Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do zaj ęć laboratoryjnych z przedmiotu METOLOIA 2 Kod przedmiotu: F03022 Ć wiczenie pt. MOSTEK THOMSONA Numer ć wiczenia 06 Autor Dr inŝ. yszard Piotrowski Białystok 2006
1 1. Wprowadzenie M ostek Thomsona jest układem przeznaczonym do pomiaru szczególnie małych rezystancji od ułamków milioma (mω ) do kilku omów (Ω ). Są to rezystancje porównywalne z rezystancjami przewodów łączących, których obecność jest nieunikniona w kaŝdym układzie pomia rowym. Dla przykładu rezystancja mierzona w niniejszym ćwiczeniu ma wartość X 1 mω, tymczasem miedziany przewód łączący o długości 0,5 m i przekroju 1,5 mm 2 ma rezystancję p 6 mω (rys.1) A P X P B ys. 1. ezystancja mierzona x wraz z przewodami łączącymi. Próba pomiaru tak małej rezystancji w układzie mostka Wheatstone a zakończyłaby się wynikiem obarczonym olbrzymim błędem. Na rys.1 przedstawione jest jedno z czterech ramion mostka Wheatstone a. Pomijając inne aspekty mające wpływ na błąd pomiaru, naleŝy zauwaŝyć, Ŝe w układzie tego mostka zostałaby zmierzona rezystancja całej gałęzi AB. Jej wartość dla przytoczonych wyŝej wartości rezystancji X, P wyniosłaby: AB = x + 2 p = 13 mω Wynik pomiaru trzynastokrotnie przewyŝszałby więc wartość rzeczywistą rezystancji x, zaś błędy pomiaru wyniosłyby odpowiednio: a) błąd bezwzględny: b) błąd względny: = AB x = 12 mω = 100 % = 1200% δ!!! x
2 Zaproponowany w roku 1862 przez fizyka angielskiego Williama Thomsona (od roku 1892 lorda Kelvina) układ do pomiaru małych rezystancji wywodzi się z układu mostka Wheatstone a, którego schemat ideowy przedstawiony jest na rys. 2. B C D E F A 1 I 2 3 U Z ys. 2. Schemat ideowy mostka Wheatstone a zawierającego bardzo małe rezystancje 1, 2 Na schemacie tym pogrubiono cztery odcinki przewodów łączących: AB, CD, DE, F. Ich rezystancje są porównywalne z rezystancjami rezystorów 1, 2 i odgrywają znaczącą rolę w górnych ramionach mostka. Natomiast rezystancje 3, mają wartości rzędu co najmniej kilkuset omów (często kilku lub kilkunastu kiloomów), wobec czego wpływ przewodów występujących wokół nich moŝna całkowicie zaniedbać. Wyjaśnijmy jeszcze, Ŝe potrzeba pomiaru bardzo małej rezystancji 1, pociąga za sobą konieczność włączenia do układu jeszcze jednej rezystancji tego samego rzędu. Z analizy błędu nieczułości mostka Wheatstone a wynika, Ŝe powinna nią być rezystancja 2. Kwestia ta jest szczegółowo omawiana na wykładzie dotyczącym mostka Wheatstone a. Pierwszym krokiem na drodze przekształcania układu mostka Wheatstone a w układ mostka Thomsona jest przeniesienie odcinków AB oraz F przewodów łączących do tych gałęzi mostka, w których są one nieszkodliwe, a więc do gałęzi zawierających duŝe rezystancje 3,. Osiąga się to przez doprowadzenie przewodów biegnących od źródła zasilania bezpośrednio do zacisków B i F małych rezystancji 1, 2. ezultat takiego zabiegu przedstawiono na rys. 3. Dla układu mostka Wheatstone a z rys. 3 napiszemy równanie pomiaru, uwzględniając w nim rezystancje przewodów CD i DE. ( 1 CD ) = ( 2 + DE ) 3 + (1)
3 Dzieląc obie strony równania (1) przez wyraŝenie 3, otrzymuje się zaleŝność (2 1 CD 2 DE + = + (2) 3 Z zaleŝności tej wynika, Ŝe gdyby spełniony został warunek (3), 3 CD DE = (3) 3 lub, co na jedno wychodzi, warunek (), DE 3 = CD () to z równania pomiaru (1) znikłyby pasoŝytnicze rezystancje CD i DE przewodów CD i DE i równanie to przyjęłoby postać (5) =, (5) 1 23 to znaczy zawierałoby jedynie rezystancje rezystorów występujących w ramionach mostka. B C D E F A 1 I 2 3 U Z ys. 3. Schemat układu mostka Wheatstone a po zmianie punktów przyłączenia przewodów biegnących od źródła zasilania Z warunku () wynika, Ŝe rozwiązanie problemu leŝy w znalezieniu właściwego połoŝenia punktu D, który powinien dzielić odcinek przewodu CE na takie dwie części, których rezystancje miałyby się do siebie jak 3 do. Praktyczna realizacja tej idei byłaby kłopotliwa z uwagi na niewielkie wartości rezystancji, z jakimi ma się tutaj do czynienia. Zamiast więc dzielić odcinek CE, dzieli się spadek napięcia na nim przy pomocy rezystancyjnego
dzielnika złoŝonego z rezystorów 3, (rys. ) spełniających warunek (6), identyczny z warunkiem (). 3 3 = (6) Poprawność tego rozwiązania układowego nie jest oczywista i wymaga dowodu, który podajemy niŝej. Znajomość tego dowodu nie jest dla studentów obowiązkowa. Układ przedstawiony na rys. jest juŝ układem mostka Thomsona, narysowanym w dość nietypowy sposób, pokazującym jednak charakterystyczne cechy tego mostka, to znaczy sposób prowadzenia przewodów od ź ródła zasilania oraz obecność dzielnika napięcia 3,. B C D E F A 1 H 2 3 3 U Z ys.. Schemat ideowy mostka Thomsona Chcąc dowieść prawdziwości warunku (6), przekształcimy trójkąt rezystancji CE, 3, (rezystancje przewodów występujących wokół 3, są do pominięcia wobec znacznej rezystancji tych ostatnich) w równowaŝną gwiazdę rezystancji A, B, C. Otrzymany w wyniku tego przekształcenia układ, przedstawiony jest na rys. 5. Przy czym:
5 A B C CE CE 3 + 3 + = (7) CE CE + 3 + = (8) CE 3 + 3 + = (9) 1 C A B E 2 C 3 H U Z ys. 5. ównowaŝna gwiazda rezystancji A, B, C Dla czteroramiennego mostka z rysunku 5 moŝna napisać teraz znane równanie pomiaru dla mostka Wheatstone a: ( 1 + A ) = ( 2 + B ) 3 Dzieląc obie strony tego równania przez wyraŝenie 3, otrzymujemy zaleŝność (10) 1 A 2 B + = + (10) JeŜeli w równaniu pomiaru (10) mają występować tylko rezystancje 3 1, 2, 3,, trzeba, aby spełnione była równość: 3
6 lub, co na jedno wychodzi: A B =, 3 A 3 = (11) Podstawiając do (11) zaleŝności (7), (8), otrzymuje się po przekształceniach: czyli warunek (6), co naleŝało wykazać. B 3 3 =, W literaturze spotyka się najczęściej schemat ideowy mostka Thomsona przedstawiony na rys.6, nie róŝniący się ideowo od mostka z rysunku. 1 2 3 3 U Z ys. 6. Uporządkowany schemat mostka Thomsona W mostku z rysunku 6 rezystory 3 i 3 sprzęŝone są mechanicznie dzięki czemu w kaŝdej chwili ich rezystancje są sobie równe. To samo dotyczy rezystorów i. ozwiązanie takie ułatwia spełnienie warunku (6) podczas równowaŝenia mostka. ównowaŝenie odbywa się przez regulację tylko rezystancji 3 3. Zespół słuŝy do zmiany zakresu pomiarowego mostka.
7 Mostek Thomsona ma cztery zaciski wej ś ciowe Wskazane wydaje się pokazanie czytelnikowi schematu mostka Thomsona w sposób ukazujący wyraźnie cztery zaciski wejściowe. Pozwoli on zrozumieć konieczność łączenia rezystancji mierzonej z mostkiem czterema, a nie dwoma przewodami, co nie zawsze przestrzegane jest przez ćwiczących, szczególnie w przypadku, gdy przychodzi im korzystać z tak zwanego technicznego mostka Thomsona. Układ taki przedstawiony jest na rysunku 7. 1 1 2 3 2 3 3 U Z ys. 7. Mostek Thomsona ma cztery zaciski wejściowe W układzie mostka Thomsona istnieją gałęzie, w których płynie prąd o znacznym natęŝeniu. W mostku stosowanym w ćwiczeniu wynosi ono 20 A. Tak duŝy prąd potrzebny jest do wywołania na bardzo małych rezystancjach 1, 2 odczuwalnie duŝych spadków napięć zapewniających dostateczną czułość układu. Błąd podstawowy Bez dowodu podamy tu wyraŝenie na względny błąd graniczny pomiaru rezystancji mostkiem Thomsona. Dany jest on zaleŝnością (12).
8 ( ) p δ 1 = δ 2 + δ 3 + δ + δ δ δ δ 3 + + + 3 + (12) 1 2 gdzie: P rezystancja przewodu łączącego rezystancje 1 i 2 JeŜeli rezystancja P ma pomijalnie małą wartość (jest nią np. gruby płaskownik miedziany), wówczas błąd wyraŝają dostatecznie dobrze trzy pierwsze składniki wyraŝenia (12), które staje się wtedy identyczne z zaleŝnością wraŝającą analogiczny błąd mostka dotyczącym mostka Wheatstone a. Błąd nieczułości Bez dowodu podajemy niŝej wyraŝenie na błąd nieczułości mostka Thomsona. [ ( ) ] ( ) [ ] ( 2 3 + 2 + ) 3 + + + + da 1 3 p 3 2 3 p δ n = U S z p I + + ( p) ( ) ( + + ) [ ] ( ) + + 2 + + + da (13) 1 2 3 3 3 U S z 2 3 2 p 3 I gdzie: U z napięcie zasilające rezystancja wewnętrzna galwanometru P rezystancja przewodu łączącego rezystancje 1, 2 S I czułość prądowa galwanometru da najmniejsze dostrzegalne przemieszczenie wskazówki galwanome tru (przyjmuje się umownie da = 0,1 mm) 2. Przebieg ćwiczenia Na wstępie naleŝy zmierzyć wskazaną przez prowadzącego rezystancję x technicznym mostkiem Thomsona typu TMT2. Jest to niezbędne do sprawnego i bezpiecznego przeprowadzenia zasadniczego pomiaru rezystancji mostkiem laboratoryjnym
9 Techniczny mostek Thomsona Techniczny mostek Thomsona uŝywany jest w laboratorium do zgrubnego pomiaru nieznanej rezystancji x, co pozwala na prawidłowe nastawienie parametrów mostka laboratoryjnego i przy ś pieszenie jego równowaŝenia.. Mostek techniczny ma niewielkie rozmiary i jest łatwy w obsłudze. Na rys.8 przedstawiono sposób przyłączania do mostka rezystancji mierzonej X czterozaciskowej i dwuzaciskowej. W obydwu przypadkach konieczne jest uŝycie czterech przewodów ł ą cz ą cych. Wszystkie usprawnienia stosowane niekiedy przez adeptów sztuki mierzenia, a polegaj ą ce na zwieraniu par zacisków wejściowych i przył ą czaniu rezystancji mierzonej tylko dwoma przewodami, powoduj ą powstawanie kilkusetprocentowych błędów pomiaru. x xx T T ys. 8. Sposób przyłączania do mostka Thomsona rezystancji mierzonych: czterozaciskowej i dwuzaciskowej. Mostek techniczny typu TMT2 jest zasilany z baterii płaskiej,5v ; przystosowany jest jednak takŝe do zasilania ze źródła zewnętrznego. Podczas ć wiczenia mostek naleŝy zasili ć z zasilacza stabilizowanego. Wynik pomiaru rezystancji mostkiem technicznym:
10 X =...Ω Wynik pomiaru, w celu jego weryfikacji, naleŝy podać prowadzącemu ćwiczenie. Pomiar rezystancji laboratoryjnym mostkiem Thomsona Schemat układu laboratoryjnego mostka Thomsona przedstawiono na rysunku 9 Z S I p 1 = X P 2 = W Z + N + X T W 100 10 1 T 0,1 = x x 100 x 10 9 9 x 1 9 9 x 0,1 9 ys. 9. Schemat laboratoryjnego układu mostka Thomsona Opis elementów mostka ZS zasilacz stabilizowany o duŝej wydajności prądowej rezystor drutowy o rezystancji 0,6 Ω 1 = X rezystancja mierzona (bocznik amperomierza magnetoelektrycznego)
11 2 = W rezystor wzorcowy (0,001Ω) P szyna miedziana galwanometr magnetoelektryczny Z zwieracz galwanometru ( 0,1) przełącznik (włącznik) galwanometru: pozycja 0,1 oznacza ograniczoną czułość galwanometru pozycja oznacza pełną czułość galwanometru w pozycji środkowej galwanometr jest odłączony od układu N, X T pary zacisków, do których doprowadzane są spadki napięć na rezystorach X i W (miejsce przyłączenia poszczególnych napięć zaleŝy od wartości rezystancji W zmierzonej mostkiem technicznym patrz Tablica 1 W rezystor odpowiadający rezystorowi T rezystor odpowiadający rezystorowi W kaŝdej chwili powinno być W = T pięciodekadowy zespół sprzęŝonych mechanicznie rezystorów 3, 3 słuŝący do równowaŝenia mostka Zasady zestawiania laboratoryjnego mostka Thomsona 1. Na wstępie naleŝy ustalić miejsca przyłączenia rezystancji x oraz w. Biorąc pod uwagę wynik dokonanego poprzednio pomiaru rezystancji X mostkiem technicznym naleŝy zdecydować: a) gdy X 0,001 Ω naleŝy przyłączyć X do zac. X T zaś W do zac. N b) gdy X < 0,001 Ω naleŝy przyłączyć X do zac. N zaś W do zac. X T 2. W kolejnym kroku naleŝy dokonać wyboru wartości rezystancji rezystora wzorcowego w oraz rezystorów W, T. Wyboru W, W, T dokonuje się według wskazań Tablicy 1. 3. ZaleŜnie od miejsca przyłączenia rezystora X (tzn. do zacisku N lub X T ) naleŝy przyjąć do dalszych obliczeń jedno z dwóch równań pomiaru: dla przypadku a) obowiązuje zaleŝność: dla przypadku b) obowiązuje zaleŝność: T T = x w (13) = x w (1) Zasady zawarte w punktach 1, 2, 3 ujmuje wyczerpująco Tablica 1.
12 Tablica 1 Przedziały wartości X X X T W N X = W T X N W X T X = W T X W T W W T W Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω 10,1 0,10,01 0,010,001 0,0010,0001 0,00010,00001 0,000010,000001 0,1 0,01 0,001 0,001 0,001 0,001 100 10 100 10 Przebieg pomiarów Czynności przygotowawcze Po zmontowaniu układu pomiarowego według schematu z rysunku 9., naleŝy nastawić określone parametry mostka tak, aby był on w stanie zbli Ŝ onym do stanu równowagi. Przyśpiesza to osiągnięcie stanu równowagi i zapobiega ewentualnemu uszkodzeniu czułego galwanometru laboratoryjnego. PrzybliŜony stan równowagi uzyskuje się, nastawiając odpowiednią wartość pięciodekadowego rezystora, którą oblicza się z zaleŝności (13) lub (1), podstawiając w niej w miejsce X wynik pomiaru rezystancji mostkiem technicznym. Wartości rezystorów W, T ustala się przy pomocy przełączników kołkowych na podstawie Tablicy 1. Jak wiadomo, powinno być zawsze W = T. Kolejną operacją przygotowawczą jest wyzerowanie galwanometru. Przy otwartym zwieraczu Z naleŝy ustawić świetlną wskazówką galwanometru na zerowej kresce działowej. W wypadku gdy występują trudności w całkowitym stłumieniu oscylacji wskazówki, przyrząd uwaŝa się za wyzerowany, gdy lewa amplituda oscylacji wokół połoŝenia zerowego jest równa amplitudzie prawej. Po wyzerowaniu nie naleŝy zmieniać miejsca ustawienia galwanometru na stole. Pomiar rezystancji x 1. Włącz napięcie zasilające zasilacza stabilizowanego ZS. Następnie przy pomocy regulatorów napięcia i prądu występujących w tym zasilaczu nastaw prąd pomocniczy I P =20 A.
13 2. Przełącznik galwanometru ustaw w pozycji 0,1 (ograniczona czułość). egulując rezystancję pięciodekadowego rezystora, doprowadź wskazanie galwanometru do zera. Ustaw następnie przełącznik galwanometru w poło Ŝ enie (pełna czułość) i w przypadku gdy wskazania galwanometru oka Ŝ ą się ró Ŝ ne od zera, podobnie jak poprzednio zrównowa Ŝ mostek. Wartość rezystancji, dla której uzyskano zerowe wskazanie galwanometru zapisz w Tablicy 2. Poszukiwaną wartość X oblicz ze wzoru (13) lub (1), zale Ŝ nie od wyniku uzyskanego podczas pomiaru wstępnego przy u Ŝ yciu mostka technicznego. Tablica 2 X =... Ω (wynik pomiaru mostkiem technicznym) W = 0,001 Ω W = T =... Ω I P = 20 A Numer pomiaru 1 2 3 X Ω Ω XŚ =... Ω Pomiar nale Ŝ y powtórzyć trzykrotnie, wskazane jest przy tym, aby za ka Ŝ dym razem dokonywała tego inna osoba z grupy laboratoryjnej. Je Ŝ eli poszczególne wyniki ró Ŝ nią się nieznacznie między sobą, obliczamy ich średnią arytmetyczną. Wyznaczanie błędu nieczułości mostka Definicja błędu nieczułości Bezwzględnym błędem nieczułości mostka n nazywa się największy przyrost X rezystancji mierzonej X, nie powodujący jeszcze dostrzegalnego przemieszczenia wskazówki świetlnej galwanometru. W praktyce stosuje się uŝytkową definicję tego błędu. Bezwzględnym błędem nieczułości mostka n nazywa się przyrost X rezystancji mierzonej X powodujący najmniejsze dostrzegalne przemieszczenie wskazówki świetlnej galwanometru a. Jego wartość przyjmuje się umownie za równą 0,1 mm. Zgodnie z tym ostatnim określeniem, n = X (dla a = 0,1 mm) (15)
1 Względny błąd nieczułości natomiast definiuje się następująco: = n δ n (16) X Odstępstwa od definicji Zgodnie z podaną wyŝej definicją błędu nieczułości doświadczalne wyznaczanie błędu nieczułości wymaga płynnej regulacji rezystancji mierzonej X. W znakomitej większości przypadków jest to niemoŝliwe, bowiem rezystory mierzone nie są na ogół regulowane. Ma to miejsce takŝe w niniejszym ć wiczeniu, dlatego definicje (15), (16) stosowane będą tutaj w odniesieniu do rezystancji słuŝącej do równowaŝenia mostka. Poza tym przemieszczanie wskazówki galwanometru o definicyjną wartoś ć a = 0,1 mm jest praktycznie niewykonalne, dlatego w ć wiczeniu zaleca się zmianę rezystancji o taką wartoś ć, która wywoła przemieszczenie wskazówki o a = 5 mm, a następnie obliczenie bezwzględnego błędu nieczułości według wzoru (17) n = = 0, 02 50 (17) który pozwala na drodze teoretycznej ustali ć wartoś ć niezbędną do przemieszczenia wskazówki o a = 0,1 mm. Błąd względny oblicza się natomiast według wzoru (18) n δ n = 100% (18) gdzie: wartoś ć rezystancji pięciodekadowego rezystora mostka w stanie równowagi mostka. Przebieg pomiarów Pomiary błędu nieczułości odbywają się w układzie przedstawionym na rysunku 9. według następującego porządku. 1. Nastaw prąd pomocniczy I P = 20 A 2. ZrównowaŜ mostek, i zanotuj w Tablicy 3 wartoś ć rezystancji uzyskaną dla prądu galwanometru I = 0. Następnie poprzez regulację tego samego rezystora uzyskaj odchylenie wskazówki galwanometru o a = 5 mm od połoŝenia zerowego w dowolną stronę.
15 3. T ę nową wartość rezystancji ( )zanotuj w odpowiedniej rubryce Tablicy 3. Ze wzorów (17), (18) oblicz bł ę dy nieczułości n i δ n.. Eksperyment powtórz dla róŝnych wartości prądu pomocniczego I p, wskazanych w Tablicy 3, co pozwoli później wykreślić zaleŝność bł ę du nieczułości δ n od prądu pomocniczego I P. Tablica 3 I P A 20 16 12 8 (I = 0) Ω ( a = 5mm) Ω = n Ω Ω δ n % W sprawozdaniu naleŝ y: Sporządzić wykres zaleŝności wzgl ę dnego bł ę du nieczułości δ n od prądu = f I pomocniczego I P : δ n ( p ) Wyjaśnić, dlaczego błąd nieczułości zaleŝy od wartości prądu I P 3. Pytania i zadania kontrolne 2. Dlaczego bardzo małych rezystancji nie mierzy si ę mostkiem Wheatstone a? 3. Narysuj schemat ideowy mostka Thomsona.. Które rezystancje mostka Thomsona mają b. małe wartości, a które duŝe? 5. Jaki warunek spełniać muszą rezystancje 3, (rys. )? 6. Napisz warunek równowagi mostka Thomsona (rys. ). 7. PokaŜ na schemacie ideowym mostka drog ę przepływu prądu o nat ę Ŝeniu 20 A. 8. Dlaczego w mostku Thomsona wymagany jest przepływ przez bardzo małe rezystancje stosunkowo duŝego prądu pomocniczego? 9. Przedstaw sposób przyłączenia do technicznego mostka Thomsona rezystora a) dwuzaciskowego, b) czterozaciskowego.
16. Literatura 1. Lebson S. Podstawy miernictwa elektrycznego WNT, Warszawa 1972 2. Chwaleba A. i inni Metrologia elektryczna WNT, Warszawa 2003 Wymagania BHP Warunkiem przystąpienia do praktycznej realizacji ćwiczenia jest zapoznanie si ę z instrukcją BHP i instrukcją przeciw poŝarową oraz przestrzeganie zasad w nich zawartych. Wybrane urządzenia dost ę pne na stanowisku laboratoryjnym mogą posiadać instrukcje stanowiskowe. Przed rozpocz ę ciem pracy naleŝy zapoznać si ę z instrukcjami stanowiskowymi wskazanymi przez prowadzącego. W trakcie zaj ę ć laboratoryjnych naleŝy przestrzegać nast ę pujących zasad. Sprawdzić, czy urządzenia dost ę pne na stanowisku laboratoryjnym są w stanie kompletnym, nie wskazującym na fizyczne uszkodzenie. Sprawdzić prawidłowość połączeń urządzeń. Załączenie napi ę cia do układu pomiarowego moŝe si ę odbywać po wyraŝeniu zgody przez prowadzącego. Przyrządy pomiarowe naleŝy ustawić w sposób zapewniający stałą obserwacj ę, bez konieczności nachylania si ę nad innymi elementami układu znajdującymi si ę pod napi ę ciem. Zabronione jest dokonywanie jakichkolwiek przełączeń oraz wymiana elementów składowych stanowiska pod napi ę ciem. Zmiana konfiguracji stanowiska i połączeń w badanym układzie moŝe si ę odbywać wyłącznie w porozumieniu z prowadzącym zaj ę cia. W przypadku zaniku napi ę cia zasilającego naleŝy niezwłocznie wyłączyć wszystkie urządzenia. Stwierdzone wszelkie braki w wyposaŝeniu stanowiska oraz nieprawidłowości w funkcjonowaniu sprz ę tu naleŝy przekazywać prowadzącemu zaj ę cia. Zabrania si ę samodzielnego włączania, manipulowania i korzystania z urządzeń nie naleŝących do danego ćwiczenia. W przypadku wystąpienia poraŝenia prądem elektrycznym naleŝy niezwłocznie wyłączyć zasilanie stanowisk laboratoryjnych za pomocą wyłącznika bezpieczeństwa, dost ę pnego na kaŝdej tablicy rozdzielczej w laboratorium. Przed odłączeniem napi ę cia nie dotykać poraŝonego.