POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 7 Electrical Engineering 20 Sławomir CIEŚLIK* MODEL MATEMATYCZNY ZAGREGOWANEGO ELEMENTU UKŁADU ELEKTRYCZNEGO W CYFROWYCH SYMULATORACH PRACUJĄCYCH W CZASIE RZECZYWISTYM W artykule przedstawiono koncepcję modelu matematycznego zagregowanego elementu układu elektrycznego stosowanego w cyfrowych symulatorach pracujących w czasie rzeczywistym. W tego typu symulatorach, oprócz odpowiedniej dokładności wyników, ważny jest czas obliczeń. Zastosowanie proponowanego modelu wraz z dekompozycją modelu układu elektrycznego na potrzeby obliczeń równoległych zmniejsza liczbę równań w układzie rozwiązywanym w każdym kroku całkowania. Wymiernym efektem tego jest uzyskanie wyników w krótszym czasie.. WSTĘP Problemy dotyczące modelowania matematycznego układów elektrycznych należą do grupy zagadnień numerycznych charakteryzujących się dużą intensywnością arytmetyczną. Jest ona definiowana [5] jako stosunek czasu na wykonanie operacji arytmetycznych w programie do czasu na transfer danych do i z pamięci operacyjnej. Właśnie dla tego typu zagadnień możliwe jest wykorzystanie procesorów graficznych (GPU) []. Zatem celowe jest poszukiwanie efektywnych sposobów podziału procesu obliczeniowego na zadania realizujące te same operacje dla różnych danych. System pracujący w czasie rzeczywistym rozumiany jest jako cyfrowa platforma komputerowa, w której wyniki obliczeń zależą nie tylko od danych generowanych przez otoczenie, ale również od upływu czasu. Bazując na standardach IEEE [, ], można zdefiniować pojęcie symulatora działającego w czasie rzeczywistym jako platformę cyfrową, w której obliczenia wykonywane są współbieżnie z procesem zewnętrznym (otoczenie) w celu sterowania, nadzoru lub terminowego reagowania na zdarzenia występujące w tym procesie. Specyfiką pracy symulatorów pracujących w czasie rzeczywistym jest wymiana danych z otoczeniem, która odbywa się w ściśle określonych chwilach. Zakłada się, że wartości sygnałów wejściowych i wyjściowych są w określonych chwilach * Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy.
0 Sławomir Cieślik zatrzaskiwane w jednostkach pamiętających. Wymiana danych z otoczeniem odbywa się zgodnie z taktowaniem zegara sterującego z określoną stałą częstotliwością, zwaną częstotliwością wymiany danych pomiędzy symulatorem i otoczeniem. Z częstotliwości tej bezpośrednio wynika kwant czasu pracy symulatora. Obliczenia numeryczne w symulatorze w rzeczywistości muszą być wykonywane w czasie krótszym od kwantu czasu pracy tego symulatora, aby umożliwić terminowe reagowanie na zdarzenia. W związku z tym wprowadza się pojęcie programowego kroku całkowania równań różniczkowych, z którym są rozwiązywane równania występujące w modelu matematycznym. Symulator działa skutecznie pod względem terminowego reagowania na zdarzenia wtedy, gdy równania modelu matematycznego układu elektrycznego całkowane z określonym programowym krokiem rozwiązywane są w rzeczywistości w czasie krótszym od przyjętego kwantu czasu pracy tego symulatora. Zagadnienia związane z obwodowymi modelami matematycznymi układów elektrycznych w cyfrowych symulatorach pracujących w czasie rzeczywistym przedstawiono w rozprawie [2]. W niniejszym artykule zaprezentowano model matematyczny zagregowanego elementu układu elektrycznego, który wraz z dekompozycją modelu tego układu na potrzeby obliczeń równoległych zmniejsza liczbę równań w matematycznym układzie rozwiązywanym w każdym kroku całkowania. Wymiernym efektem tego jest uzyskanie wyników w krótszym czasie. 2. MODEL MATEMATYCZNY ZAGREGOWANEGO LINIOWEGO TRÓJFAZOWEGO ELEMENTU UKŁADU ELEKTRYCZNEGO [2] Zagregowany liniowy trójfazowy element strukturalny jest to połączenie przynajmniej dwóch podstawowych liniowych trójfazowych elementów strukturalnych, w którym w sposób jawny wyróżnione są wewnętrzne węzły obwodu elektrycznego (węzeł jako połączenie minimum trzech gałęzi). Celem praktycznym tworzenia zagregowanych elementów strukturalnych jest zmniejszenie liczby węzłów w analizowanym układzie elektrycznym, a tym samym zmniejszenie liczby równań w rozwiązywanych numerycznie równaniach. Na rysunku przedstawiono schemat liniowego trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego typu RL+RL w postaci trójbiegunnika. Liniowy trójfazowy zagregowany element strukturalny typu RL+RL składa się z połączenia dwóch liniowych trójfazowych elementów strukturalnych typu RL. Dla odróżnienia samych elementów, ich parametrów oraz wielkości fizycznych z nimi związanych zastosowano oznaczenia: element RLx oraz RLy. Element zagregowany, jego parametry oraz wielkości fizyczne oznaczono symbolem RLz. Wewnątrz elementu RLz wyróżniono trzy węzły: w, 2w i w.
Model matematyczny zagregowanego elementu układu elektrycznego w 05 Dla przykładu wyprowadzony jest dyskretny model liniowego trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego typu RL+RL (rys. ) stowarzyszony z interpolacyjnym algorytmem Eulera. 2 i i x 2 i 2 i 2x i i x R Ax R Bx R Cx L Ax i y 5 2 L Bx i 2y L Cx RLx i y R Ay R By R Cy L Ay 5 L By L Cy RLy RLxy Rys.. Schemat liniowego trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego typu RL+RL w postaci trójbiegunnika [2] Równanie wektorowe dla elementu RLy, z uwagi na zewnętrzne (względem elementu RLy) połączenie węzłów (układ trójkąta), zapisano: i A v + B = 0, () RLy + RLy w RLy i RLy = irly i2rly irly wektor prądów gałęzi elementu RLy, gdzie: [ ] T w = [ v v v ] T v wektor potencjałów węzłów wewnętrznych elementu RLz, w 2w w αarly αarly 0 A RLy = 0 αbrly αbrly macierz, której elementy α ζrly αcrly 0 αcrly wyznacza się z zastosowaniem wzoru = ( R + h L ) [ β β β ] T α, B RLy = ARLy BRLy CRLy wektor, którego elementy β ζrly wyznacza ( ) się z zastosowaniem wzoru =α h L i ( t ) k n β.
0 Sławomir Cieślik Równanie wektorowe dla elementu RLx, z uwagi na bezpośrednie wyprowadzenie gałęzi na zewnątrz zagregowanego elementu RLz ( i RLz = irlx, i 2RLz = i 2RLx, i RLz = i RLx ), zapisano: i a v a v + B = 0, (2) RLz + RLx RLz RLx w RLx gdzie: [ ] T i RLz = irlz i2rlz irlz wektor prądów gałęzi zewnętrznych zagregowanego elementu RLz, [ v v v ] T v RLz = RLz 2RLz RLz wektor potencjałów węzłów zewnętrznych zagregowanego elementu RLz, a = diag( α, α α ) macierz, której elementy α ζrlx wyznacza RLx ARLx BRLx, CRLx się z zastosowaniem wzoru = ( R + h L ) RLx = α, [ β β β ] T ARLx BRLx CRLx B wektor, którego elementy β ζrlx wyznacza ( ) się z zastosowaniem wzoru β =α h L i ( t ) k n, z uwzględnieniem, że i RLz = i RLx. Na podstawie I prawa Kirchhoffa zapisano równanie: i RLz + PwRLziRLy = 0, () 0 gdzie P wrlz = 0 macierz incydencji wewnętrznych połączeń 0 zagregowanego elementu RLz. Po przekształceniach równań (), (2) oraz () otrzymano następujące zależności do wyznaczania wartości macierzy A RLz oraz wektora B RLz w zewnętrznym równaniu irlz + ARLzv RLz + BRLz = 0 liniowego trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego (rys. ): A RLz = HPwRLzARLy, () B RLz = HPwRLz( ARLya RLxBRLx + BRLy), gdzie = ( P A a ) H wrlz RLy RLx. Wartości prądów elementu strukturalnego RLy oblicza się ze wzoru: irly = ARLy( arlx( irlz + BRLx) + vrlz) BRLy. (5) Wektor potencjałów węzłów wewnętrznych zagregowanego elementu strukturalnego RLz wyznacza się, przekształcając równanie (2) v = a i + B + v. () w RLx ( RLz RLx) RLz
Model matematyczny zagregowanego elementu układu elektrycznego w 07 Przykład modelu matematycznego tranzystorowego przekształtnika z kondensatorem i trójfazowym dławikiem, jako trójfazowego zagregowanego elementu strukturalnego (trójbiegunnika elektrycznego), przy zastosowaniu modelowania matematycznego z elementami RLC, przedstawiono w pracy [].. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA MODELU ZAGREGOWANEGO TRÓJFAZOWEGO ELEMENTU UKŁADU ELEKTRYCZNEGO Na rysunku 2 przedstawiono schemat zastępczy przykładowego układu elektrycznego. Modelowany układ elektryczny składa się z połączenia dwudziestu pięciu elementów strukturalnych 25. Przy tak wyodrębnionych elementach strukturalnych w analizowanym układzie elektrycznym występuje w sposób jawny 9 węzłów. Każdy sześciobiegunnik posiada sześć węzłów zewnętrznych, teoretycznie każdy ma inną wartość potencjału elektrycznego oraz trzy prądy zewnętrzne (odpowiednie pary węzłów zewnętrznych wielobiegunników połączone są jedną gałęzią). W dwóch elementach strukturalnych (2 i 25) występują po dwie zmienne na jedną fazę, a w pozostałych 2 elementach po jednej zmiennej na fazę. W analizowanym układzie elektrycznym występuje zatem 8 zmiennych, których wartości muszą być obliczane w każdym kroku całkowania. Zadaniem jest skonstruowanie symulatora do badania stanów przejściowych i ustalonych w przykładowym układzie elektrycznym (rys. 2), który ma współpracować z rzeczywistymi urządzeniami zewnętrznymi. Z uwagi na to ostatnie określa się wartość kwantu czasu pracy symulatora równą 0,2 ms. Z tego wynika wartość programowego kroku całkowania równań występujących w modelu matematycznym układu również równa 0,2 ms. Chociaż można przyjąć, że możliwe jest wykonywanie obliczeń z programowym krokiem całkowania mniejszym niż kwant czasu pracy symulatora. Wówczas w jednym kwancie czasu pracy symulatora wykona się k kroków całkowania z h równym kwantowi czasu pracy symulatora podzielonym przez k. W praktyce, jeżeli taka sytuacja jest możliwa, odpowiednio zmniejsza się kwant czasu pracy symulatora. Badania eksperymentalne modelu matematycznego przykładowego układu elektrycznego wykonywane były na platformie cyfrowej (platforma nr ) opartej na komputerze osobistym z sześciordzeniowym procesorem Intel Core i7 970 @,20 GHz, 597 MHz (pamięć fizyczna,00 GB, dostępna pamięć fizyczna,5 GB, całkowity rozmiar pamięci wirtualnej 2,0 GB, dostępna pamięć wirtualna 0, GB). Wykorzystano klasyczny -bitowy system operacyjny Microsoft Windows 7 Professional (..70 Service Pack ). Wyniki eksperymentów z zastosowaniem zagregowanego modelu matematycznego elementu strukturalnego oznaczonego symbolem 78, który zastępuje dwa elementy strukturalne 7 i 8 (rys. 2) przedstawiono na rys..
08 Sławomir Cieślik Zastosowanie zagregowanego elementu strukturalnego ma na celu przeniesienie określonych węzłów układu elektrycznego do wewnątrz zagregowanego elementu strukturalnego, co w efekcie prowadzi do zmniejszenia liczby równań do rozwiązania i przyspieszenia obliczeń. Potwierdzają to wyniki eksperymentu przedstawione na rys.. 5 2 5 2 2 v v 2 v 2 5 2 v v 7 v 8 2 5 2 5 9 2 v 0 v v 2 5 2 5 0 2 5 2 5 8 2 v 7 5 v v 5 v 5 2 v 8 v 9 v 0 5 7 2 9 2 5 25 v v 5 v 5 2 v 7 v 8 v 9 5 2 2 5 v 22 v 20 v 2 v 2 v 2 v 25 7 v 2 v 27 v 29 v 28 20 5 2 2 v v v 5 5 22 2 v v 2 v 5 8 2 Rys. 2. Schemat zastępczy analizowanego układu elektrycznego [2] Rys.. Czas wykonania fragmentu obliczeń w jednym kroku całkowania w symulatorze stanów przejściowych układu elektrycznego (rys. 2) z zastosowaniem modelu zagregowanego elementu 78 [2]
Model matematyczny zagregowanego elementu układu elektrycznego w 09. WNIOSEK Pokazano na przykładzie liniowego trójfazowego elementu strukturalnego możliwość konstruowania zagregowanego modelu matematycznego jako połączenie przynajmniej dwóch podstawowych elementów strukturalnych, w którym w sposób jawny wyróżnione są wewnętrzne węzły obwodu elektrycznego (w tej sytuacji węzeł jest traktowany jako połączenie minimum trzech gałęzi). Wykazano, że użycie zagregowanego modelu powoduje przeniesienie określonych węzłów układu elektrycznego do wewnątrz elementu strukturalnego, co przy zastosowaniu obliczeń równoległych skróci czas otrzymywania wyników dla całego układu elektrycznego. LITERATURA [] Cieślik S., Modelowanie matematyczne i symulacja układów elektroenergetycznych z generatorami indukcyjnymi. Wyd. Uczelniane Uniwersytetu Technologiczno-Przyrodniczego, Bydgoszcz 2008. [2] Cieślik S., Obwodowe modele układów elektrycznych w cyfrowych symulatorach pracujących w czasie rzeczywistym. Wyd. Politechn. Poznańskiej 20. [] Drechny M., Możliwości zastosowania obliczeń równoległych w elektroenergetyce. Rynek Energii, nr (0), 202, s. 70. [] Glossary of Software Engineering Terminology. IEEE/ANSI Standard 729, 98. [5] Karbowski A., Niewiadomska-Szynkiewicz E. (red.), Programowanie równoległe i rozproszone. Warszawa, Oficyna Wyd. Politechn. Warszawskiej 2009. [] Standard Computer Dictionary, IEEE Std 0, 990. MATHEMATICAL MODEL OF INTEGRATED UNIT OF ELECTRIC POWER SYSTEM IN REAL-TIME DIGITAL SIMULATORS This paper presents the concept of a mathematical model of a theintegrated unit of the electrical power system used in real-time digital simulators. In this type of simulators, in addition to adequate accuracy of the results, it is important computation time. The use of the proposed model with the decomposition of the electrical system model for parallel computing reduces the number of equations in the system, whith is solved at each step of integration. Measurable effect of this is to obtain results in less time.