Matematyczne modele psychrometrycznych własności powietrza. Markowski Marek ABSTRACT: Zaprezentowano modele psychrometrycznych parametrów powietrza, wybrane z literatury ze względu na łatwość wykorzystania ich do komputerowej symulacji. Wskazano te modele, które zapewniają dużą dokładność wyników. Ograniczono się do omówienia modeli wilgotności względnej powietrza, zawartości wody w powietrzu oraz temperatury mokrego termometru i temperatury punktu rosy, które są najważniejszymi parametrami powietrza z punktu widzenia zastosowań suszarniczych. Przedstawione w niniejszej pracy algorytmy obliczania parametrów wilgotnego powietrza nadają się do ich komputerowej realizacji. Czas obliczeń jest rzędu setnych części sekundy, a dokładność obliczeń jest z praktycznego punktu widzenia bardzo wysoka. S ł o w a k l u c z o w e: Powietrze, własności psychrometryczne, matematyczne modele. OZNACZENIA - wilgotność względna powietrza x - zawartość wody w powietrzu (kg/kg) P s - ciśnienie nasycenia (kpa) P v - ciśnienie cząstkowe pary wodnej (kpa) P AT - ciśnienie atmosferyczne (kpa) t - temperatura suchego termometru ( C) T - temperatura bezwzględna suchego termometru ( K) t M - temperatura mokrego termometru ( C) t r - temperatura punktu rosy ( C) - zmienna pomocnicza w równaniu (8) i (9) 1. WPROWADZENIE W wielu inżynierskich zastosowaniach z dziedziny techniki rolniczej niezbędne jest wyznaczanie wybranych psychometrycznych parametrów powietrza. Znajomość wybranych parametrów powietrza szczególnie często niezbędna jest do analizowania procesów suszenia produktów rolniczych a także w trakcie realizacji niektórych eksperymentów. Podstawowym narzędziem do obliczania parametrów wilgotnego powietrza jest wykres i-x. Korzystanie z wykresu i-x jest bardzo niewygodne w sytuacjach gdy zachodzi potrzeba częstego obliczania parametrów powietrza. Dla celów komputerowej symulacji procesów wymiany ciepła i masy bezpośrednie wykorzystanie wykresu i-x jest niemożliwe. Stosuje się w takich sytuacjach jeden z matematycznych modeli, które opisane są w literaturze naukowej. Istnieje stosunkowo duża liczba publikacji dotyczących algorytmów obliczania parametrów powietrza (Ratti i in [1989], Chau [1980], Weiss [1977], Wilhelm [1976], Brooker i in.
2 [1974], Agrawall i in. [1974], Barwick i in. [1967], Brooker [1967]). W pracach tych przedstawiono algorytmy obliczania m.in. wilgotności względnej powietrza, zawartości wody w powietrzu x, temperatury mokrego termometru t M, które to parametry są wykorzystywane do analizy procesów suszarniczych. W matematycznych modelach przedstawionych w powyższych pracach wykorzystano wiele różnych formuł empirycznych, często w każdej pracy innych dla tego samego parametru, przy czym do oznaczania jednostek wykorzystywano zarówno układ miar SI jak i układy anglosaskie. Tak duża różnorodność modeli utrudnia podjęcie decyzji, który model stosować. W niniejszej pracy postawiono sobie za cel przedstawienie modeli psychrometrycznych parametrów powietrza, wybranych z literatury ze względu na łatwość wykorzystania ich do komputerowej symulacji oraz wskazanie tych modeli, które zapewniają dużą dokładność wyników. Ograniczono się do omówienia modeli wilgotności względnej powietrza, zawartości wody w powietrzu oraz temperatury mokrego termometru i temperatury punktu rosy, które są najważniejszymi parametrami powietrza z punktu widzenia zastosowań suszarniczych. 2. MATEMATYCZNE MODELE Podstawowymi równaniami są równości (1)-(3), opisujące zależność wilgotności względnej powietrza i zawartości wody w powietrzu od ciśnienia cząstkowego pary wodnej i ciśnienia nasycenia, Lewicki [1990], Staniszewski [1969]: P v P, s (1) v x 0.62198 P, PAT Pv (2) 2.1 CIŚNIENIE NASYCENIA Ciśnienie atmosferyczne P AT jest zwykle wielkością daną. Tak więc na mocy równań (1)-(2) dla obliczenia lub x potrzebna jest znajomość ciśnienia cząstkowego pary wodnej lub ciśnienia nasycenia. W praktyce do obliczeń wykorzystuje się wartość ciśnienia nasycenia. Poniżej przedstawiono równania opisujące ciśnienie nasycenia wygodne do stosowania w obliczeniach ze względu na dużą dokładność wyników oraz stosowany w nich układ miar SI. Weiss [1977] cytuje za Tetensem [1930]: Ps 17.2693882t 0. 61078exp( ), (3) t 237. 30 przy czym 0 t 100 C. Weiss [1977] i Wilhelm [1976] cytują za Wexlerem i Greenspanem [1971]: 7511.52 5 2 ln( Ps) 89.63121 0.023998970T 1.1654551*10 T T, (4) -8 3 11 4-1.2810336*10 T 2.0998405*10 T 12.15079ln(T)
3 przy czym 273.16 T 393.16 K. 2.2. TEMPERATURA MOKREGO TERMOMETRU W literaturze rzadko spotyka się równania przedstawiających zależność temperatury mokrego termometru od innych parametrów powietrza w formie jawnej. Pomimo tego modele przedstawiające temperaturę mokrego termometru w formie uwikłanej mogą być efektywnie wykorzystywane do jej symulacji komputerowej. Poniżej przedstawiono równania opisujące temperaturę mokrego termometru z wykorzystaniem układu miar SI. Wilhelm [1976] wyprowadził na bazie praw termodynamiki równanie określające zależność temperatury mokrego termometru od innych parametrów powietrza: (2501 2.411t )x (t ) 1.006(t t ) M s M M x. (5) 2501 1.775t 4.186t M Należy przy tym podkreślić, że x s (t M ) jest to zawartość wody w powietrzu w warunkach nasycenia w temperaturze mokrego termometru. Model wyprowadzony przez Chau [1980] ma postać następującej formuły empirycznej: 3 2 t t [b ( t) b ( t) b ( t)]exp[b ( t) + b ] t M r 1 2 3 4 5 r gdzie ( t) = t - t r, przy czym współczynniki b 1 - b 6 przedstawione są w tabeli 1. b 6, (6) 2.3. TEMPERATURA PUNKTU ROSY W równaniu (7) występuje temperatura punktu rosy t r. Wartość t r można obliczyć na podstawie modelu wyprowadzonego przez Wilhelma [1976] : t r 6. 983 14. 38 1. 079 2, (7) dla 0 t 50 C oraz t r 13. 80 9. 478 1. 991 2, (8) dla 50 t 100 C, przy czym = ln(p v ). (9) 3. KOMPUTEROWA REALIZACJA MODELI Równania (1)-(9) mogą być z powodzeniem wykorzystane do obliczania niektórych psychometrycznych parametrów powietrza a w szczególności do obliczania wilgotności względnej powietrza, zawartości wody w
4 powietrzu oraz temperatury mokrego termometru i temperatury punktu rosy. Sposób wykorzystania równań zależy od tego, które dwa parametry powietrza są dane i które będą obliczane. W zastosowaniach suszarniczych najczęściej mamy do czynienia z sytuacją, gdy znana jest temperatura suchego termometru oraz wilgotność względna powietrza lub zawartość wody w powietrzu. Wyznaczyć zaś należy zawartość wody w powietrzu lub wilgotność względną powietrza oraz temperaturę mokrego termometru i temperaturę punktu rosy. Omówione zostaną dwa przypadki obliczania parametrów powietrza. Algorytmy obliczeń w obu przypadkach można przedstawić w niżej opisany sposób. a) Przypadek pierwszy - dana jest temperatura suchego termometru i wilgotność względna a obliczyć należy zawartość wody w powietrzu oraz temperaturę mokrego termometru i temperaturę punktu rosy: 1. Wczytać t, oraz P AT =101.325 kpa; 2. Obliczyć ciśnienie nasycenia p s ze wzoru (3) lub (4); 3. Obliczyć cząstkowe ciśnienie pary p v ze wzoru (1); 4. Obliczyć zawartość wody w powietrzu x ze wzoru (2); 5. Obliczyć temperaturę punktu rosy t r ze wzorów (7)-(9); 6. Obliczyć temperaturę mokrego termometru t M ze wzoru (5) lub (6). W przypadku zastosowania wzoru (5) należy obliczyć zawartość wody w warunkach nasycenia x s ze wzoru (2) wstawiając p s w miejsce p v. Równanie (6) należy rozwiązywać numerycznie (np. metodą siecznych). b) Przypadek drugi - dana jest temperatura suchego termometru i zawartość wody w powietrzu a obliczyć należy wilgotność względną oraz temperaturę mokrego termometru i temperaturę punktu rosy: 1. Wczytać t, x oraz P AT =101.325 kpa; 2. Obliczyć ciśnienie nasycenia p s ze wzoru (3) lub (4); 3. Obliczyć cząstkowe ciśnienie pary p v ze wzoru (2); 4. Obliczyć wilgotność względną ze wzoru (1); 5. Obliczyć temperaturę punktu rosy t r ze wzorów (7)-(9); 6. Obliczyć temperaturę mokrego termometru t M ze wzoru (5) lub (6). Opracowano program komputerowy wykorzystujący dwie procedury. Procedurę T_FI, która realizuje algorytm a) oraz procedurę T_X realizującą algorytm b). Do obliczania ciśnienia nasycenia wykorzystano model (3) i (4). Do obliczania temperatury mokrego termometru zastosowano równanie (5), które rozwiązywane było metodą siecznych oraz równanie (6). Czas jednego przebiegu programu w celu obliczenia parametrów powietrza jest mniejszy od 0.1s. 4. WNIOSKI Wyniki obliczeń uzyskane za pomocą algorytmów a) i b) wykazują bardzo dużą zgodność z wynikami pomiarów parametrów powietrza publikowanych w literaturze. Najwyższą dokładność osiągnięto stosując równanie (3) do obliczania ciśnienia nasycenia oraz równanie (5) do obliczania temperatury mokrego termometru. W tabeli 2 przedstawiono wyniki symulacji komputerowej wilgotności względnej, zawartości wody w powietrzu oraz temperatury mokrego termometru i punktu rosy. Dla porównania zamieszczono również
5 odpowiednie dane eksperymentalne pochodzące z ASHRAE [1972] cytowane za Wilhelmem [1976]. Na podstawie analizy uzyskanych wyników można sformułować następujące wnioski: 1. Przedstawione w niniejszej pracy algorytmy obliczania parametrów wilgotnego powietrza nadają się do ich komputerowej realizacji, przy czym czas obliczeń jest rzędu setnych części sekundy, a dokładność obliczeń jest z praktycznego punktu widzenia bardzo wysoka. 2. Do obliczania ciśnienia nasycenia należy stosować równanie (3). Do obliczania temperatury mokrego termometru należy stosować równanie (6). 3. Ponieważ przedstawione w pracy modele w znacznej części składają się z formuł empirycznych, zakres ich zastosowań jest ograniczony do zakresu ważności formuł, a więc 0 t 100 C. Jednakże ten zakres temperatur suchego termometru obejmuje większość praktycznie spotykanych sytuacji z zakresu suszarnictwa produktów rolniczych. BIBLIOGRAFIA Agrawall, K.K., H.V.Rao, 1974. a computer model of psychrometric properties of air. Trans. ASAE, 17: 67-79. ASHRAE, 1972. Handbook of fundamentals. ASHRAE, Inc.New York. Barwick, A.J., K.A.Jordan, A.D.Longhouse, 1967. Accuracy in computer evaluation of moist air properties. Trans. ASAE, 10: 579-585. Brooker, D.B, F.w.Bakker-Arkema, C.W.Hall, 1974. Drying cereal grains. The Avi Publishing. Brooker, D.B., 1967. Mathematical model of the psychrometric chart. Trans. ASAE, 10: 558-560. Chau, K.V., 1980. Some new empirical equations for properties of moist air. Trans. ASAE, 23: 1266-1271. Lewicki, P.P., 1990. Inżynieria procesowa i aparatura przemysłu spożywczego. Tom 2. WNT, Warszawa. Ratti, C., G.H.Crapiste, E.Rotstein, 1989. Psychr: a computer program to calculate psychrometric properties. Drying Technology, 7: 575-580. Staniszewski, B. 1969. Termodynamika. PWN, Warszawa. Weiss, A., 1977. Algorithms for the calculation of moist air properties on hans calculator. Trans. ASAE, 20: 1133-1136. Wilhelm, L.R., 1976. Numerical calculations of psychrometric properties in SI units. Trans. ASAE, 19: 318-321.
6 Tabela 1. Współczynniki b 1 - b 6 w równaniu (6). strefa 5 6 0 t r 40 C 0 t 82 C 0 t r 40 C 82 t 149 C b 1 0.157853*10-4 0.571141*10-5 b 2-0.413278*10-2 -0.146300*10-2 b 3 0.587189 0.525065 b 4 0.560380*10-4 0.293342*10-4 b 5-0.0197368-0.0165536 b 6 1.15724 1.18502 Tabela 2. Porównanie obliczonych wartości parametrów psychrometrycznych z wartościami stabelaryzowanymi w ASHRAE [1972]. ródło t tr tm fi x pochodzenia ASHRAE 20-9.500 7.8 a 0.116 0.00168 T_FI 20-9.943 7.875 0.116 0.00167 T_X 20-9.939 7.876 0.116 0.00167 ASHRAE 20 18.03 18.8 a 0.884 0.0130 T_FI 20 17.992 18.678 0.884 0.0130 T_X 20 18.050 18.715 0.887 0.0130 ASHRAE 35-0.35 16.0 a 0.106 0.00386 T_FI 35-0.171 16.112 0.106 0.00368 T_X 35-0.171 16.112 0.106 0.00368 ASHRAE 35 32.97 33.5 a 0.893 0.0326 T_FI 35 32.995 33.344 0.893 0.03242 T_X 35 32.982 33.334 0.892 0.03260 ASHRAE 70 29.53 37.0 a 0.133 0.0266 T_FI 70 31.325 36.973 0.133 0.0266 T_X 70 31.341 36.984 0.1331 0.0266 ASHRAE 70 68.85 b 0.951 0.260 T_FI 70 68.824 68.890 0.951 0.258 T_X 70 68.969 69.029 0.957 0.260 ASHRAE 100 46.0 51.0 0.1 0.0692 T_FI 100 46.586 51.322 0.1000 0.0698 T_X 100 46.448 51.218 0.0992 0.0692 a - wyznaczone na podstawie wykresu i-x. b - brak danych.