Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki

Transkrypt

1 Opis założonych osiągnięć ucznia W tabelach dla poszczególnych klas, przy treściach kształcenia podajemy przewidywane osiągnięcia uczniów w ramach zakresu rozszerzonego. Podzieliliśmy je na podstawowe i ponadpodstawowe, biorąc pod uwagę indywidualne możliwości uczniów. Klasa 1 Dział 1. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory Treści kształcenia 1.1. Język matematyki 1.2. Zbiory i działania na zbiorach 1.3. Liczby naturalne i liczby całkowite 1.4. Liczby wymierne i liczby niewymierne podstawowe (P) odróżnia zdanie logiczne od innych wypowiedzi określa wartość logiczną zdania prostego tworzy negację zdania prostego rozpoznaje zdania w postaci koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności zdań w twierdzeniu matematycznym wskazuje założenie i tezę rozumie ideę prostego dowodu twierdzenia używa zwrotów dla każdego x oraz istnieje takie x, że, budując zdania logiczne podaje przykłady zbiorów skończonych oraz nieskończonych zna pojęcie zbioru pustego, podzbioru określa relację pomiędzy elementem i zbiorem poprawnie wyznacza zbiory będące sumą, różnicą i częścią wspólną danych zbiorów do opisywania relacji między zbiorami i elementami używa spójników lub oraz i rozróżnia liczby naturalne i całkowite zaznacza liczby naturalne i całkowite na osi liczbowej stosuje prawa działań w zbiorze liczb naturalnych i całkowitych oblicza wartość liczbową wyrażeń dla liczb całkowitych zna i stosuje cechy podzielności liczb naturalnych (przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10) potrafi rozłożyć liczbę naturalną na czynniki pierwsze prowadzi proste rozumowania, w których wykorzystuje podzielność w zbiorze liczb naturalnych i całkowitych zaznacza liczby wymierne i niewymierne na osi liczbowej porównuje liczby wymierne i niewymierne, szacując liczby lub używając kalkulatora prostego skraca i rozszerza ułamki zwykłe wykonuje działania na liczbach wymiernych z zastosowaniem praw działań wyznacza rozwinięcie dziesiętne liczb wymiernych przedstawia ułamki okresowe w postaci ułamka zwykłego Osiągnięcia Uczeń: ponadpodstawowe (PP) buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności zdań z danych zdań prostych określa wartości logiczne zdań w postaci koniunkcji, alternatywy zdań używa symboli do opisu prostych sytuacji matematycznych stosuje poznane wiadomości do wnioskowania matematycznego określa relacje pomiędzy zbiorami (równość zbiorów, zawieranie się zbiorów, rozłączność zbiorów) zna określenie sumy, iloczynu, różnicy zbiorów sprawnie posługuje się symboliką matematyczną zna określenie dzielnika liczby prowadzi rozumowania, w których mowa o liczbach pierwszych, liczbach złożonych oraz o dzieleniu z resztą sprawnie wykonuje działania na liczbach wymiernych i niewymiernych z zastosowaniem praw działań rozwiązuje zadania złożone, w których poprawnie wykonuje działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, stosując prawa działań rozumie ideę dowodu niewymierności niektórych liczb rzeczywistych

2 1.5. Liczby rzeczywiste 1.6. Potęga o wykładniku całkowitym. Notacja wykładnicza 1.7. Wzory skróconego mnożenia 1.8. Pierwiastek dowolnego stopnia wykonuje działania na liczbach rzeczywistych z zastosowaniem praw działań ustala relacje pomiędzy podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych oblicza potęgi o wykładniku naturalnym i całkowitym sprawnie wykonuje działania na wyrażeniach zawierających potęgi z zastosowaniem praw działań przedstawia liczby w postaci potęg o wykładniku całkowitym przedstawia liczby w notacji wykładniczej rozwiązuje typowe zadania tekstowe dotyczące własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym przekształca proste wyrażenia z zastosowaniem praw działań na potęgach o wykładniku całkowitym potrafi sprawnie posługiwać się wzorami skróconego mnożenia: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 b 2 = (a b)(a + b) potrafi wykonywać działania na wyrażeniach, które wymagają zastosowania wymienionych wzorów skróconego mnożenia przekształca wyrażenia, stosując wzory skróconego mnożenia potrafi sprawnie posługiwać się wzorami skróconego mnożenia: (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 3 b 3 = (a b)(a 2 +ab+ b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab+ b 2 ) oblicza pierwiastki dowolnego stopnia, w tym pierwiastki sześcienne z liczb ujemnych zna i potrafi stosować prawa działań na pierwiastkach potrafi usuwać niewymierność z mianownika ułamka zapisanego w postaci a/ b wyłącza czynnik przed pierwiastek wykonuje dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb postaci a + b c wykonuje dzielenie liczb postaci a + b c, a otrzymany wynik zapisuje w takiej samej postaci potrafi sprawnie wykonywać działania na liczbach rzeczywistych z wykorzystaniem praw działań wykonuje działania na zbiorach N, C, W, R\W, R rozwiązuje zadania tekstowe dotyczące własności liczb rzeczywistych rozwiązuje zadania tekstowe o podwyższonym stopniu dotyczące własności działań na potęgach o wykładniku całkowitym prowadzi rozumowania, w których wykorzystuje prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym przekształca wyrażenia o podwyższonym stopniu, stosując wzory skróconego mnożenia sprawnie przekształca wyrażenia i prowadzi rozumowania, w których stosuje poznane wzory skróconego mnożenia dopełnia wyrażenia lub znajduje wartość parametru, żeby wyrażenie można było zapisać w postaci sześcianu sumy lub różnicy oraz sumy lub różnicy sześcianów dwóch wyrażeń potrafi usunąć niewymierność z mianownika ułamka, stosując wzór skróconego mnożenia (różnicę kwadratów dwóch wyrażeń), przekształca wyrażenia, w których występuje pierwiastek dowolnego stopnia potrafi usunąć niewymierność z mianownika ułamka, stosując wzór skróconego mnożenia (różnicę sześcianów lub sumę sześcianów dwóch wyrażeń) 2

3 1.9. Potęga o wykładniku wymiernym Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Sp. z o.o. zna prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych wykonuje działania na potęgach o wykładnikach wymiernych zapisuje potęgi o wykładnikach wymiernych za pomocą pierwiastków przedstawia liczby rzeczywiste zapisane z użyciem pierwiastków w postaci potęg o wykładnikach wymiernych porównuje liczby zapisane w postaci potęg o tej samej podstawie porównuje liczby zapisane w postaci potęg o tym samym wykładniku Procenty oblicza procent danej liczby wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent oblicza, jakim procentem danej liczby jest druga liczba określa, o ile procent dana wielkość jest większa (mniejsza) od innej wielkości rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem obliczeń procentowych Przedziały liczbowe Wartość bezwzględna Błąd przybliżenia Pojęcie logarytmu rozumie pojęcie przedziału liczbowego jako podzbioru zbioru liczb rzeczywistych zaznacza na osi liczbowej podane przedziały liczbowe wyznacza sumę, różnicę oraz część wspólną przedziałów liczbowych wykonuje działania na przedziałach opisanych z wykorzystaniem symboliki matematycznej zna definicję wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i jej interpretację geometryczną oblicza wartość bezwzględną liczby wykonuje działania i przekształcenia wyrażeń z zastosowanie poznanych praw rozwiązuje równania typu x = a rozwiązuje równania typu x a = b wyznacza podzbiory liczb rzeczywistych, które spełniają warunek typu x a < b, x a > b wyznacza przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej z określoną dokładnością wyznacza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia odróżnia przybliżenie z zadaną dokładnością od zaokrąglenia liczby rozumie określenie logarytmu liczby dodatniej oblicza logarytmy liczb dodatnich porównuje logarytmy liczb dodatnich wykonuje działania na logarytmach, korzystając ze wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu, logarytm potęgi o wykładniku naturalnym wykonuje działania na logarytmach, wykorzystując twierdzenie o zamianie podstaw logarytmu wykorzystuje własności potęg w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy: fizyką, chemią, informatyką wykonuje działania na potęgach o wykładnikach wymiernych o podwyższonym stopniu potrafi wykonywać sprawnie działania na liczbach zapisanych w dowolnej postaci i wynik zapisać we wskazanej postaci prowadzi rozumowania, wykorzystując własności działań na liczbach rzeczywistych zapisanych w dowolnej postaci rozwiązuje zadania praktyczne o charakterze złożonym, wymagające stosowania obliczeń procentowych, wyznaczania punktów procentowych odróżnia pojęcie procentu od pojęcia punktu procentowego zapisuje zbiory za pomocą przedziałów liczbowych rozwiązuje zadania o charakterze złożonym, wymagające wykonania działań na przedziałach liczbowych rozwiązuje problemy, w których przedziały opisane są z użyciem parametru wyznacza liczby spełniające warunek opisany z użyciem wartości bezwzględnej i zapisuje je za pomocą przedziału rozwiązuje równania, które sprowadza do równań typu x a = b wyznacza przedziały liczbowe, których opis można sprowadzić do warunku typu x a < b, x a > b zapisuje z użyciem wartości bezwzględnej warunki, które spełniają liczby należące do danego zbioru, przedziału lub do danej sumy przedziałów rozwiązuje problemy o podwyższonym stopniu rozwiązuje zadania złożone wymagające stosowania przybliżeń, wyznaczania błędów przybliżeń uzasadnia poznane własności działań na logarytmach korzystając z definicji logarytmu oraz poznanych praw działań na logarytmach: wyznacza podstawę, gdy zna logarytm i liczbę logarytmowaną, wyznacza liczbę logarytmowaną, gdy zna podstawę i logarytm tej liczby z zastosowaniem logarytmów liczb dodatnich i wzorów na logarytmach 3

4 2. Funkcja i jej własności 2.1. Pojęcie. Sposoby opisywania 2.2. Wykres. Dziedzina i zbiór wartości 2.3. Wzór. Dziedzina i zbiór wartości odróżnia funkcje od innych przyporządkowań podaje różne przykłady, opisując je słownie określa funkcje na różne sposoby: wzorem, tabelką, grafem, zbiorem uporządkowanych par, opisem słownym, wykresem szkicuje wykres liczbowej określonej słownie, grafem, tabelką, wzorem, zbiorem uporządkowanych par odróżnia wykres od krzywej, która nie jest wykresem podaje wartość liczbowej dla danego argumentu wskazuje argument, gdy dana jest wartość dla tego argumentu, jeśli funkcja określona jest za pomocą tabelki, grafu, zbioru uporządkowanych par odczytuje z wykresu jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, argumenty, gdy dana jest wartość dla tych argumentów, oraz wartości dla danych argumentów szkicuje przykładowe wykresy, mając dane: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe oraz punkty, które należą do wykresu określa dziedzinę danej prostym wzorem oblicza miejsca zerowe opisanej wzorem oblicza ze wzoru jej wartość dla danego argumentu oblicza ze wzoru argument, dla którego funkcja przyjmuje daną wartość określa dziedzinę danej wzorem w przypadkach, gdy wyznaczenie dziedziny wymaga rozważenia koniunkcji warunków określa dziedzinę i zbiór wartości, na podstawie dowolnego jej opisu podaje wartość liczbowej dla danego argumentu oraz wskazuje argument, gdy dana jest wartość dla tego argumentu, jeśli funkcja jest określona niezbyt skomplikowanym wzorem rozróżnia funkcje przyporządkowujące zbiór A na zbiór B oraz przyporządkowujące zbiór A w zbiór B posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań w celu obliczenia argumentu, dla którego funkcja przyjmuje daną wartość wyznacza zbiór wartości danej wzorem, mając podaną jej dziedzinę potrafi wskazać funkcje równe 2.4. Monotoniczność i różnowartość odczytuje z wykresu maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała rozpoznaje na wykresie funkcje monotoniczne: rosnące, malejące, stałe, nierosnące oraz niemalejące ustala na podstawie wykresu różnowartościowość szkicuje przykłady wykresów monotonicznych określonych wzorem szkicuje wykresy spełniających podane warunki bada na podstawie definicji monotoniczność i różnowartościowość 2.5. Odczytywanie własności z wykresu odczytuje z wykresu, dla jakich argumentów funkcja ma znak dodatni, a dla jakich znak ujemny odczytuje z wykresu, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, a dla jakich wartość największą w dziedzinie oraz w danym przedziale liczbowym potrafi na podstawie wykresu omówić poznane jej własności 4

5 3. Funkcja liniowa 2.6. Rysowanie wykresów o zadanych własnościach 2.7. Zastosowanie wiadomości o funkcjach w zadaniach praktycznych 3.1. Proporcjonalność prosta 3.2. Funkcja liniowa i jej własności 3.3. Równoległość i prostopadłość prostych 3.4. Zastosowanie liniowej do opisywania zjawisk z życia codziennego Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Sp. z o.o. rysuje wykresy typowych o zadanych własnościach odczytuje z wykresu własności stosuje wiadomości o funkcjach do opisywania zależności w przyrodzie i życiu codziennym potrafi interpretować informacje dotyczące różnych zjawisk w przyrodzie, ekonomii, zjawisk fizycznych na podstawie wykresów lub ich wzorów zna określenie proporcjonalności prostej wyznacza wartość zmiennej wprost proporcjonalnej do drugiej rozwiązuje proste zadania realistyczne z zastosowaniem proporcjonalności prostej zna pojęcie liniowej właściwie interpretuje współczynniki występujące we wzorze liniowej sprawdza, czy dany punkt należy do wykresu liniowej sporządza wykres liniowej danej wzorem odczytuje z wykresu własności liniowej wyznacza nachylenie prostej do osi x określa monotoniczność liniowej wyznacza wzór liniowej na podstawie informacji o: dwóch punktach należących do wykresu współczynniku kierunkowym i punkcie należącym do wykresu miejscu zerowym i innym punkcie należącym do wykresu zapisuje wzór liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu danej liniowej i przechodzi przez punkt o danych zapisuje wzór liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu danej liniowej i przechodzi przez punkt o danych bada, czy proste o danych równaniach są prostopadłe, czy równoległe przekształca wzór liniowej z postaci kierunkowej do postaci ogólnej i odwrotnie stosuje wiadomości o liniowej do opisu zjawisk z życia codziennego opisuje zależności w postaci wzoru liniowej odczytuje i interpretuje dane z wykresu lub wzoru liniowej szkicuje wykresy określonych w różnych przedziałach różnymi wzorami typu y = sgn x, y = min(a, x), y = max(a, x) rozpoznaje na wykresie funkcje okresowe szkicuje wykresy okresowych ustala okres podstawowy dla okresowej rozwiązuje zadania złożone po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik rozwiązuje zadania złożone dotyczące ekonomii, zjawisk w przyrodzie lub zjawisk fizycznych rozwiązuje złożone zadania realistyczne z zastosowaniem proporcjonalności prostej wyznacza wzór liniowej na podstawie jej wykresu wyznacza wzór liniowej na podstawie informacji o jej własnościach rozwiązuje zadania dotyczące liniowej opisanej wzorem zawierającym parametr rozwiązuje problemy typu uzasadnij, dotyczące np. monotoniczności i różnowartościowości liniowej rozwiązuje zadania złożone dotyczące równoległości i prostopadłości prostych prowadzi proste rozumowania, uzasadniając równoległość lub prostopadłość prostych rozwiązuje problemu typu zbadaj wzajemne położenie wykresów liniowej rozwiązuje problemy dotyczące równoległości i prostopadłości wykresów liniowej, gdy wzór zapisany jest z użyciem parametru oblicza odległość między prostymi równoległymi rozwiązuje zadania złożone, w tym zagadnienia z życia codziennego 5

6 3.5. Funkcja przedziałami liniowa 3.6. Równania liniowe 3.7. Nierówności liniowe 3.8. Równania i nierówności liniowe z wartością bezwzględną 3.9. Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem układów równań liniowych rysuje wykres liniowej w przedziałach, w których jest określona i omawia jej własności wyznacza miejsca zerowe liniowej określonej przedziałami, wyznacza współrzędne punktu przecięcia z osią y sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie liniowe z jedną niewiadomą rozwiązuje równanie liniowe z jedną niewiadomą rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań liniowych z jedną niewiadomą sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem nierówności liniowej z jedną niewiadomą rozumie pojęcie rozwiązanie nierówności rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą i przedstawia ich zbiory rozwiązań na osi liczbowej bada monotoniczność liniowej opisanej wzorem z użyciem parametru rozwiązuje równania typu x a = b rozwiązuje nierówności typu x a < b, x a b rozwiązuje algebraicznie metodą podstawiania, przeciwnych współczynników i graficznie układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi rozpoznaje układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny i podaje ich interpretację geometryczną wyznacza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych wyznacza wartości parametrów użytych w układzie równań liniowych z dwiema niewiadomymi, gdy znane jest rozwiązanie układu rozwiązuje proste zadania tekstowe, w tym zadania opisujące sytuacje z życia codziennego, prowadzące do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi sporządza wykresy liniowej opisanej wzorem klamerkowym sporządza wykresy liniowej określonej wzorem z wartością bezwzględną określa liczbę rozwiązań równania liniowego z jedną niewiadomą rozwiązuje równania liniowe z parametrem rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do nierówności liniowych rozwiązuje nierówności liniowe z parametrem rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną typu: x = 3, x x 5 >12 bada wzajemne położenie dwóch prostych na płaszczyźnie rozwiązuje układy równań z parametrem rozwiązuje zadania złożone, o podwyższonym stopniu 6

7 4. Wektory 5. Przekształcanie wykresów Nierówności i układy nierówności stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi 4.1.Wektory w układzie 4.2. Wektory na płaszczyźnie 4.3. Działania na wektorach na płaszczyźnie 4.4. Działania na wektorach w układzie 5.1. Symetria względem osi układu Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Sp. z o.o. interpretuje graficznie zbiór rozwiązań nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi interpretuje graficznie zbiór rozwiązań układu nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi potrafi opisać daną figurę geometryczną w prostokątnym układzie za pomocą odpowiedniego układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi potrafi narysować w prostokątnym układzie figurę geometryczną zapisaną za pomocą układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi zna określenie wektora, podaje jego cechy, zaznacza wektor w układzie rozróżnia wektory równe i różne oblicza współrzędne wektora, gdy zna początek i koniec wektora oblicza współrzędne początku lub końca wektora, mając dane współrzędne wektora oraz odpowiednio współrzędne końca (początku) wektora potrafi wyznaczyć długość wektora, znając jego współrzędne rozróżnia wektory przeciwne zna określenie wektora, podaje jego cechy rozróżnia wektory równe i różne rozróżnia wektory przeciwne wykonuje działania na wektorach na płaszczyźnie dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie przez liczbę wykonuje działania na wektorach na płaszczyźnie dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie przez liczbę potrafi obliczyć współrzędne środka odcinka zna pojęcie symetrii osiowej względem prostej i wyznacza obraz figury w symetrii osiowej względem prostej wyznacza współrzędne punktów symetrycznych względem osi układu przekształca wykresy w symetrii względem osi układu wyznacza wzór, której wykres jest symetryczny do danego wykresu względem osi układu interpretuje graficznie zbiór rozwiązań układu nierówności, w którym proste zapisane są w postaci ogólnej rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do rozwiązywania układów nierówności z dwiema niewiadomymi rozumie pojęcie wektora zaczepionego i wektora swobodnego rozwiązuje problemy geometryczne, wykorzystując równość wektorów zapisuje wskazany wektor jako wynik działania na innych danych wektorach rozwiązuje problemy geometryczne, wykorzystując równość wektorów, umiejętność wykonywania działań na wektorach wyznacza wzór liniowej na podstawie informacji o lub jej wykresie stopniu 7

8 6. Funkcja kwadratowa 5.2. Symetria względem początku układu 5.3. Przesunięcia wykresu równolegle do osi x i do osi y 5.4. Wykres y = f(x) 5.5. Wykres y = f(kx), y = k f(x), k Funkcja f(x) = ax 2, a Przesunięcia wykresu f(x) = ax 2, a Postać ogólna i postać kanoniczna kwadratowej zna pojęcie symetrii środkowej względem punktu i wyznacza obraz figury w symetrii środkowej względem punktu wyznacza współrzędne punktów symetrycznych względem początku układu przekształca wykresy w symetrii względem początku układu wyznacza wzór, której wykres jest symetryczny do danego wykresu względem początku układu rozumie pojęcie przesunięcia wykresu równolegle do osi układu przesuwa wykres równolegle do osi x oraz równolegle do osi y wyznacza wzór, której wykres powstał w wyniku przesunięcia wykresu y = f(x) równolegle do osi układu sporządza wykresy, których wzory zawierają wartość bezwzględną odczytuje własności z wykresów na podstawie wykresu y = f(x) szkicuje wykresy y = f(kx), y = k f(x), k 0 rozpoznaje wzór f(x) = ax 2, a 0 szkicuje wykres f(x) = ax 2, a 0, i na jego podstawie odczytuje jej własności opisuje wykres f(x) = ax 2, a 0, w zależności od wartości współczynnika a sprawdza, czy punkt należy do wykresu f(x) = ax 2 przesuwa wykres f(x) = ax 2, a 0, równolegle do osi x i równolegle do osi y podaje wzór, której wykres otrzymano po przesunięciu wykresu f(x) = ax 2 równolegle do osi x albo do osi y wyznacza wzór y = ax 2, a 0, po przesunięciu wykresu o dany wektor równolegle do osi x oraz do osi y szkicuje wykres kwadratowej zna postać ogólną i kanoniczną kwadratowej potrafi sprawnie przekształcać jedną postać wzoru kwadratowej na drugą (postać ogólną i kanoniczną) wyznacza współrzędne wierzchołka paraboli oblicza wartość wyróżnika (deltę) kwadratowej na podstawie wykresu kwadratowej odczytuje jej własności określa monotoniczność kwadratowej w przedziałach zna pojęcie parzystej i nieparzystej rozpoznaje na wykresie funkcje parzyste i nieparzyste szkicuje wykresy parzystych i nieparzystych stopniu zna pojęcie przesunięcia równoległego o wektor i potrafi wyznaczyć obraz w przesunięciu równoległym o dany wektor szkicuje wykres określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami stopniu sporządza wykresy typu y = f(kx), y = k f(x), k 0 stopniu na podstawie wzoru opisuje, jak przesunięto wykres f(x) = ax 2, a 0, równoległe do osi x oraz do osi y wyznacza wzór y = ax 2, a 0 po przesunięciu wykresu o dany wektor o różnych od zera uzasadnia wzory na współrzędne wierzchołka paraboli interpretuje współczynniki występujące we wzorze kwadratowej w postaci kanonicznej i ogólnej stopniu 8

9 6.4. Miejsca zerowe kwadratowej. Postać iloczynowa kwadratowej oblicza miejsca zerowe kwadratowej lub sprawdza, że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych zna postać ogólną, kanoniczną oraz iloczynową kwadratowej szkicuje wykres kwadratowej sprawnie przekształca jedną postać wzoru kwadratowej na drugą (postać ogólną, kanoniczną, iloczynową) interpretuje współczynniki występujące we wzorze kwadratowej w postaci iloczynowej i ogólnej stopniu 6.5. Najmniejsza i największa wartość kwadratowej w przedziale domkniętym 6.6. Zastosowanie własności kwadratowej 6.7. Funkcja kwadratowa w zadaniach optymalizacyjnych 6.8 Wzory Viète a i ich zastosowanie 6.9. Równania kwadratowe Równania i układy równań rozwiązywane za pomocą równań kwadratowych sprawnie oblicza współrzędne wierzchołka paraboli wyznacza wartość najmniejszą oraz wartość największą kwadratowej w danym przedziale domkniętym wyznacza wartość najmniejszą oraz wartość największą kwadratowej w przedziale liczbowym wyznacza wzór kwadratowej na podstawie wykresu rozwiązuje typowe zadania dotyczące własności kwadratowej bada monotoniczność kwadratowej wyznacza najmniejszą i największą wartość kwadratowej potrafi opisać za pomocą wzoru lub wykresu kwadratowej dane zjawisko z życia codziennego rozwiązuje typowe zadania praktyczne z wykorzystaniem kwadratowej wykorzystuje własności kwadratowej do rozwiązywania prostych zadań optymalizacyjnych uzasadnia wzory na sumę i iloczyn miejsc zerowych kwadratowej odgaduje miejsca zerowe kwadratowej, wykorzystując wzory Viète a bada znak miejsc zerowych kwadratowej oblicza jedno miejsce zerowe kwadratowej, znając drugie sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania kwadratowego rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą niezupełne i zupełne, stosując wzory skróconego mnożenia oraz rozkład na czynniki rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą, stosując wzory na pierwiastki równania kwadratowego rozwiązuje równania prowadzące do równań kwadratowych równania dwukwadratowe, równania zawierające w zapisie pierwiastki rozwiązuje układy równań za pomocą równań kwadratowych rozwiązuje zadania złożone uzasadnia, że funkcja nie ma wartości najmniejszej lub wartości największej w danym przedziale liczbowym rozwiązuje zadania złożone, o podwyższonym stopniu wyznacza wzór kwadratowej na podstawie informacji o lub o jej wykresie szkicuje wykres określonej w danym przedziale liczbowym szkicuje wykres na podstawie podanych jej własności stopniu wykorzystuje własności kwadratowej do interpretacji zagadnień osadzonych w kontekście praktycznym stopniu wykorzystuje wzory Viète a do rozwiązywania zadań złożonych rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do rozwiązania równań kwadratowych z jedną niewiadomą stopniu stopniu 9

10 6.11. Nierówności kwadratowe Zadania tekstowe z zastosowaniem równań i nierówności kwadratowych Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Wykresy kwadratowych z wartością bezwzględną sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem nierówności kwadratowej rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą, wykorzystując interpretację geometryczną nierówności kwadratowej wyznacza zbiór rozwiązań układu nierówności kwadratowych rozwiązuje proste zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą wykorzystuje własności kwadratowej do rozwiązywania prostych zadań optymalizacyjnych bada liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od wartości parametru wykorzystuje wzory Viète a do analizy liczby rozwiązań równania kwadratowego przekształca wykresy kwadratowej (symetria względem osi x, symetria względem osi y, symetria względem początku układu, przesunięcie równoległe o wektor) oraz wyznacza wzór, której wykres otrzymano w danym przekształceniu rozwiązuje proste zadania tekstowe prowadzące do rozwiązania nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą stopniu rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą wykorzystuje własności kwadratowej do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych stopniu stopniu tworzy wykresy kwadratowej z wartością bezwzględną 7. Trygonometria, cz Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 7.2. Funkcje trygonometryczne kątów o miarach od 0 o do 180 o w układzie wyznacza wartości trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o danych długościach boków oblicza długości boków trójkąta, wykorzystując wartości trygonometrycznych odczytuje z tablic lub oblicza za pomocą kalkulatora wartości trygonometrycznych danego kąta ostrego znajduje w tablicach miarę kąta o danej wartości trygonometrycznej konstruuje kąty ostre, mając dane wartości trygonometrycznych oblicza wartości trygonometrycznych kąta ostrego umieszczonego w układzie zna definicje sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 180 wyznacza wartości sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 180 korzysta z przybliżonych wartości trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora) zna wartości trygonometrycznych kątów o miarach 0 o, 90 o, 180 o interpretuje współczynnik kierunkowy występujący we wzorze liniowej korzysta z przybliżonych wartości trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora) konstruuje kąty z zakresu 0 180, gdy dana jest jedna z wartości trygonometrycznych kąta stopniu 10

11 7.3. Wyznaczanie wartości trygonometrycznych kątów o miarach od 0 o do 180 o 7.4. Podstawowe tożsamości trygonometryczne 7.5. Wyznaczanie wartości trygonometrycznych, gdy znana jest wartość sinusa lub cosinusa kąta 7.6. Zastosowanie trygonometrii zna wartości trygonometrycznych kątów o miarach 30, 45, 60 potrafi obliczać wartości wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne kątów o miarach 30, 45, 60 potrafi obliczać wartości wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne kątów o miarach 120, 135, 150 rozwiązuje proste zadania z zastosowaniem trygonometrycznych kątów o miarach od 0 do 180 zna i stosuje podstawowe tożsamości trygonometryczne: sin 2 + cos 2 = 1, tg = sin cos stosuje zależności typu sin(90 o α) = cos α potrafi dowodzić proste tożsamości trygonometryczne wyznacza wartości pozostałych trygonometrycznych kąta ostrego, gdy dana jest wartość sinusa lub cosinusa tego kąta wyznacza wartości pozostałych trygonometrycznych kąta o miarach od 0 do 180, wykorzystując proste tożsamości trygonometryczne rozwiązuje proste zadania geometryczne z wykorzystaniem trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym zna wzór na obliczenie pola trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi rozwiązuje zadania geometryczne z wykorzystaniem trygonometrycznych korzysta z własności trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych stopniu stopniu stopniu korzysta ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi stopniu Klasa 2 Dział Treści kształcenia 1. Planimetria, cz Podstawowe pojęcia geometryczne 1.2. Współliniowość punktów. Nierówność trójkąta podstawowe (P) rozróżnia podstawowe figury: punkt, prosta, półprosta, płaszczyzna, okrąg, koło, łuk zna pojęcia: figura wypukła i figura wklęsła, podaje przykłady takich figur określa wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie zna pojęcie odległości na płaszczyźnie rozumie pojęcie odległości bada współliniowość punktów bada, korzystając z nierówności trójkąta, współliniowość punktów, gdy odległości między nimi opisane są z użyciem parametru Osiągnięcia Uczeń: ponadpodstawowe (PP) zapisuje relacje między podstawowymi figurami na płaszczyźnie wyznacza sumę, różnicę i część wspólną figur na płaszczyźnie rozwiązuje zadania złożone, stosując nierówność trójkąta 11

12 1.3. Kąty i ich rodzaje 1.4. Wzajemne położenie prostej i okręgu 1.5. Wzajemne położenie dwóch okręgów zna podział kątów ze względu na ich miarę zna pojęcia: kąt przyległy i kąt wierzchołkowy oraz stosuje ich własności do rozwiązywania prostych zadań zna określenie stycznej do okręgu (koła) bada wzajemne położenie prostej i okręgu konstruuje styczną do okręgu przechodzącą przez punkt leżący na okręgu oraz przez punkt leżący poza okręgiem zna twierdzenie o stycznej do okręgu i wykorzystuje je do rozwiązywania prostych zadań zna pojęcie siecznej okręgu (koła) zna twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu określa wzajemne położenie dwóch okręgów w zależności od odległości środków tych okręgów i długości ich promieni potrafi uzasadnić wzajemne położenie dwóch okręgów zna rodzaje kątów powstałych w wyniku przecięcia dwóch prostych równoległych trzecią prostą uzasadnia, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180 o zna pojęcie kąta zewnętrznego wielokąta potrafi uzasadnić, że suma kątów zewnętrznych w wielokącie jest stała stopniu uzasadnia poprawność konstrukcji stycznych do okręgu rozwiązuje nietypowe zadania o podwyższonym stopniu dotyczące stycznych do okręgu stosuje twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu do rozwiązywania zadań potrafi udowodnić twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu bada warunki, jakie muszą być spełnione, aby okręgi były styczne zewnętrznie lub wewnętrznie, rozłączne zewnętrznie lub wewnętrznie, przecinające się stopniu 1.6. Kąty w okręgu: środkowe, wpisane 1.7. Okrąg opisany na trójkącie 1.8. Okrąg wpisany w trójkąt 1.9. Twierdzenie Pitagorasa zna pojęcia: kąt środkowy w okręgu, kąt wpisany w okrąg zna twierdzenie dotyczące kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku oraz stosuje je do rozwiązywania prostych zadań zna pojęcie symetralnej odcinka konstruuje symetralną odcinka wyznacza środek okręgu opisanego na trójkącie konstruuje okrąg opisany na trójkącie uzasadnia poprawność wykonanej konstrukcji zna pojęcie dwusiecznej kąta konstruuje dwusieczną kąta wyznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt konstruuje okrąg wpisany w trójkąt uzasadnia poprawność wykonanej konstrukcji zna twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa wykorzystuje twierdzenia do rozwiązywania typowych problemów matematycznych potrafi udowodnić twierdzenie Pitagorasa potrafi udowodnić twierdzenie dotyczące kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku rozwiązuje zadania złożone, o podwyższonym stopniu dotyczące zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym oblicza długość promienia okręgu opisanego na trójkątach: równoramiennym, równobocznym, prostokątnym stopniu uzasadnia, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie wykorzystuje wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny w zależności od długości boków tego trójkąta zna i stosuje wzór na pole trójkąta w zależności od jego obwodu i promienia okręgu wpisanego w trójkąt potrafi ocenić, czy trójkąt jest prostokątny, ostrokątny, czy rozwartokątny oraz to uzasadnić stosuje poznane twierdzenia do rozwiązywania nietypowych zadań 12

13 1.10. Twierdzenie Talesa Trójkąty i ich punkty szczególne. Twierdzenie o dwusiecznej kąta Trójkąty przystające Trójkąty podobne Twierdzenie o odcinkach siecznych 2.1. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Sp. z o.o. zna twierdzenie Talesa oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa wykorzystuje twierdzenia do rozwiązywania typowych problemów matematycznych potrafi udowodnić twierdzenie Talesa zna pojęcie ortocentrum trójkąta wykorzystuje związek między środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt zna pojęcie środkowej trójkąta zna twierdzenie o środkowych trójkąta zna pojęcie środka ciężkości trójkąta zna twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie zna definicję trójkątów przystających zna twierdzenie o cechach przystawania trójkątów rozpoznaje trójkąty przystające zna definicję trójkątów podobnych zna twierdzenie o cechach podobieństwa trójkątów rozpoznaje trójkąty podobne uzasadnia podobieństwo trójkątów, stosując twierdzenie o cechach podobieństwa trójkątów zna twierdzenie o odcinkach stycznej i siecznej zna twierdzenie o odcinkach siecznych stosuje poznane twierdzenia w sytuacjach typowych wskazuje jednomiany podobne dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany stosuje wzory skróconego mnożenia potrafi uzasadnić równoległość prostych stosuje poznane twierdzenia do rozwiązywania nietypowych zadań uzasadnia, że w trójkącie środkowe dzielą się w stosunku 1 : 2 stosuje twierdzenie o środkowych trójkąta do rozwiązywania zadań stosuje twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trójkąta stosuje poznane twierdzenia do rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu potrafi udowodnić twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trójkąta potrafi udowodnić twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie uzasadnia przystawanie trójkątów, korzystając z twierdzenia o cechach przystawania trójkątów uzasadnia, że w trójkącie prostokątnym długość wysokości jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną korzysta z własności trójkątów podobnych przy rozwiązywaniu zadań (także w kontekstach praktycznych) potrafi udowodnić twierdzenie o odcinkach siecznych stosuje poznane twierdzenia do rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu 2. Wielomiany 2.2. Rozkładanie wielomianu na czynniki stosuje metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, gdy czynnik ten jest jednomianem stosuje wzory skróconego mnożenia do rozkładania wielomianów na czynniki stosuje metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, gdy czynnik ten jest sumą jednomianów stosuje metodę grupowania wyrazów do rozkładania wielomianów na czynniki rozkłada wielomiany na czynniki, stosując poznane metody potrafi dobrać odpowiednią metodę spośród poznanych do rozkładania wielomianów na czynniki 13

14 2.3. Wielomian jednej zmiennej zna pojęcie jednomianu oraz wielomianu wielu i jednej zmiennej dowolnego stopnia opisuje sytuacje praktyczne za pomocą wielomianów wielu zmiennych określa dziedzinę wielomianu opisującego problem praktyczny wyznacza współczynniki wielomianu, gdy dane są wartości wielomianu dla określonych wartości zmiennej określa stopień wielomianu rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje równość wielomianów 2.4. Dzielenie wielomianu przez dwumian ax + b wykonuje dzielenie wielomianu przez dwumian ax + b bada, czy możliwy jest rozkład danego wielomianu na dane czynniki rozwiązuje zadania, w których mowa jest o podzielności wyznacza wielomian, gdy zna wynik dzielenia tego wielomianu przez dany dwumian wyznacza wielomian, gdy zna wynik dzielenia z resztą tego wielomianu przez dany dwumian 2.5. Pierwiastki wielomianu jednej zmiennej. Twierdzenie Bézouta 2.6. Rozwiązywanie równań wielomianowych 2.7. Pierwiastki całkowite i pierwiastki wymierne wielomianu stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a wyznacza resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian x a rozkłada na czynniki wielomian, o którym wiadomo, że dzieli się przez dwumian x a odróżnia równania wielomianowe od innych równań odczytuje pierwiastki równań postaci (x a)(x b)(x c) = 0 lub (ax 2 + bx + c)(x d)= 0 sprawdza, czy podana liczba jest pierwiastkiem równania rozwiązuje równania typu x n = a, gdy n 2 zna twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu wskazuje liczby całkowite, które mogą być pierwiastkami równania wielomianowego wskazuje liczby wymierne, które mogą być pierwiastkami równania wielomianowego określa krotność pierwiastków, gdy wielomian jest określony w postaci iloczynu dwumianów potrafi wyznaczyć wielomian będący resztą z dzielenia wielomianu przez inny wielomian o znanych własnościach rozwiązuje równania, stosując metodę rozkładu na czynniki napisze równanie, gdy zna jego pierwiastki poda przykład równania, gdy zna krotność pierwiastków rozwiązuje równania, które przyjmują postać równania wielomianowego po wprowadzeniu pomocniczej niewiadomej potrafi udowodnić twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu potrafi udowodnić twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu potrafi uzasadnić brak pierwiastków wymiernych wielomianu rozwiązuje równania z niewiadomą pod wartością bezwzględną, które prowadzą do rozwiązywania równań wielomianowych 2.8 Rozwiązywanie nierówności wielomianowych odczytuje rozwiązanie nierówności wielomianowej z wykresu wielomianu rozwiązuje nierówności wielomianowe, gdy wielomian zapisany jest w postaci iloczynowej, sporządzając odpowiednie wykresy lub tabelkę znaków rozwiązuje nierówności wielomianowe, rozkładając wielomian na czynniki szkicuje wykres wielomianu i odczytuje rozwiązanie nierówności wielomianowej 14

15 3. Wyrażenia wymierne 2.9. Zadania tekstowe z zastosowaniem równań i nierówności wielomianowych 3.1. Wyrażenia wymierne 3.2. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych 3.3. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych 3.4. Przekształcanie wyrażeń wymiernych 3.5. Rozwiązywanie równań wymiernych 3.6. Rozwiązywanie nierówności wymiernych Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Sp. z o.o. opisuje objętość wielościanu i bryły obrotowej za pomocą wielomianów ustala dziedzinę wielomianu opisującego sytuację np. z planimetrii rozwiązuje proste zadania tekstowe prowadzące do rozwiązywania nierówności wielomianowych odróżnia wyrażenie wymierne od innych wyrażeń algebraicznych wyznacza dziedzinę wyrażenia wymiernego, jeśli mianownik jest wielomianem dającym się w łatwy sposób rozłożyć na czynniki oblicza wartość liczbową wyrażenia dla danej wartości zmiennej skraca i rozszerza wyrażenia wymierne, gdy licznik i mianownik łatwo dają się zapisać w postaci iloczynu mnoży i dzieli wyrażenia wymierne sprowadza wynik mnożenia i dzielenia do postaci nieskracalnej stosuje wzory skróconego mnożenia do zapisywania wyrażenia w postaci nieskracalnej dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne sprowadza wynik dodawania i odejmowania wyrażeń do postaci nieskracalnej stosuje wzory skróconego mnożenia do zapisywania wyrażenia w postaci nieskracalnej przekształca wyrażenia wymierne wyznacza wskazane zmienne z wyrażenia wymiernego przekształca wzory z innych dziedzin, np. fizyki, chemii odróżnia równania wymierne od innych równań sprawdza, czy wskazana liczba należy do zbioru rozwiązań równania, uwzględniając dziedzinę równania wyznacza dziedzinę równania, gdy w mianowniku jest wielomian co najwyżej drugiego stopnia lub wielomian wyższych stopni zapisany w postaci iloczynowej rozwiązuje równania wymierne, które sprowadzają się do równań liniowych lub kwadratowych rozwiązuje równania wymierne, stosując własności proporcji rozwiązuje równania wymierne, sprowadzając je do równań wielomianowych odczytuje rozwiązania nierówności wymiernych, gdy dane są wykresy odpowiednich wymiernych rozwiązuje nierówności wymierne, sporządzając wykresy odpowiednich liniowych lub kwadratowych potrafi opisać sytuacje spoza matematyki, używając wielomianów wyznacza dziedzinę wyrażenia wymiernego, którego mianownik jest wielomianem dowolnego stopnia stosuje wzory skróconego mnożenia przy skracaniu lub rozszerzaniu wyrażeń wymiernych rozwiązuje zdania o podwyższonym stopniu sprawnie wykonuje działania na wyrażeniach wymiernych dowodzi tożsamości, w których występują wyrażenia wymierne rozwiązuje równania wymierne, sprowadzając je do równań wielomianowych dowolnego stopnia rozwiązuje równania wymierne, sprowadzając je do równań wielomianowych poprzez wprowadzenie pomocniczej niewiadomej rozwiązuje równania wymierne, dobierając odpowiedni algorytm (wymagający np. wykonania wcześniej przekształceń) rozwiązuje nierówności wymierne, sprowadzając je do nierówności wielomianowych rozwiązuje nierówności wymierne różnymi metodami 15

16 3.7. Wielkości odwrotnie proporcjonalne 3.8. Wykres f(x) = a/x, a 0 i x 0, i jego przekształcanie bada, czy wielkości są odwrotnie proporcjonalne wskazuje przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych wyznacza brakującą wielkość, proporcjonalną do danej, gdy zna współczynnik proporcjonalności rozwiązuje proste zadania tekstowe, stosując własności proporcjonalności odwrotnej szkicuje wykres f(x) = a/x, gdzie a 0, x 0 opisuje własności f(x) = a/x, a 0, x 0: dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności potrafi wskazać hiperbolę xy = a wśród wykresów różnych szkicuje wykres f(x) = a/x + q, a 0, x 0, i opisuje jej własności szkicuje wykres f(x) = a/(x p), a 0, x p, i opisuje jej własności sporządza wykres f(x) = a/(x p)+q, a 0, x p, i opisuje jej własności rozwiązuje zadania tekstowe, w których występują wielkości odwrotnie proporcjonalne sporządza wykres opisujący wielkości odwrotnie proporcjonalne opisuje własności : asymptoty, środek symetrii wykresu, osie symetrii wykresu podaje wzór wymiernej na podstawie jej wykresu odczytuje argumenty, dla których funkcja przyjmuje określone wartości lub spełnia określone warunki szkicuje wykres opisujący wielkości odwrotnie proporcjonalne, uwzględniając dziedzinę sporządza wykres f(x) = a/(x p)+q, a 0, x p sporządza wykresy y = f(x), gdy funkcja f jest dana wzorem f(x) = a/(x p)+q, a 0, x p 4. Trygonometria, cz Zastosowanie wyrażeń wymiernych w zadaniach praktycznych 4.1. Miara łukowa kąta 4.2. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta 4.3. Wykresy trygonometrycznych rozwiązuje zadania tekstowe typu: droga, prędkość i czas, prowadzące do rozwiązywania równań zapisanych w postaci proporcji zna pojęcia: kąt skierowany, kąt umieszczony w układzie przedstawia kąt o dowolnej mierze stopniowej w postaci α = k 360 o + β, gdzie 0 o β 360 o i k jest liczbą całkowitą zna pojęcie miary łukowej i jej jednostki radiana zamienia stopnie na radiany i radiany na stopnie zna definicje trygonometrycznych dowolnego kąta oblicza wartości trygonometrycznych kąta, znając współrzędne punktu leżącego na ramieniu końcowym kąta określa znaki trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu konstruuje kąty w układzie na podstawie wartości trygonometrycznych szkicuje wykresy trygonometrycznych y = sin x, y = cos x, y = tg x i na podstawie wykresów określa własności tych rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do rozwiązania równań i nierówności wymiernych rozwiązuje zadania tekstowe o podwyższonym stopniu, korzystając z równań i nierówności wymiernych stosuje miarę łukową i stopniową kąta w różnych sytuacjach problemowych wyznacza, korzystając z definicji, wartości trygonometrycznych danych kątów wyznacza wartości trygonometrycznych dowolnego kąta, wykorzystując symetrie stosuje definicje i wyznacza wartości trygonometrycznych dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach, przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego zna i stosuje związki trygonometryczne dowolnego kąta do rozwiązywania problemów matematycznych szkicuje wykresy trygonometrycznych opisanych wzorem, stosując przekształcenia: symetrię względem osi x, symetrię względem osi y, symetrię względem punktu (0, 0), przesunięcie o wektor potrafi napisać wzór, której wykres otrzymano po danych przekształceniach 16

17 5. Ciągi 4.4. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów 4.5. Tożsamości trygonometryczne 4.6. Wykresy trygonometrycznych y = k f(x), y = f(k x), gdzie f jest funkcją trygonometryczną 4.7. Równania trygonometryczne 4.8. Nierówności trygonometryczne 5.1. Ciąg liczbowy 5.2. Ciągi monotoniczne oblicza wartości trygonometrycznych, stosując wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów zna i stosuje wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta do rozwiązywania problemów matematycznych oblicza wartości pozostałych trygonometrycznych kąta ostrego, gdy dana jest wartość jednej z nich przeprowadza proste dowody tożsamości trygonometrycznych, stosując poznane wzory szkicuje wykresy typu y = k f(x), y = f(k x), gdzie f jest funkcją trygonometryczną odczytuje z wykresów własności tych wykorzystuje okresowość trygonometrycznych wskazuje okres podstawowy trygonometrycznej rozpoznaje równania trygonometryczne rozwiązuje proste równania trygonometryczne z wykorzystaniem wykresów trygonometrycznych w określonych przedziałach rozwiązuje proste równania trygonometryczne typu sin 2x = 1/2, sin 2x + cos x = 1, sin x + cos x = 1 rozpoznaje nierówności trygonometryczne rozwiązuje proste nierówności trygonometryczne typu sin x > a, cos x a, tg x > a, posługując się wykresami trygonometrycznych w określonych przedziałach zna pojęcie ciągu liczbowego odróżnia ciągi skończone od ciągów nieskończonych oblicza dowolny wyraz ciągu, gdy dany jest wzór ogólny sporządza wykres ciągu sprawdza, czy podana liczba jest wyrazem ciągu, gdy prowadzi to do rozwiązania równania liniowego, kwadratowego lub prostego równania wielomianowego, wymiernego rozumie różnicę między symbolem ciągu (a n ) a symbolem n-tego wyrazu ciągu a n wyznacza wyrazy ciągu, które spełniają opisany warunek, jeśli prowadzi to do rozwiązywania nierówności liniowej, kwadratowej lub prostej nierówności wielomianowej, wymiernej rozpoznaje ciągi: rosnący, malejący, stały, na podstawie ich wykresów w układzie bada monotoniczność ciągu z definicji, określając znak różnicy a n+1 a n uzasadnia wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów wyznacza wartości pozostałych trygonometrycznych dowolnego kąta, gdy dana jest wartość jednej z nich przeprowadza trudniejsze dowody tożsamości trygonometrycznych, stosując poznane wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów wyznacza dziedzinę równości będących tożsamościami trygonometrycznymi wskazuje wspólne własności y = f(x), y = k f(x) i y = f(k x) oraz własności różniące te funkcje wykorzystuje przekształcenia: symetrie, przesunięcie o wektor, do szkicowania wykresów trygonometrycznych rozwiązuje proste równania trygonometryczne z wykorzystaniem wykresów trygonometrycznych w zbiorze liczb R oraz zapisuje ogólne rozwiązania równań i nierówności, stosując różne metody rozwiązuje nierówności trygonometryczne, posługując się wykresami trygonometrycznych w zbiorze liczb R oraz zapisuje ogólne rozwiązania równań i nierówności, stosując różne metody potrafi napisać wzór ciągu na podstawie jego kilku początkowych wyrazów sprawdza, czy podana liczba jest wyrazem ciągu, gdy prowadzi to do rozwiązania dowolnego równania lub nierówności wielomianowej lub wymiernej sprawdza, które wyrazy ciągu należą do danego przedziału wyznacza wyraz ciągu określonego wzorem rekurencyjnym podaje wzór rekurencyjny, gdy ciąg jest dany wzorem ogólnym podaje wzór ogólny, gdy ciąg jest dany wzorem rekurencyjnym bada monotoniczność ciągu, badając iloraz a n+1 /a n rozwiązuje zadania związane z monotonicznością ciągów arytmetycznego i geometrycznego 17

18 5.3. Ciąg arytmetyczny 5.4. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 5.5. Ciąg geometryczny rozpoznaje ciąg arytmetyczny na podstawie opisu słownego, wykresu lub kilku wypisanych wyrazów zna i stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu arytmetycznego rozwiązuje zadania, które dotyczą ciągu arytmetycznego, a ich rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi lub równań kwadratowych bada na podstawie definicji, czy ciąg dany wzorem ogólnym jest ciągiem arytmetycznym wyznacza różnicę ciągu na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu arytmetycznego, używając tylko opisu symbolicznego oblicza wyraz środkowy skończonego ciągu arytmetycznego rozwiązuje zadania dotyczące ciągu arytmetycznego, stosując odpowiedni algorytm zna wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w niezbyt skomplikowanych sytuacjach rozpoznaje ciągi arytmetyczne występujące w zadaniach tekstowych rozpoznaje ciąg geometryczny na podstawie opisu słownego lub kilku wypisanych wyrazów zna i stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu geometrycznego rozwiązuje zadania, które dotyczą ciągu geometrycznego, sprowadzając je do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi lub równań kwadratowych wyznacza iloraz ciągu na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu geometrycznego, używając tylko opisu symbolicznego wykorzystuje średnią geometryczną do obliczania wyrazu środkowego skończonego ciągu geometrycznego prowadzi proste rozumowania, np. dowodząc własności ciągu arytmetycznego uzasadnia, np. bada monotoniczność ciągu arytmetycznego dotyczące ciągu arytmetycznego, korzystając z układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi, równań kwadratowych, wielomianowych lub wymiernych wyznacza dowolny wyraz, różnicę lub liczbę wyrazów ciągu na podstawie informacji, wśród których jest dana suma n początkowych wyrazów ciągu wyprowadza wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bada na podstawie definicji, czy ciąg dany wzorem ogólnym jest ciągiem geometrycznym prowadzi proste rozumowania, np. dowodząc własności ciągu geometrycznego uzasadnia, np. dowodząc, własności ciągu geometrycznego dotyczące ciągu geometrycznego, sprowadzając je do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi, równań kwadratowych, wielomianowych lub wymiernych 18

19 5.6. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 5.7. Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zastosowaniach praktycznych 5.8. Obliczenia procentowe a ciąg geometryczny 5.9 Granica ciągu Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Sp. z o.o. zna wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego w nieskomplikowanych sytuacjach rozpoznaje ciągi geometryczne występujące w zadaniach tekstowych rozwiązuje zadania dotyczące ciągów arytmetycznego i geometrycznego, sprowadzając je do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi, równań kwadratowych, wielomianowych, wymiernych zna pojęcie procentu prostego i składanego stosuje procent składany przy rozwiązywaniu prostych zadań oblicza odsetki od lokaty założonej na kilka lat przy stałym oprocentowaniu i przy dowolnym okresie kapitalizacji oblicza kapitał zgromadzony po kilku latach, jeśli zna kapitał początkowy i oprocentowanie w podanym okresie kapitalizacji zna pojęcia otoczenia liczby o danym promieniu wyznacza wyrazy ciągu, które należą do otoczenia granicy o zadanym promieniu, gdy prowadzi to do rozwiązywania prostych nierówności liniowych rozumie intuicyjnie pojęcie granicy ciągu rozpoznaje ciągi zbieżne do 0 typu 1/n, 1/n 2 wyprowadza wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego prowadzi rozumowania, w których odwołuje się do własności ciągów arytmetycznego i geometrycznego wyznacza roczną stopę procentową, jeśli zna kapitał początkowy, liczbę okresów kapitalizacji odsetek i kapitał końcowy wyznacza liczbę lat, po których kapitał początkowy przy znanej stopie oprocentowania i okresie kapitalizacji odsetek osiągnie daną wartość rozwiązuje zadania dotyczące lokat i kredytów wyznacza wyrazy ciągu, które należą do otoczenia granicy o zadanym promieniu, gdy prowadzi to do rozwiązywania nierówności liniowych, kwadratowych, wielomianowych lub wymiernych wykazuje zbieżność ciągu do Obliczanie granic ciągów. Granice niewłaściwe stosuje twierdzenia o działaniach na granicach oblicza granice ciągów, korzystając z granic już znanych ciągów i stosując twierdzenia o działaniach na granicach wskazuje ciągi, które nie mają granic wyznacza granice niewłaściwe ciągów zna i potrafi uzasadnić twierdzenia o działaniach na granicach ciągów potrafi uzasadnić, że ciąg nie ma granicy rozwiązuje problemy o podwyższonym stopniu Szereg geometryczny rozpoznaje szereg geometryczny zna warunek zbieżności szeregu geometrycznego i stosuje go do badania zbieżności szeregu oblicza sumę szeregu geometrycznego zbieżnego zamienia ułamek okresowy na ułamek zwykły, w których odwołuje się do warunku zbieżności szeregu geometrycznego 6. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna 6.1. Potęga o wykładniku rzeczywistym zna pojęcia potęg o wykładnikach: naturalnym, całkowitym, wymiernym oraz rzeczywistym stosuje poznane prawa działań na potęgach o wykładnikach: naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz rzeczywistych zna definicję i własności pierwiastka arytmetycznego oblicza wartości liczbowe wyrażeń zawierających potęgi oraz pierwiastki przekształca wyrażenia zawierające potęgi oraz pierwiastki stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania obliczeń i przekształcania wyrażeń 19

20 6.2. Funkcja wykładnicza i jej własności 6.3. Przekształcanie wykresów wykładniczych 6.4. Logarytm liczby dodatniej. Własności logarytmów 6.5. Funkcja logarytmiczna i jej własności 6.6. Przekształcanie wykresów logarytmicznych 6.7. Równania i nierówności wykładnicze 6.8. Równania i nierówności logarytmiczne zna definicję wykładniczej rozpoznaje funkcję wykładniczą szkicuje wykresy wykładniczych y = a x dla a > 1 oraz 0 < a < 1 sprawdza, czy punkt należy do wykresu wykładniczej podaje własności wykładniczej na podstawie jej wykresu przekształca wykres wykładniczej, stosując: symetrię względem osi x, symetrię względem osi y, symetrię względem punktu (0, 0) przekształca wykres wykładniczej, stosując przesunięcie równoległe do osi x i osi y przekształca wykres wykładniczej, stosując przesunięcie o dany wektor zna pojęcie logarytmu oblicza logarytmy liczb dodatnich wykonuje działania na logarytmach z wykorzystaniem poznanych praw zna i stosuje własności logarytmów do obliczania wartości wyrażeń zna definicję logarytmicznej odróżnia funkcję logarytmiczną od innych określa dziedzinę logarytmicznej szkicuje wykresy logarytmicznych y log a x dla a > 1 oraz 0 < a < 1 przekształca wykres logarytmicznej, stosując: symetrię względem osi x, symetrię względem osi y, symetrię względem punktu (0, 0), przesunięcie o wektor opisuje własności na podstawie jej wykresu rozwiązuje algebraicznie i graficznie proste równania oraz nierówności wykładnicze, stosując poznane własności działań na potęgach oraz różnowartościowość i monotoniczność wykładniczej rozwiązuje algebraicznie i graficznie proste równania oraz nierówności logarytmiczne, stosując poznane własności działań na logarytmach oraz różnowartościowość i monotoniczność logarytmicznej wyznacza wzór wykładniczej na podstawie wykresu korzystając z wykresu i umiejętności porównywania potęg o tej samej podstawie, wyznacza argumenty, dla których funkcja osiąga określone wartości lub spełnia podane warunki bada, na podstawie definicji, własności wykładniczych: parzystość, nieparzystość, monotoniczność, różnowartościowość szkicuje wykresy y = f(x + a), y = f(x)+ a, y = f(x), y = f( x), y = f(x) na podstawie wykresu wykładniczej y = f(x), stosując odpowiednie przekształcenia szkicuje wykresy wykładniczych otrzymanych w wyniku złożenia kilku przekształceń zapisuje wzór, której wykres otrzymuje w wyniku dokonanych przekształceń stosuje w obliczeniach wzór na zamianę podstawy logarytmu dowodzi prostych własności logarytmów przekształca wyrażenia o podwyższonym stopniu zawierające logarytmy opisuje własności logarytmicznej na podstawie jej wykresu szkicuje wykresy y = f(x + a), y = f(x)+ a, y = f(x), y = f( x), y = f(x) na podstawie wykresu logarytmicznej y = f(x), stosując odpowiednie przekształcenia szkicuje wykresy logarytmicznych otrzymanych w wyniku złożenia kilku przekształceń zapisuje wzór, której wykres otrzymuje w wyniku dokonanych przekształceń rozwiązuje proste równania i nierówności wykładnicze z wartością bezwzględną bada liczbę rozwiązań równania lub nierówności wykładniczych w zależności od wartości parametru rozwiązuje proste równania i nierówności logarytmiczne z wartością bezwzględną bada liczbę rozwiązań równania lub nierówności logarytmicznych w zależności od wartości parametru 20