dr hab. inż. Michał K. Urbański, prof. nzw. Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Zakład V Badań strukturalnych Gmach Fizyki pok 18 GF i 713 Gmach Mechatroniki, murba@if.pw.edu.pl, strona http: //www.if.pw.edu.pl/ murba/ strona wydziału pracownicy link do strony przy nazwisku październik 2016
ZASADY ZALICZANIA: 4 kolokwia na wykładzie trwające 45min. obejmujące materiał, z wykładów i ćwiczeń, będą zadania, kolokwia będą oceniane systemem punktowym, (kol do 12p.). Laboratorium 9 ćwiczeń po 5p + kol lab 5p całkowita liczba punktów do uzyskania 48+50=98 Trzeba mieć zaliczone trzy kolokwia (każde od 7 punktów) i 8 laboratoriów zaliczenie od 50p oceny wg systemu: (50-58) - 3,0 (59-68) - 3,5 (69-78) - 4,0 (79-88) - 4,5 (89-98) - 5,0 terminy kolokwiów: 27 paźdź, 24 listop, 15 grud. 2016, stycz. 2017 (ostatni wykład) będą dwa dodatkowe terminy poprawy: w grudniu i w końcu stycznia (w sesji).
TREŚĆ ELEMENTY TEORII OBWODÓW: sygnały elementy obwodów obwody, prawa Kirchffa, superpozycja, układy zastępcze prą1d zmienny, opis zespolony prądów sinusoidalnych, układy liniowe, filtry RC i RL, moc, praca. ELEMENTY CZYNNE i NIELINIOWE dioda, tranzystor, układ scalony. fizyczne podstawy działania tranzystora i diody podstawowe układy wzmacniające filtry dolno- i górno-przepustowy
OBWODY Sygnały, klasyfikacja, parametry sygnałów. Elementy obwodów: rezystor, kondensator, indukcyjność, źródło napięciowe i prądowe. Obwody liniowe: prawa Kirchoffa, metody rozwiązywania układów liniowych. Dwójniki i czwórniki. Matematyczny opis czwórników. Układy równoważne, twierdzenia o źródłach zastępczych. Zasada superpozycji, wyznaczanie parametrów układów równoważnych. Opis i analiza obwodów prądu zmiennego: rachunek symboliczny (opis zespolony), wskazy. Dwójniki i czwórniki przy pobudzeniach harmonicznych. Filtry RC i RL. Zależności energetyczne w obwodach prądu zmiennego, dopasowanie źródła i obciążenia.
Układy czynne Fizyczne podstawy działania elementów półprzewodnikowych. Diody: charakterystyki, schematy zastępcze, układy z dużymi i małymi sygnałami. Tranzystory bipolarne i tranzystory polowe: zasady działania, charakterystyki. Parametry wielko- i małosygnałowe tranzystorów bipolarnych i polowych przy małych i wielkich częstotliwościach, parametry impulsowe. Zastosowania tranzystorów: liniowe (wzmacniacze) i nieliniowe (przełączniki, układy impulsowe). Wzmacniacze operacyjne idealne, opis ich działania. Zastosowania w układach liniowych i nieliniowych. Rzeczywiste wzmacniacze operacyjne, ich właściwości i ograniczenia. Zastosowania wzmacniaczy operacyjnych w układach pomiarowych.
Literatura J.Osiowski, J.Szabatin Podstawy teorii obwodów, WNT Warszawa 1998. książki z teorii obwodów
Wielkości podstawowe Napięcie elektryczne U = W q gdzie q - ładunek elektryczny, W - praca ładunku w polu elektrycznym. natężenie prądu I = dq dt Natężenie pola elektrycznego E = F q gdzie: F siła pola działająca na ładunek q. Napięcie elektryczne pomiędzy punktem A i b: U a,b = W q W - praca wykonana przy przemieszczaniu ładunku z punktu a do b b, ponieważ praca W = F d l więc: U a,b = b F d l b a q = a F q d l = a b Ed l a Prawo Ohma I = U R co na poziomi mikroskopowym odpowiada j = σē, gdzie σ przewodność właściwa, j - wektor gęstości prądu..
SYGNAŁY Wyróżniamy nośnik i treść sygnału Nośnik sygnału - wielkość fizyczna np. sygnał elektryczny, mechaniczny itd Treść sygnału - informacja zapisana w sygnale, matematycznie jest to funkcja czasu opisująca zależności wielkości będącej nośnikiem od czasu. W obliczeniach i w modelach matematycznych zjawisk sygnał utożsamiamy z funkcją czasu. Funkcję tą opisujemy podając parametry sygnału. Rysunek: Przykład sygnału, zależność temperatury od czasu grzanego kubka z wodą, przykład funkcji rosnącej
Parametry sygnałów wartość średnia AV - (average value): X AV = 1 T t 0 +T t 0 x(t)dt Wartość średnie dla sygnałów okresowych nie zależy od wyboru momentu początkowego całkowania t 0. x A - sygnał całkowity wielkości A, x a - składowa zmienna sygnału wielkości A sygnał rozkładamy na składową zmienną x a i stałą X AV : x A (t) = x a (t) + X AV (1) Rysunek: Rozkład sygnału na składową zmienną i stałą
Rozkład sygnału na składowe zmienną i stałą x A (t) = x a (t) + X AV (2) Wartość średnia składowej zmiennej wynosi zero tj.: X a(av) = 0, uzasadnienie: X a(av ) = t 0 +T t 0 x a (t)dt = = 1 T t 0 +T t 0 1 T t 0 +T t 0 (x A (t) X AV )dt = (3) x A (t)dt 1 T t 0 +T t 0 X AV dt = (4) = X AV X AV = 0 (5)
SYGNAŁY - oznaczenia litera mała x - sygnał, czyli sygnał zależny od czasu x(t) litera wielka X - parametr sygnału, wskaźnik A przy znaku sygnału: x A - sygnał wielkości A. wskaźniki przy oznaczeniu sygnału wielka duża odnosi się do całego sygnału, np x A litera mała - odnosi się do składowej zmiennej, np x a oznacza składową zmienną sygnału x A. Przykład: I E - parametr całkowitej wartości prądu emitera i E I E(AV ) - wartość średnia całkowitego prądu emitera i E i E (t) - wartość chwilowa prądu emitera i E i e (t) - wartość chwilowa składowej zmiennej prądu emitera i E. I e(rms) - wartość skuteczna składowej zmiennej prądu emitera.
wartość skuteczna RMS Root Mean Square Wartość skuteczna sygnału X A : X A(RMS ) = 1 T t 0 +T t 0 x 2 A (t)dt (6) gdzie: t 0 - początek całkowania, dla sygnałów okresowych nie ma wpływu na wartość całki, T - okres sygnału. Wartość skuteczna opisuje średnia moc sygnału Jeśli zapiszemy sygnał jako sumę składowych zmiennej i stałej: to mamy: x A (t) = x a (t) + X AV (7) X 2 A(RMS) = X 2 a(rms) + X 2 AV (8) średnia moc sygnału równa jest sumie mocy składowej zmiennej i składowej stałej.
Wartość skuteczna - składowe = 1 T X 2 A(RMS) = 1 T t 0 +T t 0 x 2 a (t)dt + t 0 +T t 0 x 2 A (t)dt = 1 T t 0 +T 1 T t 0 +T t 0 2x a (t)x AV dt + t 0 (x a (t) + X AV ) 2 dt = 1 T t 0 +T t 0 (X AV ) 2 dt = = X 2 a(rms) + 0 + X 2 AV Wykorzystano fakt, że wartość średnia składowej zmiennej jest t 0 +T 1 zerowa: T 2x a (t)dt = 0 t 0
Oznaczenia Rysunek: Oznaczenia sygnału i jego parametrów i wartość chwilowa, I - parametry
Moc prądu zmiennego Napięcie - praca dw wykonana przy przesuwaniu ładunku dq:dw = Udq W = t 2 t 1 u(t)dq = t 2 t 1 u(t)i(t)dt = Moc średnia w okresie T = t 2 t 1 : P AV = W T = 1 1 R T t 2 t 1 t 2 t 1 u 2 (t)dt u 2 (t) R dt = 1 R = U2 RMS R t 2 t 1 u 2 (t)dt
Operacja uśredniania, różne oznaczenia Wartość średnia sygnału x(t): X AV = x = x = 1 T t 0 +T t 0 x(t)dt (9) Korzystając z tego oznaczenia: X 2 RMS = x 2 operator uśredniania jest liniowy: dla α R, R liczby rzeczywiste. x + y = x + y αy = α x (10)
Woltomierz wartości skutecznej - uproszczony Konstrukcja uproszczona: miernik średniej wyprostowanej wyskalowany w wartości skutecznej napięcia sinusoidalnego. V - napięcie średnie z sygnału wyprostowanego: V = X AV = 1 T T 0 x(t) dt (11) Współczynnik przeskalowania k tak dobrany aby miernik wskazywał wartość skuteczną dla sygnału sinusoidalnego.
Woltomierz wartości skutecznej - uproszczony obliczenia dla sygnału sinusoidalnego x(t) = A sin(ωt) V = X AV = 1 T T T 0 x(t) dt = = 2 T 0 A sin(ωt)dt = A 2 Π 1 X RMS = T T 0 (A sin(ωt)) 2 dt = = A 2 Współczynnik przeskalowania k jest tak dobrany aby V = X RMS dla sygnału sinusoidalnego. podstawiając: V = k X AV = X RMS czyli k = X RMS X AV = Π 2 2
Woltomierz wartości skutecznej - uproszczony obliczenia dla sygnału trójkątnego x(t) = at + b dla 0 < x < T, gdzie a = 2a T i b = A. V = X AV = 1 T T T 0 x(t) dt = = 2 T 1 X RMS = T T 0 0 at + b dt = A 2 (at + b) 2 dt = A 3 współczynnik kształtu dla trójkąta : k = X RMS X AV = 2 3 (13) Wskazanie woltomierza: V = k V = k X AV = k X RMS k
Schemacik Rysunek: Wzmacniacz mikrofonowy - do przemyślenia
Prawa podstawowe - Prawa Kirchoffa 1 zasada zachowania energii. Dla każdego oczka: K u k=1 u k = N E n (14) n=1 gdzie K u - składowych napięć w oczku, N- liczba sił elektromotorycznych (źródeł napięciowych). 2 zasada zachowania ładunku. Dla każdego węzła: K i i k = 0 (15) k=1 Rysunek: Schematyczne przedstawienie węzłów i oczek gdzie: K i - liczba ramion w węźle.
Technologia pudełkowa Rysunek: Schematy blokowe ( czarne skrzynki ) dwójnika i czwórnika Konwencja strzałek zazwyczaj zakłada się, że : w dwójniku prąd wchodzi do układu (strzałka skierowana do pudełka) w czwórniku prąd wchodzi do wejścia i wychodzi z wyjścia. Czasami wygodniej jest założyć inną orientację strzałek i jedynie zmienia to znak prądu w równaniach.
Zasady wskaźnikowania i ustalania znaków Prąd płynie od plusa do minusa: Rysunek: strzałkowanie napięć i prądów źródła napięciowego i rezystora (układu biernego). Prąd wypływa ze źródła i wpływa do opornika dla źródła u = E 0 ir w dla rezystora u = ir (16)
Źródło napięciowe Rysunek: Charakterystyka prądowo napięciowa źródła napięciowego. Linia przerywana zależność napięcia od natężenia prądu dla źródła napięciowego o sile elektro-motorycznej E 0 o rezystancji wewnętrznej R W : u = E 0 ir W, linia ciągła - równanie rezystora R: u = ir
Dwójnik Rysunek: Dwójnik - prąd wpływa do dwójnika, napięcie strzałka od strony +. Obok: Dwójnik aktywny zastrzałkowany jak dwójnik bierny. Zależność napięcia od prądu dla strzałkowania jak dla dwójnika biernego. u = E + ir w
Porównanie dwóch przypadków kierunków prądu Rysunek: Różne rodzaje strzałek prądu i równania. układ lewy E 0 = ir w + u układ prawy E 0 = ir w + u (17)
Źródło prądowe Rysunek: Źródło prądowe równanie: J = I + I W i I W = U R W czyli I = J U R W Rysunek: Charakterystyka prądowo-napięciowa źródła prądowego Wyliczamy napięcie: U = JR W IR W (18)
Źródło prądowe i napięciowe Rysunek: Charakterystyka prądowo-napięciowa źródła napięciowego równanie opisujące źródło napięciowe: U = E IR W Rysunek: Charakterystyka prądowo-napięciowa źródła prądowego I = J U R W Dla schematu napięciowego mamy U = JR W IR W, czyli siła elektromotoryczna napięciowego układu zastępczego dla źródła prądowego wynosi: E z = JR W
Idealne źródła napięciowe i prądowe Rysunek: Idealne źródło prądowe napięciowe Rysunek: źródło napięciowe i prądowe na wykresie U=U(I)
RÓWNOWAŻNOŚĆ SYSTEMÓW kiedy dwa wielomiany W (x) i H(x) są równe: gdy mają jednakowe współczynniki W (x) = ax 2 + bx + c (19) H(x) = αx 2 + βx + γ (20) a = α W (x) H(x) b = β c = γ (21)
RÓWNOWAŻNOŚĆ DWÓJNIKÓW - układy zastępcze Dwa dwójniki są równoważne jeśli równania są równoważne. Rysunek: Dwa dwójniki opisane równaniami liniowymi W (i) i H(i). W obu przypadkach prądy zostały zaznaczone jako wypływające. W (i) = a + b i oraz H(i) = E 0 R w i (22) W (i) H(i) { a = E0 b = R w (23)
Układ liniowy - dwa parametry Układ liniowy opisany jest równaniem liniowym H(i) = ai + b, czyli określony jest dwoma parametrami a i b. Rysunek: Układ opisany dwoma parametrami E 0 i R w jest równoważny układowi liniowemu złożonemu z dowolnej liczby elementów liniowych
Przykład wyznaczania układu zastępczego Wyznacz zastępczą wartość siły elektromotorycznej E z i zastępczą rezystancję wewnętrzną R z, czyli wyznacz parametry E z i R z modelu liniowego: u = E z ir w poniższego układu: Rysunek: Układ liniowy złożony z trzech elementów E 1 = i 1 R 1 + i 2 R 2 (24) i 1 = i + i 2 (25) u = i 2 R 2 (26) E 1 = (i + i 2 )R 1 + i 2 R 2 (27) i 2 = E 1 R 1 i 1 R 1 + R 2 (28) R 2 R 1 R 2 u = E 1 i R 1 + R 2 R 1 + R 2 (29) parametry zastępcze: E z = E 1 R 2 R 1 + R 2 i R z = R 1R 2 R 1 + R 2 (30)
INTERPRETACJA Szukamy opisu układu liniowego przy pomocy równania u = H(i) dla H(i) = E z ir z. R Rozwiązując równania Kirchoffa mamy u = E 2 R 1 R 1 +R 2 i 1 R 2 R 1 +R 2 więc: E z = E 1 R 2 R 1 + R 2 i R z = R 1R 2 R 1 + R 2 (31) E z - jest to napięcie na zaciskach układu AB gdy nie ma obciążenia (gdy nie płynie prąd) E z = H(0) (32) Rezystancja R z jest rezystancją widziana z zacisków AB układu: lub R z = u i R z = d H(i) = du di di = R 1R 2 R 1 + R 2 (33) gdy E 1 = 0 (źródła są wyzerowane ) (34)
Zastępcza wartość siły elektromotorycznej i rezystancji Rysunek: Zasada Thevenina: parametry napięciowego źródła zastępczego otrzymujemy napięcie gdy prąd obciążenia dwójnika jest zerowy, rezystancja wewnętrzna gdy siły elektromotoryczne są zerowe.
Dlaczego - we wzorze na rezystancję Rezystancja R z jest rezystancją widziana z zacisków AB układu: R z = d H(i) = du di di = R 1R 2 R 1 + R 2 (35) Rysunek: gdy u = E 0 ir w wtedy R z = du di, gdy u = E 0 + ir w wtedy R z = + du di
Rezystancja zastępcza - obliczenia dla składowej zmiennej 1 = i R z u Rysunek: Układ liniowy dwa rezystory ze źródłem napięciowym, Rezystancja zastępcza równoległe połączenie R 1 i R 2 1 R z = 1 R 1 + 1 R 2 (36) i = i 1 i 2 czyli i = i 1 i 2 1 = i 1 R z u + i 2 u u = i 2 R 2 czyli u = i 2 R 2 u = E 1 i 1 R 1 czyli u = i 1 R 1 i 1 u = 1 R 1 i 2 u = 1 R 2
Źródło zastępcze twierdzenie Thevenin Siła elektromotoryczna = napięcie dla prądu zerowego rezystancja = rezystancja układu dla zwartych sił elektromotorycznych i rozwartych źródeł prądowych Rysunek: Zasada Thevenina
Rezystancja i konduktancja układów szeregowych i równoległych Układ szeregowy - napięcie jest suma napięć, układ równoległy - prąd jest sumą prądów. Układ szeregowy Rysunek: Połączenie szeregowe i równoległe rezystorów U 1 I + U 2 I R = U I +... + U N I = U 1 + U 2 +... + U N I = = R 1 + R 2 +... R N układ równoległy 1 R = I 1 + I 2 +... + I N = U = 1 + 1 +... + 1 R 1 R 2 R N konduktancja G = G 1 + G 2 +... G N
Źródło prądowe Rysunek: transformacja źródło prądowe - źródło napięciowe
Twierdzenie Nortona o prądowym źródle zastępczym Każdy dwójnik liniowy może być zastąpiony źródłem prądowym o wydajności J z i rezystancji wewnętrznej R z. Rysunek: Układ zastępczy prądowy
Dzielnik napięcia i = u R 1 + R 2 (37) u 2 = ir 2 (38) R 2 u 2 = u (39) R 1 + R 2 Rysunek: Dzielnik napięcia, napięcie jest proporcjonalne do rezystancji
Dzielnik prądowy i = i 1 + i 2 i 1 R 1 = i 2 R 2 R 1 } i = i 2 R 2 R 1 + i 2 (40) G 2 i 2 = i = i (41) R 1 + R 2 G 1 + G 2 Rysunek: Dzielnik prądowy Rezystancja: R = u i, konduktancja G = i u.
Metody wyznaczania prądów w układach liniowych 1 rozwiązanie równań Kirchoffa 2 metoda prądów oczkowych 3 zasada superpozycji 4 metoda źródła zastępczego reguła Thevenina o napięciowym źródle zastępczym Twierdzenie Nortona o prądowym źródle zastępczym zasada superpozycji transformacja źródło prądowe - napięciowe i składanie źródeł prądowych i napięciowych 5 metoda potencjałów węzłowych
Zasada superpozycji Prąd = sumą prądów pochodzących od poszczególnych źródeł skrót: prąd = natężenie prądu elektrycznego Rysunek: Zasada superpozycji
Zasada superpozycji I 3 = I 3 = E 2 R 1 R 2 + R (42) 1R 3 R R 1 +R 3 + R 1 3 E 1 R 2 R 1 + R 2R 3 R 2 +R 3 R 3 + R 2 (43) I 3 = I 3 + I 3 (44) Rysunek: Zasada superpozycji, obliczenia
Łączenie źródeł prądowych i napięciowych Łączenie źródeł prądowych: prądy wpływające do węzła dodają się. Łączenie źródeł napięciowych: napięcia w oczku dodają się (prace dodają się) Rysunek: łączenie źródeł