1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n(n + 2) (n 7)(n 5) jest podzielna przez 7. 4. Uzasadnij, że liczba 11 5 1 jest podzielna przez 10. 5. Średnia arytmetyczna liczb a i b jest równa 10. Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb a, b i 10 jest także równa 10. 6. Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej x liczba 2x 2 + 4x + 10 jest podzielna przez 8. 7. Udowodnij, że jeśli a jest liczbą całkowitą, to liczba (2a + 1) 2 1 jest podzielna przez 8. 8. Uzasadnij, że wartość wyrażenia (n + 1) 2 (n 1) 2 jest liczbą parzystą dla dowolnej liczby naturalnej n. 9. Jeśli a, b, c są kolejnymi liczbami naturalnymi, to b 2 ac = 1. 10. Udowodnij, że jeśli a jest liczbą naturalną, to liczba a 3 a jest podzielna przez 6. 11. Liczby 10 20 1 i 10 30 1 są podzielne przez 41. Uzasadnij, że liczby 10 30 10 20 i 10 12 100 są również podzielne przez 41. 12. Uzasadnij, że jeśli k i m są dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi, to (-1) k + (-1) m = 0 13. Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n 2 +n dzieli się przez 2. 14. Udowodnij, że kwadrat średniej arytmetycznej dwóch różnych liczb naturalnych jest większy od iloczynu tych liczb. 15. Uzasadnij, że średnia arytmetyczna trzech kolejnych liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą. 16. Uzasadnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest parzysta, jest liczba podzielną przez 12.
17. Wykaż, że dla czterech kolejnych liczb naturalnych różnic iloczynu drugiej i trzeciej oraz iloczynu pierwszej i czwartej ma stałą wartość. 18. Udowodnij, że jeśli do liczby całkowitej dodamy jej kwadrat, to otrzymana suma będzie parzysta. 19. Reszty z dzielenia przez 5 liczb naturalnych a, b, c, d wynoszą odpowiednio: 1, 2, 3 i 4. Wykaż, że suma: a + b + c + d jest liczbą podzielną przez 5. 20. Reszty z dzielenia przez 7 czterech liczb naturalnych wynoszą odpowiednio: 1, 3, 4 i 6. Wykaż, że suma tych liczb jest liczbą podzielną przez 7. 21. Udowodnij, że: a) jeśli od liczby dwucyfrowe odejmiemy liczbę dwucyfrową powstałą z przedstawienia cyfr tej liczby, to otrzymamy liczbę podzielną przez 9, b) suma liczby dwucyfrowej i liczby powstałej z przedstawienia cyfr tej liczby jest liczbą podzielną przez 11, c) jeśli w liczbie trzycyfrowej cyfra dziesiątek jest równa sumie cyfr jedności i setek, to ta liczba jest podzielna przez 11, d) jeśli od liczby trzycyfrowej odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymany wynik będzie podzielny przez 9. 22. Wykaż, że a) różnica kwadratów dwóch kolejnych parzystych liczb naturalnych jest równa podwojonej sumie tych liczb (od większej odejmujemy mniejszą), b) różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4, c) różnica kwadratu dowolnej liczby nieparzystej i liczby 1 jest podzielna przez 4, d) różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczba nieparzystą (od większej odejmujemy mniejszą), e) różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest równa podwojonej sumie tych liczb (od większej odejmujemy mniejszą), f) różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8 (od większej odejmujemy mniejszą),
g) suma kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych zwiększona o 4 jest podzielna przez 8, 23. Uzasadnij, że liczba a) 3 n+2 + 3 n jest podzielna przez 10 b) 3 n+3 + 3 n jest podzielna przez 28 c) 7 n+2 + 7 n jest podzielna przez 50 d) 2 n+2 + 2 n+1 + 2 n jest podzielna przez 7 e) 5 n + 5 n+1 + 5 n+2 jest podzielna przez 155 f) 2 n + 2 n+2 jest podzielna przez 5 g) 2 n+3 + 2 n jest podzielna przez 9 24. Wykaż, że: a) 3 27 + 3 29 jest podzielna przez 30, b) 2 10 + 2 11 + 2 12 + 2 13 jest podzielna przez 15, c) 3 18 + 3 19 + 3 20 + 3 21 jest podzielna przez 40, d) 5 10 + 5 11 + 5 12 jest podzielna przez 31 25. Uzasadnij, że a) suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3, b) suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5, c) suma siedmiu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 7, d) suma dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 4, e) suma czterech kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8,
f) suma trzech kolejnych parzystych liczb naturalnych jest podzielna przez 6. 26. Udowodnij, że a) suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą, b) suma liczby parzystej i liczby nieparzystej jest liczb nieparzystą 27. *Uzasadnij, że jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 14, to jest podzielna przez 10. 28. Przyjmij, że k oznacza liczbę całkowitą. Udowodnij, że suma czterech kolejnych liczb nieparzystych następujących po liczbie 2k jest podzielna przez 8. 27 I sposób Jeżeli liczba jest podzielna przez 15, to jest podzielna przez 3 i 5. Jeżeli liczba jest podzielna przez 14, to jest podzielna przez 2 i 7. Ponieważ ta liczba jest podzielna jednocześnie przez 14 i 15, to znaczy, że jest podzielna przez 2, 3, 5 i 7. A jeśli jest podzielna przez 2 i 5 to jest podzielna przez 10. II sposób Liczba podzielna przez 14 jest też podzielna przez 2. Liczba podzielna przez 15 jest też podzielna przez 5. Skoro liczba jest podzielna przez 2 i 5, to oznacza, że liczba ta jest podzielna przez 10.
1. Uzasadnij, że wśród prostokątów o ustalonym obwodzie 4a największe pole ma kwadrat. 2. Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt S wewnątrz tego równoległoboku. Uzasadnij, że pole zamalowanego obszaru jest równe polu obszaru niezamalowanego (rys. 1). rys. 1 3. Uzasadnij, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180 o. 4. Uzasadnij, że w trapezie miary kątów,,, spełniają warunki: + = 180 o i + = 180 o (rys. 2). rys. 2 5. Uzasadnij, że w trapezie A BCD pola trójkątów ABC i ABD są równe (rys. 3). rys. 3 6. Uzasadnij, że jedna z wysokości trójkąta przedstawionego na rys. 4 zawiera się w dwusiecznej jednego z kątów tego trójkąta. rys. 4 7. Wiadomo, że jeden z kątów równoległoboku jest prosty. Uzasadnij, że równoległobok ten jest prostokątem. rys. 5 M
8. Punkt D jest środkiem boku Ab trójkąta ABC. Wykaż, że jeśli trójkąt ADC jest równoboczny, to trójkąt ABC jest prostokątny (rys. 5). 9. Uzasadnij, że pole koła wpisanego w kwadrat stanowi ponad 75% pola tego kwadratu, a pole kwadratu wpisanego w koło to mniej niż 75% pola tego koła. rys. 6 10. Uzasadnij, że kąt ma miarę równą sumie kątów i (rys. 6). 11. Proste p i r są równoległe. Uzasadnij, że + = 90 o (rys. 7). rys. 7 12. Wykaż, że dwusieczne kątów przyległych są prostopadłe. 13. Czworokąt ABCD jest deltoidem, a czworokąt BCDE jest rombem. Odcinki AE i DE są równej dłubgości oraz BAD = 45 o. Uzasadnij, że czworokąt BCDE jest kwadratem (rys. 8). rys. 8 14. W trapezie prostokątnym wprowadzono oznaczenia: a dłuższa podstawa, b krótsza podstwa, p dłuższa przekątna, q krótsza przekątna. Uzasadnij, że: a 2 b 2 = p 2 q 2. 15. Uzasadnij, że jeśli wielokąt foremny ma środek symetrii, to suma miar jego kątów wewnętrznych jest całkowitą wielokrotnością miary kąta pełnego. 16. Uzasadnij, że okrąg opisany na trójkącie równobocznym jest dwukrotnie dłuższy niż okrąg wpisany w ten trójkąt. 17. W czworokącie dwa kąty wewnętrzne leżące naprzeciw siebie są proste. Uzasadnij, że na tym czworokącie można opisać okrąg.
18. Wysokość CD trójkąta równobocznego ABC jest jednocześnie bokiem kwadratu CDEF. Uzasadnij, że odcinek DB jest dłuższy niż odcinek BE (rys. 9). rys. 9 19. Proste są równoległe. Uzasadnij, że trójkąt ADG jest prostokątny (rys. 10). rys. 10 20. Punkt C należy do boku AD trójkąta ADG. Uzasadnij, że jeśli AC = DC = CG, to trójkąt jest prostokątny (rys. 11). rys. 11 21. W trójkącie ABG przedłużono bok AG i poprowadzono dwusieczną kąta BGC, równoległą do AB. Uzasadnij, że trójkąt ABG jest równoramienny (rys. 12). rys. 12 22. Każdy bok trójkąta równobocznego ABC podzielona na trzy równe części, jak na rysunku obok. Uzasadnij, że trójkąt AEH i czworokąt EBGH mają równe pola (rys. 13). rys. 13 23. W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie M. Uzasadnij, że trójkąty AMD i BMC mają równe pola (rys. 5). rys. 5 M 24. Czy istnieje trójkąt, w którym dwie dwusieczne kątów wewnętrznych są prostopadłe? 25. Uzasadnij, że dwusieczne kątów leżących przy jednym ramieniu dowolnego trapezu przecinają się pod kątem prostym.
26. Uzasadnij, że w trójkącie równoramiennym wysokości opadające na ramiona są równe. 27. Punkt E jest środkiem boku równoległoboku. Uzasadnij, że kąt jest kątem prostym (rys. 14). rys. 14 28. W trójkącie ABC symetralna boku AC przechodzi przez wierzchołek B, zaś symetralna boku BC przechodzi przez wierzhołek A. Wykaż, że trójkąt ABC jest równoboczny. 29. W równoległoboku, który nie jest rombem poprowadzono dwusieczne wszystkich kątów wewnątrznych. Uzasadnij, że czworokąt, którego wiechłkoami są punkty przecięcia tych dwusiecznych, jest prostokątem. 30. Prosta a jest styczna do okręgu o środku S. Uzasadnij, że kąt jest dwa razy większy niż kąt (rys. 15). rys. 15 S 31. Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgu wpisanego oraz opisanego. 32. Uzasadnij, że jeśli na równoległoboku można opisać okrąg, to równoległobok ten jest prostokątem. 33. Uzasadnij, że jeśli w równoległobok można wpisać okrąg, to równoległobok ten jest rombem. rys. 16
34. Na rysunku 16 p r. Udowodnij, że + =. 35. Rys. 17 skłąda się z trzech półprostych o początkach w wierzchołkach trójkąta. Udowodnij, że: a) + + = 360 o, b) Jeśli dodatkowo + = 3, to trójkąt jest prostokątny. rys. 17 36. Rys. 18 został utworzony z trzech odcinków i półpostej. Udowodnij, że = + +. rys. 18 37. *Uzasadnij, że oba kąty przy podstawie AB trójkąta ABC są równe (rys. 19). rys. 19 38. *Na rys. 20 są 2 równoległoboki ABCD i ABEF. Uzasadnij, że czworokąty CDAG i EFGB mają równe pola. rys. 20 39. *Uzasadnij, że dwusieczne kątów BAD i ABC równoległoboku ABCD są prostopadłe (rys. 21). rys. 21 40. *Trzy proste przecinające się w sposób przedstawiony na rysunku tworzą trójkąt ABC. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest równoboczny (rys. 22). rys. 22
41. *Na rys. 23 przedstawiono kwadraty zbudowane na bokach trójkąta równobocznego. Uzasadnij, że FAD jest kątem prostym. rys. 23 42. *Na rysunku 24 przedstawiono trapez ABCD i trójkąt AFD. Punkt E leży w połowie odcinka BC. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD i pole trójkąta AFD są równe rys. 24 43. Wysokości trójkąta równobocznego ABC przecinają się w punkcie P. Wykaż, że pole trójkąta ABP jest trzy razy mniejsze niż pole trójkąta ABC. 44. Uzasadnij, że kąt ostry między dwusiecznymi kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równy 45 o (rys. 25). rys. 25 45. Czy trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym? Uzasadnij odpowiedź. S środek okręgu (rys. 26). rys. 26 46. * Poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku w punkcie S. Uzasadnij, że AP = BP rys. 27
40 42 lub
46