Plan wynikowy klasa 2

Plan wynikowy klasa 2 Przedmiot: matematyka Klasa 2 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 36 tyg. 3 h = 108 h (94 h + 14 h do dyspozycji nauczyciela) zakres rozszerzony: 36 tyg. 5 h = 180 h (156 h + 24 h do dyspozycji nauczyciela) np. oznaczenie P-1 zakres podstawowy 1 h, zakres rozszerzony 2 h P i PP dla zakresu podstawowego jasną czcionką. dla zakresu rozszerzonego obejmują wszystkie wymagania dla zakresu podstawowego i dodatkowo wymagania zapisane czcionką półgrubą. I. Planimetria, cz. 1 1. Podstawowe pojęcia geometryczne 2. Współliniowość punktów. Nierówność trójkąta P-1 R-1 rozróżnia podstawowe figury: punkt, prosta, półprosta, płaszczyzna, okrąg, koło, łuk zna pojęcia: figura wypukła i figura wklęsła określa wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie zna pojęcie odległości na płaszczyźnie rozumie pojęcie odległości wyznacza odległości: dwóch punktów, punktu od prostej, dwóch prostych równoległych bada współliniowość punktów zapisuje relacje między podstawowymi figurami na płaszczyźnie wyznacza sumę, różnicę i część wspólną figur na płaszczyźnie bada współliniowość punktów korzysta z nierówności trójkąta rozwiązuje nietypowe zadania o podwyższonym stopniu dotyczące odcinków, prostych i półprostych 5

6 3. Kąty i ich rodzaje 4. Wzajemne położenie prostej i okręgu 5. Wzajemne położenie dwóch okręgów 6. Kąty w okręgu. Kąty środkowe, wpisane i dopisane P-1 R-1 zna podział kątów ze względu na ich miarę zna pojęcia: kąt przyległy i kąt wierzchołkowy oraz stosuje ich własności do rozwiązywania prostych zadań zna podział trójkątów ze względu na długości boków i miary kątów zna określenie stycznej do okręgu (koła) bada wzajemne położenie prostej i okręgu konstruuje styczną do okręgu przechodzącą przez punkt leżący na okręgu oraz przez punkt leżący poza okręgiem zna twierdzenie o stycznej do okręgu i wykorzystuje je do rozwiązywania prostych zadań zna pojęcie siecznej okręgu (koła) zna twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu określa wzajemne położenie dwóch okręgów w zależności od odległości środków tych okręgów i od długości ich promieni zna pojęcia: kąt środkowy w okręgu, kąt wpisany w okrąg zna twierdzenie dotyczące kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku oraz stosuje je do rozwiązywania prostych zadań zna pojęcie kąta dopisanego do okręgu zna twierdzenie dotyczące kąta wpisanego i dopisanego opartego na tym samym łuku zna rodzaje kątów powstałych w wyniku przecięcia dwóch prostych równoległych trzecią prostą uzasadnia, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180 zna pojęcie kąta zewnętrznego wielokąta potrafi uzasadnić, że suma kątów zewnętrznych w wielokącie jest stała rozwiązuje nietypowe zadania o podwyższonym stopniu dotyczące kątów uzasadnia poprawność konstrukcji stycznych do okręgu rozwiązuje nietypowe zadania o podwyższonym stopniu dotyczące stycznych do okręgu stosuje twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu do rozwiązywania zadań potrafi udowodnić twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu potrafi uzasadnić wzajemne położenie dwóch okręgów bada warunki, jakie muszą być spełnione, aby okręgi były styczne zewnętrznie lub wewnętrznie, rozłączne zewnętrznie lub wewnętrznie, przecinające się potrafi udowodnić twierdzenie dotyczące kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku uzasadnia, że miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanego w okrąg, opartego na tym samym łuku rozwiązuje nietypowe zadania o podwyższonym stopniu dotyczące kątów: środkowych, wpisanych i dopisanych w okręgu Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

7. Okrąg opisany na trójkącie 8. Okrąg wpisany w trójkąt R-1 R-1 zna pojęcie symetralnej odcinka konstruuje symetralną odcinka wyznacza środek okręgu opisanego na trójkącie konstruuje okrąg opisany na trójkącie zna pojęcie dwusiecznej kąta konstruuje dwusieczną kąta wyznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt konstruuje okrąg wpisany w trójkąt uzasadnia położenie środka okręgu opisanego na dowolnym trójkącie oblicza długość promienia okręgu opisanego na trójkątach: równoramiennym, równobocznym, prostokątnym uzasadnia, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie wykorzystuje wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny w zależności od długości boków tego trójkąta zna i stosuje wzór na pole trójkąta w zależności od jego obwodu i promienia okręgu wpisanego w trójkąt dotyczące okręgów wpisanych i opisanych na trójkącie Plan wynikowy klasa 2 9. Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa zna twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa zna twierdzenie Talesa oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa wykorzystuje twierdzenia do rozwiązywania problemów matematycznych potrafi udowodnić twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa potrafi ocenić, czy trójkąt jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny, oraz to uzasadnić stosuje poznane twierdzenia do rozwiązywania nietypowych zadań 10. Trójkąty i ich punkty szczególne. Twierdzenie o dwusiecznej kąta zna pojęcie ortocentrum trójkąta wykorzystuje związek między środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt zna pojęcie środkowej trójkąta zna twierdzenie o środkowych trójkąta i stosuje je do rozwiązywania zadań zna pojęcie środka ciężkości trójkąta zna twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie uzasadnia, że w trójkącie środkowe dzielą się w stosunku 1 : 2 stosuje poznane twierdzenia do rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu stosuje twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trójkąta potrafi udowodnić twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trójkąta potrafi udowodnić twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie oraz stosować je w rozwiązywaniu zadań 7

8 II. Wielomiany 11. Trójkąty przystające 12. Trójkąty podobne 13. Twierdzenie o odcinkach siecznych 14. Praca klasowa i jej omówienie 1. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zna definicję trójkątów przystających oraz twierdzenie dotyczące cech przystawania trójkątów zna twierdzenie o cechach przystawania trójkątów prostokątnych rozpoznaje trójkąty przystające zna definicję trójkątów podobnych oraz twierdzenie dotyczące cech podobieństwa trójkątów zna twierdzenie o cechach podobieństwa trójkątów prostokątnych rozpoznaje trójkąty podobne zna twierdzenie o odcinkach stycznej i siecznej zna twierdzenie o odcinkach siecznych stosuje poznane twierdzenia w sytuacjach typowych P-3 uzasadnia przystawanie trójkątów, korzystając z twierdzenia o cechach przystawania trójkątów uzasadnia podobieństwo trójkątów, stosując twierdzenie o cechach podobieństwa trójkątów uzasadnia, że w trójkącie prostokątnym długość wysokości jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną potrafi udowodnić twierdzenie o odcinkach siecznych stosuje poznane twierdzenia do rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu K1 Planimetria, cz. 1 K1 zakres wymagań dla uczniów odróżnia wielomian od innych wyrażeń algebraicznych wskazuje jednomiany podobne dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany stosuje wzory skróconego mnożenia określa stopień jednomianu ze względu na każdą zmienną określa stopień wielomianu podaje przykłady wielomianów o określonych stopniach i określonych współczynnikach oraz o zadanej liczbie występujących zmiennych zna pojęcie jednomianu oraz wielomianu wielu zmiennych opisuje sytuacje spoza matematyki za pomocą wielomianów wielu zmiennych określa dziedzinę wyrażenia algebraicznego opisującego praktyczny problem rozwiązuje problemy o podwyższonym stopniu Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

2. Rozkładanie wielomianów na czynniki P-3 R-3 zna pojęcie jednomianu oraz wielomianu wielu zmiennych opisuje problemy zbliżone do sytuacji życiowych za pomocą wielomianów wielu zmiennych stosuje metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, gdy czynnik ten jest jednomianem, do rozkładania wielomianu na czynniki stosuje wzory skróconego mnożenia do rozkładania wielomianu na czynniki stosuje metodę grupowania wyrazów do rozkładania wielomianu na czynniki potrafi dobrać odpowiednią metodę spośród poznanych do rozkładania wielomianu na czynniki potrafi dobrać odpowiednią metodę spośród poznanych do rozkładania wielomianu na czynniki stosuje metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, gdy czynnik ten jest wielomianem Plan wynikowy klasa 2 3. Wielomiany jednej zmiennej wyznacza współczynniki wielomianu, gdy dane są wartości wielomianu dla określonych wartości zmiennej oblicza współczynnik przy zmiennej w dowolnej potędze bez wykonywania pełnego mnożenia wielomianów jednej zmiennej rozwiązuje problemy z wielomianami równymi zna i stosuje wzór ( x 1)(1 + x + + x n 1 ) = x n 1 4. Dzielenie wielomianów przez dwumian x a P-3 podaje przykłady wielomianów określonego stopnia R-3 o danych współczynnikach odróżnia wielomian stopnia zero od wielomianu zerowego oblicza wartość wielomianu dla danej wartości zmiennej porządkuje wielomian jednej zmiennej i określa jego stopień wyznacza współczynnik wielomianu, znając wartość wielomianu dla określonej wartości zmiennej rozpoznaje wielomiany równe wyznacza współczynniki wielomianu, gdy dane są wartości wielomianu dla określonych wartości zmiennej zna pojęcie podzielności wielomianu przez wielomian wykonuje dzielenie wielomianu przez dwumian x a rozwiązuje zadania dotyczące podzielności zna twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a wyznacza resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian x a potrafi wyznaczyć wielomian będący resztą z dzielenia wielomianu przez inny wielomian o znanych własnościach 9

10 5. Pierwiastki wielomianów jednej zmiennej. Twierdzenie Bézouta 6. Rozwiązywanie równań wielomianowych. Pierwiastki całkowite i pierwiastki wymierne wielomianu R-3 P-3 R-3 zna pojęcie pierwiastka wielomianu odczytuje pierwiastki, gdy wielomian jest dany w postaci iloczynowej sprawdza, czy podana liczba jest pierwiastkiem wielomianu wyznacza pierwiastki wielomianu, rozkładając go na czynniki określa wielomian dowolnego stopnia, gdy zna jego pierwiastki stosuje twierdzenie Bézouta przy badaniu podzielności wielomianu przez dwumian rozkłada wielomian na czynniki, gdy dany jest pierwiastek, a pozostałe pierwiastki znajduje, korzystając z twierdzenia Bézouta zna pojęcie krotności pierwiastka określa krotność pierwiastka wielomianu odróżnia równania wielomianowe od innych równań rozwiązuje proste równania wielomianowe, rozkładając wielomian na czynniki zna twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu zna twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu określa krotność pierwiastków, gdy wielomian jest określony w postaci iloczynu dwumianów wskazuje liczby całkowite, które mogą być pierwiastkami równania wielomianowego wskazuje liczby wymierne, które mogą być pierwiastkami równania wielomianowego zna pojęcie krotności pierwiastka określa krotność pierwiastka wielomianu rozwiązuje zadania z parametrem, w których trzeba wykorzystać twierdzenie Bézouta wskazuje liczby całkowite, które mogą być pierwiastkami równania wielomianowego rozwiązuje równania, które przyjmują postać równania wielomianowego po wprowadzeniu pomocniczej niewiadomej potrafi udowodnić twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu potrafi udowodnić twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu potrafi uzasadnić brak pierwiastków wymiernych wielomianu rozwiązuje równania z niewiadomą pod wartością bezwzględną, które prowadzą do rozwiązywania równań wielomianowych Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

7. Rozwiązywanie nierówności wielomianowych R-3 odczytuje rozwiązanie nierówności wielomianowej z wykresu wielomianu rozwiązuje nierówności wielomianowe, gdy wielomian zapisany jest w postaci iloczynowej rozwiązuje nierówności, sporządzając odpowiednie wykresy lub tabelkę znaków rozwiązuje nierówności wielomianowe, rozkładając wielomian na czynniki szkicuje wykres wielomianu rozwiązuje nierówności z niewiadomą pod wartością bezwzględną, które prowadzą do rozwiązywania nierówności wielomianowych rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych używa funkcji wielomianowych do opisywania różnych sytuacji, również spoza matematyki, i bada jej własności Plan wynikowy klasa 2 8. Zadania tekstowe z zastosowaniem równań i nierówności wielomianowych odczytuje potrzebne informacje i oblicza wskazane wielkości, gdy dana jest funkcja wielomianowa opisująca sytuację z życia codziennego opisuje objętość wielościanu za pomocą funkcji wielomianowej ustala dziedzinę funkcji opisującej objętość wielościanu 9. Praca klasowa i jej omówienie K2 Wielomiany K2 zakres wymagań dla uczniów III. Wyrażenia wymierne 1. Wyrażenia wymierne P-3 R-3 odróżnia wyrażenia wymierne od innych wyrażeń algebraicznych wyznacza dziedzinę wyrażenia wymiernego, jeśli mianownik jest wielomianem dającym się w łatwy sposób rozłożyć na czynniki oblicza wartość liczbową wyrażenia dla danej wartości zmiennej skraca i rozszerza wyrażenia wymierne wyznacza dziedzinę wyrażenia wymiernego, którego mianownik jest wielomianem dowolnego stopnia wyznacza dziedzinę wyrażenia wymiernego, którego mianownik jest wielomianem dowolnego stopnia stosuje wzory skróconego mnożenia przy sprowadzaniu wyrażeń do wspólnego mianownika 11

12 2. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych 3. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych 4. Rozwiązywanie równań wymiernych P-3 mnoży i dzieli wyrażenia wymierne sprowadza wynik mnożenia i dzielenia do postaci nieskracalnej stosuje wzory skróconego mnożenia do zapisywania wyrażenia w postaci nieskracalnej dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne sprowadza wynik dodawania i odejmowania do postaci nieskracalnej przekształca wyrażenia wymierne i wyznacza wskazane zmienne sprawnie wykonuje działania na wyrażeniach wymiernych stosuje wzory skróconego mnożenia przy sprowadzaniu wyrażeń do wspólnego mianownika i do zapisywania ich w postaci nieskracalnej odróżnia równania wymierne od innych równań rozwiązuje równania wymierne, które sprowadzają się do równań liniowych lub kwadratowych rozwiązuje równania wymierne, stosując własności proporcji rozwiązuje równania wymierne, sprowadzając je do równań wielomianowych rozwiązuje równania wymierne, sprowadzając je do równań wielomianowych z wprowadzoną pomocniczą niewiadomą stosuje wzory skróconego mnożenia do zapisywania wyrażenia w postaci nieskracalnej stosuje wzory skróconego mnożenia przy sprowadzaniu wyrażeń do wspólnego mianownika i do zapisywania ich w postaci nieskracalnej dowodzi tożsamości, w których występują wyrażenia wymierne rozwiązuje równania wymierne, dobierając odpowiedni algorytm rozwiązuje równania wymierne z wartością bezwzględną, sprowadzając je do równań wielomianowych bada liczbę rozwiązań równania wymiernego w zależności od wartości parametru Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

5. Rozwiązywanie nierówności wymiernych 6. Wielkości odwrotnie proporcjonalne 7. Wykres funkcji f (x) =, a 0, x 0 i jego przekształcanie 8. Zastosowanie wyrażeń wymiernych w zadaniach praktycznych 9. Praca klasowa i jej omówienie odczytuje rozwiązania nierówności wymiernych, gdy dane są wykresy odpowiednich funkcji wymiernych rozwiązuje nierówności wymierne, sporządzając wykresy odpowiednich funkcji liniowych lub kwadratowych R-3 sprawdza, czy dane wielkości są odwrotnie proporcjonalne sporządza wykres proporcjonalności odwrotnej rozwiązuje zadania tekstowe, stosując własności proporcjonalności odwrotnej szkicuje wykres funkcji f (x) =, gdy a 0, x 0 opisuje własności funkcji f (x) =, a 0, x 0: dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności, asymptoty, środek symetrii wykresu, osie symetrii wykresu potrafi wskazać hiperbolę xy = a wśród wykresów różnych funkcji szkicuje wykres funkcji f (x) = + q, a 0, x 0 i opisuje jej własności szkicuje wykres funkcji f (x) =, a 0, x 0 i opisuje jej własności rozwiązuje zadania tekstowe dotyczące drogi, prędkości i czasu prowadzące do rozwiązywania równań zapisanych w postaci proporcji rozwiązuje zadania tekstowe, korzystając z równań i nierówności wymiernych rozwiązuje nierówności wymierne, sprowadzając je do nierówności wielomianowych rozwiązuje nierówności wymierne różnymi metodami rozwiązuje nierówności wymierne z wartością bezwzględną rozwiązuje zadania tekstowe, w których występują wielkości odwrotnie proporcjonalne szkicuje wykres funkcji f (x) = + q, a 0, x 0 i opisuje jej własności szkicuje wykres funkcji f (x) =, a 0, x 0 i opisuje jej własności sporządza wykres funkcji f (x) = + q, a 0, x 0 i opisuje jej własności sporządza wykresy funkcji y = f (x) i y = f ( x ), gdy funkcja f jest dana wzorem f (x) = + q, a 0, x 0 rozwiązuje zadania tekstowe, których rozwiązywanie prowadzi do rozwiązania równań i nierówności wymiernych rozwiązuje zadania tekstowe o podwyższonym stopniu, korzystając z równań i nierówności wymiernych K3 Wyrażenia wymierne K3 zakres wymagań dla uczniów Plan wynikowy klasa 2 13

14 IV. Trygonometria, cz. 2 1. Miara łukowa kąta 2. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta 3. Wykresy funkcji trygonometrycznych 4. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów zna pojęcia: kąt skierowany, kąt umieszczony w układzie współrzędnych przedstawia kąt o dowolnej mierze stopniowej w postaci α = k 360 + β, gdzie 0 β < 360 i k C zna pojęcie miary łukowej i jej jednostki radiana zamienia stopnie na radiany i radiany na stopnie zna definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kąta, znając współrzędne punktu leżącego na ramieniu końcowym kąta określa znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych konstruuje kąty w układzie współrzędnych w oparciu o wartości funkcji trygonometrycznych R-3 szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych y = sin x, y = cos x, y = tg x i na podstawie wykresów określa własności tych funkcji oblicza wartości funkcji trygonometrycznych, stosując wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów zna i stosuje wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta do rozwiązywania problemów matematycznych oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, gdy dana jest wartość jednej z nich stosuje miarę łukową i stopniową kąta w różnych sytuacjach problemowych wyznacza, korzystając z definicji, wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, wykorzystując symetrie oblicza wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, korzystając z wzorów redukcyjnych zna i stosuje związki trygonometryczne dowolnego kąta do rozwiązywania problemów matematycznych szkicuje wykres funkcji trygonometrycznej y = ctg x szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych opisanych wzorem, stosując przekształcenia: symetrię względem osi x, symetrię względem osi y, symetrię względem punktu (0, 0), przesunięcie o wektor potrafi napisać wzór funkcji, której wykres otrzymano po danych przekształceniach uzasadnia wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

5. Tożsamości trygonometryczne 6. Wykresy funkcji y = k f (x), y = f (k x), gdzie f jest funkcją trygonometryczną przeprowadza proste dowody tożsamości trygonometrycznych, stosując poznane wzory szkicuje wykresy funkcji typu y = k f (x), y = f (k x), gdzie f jest funkcją trygonometryczną odczytuje z wykresów własności tych funkcji wskazuje okres podstawowy funkcji trygonometrycznej przeprowadza trudniejsze dowody tożsamości trygonometrycznych, stosując poznane wzory wyznacza dziedzinę równości będących tożsamościami trygonometrycznymi wskazuje wspólne własności funkcji f (x), k f (x) i f (k x) oraz własności różniące te funkcje wykorzystuje przekształcenia: symetrie, przesunięcie o wektor do szkicowania wykresów funkcji trygonometrycznych Plan wynikowy klasa 2 V. Ciągi 7. Równania i nierówności trygonometryczne 8. Praca klasowa i jej omówienie 1. Ciąg liczbowy R-3 R-3 rozpoznaje równania i nierówności trygonometryczne rozwiązuje proste równania i nierówności trygonometryczne na podstawie wykresów funkcji trygonometrycznych w określonych przedziałach rozwiązuje proste równania i nierówności trygonometryczne na podstawie wykresów funkcji trygonometrycznych w zbiorze liczb R oraz zapisuje ogólne rozwiązania równań i nierówności, stosując różne metody K4 Trygonometria, cz. 2 K4 zakres wymagań dla uczniów zna pojęcie ciągu liczbowego odróżnia ciągi skończone od ciągów nieskończonych oblicza dowolny wyraz ciągu, gdy dany jest wzór ogólny sporządza wykres ciągu sprawdza, czy podana liczba jest wyrazem ciągu, gdy prowadzi to do rozwiązania równania liniowego, kwadratowego lub prostego równania wielomianowego rozumie różnicę między symbolem ciągu ( a n ) a symbolem n-tego wyrazu ciągu a n rozumie różnicę między symbolem ciągu ( a n ) a symbolem n-tego wyrazu ciągu a n potrafi napisać wzór ciągu na podstawie jego kilku początkowych wyrazów sprawdza, czy podana liczba jest wyrazem ciągu, gdy prowadzi to do rozwiązania prostego równania wielomianowego lub wymiernego sprawdza, które wyrazy ciągu należą do danego przedziału 15

16 2. Ciąg arytmetyczny sprawdza, czy podana liczba jest wyrazem ciągu, gdy prowadzi to do rozwiązania równania wielomianowego, wymiernego rozpoznaje ciąg arytmetyczny na podstawie opisu słownego, wykresu lub kilku wypisanych wyrazów zna i stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu arytmetycznego rozwiązuje zadania, które dotyczą ciągu arytmetycznego, a ich rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi lub równań kwadratowych bada na podstawie definicji, czy ciąg dany wzorem ogólnym jest ciągiem arytmetycznym wyznacza różnicę ciągu na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu arytmetycznego, używając tylko opisu symbolicznego oblicza wyraz środkowy skończonego ciągu arytmetycznego rozwiązuje zadania dotyczące ciągu arytmetycznego, stosując odpowiedni algorytm wyznacza wyraz ciągu określonego wzorem rekurencyjnym podaje wzór rekurencyjny, gdy ciąg jest dany wzorem ogólnym podaje wzór ogólny, gdy ciąg jest dany wzorem rekurencyjnym bada na podstawie definicji, czy ciąg dany wzorem ogólnym jest ciągiem arytmetycznym wyznacza różnicę ciągu na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu arytmetycznego, używając tylko opisu symbolicznego oblicza wyraz środkowy skończonego ciągu arytmetycznego rozwiązuje zadania dotyczące ciągu arytmetycznego, stosując odpowiedni algorytm rozwiązuje zadania dotyczące ciągu arytmetycznego, korzystając z układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi lub równań kwadratowych o podwyższonym stopniu uzasadnia, np. dowodząc, własności ciągu arytmetycznego Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

3. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 4. Ciąg geometryczny R-3 zna wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w niezbyt skomplikowanych sytuacjach rozpoznaje ciągi arytmetyczne występujące w zadaniach tekstowych rozpoznaje ciąg geometryczny na podstawie opisu słownego lub kilku wypisanych wyrazów zna i stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu geometrycznego rozwiązuje zadania, które dotyczą ciągu geometrycznego, sprowadzając je do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi lub równań kwadratowych bada na podstawie definicji, czy ciąg dany wzorem ogólnym jest ciągiem geometrycznym wyznacza iloraz ciągu na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu geometrycznego, używając tylko opisu symbolicznego wykorzystuje średnią geometryczną do obliczania wyrazu środkowego skończonego ciągu geometrycznego rozwiązuje zadania dotyczące ciągu geometrycznego, stosując odpowiedni algorytm rozpoznaje ciągi arytmetyczne w zadaniach tekstowych wyprowadza wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bada na podstawie definicji, czy ciąg dany wzorem ogólnym jest ciągiem geometrycznym wyznacza iloraz ciągu na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu geometrycznego, używając tylko opisu symbolicznego wykorzystuje średnią geometryczną do obliczania wyrazu środkowego skończonego ciągu geometrycznego rozwiązuje zadania dotyczące ciągu geometrycznego, stosując odpowiedni algorytm rozwiązuje zadania, które dotyczą ciągu geometrycznego, sprowadzając je do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi lub równań kwadratowych o podwyższonym stopniu uzasadnia, np. dowodząc, własności ciągu geometrycznego Plan wynikowy klasa 2 5. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego R-3 zna wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego w nieskomplikowanych sytuacjach rozpoznaje ciągi geometryczne występujące w zadaniach tekstowych rozpoznaje ciągi geometryczne występujące w zadaniach tekstowych wyprowadza wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 17

18 6. Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach tekstowych 7. Obliczenia procentowe a ciąg geometryczny 8. Monotoniczność ciągu liczbowego 9. Praca klasowa i jej omówienie R-3 rozwiązuje zadania, korzystając z definicji i twierdzeń, dotyczące ciągów arytmetycznego i geometrycznego, sprowadzając je do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi, równań kwadratowych, wielomianowych, wymiernych lub wykładniczych oblicza odsetki od kwoty złożonej na kilka lat przy stałym oprocentowaniu i kapitalizacji rocznej oblicza kapitał zgromadzony w ciągu kilku lat przy stałym oprocentowaniu i kapitalizacji rocznej zna pojęcie procentu składanego oblicza odsetki od kwoty złożonej na kilka lat przy stałym oprocentowaniu i przy dowolnym okresie kapitalizacji oblicza kapitał zgromadzony po kilku latach, jeśli zna początkowy kapitał i oprocentowanie w podanym okresie kapitalizacji rozpoznaje ciągi: rosnący, malejący, stały na podstawie ich wykresów w układzie współrzędnych określa monotoniczność ciągu arytmetycznego bada monotoniczność ciągu z definicji, określając znak różnicy a n+1 a n prowadzi rozumowania, w których odwołuje się do własności ciągów arytmetycznego i geometrycznego oblicza odsetki od kwoty złożonej na kilka lat przy stałym oprocentowaniu i dowolnym okresie kapitalizacji oblicza kapitał zgromadzony po kilku latach, jeśli zna początkowy kapitał i oprocentowanie w podanym okresie kapitalizacji wyznacza roczną stopę procentową, jeśli zna kapitał początkowy, liczbę okresów kapitalizacji odsetek i kapitał końcowy wyznacza liczbę lat, po których kapitał początkowy przy znanej stopie oprocentowania i okresie kapitalizacji odsetek osiągnie daną wielkość rozwiązuje zadania dotyczące lokat i kredytów bada monotoniczność ciągu, badając iloraz rozwiązuje zadania związane z monotonicznością ciągów arytmetycznego i geometrycznego K5 Ciągi K5 zakres wymagań dla uczniów Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

VI. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna 1. Potęga o wykładniku rzeczywistym 2. Funkcja wykładnicza i jej własności 3. Przekształcanie wykresów funkcji wykładniczych P-1 R-1 P-1 zna pojęcia potęg o wykładnikach: naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz rzeczywistych stosuje poznane wzory do działań na potęgach o wykładnikach: naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz rzeczywistych zna definicję i własności pierwiastka arytmetycznego zna definicję funkcji wykładniczej rozpoznaje funkcję wykładniczą szkicuje wykresy funkcji wykładniczych y = a x dla a > 1 oraz 0 < a < 1 opisuje własności funkcji wykładniczej na podstawie jej wykresu przekształca wykres funkcji wykładniczej, stosując przekształcenia: symetrię względem osi x, symetrię względem osi y, symetrię względem punktu (0, 0), przesunięcie o dany wektor oblicza wartości liczbowe wyrażeń zawierających potęgi oraz pierwiastki przekształca wyrażenia zawierające potęgi oraz pierwiastki stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania obliczeń i przekształcania wyrażeń opisuje własności funkcji wykładniczej na podstawie jej wykresu bada, na podstawie definicji, własności funkcji wykładniczych: parzystość, nieparzystość, monotoniczność, różnowartościowość przekształca wykres funkcji wykładniczej, stosując przesunięcie równoległe do osi x i osi y szkicuje wykresy funkcji wykładniczych otrzymanych w wyniku złożenia kilku przekształceń szkicuje wykresy funkcji wykładniczych z wartością bezwzględną rozwiązuje graficznie proste równania i nierówności wykładnicze rozwiązuje zadania o podwyższonym poziomie, w tym zadania na dowodzenie Plan wynikowy klasa 2 4. Logarytm liczby dodatniej. Własności logarytmów P-1 R-1 zna pojęcie logarytmu oblicza logarytmy liczb dodatnich wykonuje działania na logarytmach z wykorzystaniem poznanych praw zna i stosuje własności logarytmów do obliczania wartości wyrażeń zna i stosuje własności logarytmów do obliczania wartości wyrażeń stosuje w obliczeniach wzór na zamianę podstawy logarytmu dowodzi proste własności logarytmów przekształca wyrażenia o podwyższonym stopniu zawierające logarytmy 19

20 5. Funkcja logarytmiczna i jej własności 6. Przekształcanie wykresów funkcji logarytmicznych 7. Równania i nierówności wykładnicze 8. Równania i nierówności logarytmiczne 9. Zastosowanie funkcji wykładniczej i logarytmicznej w praktyce zna definicję funkcji logarytmicznej odróżnia funkcję logarytmiczną od innych funkcji określa dziedzinę funkcji logarytmicznej szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych y = log a x dla a > 1 oraz 0 < a < 1 przekształca wykres funkcji logarytmicznej, stosując przekształcenia: symetrię względem osi x, symetrię względem osi y, symetrię względem punktu (0, 0), przesunięcie o wektor opisuje własności funkcji na podstawie jej wykresu rozwiązuje algebraicznie i graficznie proste równania oraz nierówności wykładnicze, stosując poznane własności działań na potęgach oraz różnowartościowość i monotoniczność funkcji wykładniczej rozpoznaje równania i nierówności logarytmiczne rozwiązuje algebraicznie i graficznie proste równania oraz nierówności logarytmiczne, stosując poznane własności działań na logarytmach oraz różnowartościowość i monotoniczność funkcji logarytmicznej P-1 R-1 rozpoznaje równania i nierówności wykładnicze stosuje wiadomości o funkcji wykładniczej i logarytmicznej w różnych, typowych zadaniach praktycznych opisuje własności funkcji logarytmicznej na podstawie jej wykresu szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych z wartością bezwzględną bada na podstawie definicji, własności funkcji logarytmicznych: parzystość, nieparzystość funkcji, monotoniczność, różnowartościowość rozwiązuje graficznie proste równania i nierówności logarytmiczne rozwiązuje równania i nierówności wykładnicze z wartością bezwzględną rozwiązuje równania i nierówności wykładnicze, podstawiając pomocniczą zmienną bada liczbę rozwiązań równania lub nierówności wykładniczych w zależności od wartości parametru rozwiązuje równania i nierówności logarytmiczne z wartością bezwzględną rozwiązuje równania i nierówności logarytmiczne, podstawiając pomocniczą zmienną bada liczbę rozwiązań równania lub nierówności logarytmicznych w zależności od wartości parametru stosuje wiadomości o funkcji wykładniczej i logarytmicznej do rozwiązywania problemów matematycznych o podwyższonym stopniu Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

VII. Planimetria, cz. 2 10. Praca klasowa i jej omówienie 1. Figury jednokładne 2. Figury podobne 3. Czworokąty opisane na okręgu K6 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna K6 zakres wymagań dla uczniów zna definicję jednokładności wyznacza obraz: punktu, odcinka, prostej, kąta, wielokąta, koła w jednokładności o danym środku i danej skali zna szczególny przypadek jednokładności o skali k = 1 i skali k = 1 stosuje własności jednokładności w rozwiązywaniu typowych zadań zna definicję podobieństwa podaje przykłady figur podobnych dostrzega związek między jednokładnością a podobieństwem stosuje twierdzenie o obwodach i polach figur podobnych w rozwiązywaniu typowych zadań, w tym również dotyczących skali planu lub mapy rozumie, co to znaczy, że wielokąt jest opisany na okręgu zna warunki, jakie musi spełniać czworokąt, aby można było wpisać w niego okrąg oblicza pole wielokąta opisanego na okręgu wyznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu opisanego na okręgu rozumie, co to znaczy, że wielokąt jest wpisany w okrąg zna warunki, jakie musi spełniać czworokąt, aby można było opisać na nim okrąg potrafi stosować te warunki w rozwiązywaniu prostych zadań stosuje wektory do badania własności figur jednokładnych wyznacza w układzie współrzędnych punkty jednokładne w danej skali k wyznacza wzór funkcji, której wykres jest figurą jednokładną do wykresu danej funkcji rozwiązuje nietypowe zadania geometryczne o podwyższonym stopniu z wykorzystaniem własności jednokładności uzasadnia, że odcinek równoległy do podstawy danego trójkąta o końcach zawartych w ramionach tego trójkąta wyznacza trójkąt podobny do danego trójkąta rozwiązuje nietypowe zadania geometryczne o podwyższonym stopniu z wykorzystaniem własności figur podobnych dowodzi poznane twierdzenia dotyczące wielokątów opisanych na okręgu stosuje twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt w rozwiązywaniu typowych zadań rozwiązuje nietypowe zadania o podwyższonym stopniu dotyczące czworokątów opisanych na okręgu z zastosowaniem poznanych twierdzeń dowodzi poznane twierdzenia dotyczące wielokątów wpisanych w okrąg stosuje twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie w rozwiązywaniu typowych zadań rozwiązuje nietypowe zadania o podwyższonym stopniu dotyczące czworokątów wpisanych w okrąg z zastosowaniem poznanych twierdzeń Plan wynikowy klasa 2 4. Czworokąty wpisane w okrąg 21

22 VIII. Geometria analityczna 5. Twierdzenie sinusów 6. Twierdzenie cosinusów 7. Przykłady zastosowań trygonometrii w planimetrii 8. Praca klasowa i jej omówienie 1. Proste w układzie współrzędnych. Równanie kierunkowe i ogólne prostej zna twierdzenie sinusów potrafi zastosować twierdzenie sinusów do wyznaczenia długości boku trójkąta, sinusa kąta w trójkącie lub długości promienia okręgu opisanego na trójkącie zna twierdzenie cosinusów potrafi zastosować twierdzenie cosinusów do wyznaczenia długości boku trójkąta lub cosinusa kąta w trójkącie potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne z zastosowaniem twierdzenia sinusów i cosinusów R-3 oblicza pola: trójkątów, czworokątów, kół i innych figur płaskich, stosując trygonometrię oraz twierdzenia sinusów i cosinusów zna i stosuje wzory na pole trójkąta: P = ab sin α, P =, P = zna dowód twierdzenia sinusów dotyczące zastosowania twierdzenia sinusów zna dowód twierdzenia cosinusów rozwiązuje zadania geometryczne o podwyższonym stopniu z wykorzystaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów rozwiązuje zadania geometryczne o podwyższonym stopniu z wykorzystaniem twierdzenia sinusów lub twierdzenia cosinusów stosuje trygonometrię w zadaniach praktycznych rozwiązuje zadania geometryczne o podwyższonym stopniu z wykorzystaniem poznanych wzorów i twierdzeń K7 Planimetria, cz. 2 K7 zakres wymagań dla uczniów P-1 R-1 rozpoznaje równanie prostej w postaci kierunkowej lub postaci ogólnej potrafi napisać równanie prostej, gdy zna jej współczynnik kierunkowy i współrzędne punktu do niej należącego potrafi napisać równanie prostej, gdy zna współ rzędne dwóch różnych punktów należących do niej rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące prostych i punktów w układzie współrzędnych rozwiązuje zadania złożone o podwyższonym stopniu Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2

2. Równoległość i prostopadłość prostych w układzie współrzędnych P-1 R-1 znajduje równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i równoległej do danej prostej zapisanej w postaci kierunkowej znajduje równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej zapisanej w postaci kierunkowej bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych rozwiązuje zadania dotyczące figur geometrycznych umieszczonych w układzie współrzędnych, w których wykorzystuje umiejętność pisania równań prostych równoległych i prostopadłych bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych znajduje równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i równoległej do danej prostej zapisanej w dowolnej postaci znajduje równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej zapisanej w dowolnej postaci rozwiązuje zadania dotyczące figur geometrycznych umieszczonych w układzie współrzędnych, korzystając z warunku równoległości i prostopadłości prostych Plan wynikowy klasa 2 3. Odległość dwóch punktów, środek odcinka, odległość punktu od prostej wyznacza współrzędne środka odcinka oblicza długość odcinka oblicza odległość dwóch punktów oblicza odległość punktu od prostej rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje umiejętność obliczania odległości między dwoma punktami, między punktem a prostą rozpoznaje równanie kanoniczne okręgu odczytuje współrzędne środka i długość promienia z równania okręgu w postaci kanonicznej sprawdza położenie punktu o danych współrzędnych względem danego okręgu potrafi napisać równanie okręgu, gdy zna współrzędne środka i długość promienia potrafi napisać równania okręgu opisanego na trójkącie i okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny rozpoznaje równanie ogólne okręgu zamienia równanie ogólne okręgu na równanie kanoniczne rozwiązuje zadania dotyczące figur geometrycznych, w których wykorzystuje umiejętność obliczania odległości dwóch punktów, wyznaczania środka odcinka i pisania równań prostych równoległych do danych lub prostych prostopadłych do danych potrafi napisać równania okręgu opisanego na trójkącie i okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje umiejętność wyznaczania środka okręgu i długości jego promienia potrafi napisać równania okręgu opisanego na dowolnym trójkącie lub wpisanego w dowolny trójkąt rozwiązuje zadanie z parametrem dotyczące okręgu, którego równanie jest zapisane w dowolnej postaci 4. Równanie okręgu w postaci kanonicznej, równanie ogólne okręgu P-1 23

24 5. Opisywanie koła za pomocą nierówności 6. Rozwiązywanie zadań o wzajemnym położeniu dwóch okręgów oraz prostych i okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej 7. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem układu współrzędnych i rachunku wektorowego 8. Praca klasowa i jej omówienie R-1 rozpoznaje nierówność opisującą koło potrafi napisać nierówność opisującą koło, gdy zna współrzędne środka i długość promienia koła bada położenie danego punktu względem danego koła P-1 R-3 określa wzajemne położenie dwóch okręgów na podstawie ich równań kanonicznych wyznacza punkt wspólny okręgu i prostej, gdy prosta jest styczna do okręgu sprawdza położenie prostej i okręgu, gdy prosta i okrąg podane są w dowolnej postaci rozwiązuje zadania dotyczące: punktów, odcinków, prostych, okręgów i wielokątów w układzie współrzędnych bada wzajemne położenie dwóch kół opisuje figury geometryczne na płaszczyźnie kartezjańskiej, wykorzystując nierówność opisującą koło oraz sumę, iloczyn i różnicę zbiorów sprawdza położenie danej prostej względem danego okręgu opisanego równaniem kanonicznym wyznacza równanie stycznej do okręgu x 2 + y 2 = r 2, gdy zna współrzędne punktu styczności potrafi napisać równanie stycznej do dowolnego okręgu wyznacza współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu bada położenie danego odcinka względem danego koła rozwiązuje zadania dotyczące: punktów, odcinków, prostych, okręgów i wielokątów w układzie współrzędnych, wykorzystując również rachunek wektorowy K8 Geometria analityczna K8 zakres wymagań dla uczniów Matematyka dla liceum i technikum zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela klasa 2