Ćwiczenie: Badanie normalności rozkładu. Wyznaczanie przedziałów ufności Badanie normalności rozkładu Shapiro-Wilka: jest on najbardziej zalecanym testem normalności rozkładu. Jednak wskazane jest, aby liczebność próby była poniżej 2000, gdyż w przeciwnym wypadku daje mylne wyniki. Test ten wymaga, aby cecha miała rozkład ciągły. Kołmogorowa-Smirnowa (K-S): Wymaga znajomości średniej i odchylenie standardowego dla populacji. W sytuacji, gdy nie znamy wyżej wymienionych parametrów stosujemy test K-S z poprawką Lilieforsa. Test K-S wymaga, aby cecha była ciągła. Jest to test mocniejszy, aniżeli test Χ 2. Przykład 1: Sprawdź czy zmienne: imisja SO 2 i pyłu posiadają rozkład zgodny z normalnym. 1. W menu wybieramy polecenie STATYSTYKA STATYSTYKI PODSTAWOWE I TABELE. 2. Klikamy na przycisk Zmienne i wskazujemy na SO2_D24 i Pyl_D24. 3. Następnie klikamy na przycisk Normalność. Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 1
4. W kolejnym kroku zaznaczamy wskazane pola wyboru, a następnie klikamy na Histogramy: WYNIKI: 600 Histogram: SO2_D24 K-S d=.13113, p<.01 ; Lillief ors p<.01 Shapiro-Wilk W=.84723, p=0.0000 500 400 Liczba obs. 300 200 100 0-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 X <= Granica klasy Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 2
Histogram: Pyl_mD1 K-S d=.07521, p<.01 ; Lilliefors p<.01 Shapiro-Wilk W=.94728, p=0.0000 Statystyki opisowe (babulice100.sta) Zmienna 400 N ważnych Średnia Mediana Moda Liczność Minimum Maksimum Odch.std Mody SO2_D24 350 1095 6.64559 5.26560 8.800000 11 0.60000 36.7000 5.20404 Pyl_mD1 1095 54.06121 51.48000 Wielokr. 10 12.60000 146.2384 25.77776 300 Statystyki opisowe Zmienna (babulice100.sta) Skośność 250 Kurtoza SO2_D24 1.788387 4.905109 Pyl_mD1 0.842483 200 0.510501 W celu Liczba obs. 150 100 50 0-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 X <= Granica klasy stwierdzenia czy badana cecha posiada rozkład zgodny z normalnym patrzymy na wartość p. Jeśli ta wartość jest równa lub mniejsza aniżeli 0,05, to mamy podstawę do odrzucenia hipotezy zerowej i stwierdzenia, iż badana cecha nie posiada rozkładu zgodnego z normalnego. W powyższym przykładzie wszystkie testy normalności rozkładu dowodzą, iż istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej. Oznacza to, że rozkład SO 2 i Pyłu jest niezgodny zgodny z rozkładem normalnym. Obydwie cechy posiadają rozkłady asymetryczne dodatnie (prawostronne). Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 3
Przykład 2: Oblicz podstawowe miary położenia i zmienności w odniesieniu do LIPNIK! 1. Kliknij na przycisk SELECT CASES, a następnie wprowadź warunek selekcji! Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 4
Statystyki opisowe (babulice100.sta)warunek uwzględniania: obiekt="lipniki" Zmienna N ważnych Średnia Ufność Ufność Minimum Maksimum Odch.std -95.000% 95.000 SO2_D24 365 5.17849 4.83351 5.52348 0.60000 13.9700 3.35162 Pyl_mD1 365 52.70718 50.17044 55.24391 12.60000 130.5700 24.64488 Zadanie 1 (MS EXCEL). Wykonaj wykresy typu HISTOGRAM, na którym zaprezentujesz rozkład masy i długości ciała noworodków. W tym celu posłuż się modułem Analiza danych. Histogram Częstość 25 20 15 10 5 0 2000 2500 3000 3500 4000 Zbiór danych (koszyk) Więcej Częstość Zadanie 2 (Statistica PL). Sprawdź czy długość, szerokość i masa jaj srok posiadają rozkład zgodny z normalnym (jajasrok.xls). Zadanie 3 (Statistica PL). Jaki rozkład posiadają liczebności drobnoustrojów (bakterie100.xls)? Czy rozkład uległ zmianie po wykonaniu transformacji logarytmicznych? Zadanie 4 (Statistica PL). Czy grubość rogówki posiada rozkład zgodny z normalnym? Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 5
Wyznaczanie przedziałów ufności Estymacja to postępowanie statystyczne zmierzające do oszacowania parametrów populacji generalnej (µ,σ) na podstawie statystyk uzyskanych z populacji próbnej. Estymator statystyka z próby służąca do oszacowania parametru (θ). Może nim być średnia arytmetyczna, odchylenie standardowe, mediana, współczynniki zmienności. Estymator, podobnie jak sama zmienna losowa, posiada własny rozkład. Nie zawsze jednak wymienione wcześniej statystyki będą uznawane za najlepsze estymatory. Powinny spełniać one określone własności. Estymacja przedziałowa - polega na wyznaczeniu przedziału liczbowego, który z określonym prawdopodobieństwem zawiera szacowany parametr. Końce przedziału zależą od wartości estymatora. Przedział ufności - losowy przedział, który z określonym prawdopodobieństwem określa wartość parametru. To inaczej przedział liczbowy, w którym znajduje się prawdziwa, lecz nieznana wartość parametru θ. Przedział (g1,g2) jest przedziałem ufności parametru θ, określonym na poziomie ufności 1-α, jeżeli prawdopodobieństwo, że θ leży w tym przedziale jest równe 1-α. Poziom ufności 1-α jest prawdopodobieństwem, że θ leży w przedziale (g1,g2). Przedział (g1,g2), którym g1 i g2 przyjmują skończone wartości nazywa się dwustronnym przedziałem ufności. Jeżeli α =0,05, to 1-α =0,95 oznacza to, że średnio na każde 100 przedziałów ustalonych na 100 prób losowych, w 95 przypadkach prawdziwa wartość parametru θ znajduje się wewnątrz przedziału, natomiast w 5 przypadkach znajduje się poza przedziałem. Im niższy przyjmiemy poziom ufności, tym mniejsze będzie prawdopodobieństwo błędnego określenia przedziału, jednak jednocześnie wydłużony będzie przedział ufności. Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 6
Przykład: Wyznacz 95% przedział ufności w odniesieniu do imisji SO 2 i pyłu. 1. W menu wybieramy polecenie STATYSTYKA STATYSTYKI PODSTAWOWE I TABELE. 2. Klikamy na przycisk Zmienne i wskazujemy na SO2_D24 i Pyl_D24. 3. Następnie klikamy na przycisk Więcej. Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 7
4. W kolejnym kroku zaznaczamy wskazane pola wyboru: 5. Następnie klikamy na przycisk Podsumowanie. Statystyki opisowe (babulice100.sta) Zmienna N ważnych Średnia Ufność Ufność Minimum Maksimum Odch.std -95.000% 95.000 SO2_D24 1095 6.64559 6.33701 6.95416 0.60000 36.7000 5.20404 Pyl_mD1 1095 54.06121 52.53270 55.58971 12.60000 146.2384 25.77776 Odp.: Wyznaczony przedział ufności pozwala wnioskować z prawdopodobieństwem 95%, że średnia imisja dwutlenku siarki w otoczeniu zakładów przemysłowych o profilu zbliżonym do badanego powinna zawierać się w przedziale 6,33-6,96 µg / m 3. Należy oczekiwać, że średni poziom pyłu winien zawierać się w przedziale 52,53-55,59 µg / m 3. Zadanie 1 (MS EXCEL). 1. Otwórz plik roztocze.xls (wcześnie przekopiuj plik do własnego folderu) zawierający dane dotyczące liczebności roztoczy w pobliżu zakładów produkcyjnych. 2. Skopiuj do kolejnego wolnego arkusza wiersz zawierający nazwy cech. 3. Zmień nazwę tegoż arkusza roboczego na ufnosc. 4. Sporządź tabelę zawierającą wybrane miary położenia i zmienności w odniesieniu do liczby roztoczy w próbach z okolic Białowieży (średnia arytmetyczna, odchylenie standardowe). 5. Oblicz lewą i prawą stronę ufności (95%) dla wszystkich rodzajów mechowców i roztoczy. x S x ( tα ) < Θ < x + n ( t α S x * ) n 6. Sporządź szereg rozdzielczy prezentujący liczebność roztocze na m 2. W oparciu o sporządzony szereg rozdzielczy wykonaj wykres typu histogram. Jaki jest to typ rozkładu (roztocze.xls)? Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 8
Zadanie 2 (STATISTICA PL). 1. Otwórz plik jajasrok.xls, który znajduje się w S:\OS_STAT\BAZY_XLS. Skonstruuj przedziały ufności (95 i 99%) dla długości, szerokości i masy jaj srok. Statystyka i modelowanie w ochronie środowiska Strona 9