00511 Mechanika nieba D Część 1

1 00511 Mechanika nieba D part 1 Dane osobowe właściciela arkusza 00511 Mechanika nieba D Część 1 Rozwój pojęć kosmologicznych. Elementarne zjawiska na sferze niebieskiej. Prawa: Keplera i ciąŝenia powszechnego. Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej. Aktualizacja Maj ROK 008 Instrukcja dla zdającego 1. Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10 stron. Ewentualny brak naleŝy zgłosić.. Do arkusza moŝe być dołączona karta wzorów i stałych fizycznych. Jeśli jest, naleŝy ją dołączyć do oddawanej pracy. 3. Proszę uwaŝnie i ze zrozumieniem przeczytać zawartość arkusza. 4. Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowadzić wzory, gdy jest takie polecenie. 5. Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod kątem ich zrozumienia. 6. W trakcie obliczeń moŝna korzystać z kalkulatora. 7. Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w celu ich późniejszego przedyskutowania. 8. Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informacje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze. 9. Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza ramy programu maturalnego. śyczymy powodzenia! (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) PESEL ZDAJĄCEGO

00511 Mechanika nieba D part 1 Temat: 56* Rozwój pojęć kosmologicznych od staroŝytności do czasów Mikołaja Kopernika. 1. Astronomia naleŝy do najstarszych nauk przyrodniczych. Powstała wraz z formowaniem się społeczeństw i początkowo związana była z takimi potrzebami Ŝycia, jak rachuba czasu oraz orientacja na lądzie i morzu. Według Talesa z Miletu Ŝyjącego na przełomie VII i VI wieku p.n.e., Ziemia miała przypominać spłaszczony dysk, pływający po niezmierzonym oceanie. WyobraŜano sobie, Ŝe płaską Ziemię obiegają KsięŜyc, Słońce i planety, a wokół nich obraca się sfera gwiazd stałych. Inny pogląd na kształt Ziemi głosił ok. 530 lat p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie. Według nich Ziemia była kulą otoczoną ośmioma przezroczystymi, koncentrycznymi sferami, na których znajdowały się KsięŜyc, Słońce i planety. U podstaw poglądów pitagorejczyków leŝało przekonanie, Ŝe kształt kuli jest jednym z najdoskonalszych kształtów spotykanych w przyrodzie. Pogląd, Ŝe Ziemia jest kulą ugruntował Arystoteles (384-3 p.n.e.). Kulistość Ziemi tłumaczył m.in. na podstawie cienia Ziemi widocznego w czasie zaćmień KsięŜyca, wskazywał na zmiany w połoŝeniach gwiazd obserwowane przez podróŝników udających się z północy na południe. Sądził on, Ŝe kulistą Ziemię otacza 55 współśrodkowych przezroczystych sfer, z których ostatnia jest sferą gwiazd stałych. Pierwsze myśli naukowe o budowie Wszechświata wypowiedzieli filozofowie greccy (Leukipp (ok. 550-447 p.n.e.) i Demokryt (ok. 460-371 p.n.e.). UwaŜali oni, Ŝe Wszechświat zajmuje nieskończoną przestrzeń zawierającą nieskończoną liczbę niepodzielnych cząstek, czyli atomów, które poruszają się we wszystkich kierunkach. Ziemia, podobnie jak inne ciała niebieskie, byłaby w ujęciu filozofów, przypadkowym skupieniem atomów. Według poglądów tych atomistów świat nie ma Ŝadnego środka, wskutek tego równieŝ Ziemia nie moŝe zajmować w nim stanowiska centralnego. Inny grecki uczony Arystarch z wyspy Samos (0-150 p.n.e.) przyjmował, Ŝe obserwowany ruch Słońca jest wynikiem ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi oraz ruchu obiegowego wokół Słońca. Poglądy Arystarcha, stanowiące podstawę późniejszej teorii Kopernika, nie zyskały jednak uznania i popadły w zapomnienie na blisko dwa tysiące lat.. Upłynęły jednak tysiąclecia, zanim myśl o ruchach Ziemi została powszechnie przyjęta. W staroŝytności, z nielicznymi wyjątkami, nie wątpiono, Ŝe nieruchoma Ziemia zajmuje środek świata i stanowi centrum ruchu wszystkich ciał niebieskich. Na załoŝeniu tym opierały się teorie budowy świata tworzone w staroŝytności. Pierwsza taka teoria naukowa została podana w IV wieku p.n.e. przez Eudoksosa w jego teorii sfer homocentrycznych. Zgodnie z tą teorią kaŝda planeta (a wśród nich Słońce i KsięŜyc) miała leŝeć na zewnętrznej powierzchni jakiejś sfery, do kaŝdej zaś planety naleŝało tyle sfer, na ile jednostajnych ruchów naleŝałoby rozłoŝyć obserwowany niejednostajny ruch planet. Teoria sfer homocentrycznych została następnie zastąpiona przez teorię kół mimośrodkowych i epicyklów. Ostateczną postać teorii kół mimośrodkowych i epicyklów nadał w II wieku n.e. aleksandryjski astronom Klaudiusz Ptolemeusz. Teoria ta była kanonem astronomii przez 1400 lat, aŝ do czasów Mikołaja Kopernika. Zgodnie z geocentryczną teorią budowy świata, opracowaną przez Ptolemeusza, dokoła Ziemi biegnie siedem planet w następującej kolejności: KsięŜyc, Merkury, Wenus, Słońce, Mars, Jowisz i Saturn, przy czym KsięŜyc i Słońce biegną ruchem jednostajnym dokoła

3 00511 Mechanika nieba D part 1 Ziemi bezpośrednio po kołach, których środki leŝą jednak nieco poza Ziemią, czyli są to koła mimośrodkowe. Natomiast, aby wytłumaczyć ruch planet górnych i dolnych, w szczególności zakreślanie przez nie pętli, Ptolemeusz załoŝył, Ŝe po kole mimośrodkowym (inaczej deferencie) biegnie ruchem jednostajnym nie planeta, lecz środek innego, mniejszego koła, zwanego epicyklem, a dopiero po epicyklu biegnie planeta równieŝ ruchem jednostajnym. Przez kombinację ruchów środka epicyklu po deferencie i planety po epicyklu, dając odpowiednie nachylenie płaszczyznom tych kół, moŝna wyjaśnić widome ruchy planet, szczególnie ruch prosty i wsteczny względem sfery gwiazd stałych, która miała obracać się dokoła Ziemi ze wschodu na zachód w okresie doby gwiazdowej i przekazująca ten ruch sferom planetarnym. Obrazem tego ruchu miał być ruch sfery niebieskiej w ciągu dnia. 3. Omówimy teraz kopernikowską teorię heliocentryczną budowy świata. ZałoŜenia Kopernika moŝna sprowadzić do trzech stwierdzeń: planety biegną ruchem jednostajnym po kołach dokoła Słońca, Ziemia jest jedną z planet i równieŝ obiega Słońce, Ziemia obraca się dokoła własnej osi. Według teorii Kopernika wszystkie planety obiegają Słońce, w tym samym kierunku z prędkościami malejącymi wraz ze wzrostem odległości od Słońca w następującej kolejności: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz i Saturn. Występowanie okresu rocznego w ruchach planet dolnych i górnych było w teorii Ptolemeusza czymś nie dającym się wytłumaczyć, jak gdyby przypadkiem. Natomiast w teorii Kopernika był to konieczny skutek ruchu Ziemi dokoła Słońca w okresie rocznym. Swoje prace opublikował Kopernik w 1543 roku w dziele De Revolutionibus (O obrotach). Teoria Kopernika zawierała wiele uproszczeń: ruch planet po okręgach, układ planetarny otacza sfera gwiazd stałych; jednak stała się podstawą nowoŝytnych poglądów na budowę Wszechświata, zyskała wielu zwolenników, wśród których byli m.in. Galileusz (1564-164), twórca nowoczesnej fizyki, jako pierwszy skierował w 1609 roku lunetę na niebo i zaobserwował fazy Wenus i odkrył cztery księŝyce Jowisza przypominające miniaturowy układ planetarny, Johannes Kepler (1571-1630) mający do dyspozycji bogaty materiał obserwacyjny zebrany przez Tychona Brahe (1546-1601) sformułował prawa ruchu planet. 4. W roku 191 Edwin Hubble dokonał fundamentalnego odkrycia, Ŝe niezaleŝnie od kierunku obserwacji widzimy wszędzie odległe galaktyki szybko oddalające się od nas. Innymi słowy, Wszechświat rozszerza się; padła idea statycznego i niezmiennego Wszechświata. Oznacza to, Ŝe w dawniejszych czasach ciała niebieskie znajdowały się blisko siebie (bli- Ŝej niŝ teraz). Istotnie, wygląda na to, Ŝe jakieś 10 czy 0 miliardów lat temu wszystkie obiekty istniejące we Wszechświecie skupione były w jednym punkcie, a zatem gęstość Wszechświata była wtedy nieskończona. To odkrycie wprowadziło wreszcie zagadnienie początku Wszechświata do królestwa nauki. Prace Hubble a zapoczątkowały burzliwy rozwój kosmologii.

4 00511 Mechanika nieba D part 1 Słowniczek: Kosmologia - nauka o Wszechświecie jako całości. A to ciekawe: A) Podanie głosi, Ŝe za sprzyjanie teorii kopernikańskiej budowy świata, został spalony na stosie w 1600 roku Giordano Bruno. Są tacy, którzy uwaŝają, Ŝe karę tę wymierzono jednak za pewne rzeczywiste przewinienia. B) Gdy porzucono system geocentryczny Arystarcha z Samos i Ptolemeusza na rzecz systemu heliocentrycznego Kopernika, człowiek XVI wieku, znalazłszy się nagle na peryferiach, poczuł się przeraŝony i zagroŝony. Syn BoŜy nie mógł przecieŝ zostać zesłany na jakąś drugorzędną planetę. Kościół zaniepokoił się i zapałał gniewem: Mikołaj Kopernik i Johann Kepler ledwie zdołali ujść z Ŝyciem, ale Galileo Galilei zginął czerwca 1633 roku na stosie z woli inkwizycji rzymskiej. Jednak wygnanie ludzkości na obrzeŝa systemu słonecznego, choć poniŝające i zatrwaŝające, nic nie zmieniło w porządku świata. Zegar niebieski trwał nie zmieniony, co dawało pewną pociechę. Ludzkość zaczęła wirować wraz ze swoją planetą, lecz ruchy gwiazd nie ustały w swych regularnych cyklach, dowodząc ciągłości rządów jakiegoś niebieskiego władcy. Temat: 57* Elementarne zjawiska na sferze niebieskiej. 1. Względny ruch Słońca obserwowany z Ziemi: wschód w godzinach porannych, górowanie w ok. godziny 1,00, w lecie Słońce góruje wysoko, zimą - niŝej, najdłuŝsze dni są pod koniec czerwca, najkrótsze - grudnia, zachód w godzinach wieczornych.. Względny ruch KsięŜyca obserwowany z Ziemi. przesuwa się na tle gwiazd z prędkością kątową ok. 13 0 na dobę, miesiąc gwiazdowy wynosi około 7 dni i 7 godzin (okres czasu, w którym KsięŜyc obiegnie Ziemię i wróci do tego samego miejsca wśród gwiazd), zmienia swój wygląd, co 9,5 dnia: a) po okresie niewidoczności na zachodnim niebie tuŝ po zachodzie Słońca ma postać wąskiego sierpa, który stopniowo rośnie i gdy KsięŜyc jest oddalony od Słońca około 90 0 na niebie, widoczny jest w postaci połowy okręgu (pierwsza kwadra), b) w miarę oddalania się KsięŜyca od Słońca widzimy KsięŜyc w postaci większej od połowy kręgu, gdy jego odległość wyniesie 180 0 widzimy go w postaci pełnego okręgu (pełnia), c) po pełni KsięŜyc zbliŝa się znów do Słońca, widzialna część oświetlonej powierzchni maleje, w odległości 90 0 znów widzimy połowę kręgu (ostatnia kwadra), d) przy dalszym zbliŝaniu się do Słońca od strony zachodniej znika w jego promieniach w postaci wąskiego sierpa (nów). sierp KsięŜyca widoczny bądź między nowiem i pierwszą kwadrą bądź ranem między ostatnią kwadrą i nowiem, jest zawsze zwrócony wypukłością ku Słońcu,

5 00511 Mechanika nieba D part 1 obrót KsięŜyca wokół własnej osi jest równy okresowi jego obiegu dokoła Ziemi, jest on obiektem ciemnym odbijającym światło słoneczne 3. Gwiazdozbiory. Gwiazdozbiory, nazywane równieŝ konstelacjami, są obszarami nieba o umownie wyznaczonych granicach, na podstawie charakterystycznych ugrupowań najjaśniejszych gwiazd. Dziś obowiązuje podział nieba na 88 gwiazdozbiorów, m.in. mamy gwiazdozbiory: Orion, Wielki Pies, Wolarz, Lutnia, Łabędź, Orzeł, Perseusz, Andromeda, Kasjopeja. Są one róŝnie widoczne o róŝnych porach roku: zima - szczególnie widać gwiazdozbiory Oriona, Bliźniąt i Wielkiego Psa, z najjaśniejszą gwiazdą nieba, Syriuszem, wiosna - najlepiej widoczne są Lew i Wolarz, lato - dominuje Letni Trójkąt, który tworzą gwiazdozbiory Lutni, Łabędzia i Orła, jesień - szczególnie łatwo dostrzec gwiazdozbiory Perseusza, Andromedy, a takŝe Kasjopei. 4. Typowe obiekty astronomiczne stanowią: planety, typ obiektów astronomicznych o średnicach większych od ok. 1000 km obiegających gwiazdę, widocznych dzięki zdolności odbijania jej promieniowania. Wokół planet krąŝą księŝyce, Galaktyka, Słońce wraz z 00 miliardami gwiazd, gromady, czyli ugrupowania gwiazd, mgławice, tzn. olbrzymie obłoki pyłowo - gazowe (część z nich jest widoczna, gdyŝ oświetlają je gorące gwiazdy), megagalaktyka - cała dostępna obserwacjom część Wszechświata, gwiazdy, czyli kule gazowe o masach nie przekraczających masę kilkudziesięciu mas Słońca. Świecą przynajmniej przez część swojej ewolucji, w wyniku reakcji termojądrowych (przede wszystkim przemiany wodoru w hel) zachodzących w ich wnętrzu. Stanowią najliczniejszą grupę ciał niebieskich widocznych na niebie nocnym. Zdają się tworzyć niezmienne ugrupowania i dlatego nazywamy je stałymi. Liczba gwiazd dostępnych do obserwacji wzrasta w miarę stosowania odpowiednio wielkich obiektywów. Człowiek o przeciętnym wzroku moŝe widzieć jednocześnie od 000 do 500 gwiazd, przez lornetkę do kilkudziesięciu tysięcy, przez teleskop - do kilku milionów. WyróŜniamy typy gwiazd: magnetyczne, okołobiegunowe, podwójne, spadające (inaczej: meteoryty), stałe, zaćmieniowe, zmienne. 5. Ostatnie dziesięciolecia znacznie rozszerzyły naszą wiedzę o Układzie Słonecznym, do czego przyczyniły się: w latach 1969-197 sześciokrotne lądowanie na KsięŜycu amerykańskich statków kosmicznych z załogą ludzką, międzyplanetarne sondy kosmiczne lądujące na powierzchni Wenus, Marsa i zbliŝające się do Merkurego, Jowisza, Saturna i Urana,

6 00511 Mechanika nieba D part 1 badania komety Halley a dokonane w 1986 roku za pomocą automatycznych stacji międzyplanetarnych z serii m.in. Wega i Giotto, obserwacje i badania kolejnych, zbliŝających się do nas komet. Temat: 58 Prawa Keplera. 1. Tycho Brahe na skutek utraty pomocy finansowej ze strony duńskiego króla, opuścił w 1597 roku wyspę Haveen zabierając ze sobą waŝniejsze instrumenty i zebrany przez siebie materiał obserwacyjny. Udał się do Niemiec, a w 1599 roku osiadł w Pradze. W ostatnich dwóch latach swego Ŝycia zyskał ucznia i pomocnika w osobie Jana Keplera (1571-1630).Tycho Brahe powierzył swojemu uczniowi opracowanie swoich obserwacji, głównie w celu sprawdzenia nowych tablic planetarnych. Kepler zajął się tym zagadnieniem, wykorzystał jednak bogaty materiał obserwacyjny zebrany przez Tychona Brahe przede wszystkim w celu wykrycia nowych praw astronomicznych, praw ruchu planet.. Kepler zajął się głównie Marsem, a wkrótce zorientował się, Ŝe orbita tej planety nie da się przedstawić jako koło. Zdecydował się zerwać z tradycyjnym załoŝeniem, Ŝe planety mogą poruszać się tylko po kołach i po wielu próbach stwierdził, Ŝe spośród znanych krzywych najbardziej zbliŝona do obserwowanego kształtu orbity Marsa jest elipsa. Poza tym Kepler stwierdził, Ŝe Mars porusza się szybciej na orbicie, gdy jest bliŝej Słońca, a wolniej, gdy jest dalej. Odkrycia te sformułował w 1609 roku w postaci dwóch następujących praw: I prawo Keplera: Orbita kaŝdej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z ognisk. II prawo Keplera: Promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych odstępach czasu. NaleŜy zaznaczyć, Ŝe elipsy, po których biegną dokoła Słońca planety niewiele róŝni się od kół. II prawo Keplera ilustruje rys. 1 przedstawiający w przesadnym spłaszczeniu orbitę eliptyczną planety ze Słońcem S w jednym z ognisk. Zgodnie z tym prawem pola ASB, CDS i ESF w róŝnych miejscach orbity, zakreślone przez promienie wodzące w równych odstępach czasu, są sobie równe. A więc blisko peryhelium, gdzie promienie wodzące są najkrótsze (SA, SB), planeta zakreśla większy łuk AB niŝ EF zakreślony w tym samym odstępie czasu blisko aphelium, gdzie promienie wodzące (SE, SF) są najdłuŝsze. D C E B Aphelium S Peryhelium Rys. 1 F A

7 00511 Mechanika nieba D part 1 3. Kepler był przekonany, Ŝe ruchy planet są powiązane wspólną im wszystkim zaleŝnością. Po wielu latach poszukiwań (1619 rok) wykrył tę zaleŝność, którą wypowiedział jako III prawo ruchu planet: III prawo Keplera: Drugie potęgi okresów obiegu planet dokoła Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca. Oznaczamy okresy dwóch planet przez T 1 i T, a połowy wielkich osi ich orbit, czyli średnie odległości przez R 1 i R. III prawo Keplera piszemy wtedy w postaci : co moŝna wyrazić równieŝ : Dla kaŝdej planety stosunek T R 3 T1 T = = const. (jest stały) R R 3 1 3 III prawo Keplera daje moŝność obliczenia względnych rozmiarów orbit planetarnych, np. w odniesieniu do orbity ziemskiej. Niech T oznacza rok gwiazdowy, a R - połowę wielkiej osi orbity ziemskiej. Przyjmijmy za jednostkę czasu T = 1, a za jednostkę długości R = 1. Wówczas mamy : 3 R1 = T1. Daje to moŝność obliczenia względnych rozmiarów orbit wszystkich planet z ich okresów gwiazdowych w odniesieniu do orbity Ziemi, której odległość od Słońca przyjmujemy za jednostkę. Zadanie 1 Udowodnij, Ŝe przyspieszenie dośrodkowe dwóch planet poruszających się po torach kołowych są odwrotnie proporcjonalne do kwadratów ich odległości od Słońca. A to ciekawe: Zanim jeszcze Newton zaproponował swoje prawo powszechnego ciąŝenia, Johannes Kepler stwierdził, Ŝe ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocniły hipotezę Kopernika, Ŝe planety krąŝą wokół Słońca, a nie wokół Ziemi. W 1600 roku było herezją religijną powiedzieć, Ŝe planety krąŝą wokół Słońca. Istotnie, w 1600 roku Giordano Bruno, głośny zwolennik układu heliocentrycznego Kopernika został osadzony przez Inkwizycję i spalony na stosie. Nawet wielki Galileusz został uwięziony, postawiony przed sąd Inkwizycji i zmuszony do publicznego odŝegnania się od swoich poglądów, mimo, Ŝe podobno papieŝ był jego dobrym przyjacielem. Dogmatem owych czasów, gdy uwaŝano naukę Ptolemeusza i Arystotelesa za święte, było, Ŝe planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowanych torach, które wynikają z superpozycji rozmaitych ruchów po okręgach. Na przykład do opisu ruchu Marsa trzeba było około tuzina okręgów o róŝnych wielkościach. Ambicją Keplera było udowodnić, Ŝe Mars i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Poszukiwał on nieskomplikowanej geometrycznie orbity zgodnej z obszernym zbiorem pomiarów pozycji Marsa. Fakt, Ŝe Newton mógł wyprowadzić wszystkie trzy prawa Keplera ze swoich trzech zasad dynamiki był uwaŝany za ostateczne potwierdzenie dynamiki newtonowskiej.

8 00511 Mechanika nieba D part 1 Temat: 59 Prawo ciąŝenia powszechnego. 1. Korzystając z trzech zasad dynamiki, Newton wyprowadził słynne prawo ciąŝenia powszechnego na podstawie wykrytych na drodze empirycznej praw Keplera. Przede wszystkim z faktu, Ŝe planety krąŝą dokoła Słońca po liniach krzywoliniowych wynika, Ŝe działa na nie siła (dlaczego?). JeŜeli punkt porusza się pod działaniem siły centralnej, to tor jego ruchu jest krzywą płaską, a prędkość polowa w tym ruchu jest stała. Zatem ze spełnienia dla ruchu planet względem Słońca II prawa Keplera wynika, Ŝe działająca na planetę siła jest centralna i skierowana ku Słońcu, a więc siła jest przyciągająca. Wreszcie z zadania 1 (temat: 66), a co za tym idzie, z III prawa Keplera znajdujemy, Ŝe siła ta jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca.. Prawo ciąŝenia powszechnego wyprowadzone z ogólnych zasad ruchu i stwierdzonych empirycznie praw Keplera, Newton genialnie uogólnił formułując je następująco: (1) F G m m 1 =, czyli r kaŝde dwie cząstki materialne we Wszechświecie przyciągają się wzajemnie siłami wprost proporcjonalnymi do iloczynu mas obu cząstek i odwrotnie proporcjonalnymi do kwadratu odległości między nimi. Występująca we wzorze stała G nazywa się stałą grawitacji. Jej wartość wynosi N m () G = 6, 67 10 11 kg 3. Siły przyciągania działają przede wszystkim między wszystkimi bez wyjątku ciałami, zarówno takimi jak Słońce i planety, jak i między najdrobniejszymi pyłkami; jednak w ostatnim przypadku są tak małe, Ŝe nie moŝna ich zmierzyć ani dostrzec ich działania: dwa ciała o masach po 1 kg przyciągają się z odległości 1 m siłą równą liczbowo stałej grawitacji: F = 6, 67 10 11 N. 4. Prawo ciąŝenia powszechnego ma doniosłe znaczenie dla rozwoju nie tylko astronomii, lecz i fizyki, filozoficznie zaś, jako pierwsze poznane uniwersalne prawo fizyczne obejmujące zjawiska na Ziemi i we Wszechświecie przyczyniło się do poszerzenia horyzontów poznawczych człowieka. 5. *Dla sprawdzenia, czy przyspieszenie ruchu KsięŜyca dokoła Ziemi moŝna wytłumaczyć jako jego spadanie ku Ziemi, Newton porównał przyspieszenie siły cięŝkości na Ziemi z przyspieszeniem orbitalnym KsięŜyca w jego ruchu dokoła Ziemi. W tego rodzaju rachunkach, dla uproszczenia rozwaŝań naleŝy załoŝyć, Ŝe zarówno Ziemia, jak i KsięŜyc są kulami uformowanymi z jednorodnych warstw współśrodkowych i wskutek tego przyciągają się tak, jak gdyby cała ich masa była skupiona w środkach tych kul. Oznaczmy masę Ziemi przez M, masę KsięŜyca przez m, masę spadającego ciała na Ziemi przez m 1. W przypadku ciała spadającego na Ziemi siła przyciągająca wynosi (3) F G M m 1 = = m g gdzie R promień Ziemi 1,. R W przypadku KsięŜyca analogiczna siła jest równa

9 00511 Mechanika nieba D part 1 (4) F G M m 1 = = m ak gdzie D odleg ość Ziemi od KsięŜyca 1, ł. D W pierwszym przypadku przyspieszenie g siły cięŝkości na powierzchni Ziemi wynosi G M (5) g =, R w drugim zaś, przyspieszenie a k w ruchu KsięŜyca wynosi G M (6) ak = D Stosunek obu tych przyspieszeń jest (7) a k R = g D Odległość KsięŜyca wynosi około 60 promieni ziemskich. Podstawiając we wzorze (7) cm wartości liczbowe: D = 60 R i g = 981 s, otrzymamy wartość a k 981 cm cm (8) ak = = 0, 7 3600 s s Obliczając a k jako przyspieszenie dośrodkowe w ruchu kołowym ze wzoru v D D (9) a = k D = 4π 4π = T D T Wstawiamy wartości liczbowe R cm (10) ak = 4 314, 60 = 0, 7, ( 7, 4 doby) s co jest całkowicie zgodne z wynikiem otrzymanym we wzorze (8). Temat: 60* Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej. 1. Dotychczas mówiąc o masie ciała, nie rozróŝnialiśmy dokładnie dwóch rodzajów mas. Jednak, gdy przypatrzymy się uwaŝniej moŝemy podzielić ją na dwa rodzaje. Mówiliśmy często o masie ciała w związku z siłą przyciągania tego ciała przez Ziemię. Ustaliliśmy wówczas, Ŝe masy ciał będziemy porównywać, porównując siły grawitacji, jakimi Ziemia działa na ciała. Bowiem między siłami grawitacji i masami ciał zachodzi prosta proporcjonalność określona wzorem: (1) F = G Mm (prawo ciąŝenia powszechnego) r Zatem masy M = m = 1[kg] przyciągają się z odległości 1 m siłami o wartości F = 6, 67 10 11 [N]. Tak zdefiniowana masa ma nazwę masy grawitacyjnej. To masa grawitacyjna decyduje jak silnie ciało będzie grawitacyjnie przyciągane przez inne ciało. Gdyby to samo ciało przenieść na KsięŜyc, byłoby one przyciągane tam innymi siłami grawitacyjnymi niŝ na Ziemi, ale byłyby one równieŝ wprost proporcjonalne do mas grawitacyjnych.. Masa bezwładna jest związana z własnością ciał zwaną bezwładnością. Ciała mają róŝne bezwładności, jeśli pod działaniem jednakowych sił (natura sił nie jest istotna) uzyskują

10 00511 Mechanika nieba D part 1 róŝne co do wartości przyspieszenia. Ciało uzyskujące w opisanym przypadku mniejsze przyspieszenie ma większą bezwładność, a więc takŝe większą masę bezwładną. Masę bezwładną moŝemy określić posługując się II zasadą dynamiki: F = ma, czyli m = F a 3. *Fizycy długi czas mięli wątpliwości, czy masa występująca w II zasadzie dynamiki i masa występująca w prawie ciąŝenia powszechnego dla tego samego ciała tę samą wartość. Wszystkie przeprowadzone doświadczenia wykazały, Ŝe masa grawitacyjna i masa bezwładna, to te same masy. F Z godnie z II zasadą dynamiki (3) a = Gdy siła F jest siłą grawitacji, to mamy : Fg (4) g =, bowiem dla F = F g, mamy a = g. mb Wstawiamy do wzoru (4) równanie F g = m g g mg g (5) g =, czyli m b = m g. mb 4. *Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej stwierdził doświadczalnie w 1901 roku węgierski fizyk Rolad Eotvos, w 1964 roku w bardziej dokładnym eksperymencie - R. Dicke z Uniwersytetu Princeton w USA. Wyniki tych uczonych silnie sugerują, Ŝe dla wszystkich substancji masa grawitacyjna jest dokładnie równa masie bezwładnej. To właśnie stwierdzenie nazywa się zasadą równowaŝności. Jest to podstawowe prawo przyrody opierające się na wynikach doświadczeń, podobnie jak inne prawa. Konsekwencją zasady równowaŝności jest to, Ŝe w Ŝaden sposób nie moŝna rozróŝnić przyspieszenia laboratorium od przyspieszenia grawitacyjnego. Gdybyśmy umieścili ciało w windzie poruszającej się z przyspieszeniem, Ŝadne doświadczenia wykonane w tej windzie nie mogłoby wykazać, czy winda porusza się z przyspieszeniem, czy teŝ winda spoczywa, a jakieś nowe źródło grawitacji zostało włączone. Zasada równowaŝności jest punktem wyjścia ogólnej teorii względności Einsteina. m b