Zadania z kaletańskich rejonowych konkursów matematycznych dla uczniów gimnazjum Pierwszy konkurs rok 2004/05 1. Dokładnie dwóch z czterech zawodników W, X, Y, Z w skoku w dal uzyskało taki sam wynik. Jaka mogła być kolejność tych zawodników? Podać wszystkie możliwości. 2. Znaleźć wszystkie liczby naturalne, których suma cyfr i iloczyn cyfr są równe 6. 3. Ania przeczytała książkę w ciągu 13 dni, przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej niż w poprzednim. W trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron, a w ostatnim 68 stron. Ile stron miała ta książka? 4. Znaleźć wszystkie liczby całkowite n aby ułamek był liczbą całkowitą. n + 3 n 1 5. Suma pewnej ilości liczb naturalnych jest równa 11. Jaki może być największy ich iloczyn? 6. Ile prostopadłościanów o polu powierzchni 52 cm 2 i o jednej krawędzi a = 2 cm można ułożyć z najwyżej 40 sześcianów o krawędzi 1 cm. 7. Na płaszczyźnie jest 100 punktów, z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej. Ile różnych prostych wyznaczają te punkty? 8. Znaleźć cyfry x, y, (x y), aby liczba trzycyfrowa xyx była podzielna przez 4, a liczba yxy była podzielna przez 3. Drugi konkurs rok 2005/06 1. Znaleźć wszystkie pary liczb dwucyfrowych, że a) ich suma jest podzielna przez 23, b) jeżeli od liczby większej odejmiemy mniejszą, to otrzymamy liczbę podzielna przez 29. 2. Długości boków trójkąta prostokątnego wyrażają się liczbami naturalnymi. Jedna przyprostokątna ma długość 15. Znaleźć wszystkie takie trójkąty. 3. Autobus z Kalet do Katowic jechał ze średnią prędkością 30 km/h, a w drodze powrotnej ze średnią prędkością 50 km/h. Jaka była średnia prędkość autobusu na trasie Kalety - Katowice i z powrotem. 4. Na ścianach sześcianu połączono liniami poziomymi środki przeciwległych boków. Ile różnych najkrótszych dróg po krawędziach sześcianu albo po narysowanych liniach poziomych i pionowych prowadzi od jednego wierzchołka do najdalszego wierzchołka? Odpowiedź uzasadnij. 5. Najdłuższa możliwa podstawa a trapezu o bokach a, 3, 3, 3 ma długość całkowitą. Oblicz pole tego trapezu. 1
6. Przekątna prostopadłościanu o krawędziach całkowitych ma długość mniejszą niż 5. Znaleźć wszystkie takie prostopadłościany. 7. Pas złożony jest z 2006 kwadratów (patrz rys. 1). W każdym kwadracie jest jedna cyfra. Dwie sąsiednie cyfry tworzą liczbę dwucyfrową, która jest wielokrotnością liczby 17 albo 23. Jaka jest pierwsza cyfra, jeżeli wiadomo, że ostatnią cyfrą jest 7? Rys. 1 8. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 utworzyć dwie liczy: czterocyfrową i pięciocyfrową tak, aby każda cyfra wystąpiła dokładnie raz i aby iloczyn tych liczb był największy. Trzeci konkurs rok 2006/07 1. Czy istnieje taka liczba naturalna x, która jest pierwiastkiem równania Odpowiedź uzasadnij. x 3 10x 2 + x = 7654321? 2. Udowodnić, że istnieje tylko jedna dodatnia liczba rzeczywista p taka, że wartość ułamka 4p p 2 + 4 jest liczbą całkowitą. 3. Dany jest trójkąt równoboczny ABC o bokach długości a. Na przedłużeniach półprostych AB, BC i CA poza punkty B, C i A leżą odpowiednio punkty B 1, C 1 i A 1, takie że AA 1 = BB 1 = CC 1 = a. Obliczyć długość boku trójkąta A 1 B 1 C 1. 4. Znaleźć wszystkie liczby całkowite dodatnie x y z spełniające równanie xyz = 24. 5. Udowodnić, że dla wszystkich liczb naturalnych n liczba jest podzielna przez 3. n 3 n + 15 6. Dany jest na płaszczyźnie ośmiokąt foremny ABCDEF GH. Wskazać (wraz z dowodem) który z dwóch trójkątów ADF i CEG ma większe pole. 7. Dany jest trójkąt równoramienny o bokach długości 10 cm, 10 cm i 12 cm. Obliczyć odległość środka okręgu opisanego i środka okręgu wpisanego w ten trójkąt. 8. Sześciokąt ABCDEF jest wpisany w okrąg o promieniu 3 i AD jest średnicą tego okręgu. Cztery boki AB, CD, DE i F A mają długość 2. Obliczyć pole tego sześciokąta. 2
Czwarty konkurs rok 2007/08 1. Prostokąt ABCD ma boki długości AB = 6 3 cm i BC = 4 2 cm; oznaczmy przez F 5 3 środek odcinka AB. Na prostej BC znaleźć taki punkt X, aby pole trójkąta AF X było równe 5 pola prostokąta ABCD (obliczyć długość x odcinka BX). 8 2. Ile metrów drutu o przekroju 1 mm 2 otrzymamy z jednej tony miedzi, jeżeli 1 dm 3 waży 9,93 kg. Objętość walca obliczamy mnożąc pole podstawy walca przez wysokość walca. 3. Odległość kolejowa miast A i B wynosi 225 km. Pociąg przejedzie ten odcinek w czasie 4 3 godziny. Chcemy skrócić czas przejazdu tego pociągu o 10 %. O ile procent 4 należy zwiększyć prędkość pociągu? 4. Dany jest równoległobok o bokach 9 cm i 6 cm i kącie ostrym 60. Podzielić ten równoległobok na 6 takich samych trójkątów. Podać wszystkie takie możliwe podziały. 5. Znaleźć wszystkie liczby naturalne między 1 a 1 000 000, takie że po skreśleniu pierwszej cyfry liczba zmniejszy sie 73 razy. 6. Dane jest wyrażenie 4x 4 y 2 + 1 x 2 (4y 2 + 1). Udowodnić, że jeżeli podstawimy w tym wyrażeniu x > 1 i y > 1, to wartość tego wyrażenia jest liczbą dodatnią. 7. Obwód trójkąta wynosi 100 cm, a iloczyn długości boków wyrażonych w cm wynosi 28 080. Obliczyć długości jego boków w cm, jeżeli wyrażają się one liczbami naturalnymi. Znaleźć wszystkie rozwiązania. 8. Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi 3 cm (patrz rys. 2). Obliczyć długości wszystkich wysokości trójkąta EDC. Rys. 2 Piąty konkurs rok 2008/09 1. Na obozie jest 50 dzieci. Jedna szósta dziewcząt i jedna ósma chłopców nie umie pływać. Pływać umie 43 dzieci. Ile dziewcząt było na obozie? 2. Gwiazdę jak na rys. 3 rozdzielono dwoma odcinkami AB i BC na trzy części: I, II i III. Obliczyć pole każdej z części. 3
Rys. 3 3. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 utworzyć dwie liczby naturalne tak, aby ich suma była najmniejsza. Każdą cyfrę trzeba użyć dokładnie raz. Ile jest takich par liczb? 4. Rzucamy 4 razy kostką do gry. Sumujemy trzy pierwsze ilości oczek i odejmujemy czwartą. Wiemy, że wyrzuciliśmy na kostce 1, 2, 5 i 6 oczek, ale nie wiemy w jakiej kolejności. Jaki wynik mogliśmy uzyskać? 5. Dany jest siedmiokąt foremny ABCDEF G. Jaki kąt tworzą proste DG i BE? 6. Znaleźć wszystkie ułamki, które są wielokrotnością liczby 4, a licznik i mianownik są trzycyfrowymi liczbami naturalnymi. 7. Mamy liczby trzycyfrowe zapisane przy pomocy różnych cyfr a, b, c takich, że nie zachodzi a < b < c ani a > b > c. Jaka jest największa taka liczba trzycyfrowa, która: a) nie jest podzielna przez 3, b) jest podzielna przez 150. 8. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 tworzymy trzy liczby mieszane postaci a b, w których c ułamek b jest właściwy. Każdą cyfrę wykorzystujemy dokładnie raz. Jaka jest największa c suma tych trzech liczb mieszanych? Szósty konkurs rok 2009/10 1. Znaleźć wszystkie trójki x, y, z liczb naturalnych mniejszych od 10 takie, że ich iloczyn jest 7 razy większy niż ich suma. 2. Schody ruchome w metrze zawiozą człowieka na górę za 24 sekundy. Gdyby człowiek biegł na sąsiednich stałych schodach, to dobiegnie za 12 sekund. Za ile sekund dostanie sie na górę, gdy będzie biegł po ruchomych schodach? 3. Znaleźć wszystkie liczby trzycyfrowe abc o cyfrach a, b, c takie, że ab, ba, ac, ca, bc, cb są liczbami pierwszymi. 5. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x, y takie, że x 2 + y 2 = aaa, gdzie aaa oznacza liczbę trzycyfrową złożoną z trzech takich samych cyfr a. 4. Mamy dany trójkąt ABC. Kąty przy każdym z wierzchołków A i B zostały podzielone na cztery takie same kąty. Jeden z trzech kątów x, y, z okazał się prostym (patrz rys. 4). Jaką miarę ma kąt ACB? 4
Rys. 4 6. Ile potrzeba sześcianów o powierzchni 54 cm 2 aby ułożyć z nich duży sześcian o powierzchni 1350 cm 2. 7. Udowodnić, że suma 8 kwadratów kolejnych liczb naturalnych nieparzystych jest podzialna przez 8. 8. Znaleźć taką liczbę dwucyfrową, która po podzieleniu przez sumę jej cyfr daje jedną trzecią sumy cyfr. Siódmy konkurs rok 2010/11 1. Znaleźć wszystkie liczby naturalne mniejsze niż 2000 takie, że ich druga potęga jest podzielna przez 7, 8, 9 i 10. 2. Jaką część trapezu nierównoramiennego KLMN o podstawach KL i MN tworzy trójkąt ABC, gdzie A jest środkiem podstawy KL, B jest środkiem podstawy MN i C jest środkiem ramienia KN? 3. Odcinki AM, BM, CM i DM, o takiej samej długości, wychodzące z punktu M tworzą kolejno kąty AMB = 25, BMC = 38, CMD = 43. Obliczyć jaki kąt tworzą proste AB i CD. 4. Na ile sposobów można zapisać liczbę 3 w postaci ułamka niewłaściwego, którego licznik i mianownik jest liczbą naturalną czterocyfrową? 5. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną, która po pomnożeniu przez 13 daje liczbę zapisaną takimi samymi cyframi. 6. W trójkącie prostokątnym przyprostokątna CA ma długość b = 7 cm, a przeciwprostokątna AB ma długość c = 9 cm. Obliczyć długość wysokości h trójkąta ABC, wychodzącej z wierzchołka C. 7. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną n taką, że reszta z dzielenia przez liczby 2, 3, 4, 5 i 6 jest równa 1 oraz reszta z dzielenia przez 7 jest równa 4. 8. W prostokącie o wymiarach 3 m 2 m dane są 385 różnych punktów. Udowodnić, że istnieje 5 punktów, które można pokryć kwadratem o boku długości 25 cm. Ósmy konkurs rok 2011/12 1. Mamy jedenaście patyczków o długościach: 2 cm, 3 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 5 cm, 5 cm, 6 cm, 6 cm, 6 cm i 9 cm. Wybieramy dziewięć patyczków i układamy z nich trzy 5
trójkąty - jeżeli jest to możliwe. Czy można w ten sposób ułożyć trzy trójkąty o takim samym obwodzie? Odpowiedź uzasadnić. 2. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD taki, że istnieje punkt E na boku BC oraz CE = CD i BE = AB. Udowodnić, że AED jest trójkątem prostokątnym. 3. Na ile co najwyżej części mogą dzielić płaszczyznę 4 okręgi? Narysować taki podział. 4. Znaleźć liczbę abcd (przez abcd oznaczamy liczbę całkowitą czterocyfrową o cyfrach a, b, c i d) wiedząc, że suma tej liczby i liczby dcba otrzymanej przez odwrócenie porządku cyfr jest 10 razy większa od liczby abcd. 5. Dany jest trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym w wierzchołku C. Punkt D leży na prostej AB i zachodzi BD = BC. Punkt E leży na prostej prostopadłej do AB przechodzącej przez A i zachodzi AE = AC. Punkty E i C leżą po tej samej stronie prostej AB. Pokazać, że punkty C, D i E leżą na jednej linii prostej. 6. Znaleźć wszystkie liczby dwucyfrowe ab i ba, których kwadraty są odpowiednio równe acd i dca. 7. W trójkącie różnobocznym ABC dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i C przecinają się w punkcie O należącym do odcinka MN równoległego do boku BC i takiego, że M AB i N AC. Udowodnij, że MN = MB + NC. 8. Zapisać liczbę 75 jako sumę kilku kolejnych liczb naturalnych. Podać wszystkie rozwiązania. Dziewiąty konkurs rok 2012/13 1. Oddział żołnierzy ćwiczył przegrupowania. Najpierw ułożyli się w kwadrat. Potem z oddziału odeszło 105 żołnierzy i ułożyli się najpierw w prostokąt, w którym było 13 rzędów, a potem ułożyli się w kwadrat. Ilu żołnierzy liczył na początku oddział? 2. Kąt ostry równoległoboku ABCD jest równy 60. Odległość punktu S przecięcia przekątnych od boku AB jest równa 2 cm, a od boku AD 1 cm. Obliczyć długości boków równoległoboku. 3. Znaleźć wszystkie pięciocyfrowe liczby naturalne, że po skreśleniu pierwszej i ostatniej cyfry liczba zmniejszy się 250 razy. 4. Pręt stalowy ma przekrój prostokątny o wymiarach 2,7 cm na 1,5 cm. Waga 1 dm 3 stali wynosi 7,6 kg. Ile waży ten pręt, jeżeli jego długość wynosi 10 m. Ile takich dziesięciometrowych prętów można wykonać z 1,4 tony stali? 5. Uczeń dodał wszystkie liczby dwucyfrowe, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3 i otrzymał 911. Okazało się, że jedną z tych liczb zapomniał dodać. Obliczyć jaka to liczba. 6. Rycerze walczyli ze smokiem. Pierwszy lewą ręką uciął mu połowę głów, a prawą jeszcze dwie głowy. Tak samo zrobił drugi i trzeci rycerz. Wtedy smok padł martwy. Ile głów miał smok? 7. Znaleźć promień większego okręgu, jeżeli mniejsze okręgi mają promień 1 cm (patrz rys. 5). 6
Rys. 5 8. Ile jest liczb pięciocyfrowych, których zapis składa się tylko z cyfr 2 i 4? Ile jest liczb sześciocyfrowych, które można zapisać używając tylko cyfr 2 i 4? Dziesiąty konkurs rok 2013/14 1. Udowodnić, że jeżeli (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2, to ad = bc. 2. W trójkącie równobocznym ABC o boku długości a, wewnątrz boku AC wybrano punkt D taki, że AD = d. Następnie przedłużono bok BC poza punkt C do punktu E tak, że EC = d i punkty B, C, E leżą na jednej prostej, Udowodnić, że BD = DE. 3. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołki mają współrzędne A( 1; 1), B(5; 1) i C(1; 3). 4. W czworokącie wypukłym ABCD środkami boków AB, BC, CD i DA są odpowiednio punkty K, L, M, N. Udowodnić, że obwód czworokąta KLMN jest równy sumie długości przekątnych AC i BD czworokąta ABCD. 5. Tata z córką Asią i synem Wojtkiem złożyli się na prezent dla mamy. Tato dał połowę tego, co dały dzieci, i jeszcze 13 zł; Asia dała trzecią część tego co dał tato i Wojtek, i jeszcze 13 zł; Wojtek dał czwartą część tego co dali tato i Asia, i jeszcze 13 zł. Ile kosztował prezent dla mamy? 6. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną, która może być przedstawiona na dwa różne sposoby jako suma kwadratów dwóch różnych liczb naturalnych. Np. przedstawienia liczby 10 w postaci 1 2 + 3 2 i 3 2 + 1 2 (różniące się tylko kolejnością) uważamy za takie same. 7. Rozpatrujemy pewien podzbiór liczb naturalnych trzycyfrowych o różnych cyfrach ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Gdy weźmiemy dowolną liczbę z tego zbioru, to jej trzy cyfry są kolejnymi cyframi. Ile jest najwięcej liczb trzycyfrowych o takiej własności? 8. Mamy liczby naturalne m i n takie, że m 5 + n 3 = 7901. Obliczyć wartość m 3 + n 5. 7