy świeci się lampka zielona, oznacza to, że pokrętłami A i B możemy regulować napięcie wyjściowe. Gdy zapali się lampka czerwona te pokrętła nie działają, natomiast pokrętła C i D pozwalają zmieniać natężenie prądu w obwodzie. Zasilacz posiada wbudowany miernik, który może wskazywać wartość napięcia albo natężenia prądu, zależnie od tego, czy wciśnięty jest klawisz POMIAR A czy V przełącznika P M. Aby zasilacz pracował jako regulator napięcia (reżym U) należy przed rozpoczęciem pomiaru obrócić pokrętła A i B w skrajnie lewe położenie (napięcie skręcone do zera), natomiast pokrętła C i D obrócić w prawo, tak, aby natężenie prądu w obwodzie mogło osiągnąć wartość przewidywaną przy maksymalnym stosowanym napięciu. Jeżeli przy zwiększaniu napięcia zapali się lampka czerwona należy zwiększyć dopuszczalne natężenie prądu, używając pokręteł C i D oraz przełącznika P Z. Wtedy ponownie zaświeci się lampka zielona. Aby zasilacz pracował jako regulator prądu (reżym J), należy ustawić wstępnie pokrętła C i D w skrajnie lewe położenie, natomiast pokrętła A i B obrócić w prawo, tak, aby napięcie wyjściowe mogło osiągnąć wartość przewidywaną przy maksymalnym natężeniu prądu. Jeżeli przy zwiększaniu natężenia prądu zapali się lampka zielona należy pokrętłami A i B zwiększyć dopuszczalną wartość napięcia. Wtedy ponownie zaświeci się lampka czerwona. III. POMIARY Badane elementy R x wstawiamy kolejno do obwodu pokazanego na Rys. 5. 1. Charakterystyka oporu drutowego. Jako opór R x połączyć drut oporowy R. Zasilacz ustawić w reżymie U (regulacji napięcia). Ustawić maksymalną wartość natężenia prądu jaki może popłynąć w obwodzie. W przypadku badanego drutu oporowego wynosi 200mA (pokrętło C w położeniu 2; wciśnięty środkowy przełącznik zakresów x0.1). Zmieniając wartość napięcia co 100mV w zakresie od 0 do 1500mV wykonać pomiary zależności natężenia prądu od napięcia. 2. Charakterystyka diody prostowniczej Jako opór R x połączyć diodę prostowniczą R 1 zwracając uwagę na zgodność z kierunkiem prądu przewodzenia diody. Zasilacz ustawić w reżymie J (regulacji prądu). Pokrętłem A ustawić wartość napięcia na 4V. Pokrętłami C i D zmieniać natężenie diody. Wykonać pomiary natężenia i napięcia dla wartości 1mA, 5mA, 10mA a następnie co 10mA do 200mA. Maksymalna wartość natężenia prądu w obwodzie
6 elektrycznym dla badanej diody nie powinna przekraczać 200mA. Przekroczenie tej wartości może spowodować uszkodzenie diody. Jeżeli pomimo przyłożenia napięcia prąd w obwodzie nie płynie, oznacza to, że albo dioda włączona jest w kierunku zaporowym, albo napięcie jest za niskie (przy niskich napięciach prąd diody jest mały). Zapisać wszystkie zmierzone wartości napięcia i natężenia. 3. Charakterystyka żarówki Jako opór R x połączyć żarówkę R 2. Charakterystyka prądowo-napięciowa żarówki jest nieliniowa. Przy małych wartościach napięć natężenie prądu szybko wzrasta, ale przy dużych zmienia się wolniej. Dlatego należy ustawić zasilacz reżymie J(regulacji prądu). Ustawić wartość napięcia na 4V. Zmieniając natężenie prądu żarówki co 10mA w przedziale od 0 do 200mA zmierzyć zależność natężenia prądu żarówki od przyłożonego napięcia. 4. Charakterystyka termistora Jako opór R x połączyć termistor R 3. Ponieważ jest to element półprzewodnikowy, korzystniejsze jest ustawienie zasilacza w reżymie J (regulacji natężenia). Ustawić wartość napięcia na 4V. Zmieniać wartość natężenia prądu co 5 ma w przedziale od 0 do 100 ma. Ze względu na bezwładność cieplną termistora (podczas pomiarów wydziela się ciepło Joule'a-Lenza), przed zapisaniem wartości napięcia i natężenia prądu, należy odczekać 1 minutę, aż wartości te ustalą się w czasie. IV. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wykreślić charakterystyki prądowo napięciowe wszystkich badanych elementów. Na wykresach zaznaczyć graficznie dla kilku punktów pomiarowych niepewności I oraz U stosowanych mierników cyfrowych ( ±wartość ostatniej cyfry). 2. Znaleźć równania prostej dla oporu drutowego; wyznaczyć wartość oporu drutu; ocenić niepewność pomiaru na podstawie wzoru (6). 3. Wyznaczyć wartość oporu różniczkowego żarówki R r przy napięciu 600mV. 4. We wnioskach podać przykłady elementów obwodu elektrycznego nie spełniających prawa Ohma. V. LITERATURA 1. E. Dudziak Ćwiczenia Laboratoryjne z Fizyki tom III, str.27 i następne Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1999. 2. H. Szydłowski, Pracownia Fizyczna, PWN Warszawa 1999, str. 448 i nast. VI. ZAGADNIENIA DO KOLOKWIUM Przewodnictwo elektryczne w metalach i półprzewodnikach. Natężenie prądu; definicja i jednostka. Prawo Ohma. Opór elektryczny; definicja i jednostka. Zależność oporności elektrycznej metalu i półprzewodnika od temperatury. Model pasmowy. Charakterystyki prądowo-napięciowe diody półprzewodnikowej, żarówki, oporu drutowego, termistora.