MODELE TEORII GIER Podejmowne decyzj nwestycyjnych często jest dokonywne w sytucjch, w których ne wdomo, jk będze stn otoczen lub też, jką decyzję podejmą nn decydenc, mjący wpływ n wynk decyzj przez ns podejmownych. Przykłdem może być konkurencj klku przedsęborstw n rynku, który jest podzelony mędzy ne - decyzje podjęte przez kżdego z konkurentów mją wpływ n wynk pozostłych udzłowców rynku. Możn powedzeć, że w śwece fnnsów bez przerwy stykmy sę z konflktem nteresów, podobne jk w grch. Grć możemy np. n gełdze. Sytucje te noszą nzwę konflktowych (sytucje decyzyjne, w których występują decydenc o, njczęścej, rozbeżnych celch). Stąd nuk, któr zjmuje sę nlzą wszelkego rodzju sytucj konflktowych (ne tylko ekonomcznych) nos nzwę teor ger. O uczestnkch gry mów sę, że są jej grczm. Grć możn: z jednym grczem (gry dwuosobowe), bądź z welom grczm (gry weloosobowe). Grcze mogą sę ze sobą porozumewć, tworząc kolcje (gry koopercyjne), bądź mogą sę ne porozumewć (gry nekoopercyjne). Grć możn z przecwnkem ntelgentnym (gry włścwe), bądź z przecwnkem, któremu ne zleży n wygrnej (gry z nturą). W nszych rozwżnch zjmemy sę szczegółowo grm z nturą orz grm dwuosobowym o sume zero. Gry o sume zero są to tke gry, w których wygrn jednego grcz jest równ przegrnej drugego z nch.
7. GRY Z NATURĄ Gry z nturą są grm dwuosobowym, przy czym ntur jest rozumn jko przecwnk nerozumny w przecweństwe do nnych grczy. Nturze ne zleży n wynku gry. Istneje klk sposobów wyboru optymlnej strteg w grch z nturą: ) kryterum optymsty; b) kryterum pesymsty; c) kryterum Hurwcz; d) kryterum Byes ; e) kryterum Svge. Opsne rodzje kryterów zdefnujemy n przykłdze. Przykłd 7. Rolnk posdjący glebę klsy III m wybrć pod uprwę jeden z trzech rodzjów zbóż. Plony tych zbóż z h, w kwntlch, w zleżnośc od wrunków klmtycznych przedstw tbel. Który z rodzjów zbóż pownen wybrć rolnk? Stny ntury Susz Normlne Deszcze Zboże Żyto 4 8 36 Pszenc 3 30 8 Jęczmeń 8 34 9 Przyjmjmy nstępujące oznczen: M lczb decyzj (w przykłdze: 3), N lczb stnów ntury (w przykłdze: 3), j wrtość zysku (w przykłdze: wysokość plonów) wynkjącego z podjęc decyzj o numerze przy wystąpenu sytucj (stnu ntury) o numerze j,,..., M, j,..., N ;
Kryterum optymsty zkłd, że wystąp njlepszy z możlwych stnów ntury (jesteśmy optymstm). Wybór decyzj poleg n określenu njlepszej wrtośc w kżdym werszu mcerzy, nstępne wybermy tą decyzję (zboże), z którą jest zwązn njwększ wrtość z wcześnej określonych, tzn. wybermy tką decyzję o, dl której zchodz: v (7.) o( o ) j mx, M Dl nszego przypdku mmy: mx j, N mx j,3 mx j,3 mx j,3 mx mx { 4, 8, 36} mx 36 j j 3 j { 3, 30, 8} 3 { 8, 34, 9} 34 mx36, o Kryterum pesymsty jest kryterum ostrożnym. Zkłd ono, że zjdze sytucj njmnej korzystn dl podejmującego decyzję (jesteśmy pesymstm). Dltego dl kżdej strteg (kżdego wersz) mcerzy wypłt nleży określć njmnejszą wrtość (zwązną z njbrdzej nekorzystną sytucją) dl której t mnmln wrtość jest njwększ, tzn. wybermy tką decyzję p, dl której zchodz: v (7.) p( p ) j mx, M mn j, N Dl nszego przypdku mmy: mn mn 4,8,36 j,3 mn j,3 mn j,3 j j 3 j mn mn { } { 3,30,8} 4 8 { 8,34,9} 8 mx8, p lub p 3 3
Kryterum Hurwcz jest kryterum wżonym mędzy kryterm: optymsty pesymsty. Wgą jest rbtrlne wybrn wrtość prmetru α [ 0,] (tzw. współczynnk optymzmu), decyzją h optymlną dl tego kryterum jest tk decyzj, dl której zchodz: { } (7.3) ( α) α ( α) v, mx mx + mn h h j j, M j, N j, N Zuwżmy: jeżel α, to, h o 0, to h p jeżel α. Nech α0,4. Dl nszego przykłdu mmy: 0,4 mx + 0,6 mn 0,4 36 + 0,6 4 8,8 j,3 0,4 mx j,3 0,4 mx j,3 j j 3 j j,3 + 0,6 mn j,3 + 0,6 mn j,3 j j 3 j orz mx { 8,; 9,; } 30, 4 0,4 3+ 0,6 8 9, 0,4 34 + 0,6 8 30,4 30,4, stąd 3. h Kryterum Byes zkłd, że decyzją optymlną jest t decyzj, dl której wrtość oczekwn wygrnej jest njwększ, przy złożenu znjomośc rozkłdu p ( p, p, p m ) n stnch ntury. Njczęścej przyjmuje sę, że kżdy stn ntury może wystąpć z jednkowym prwdopodobeństwem, tzn. p j, N j, N. Wybermy tką decyzję b, dl której zchodz: (7.4) vb ( b ) mx p jj, M N j 4
Dl nszego przypdku mmy: p p p3 N 3 dl 4 + 8 + 36 9,04 3 3 3 dl 3 + 30 + 8 9,4 3 3 3 dl 3 8 + 34 + 9 30,03 3 3 3 mx 9,04; 9,4; 30,03 30,, stąd 3. orz { } 03 b Kryterum Svge spełn postult mnmlzcj oczekwnej strty wynkłej z podjęc przez ns decyzj gorszej nż njlepsz możlw dl dnego stnu ntury (z punktu wdzen podejmującego decyzję). Perwszym etpem jest znlezene tzw. mcerzy strt. Strt jest różncą mędzy njwększą wygrną możlwą dl dnego stnu ntury, wygrną odpowdjącą nszej decyzj. Element S j mcerzy strt wylczymy nstępująco: (7.5) Sj j j gdze: (7.6) j mxj, M Mjąc określoną mcerz strt wybermy tką decyzję strt jest njmnejsz, tzn.: s, dl której v mn mx s (7.7) s( s ) j, M j, N 5
Utwórzmy njperw mcerz strt. Mcerz perwotn A mł postć: A 4 3 8 3 8 30 34 34 36 8 9 36 mksymlne wygrne dl poszczególnych stnów ntury tzn. mx 3,, M mx 34,, M 3 mx 3 36., M Mcerz strt S będze mł wobec tego postć: S 3 4 3 3 3 8 34 8 34 30 34 34 36 36 36 8 36 9 7 0 3 6 4 0 0 8 7 mx s j,3 mx s j,3 mx s j,3 j j 3 j mx mx mx orz { 7,8,7} 7 { 7,6,0} 7 { 0,4,8} 8 { 3,0,7} 7 mn, stąd lub 3. s s 6
PRZYKŁAD (prdoks kryterum Svge ) Podejmujemy decyzję, czy ść do kn, tetru, czy muzeum. Możemy trfć n dobry flm lub spektkl, lbo też słby. Ne wemy tylko, czy muzeum jest otwrte. Muzeum zmknęte Muzeum otwrte dobry słby dobry słby Flm 0 4 Flm 0 4 Spektkl 3 0 Spektkl 3 0 Wystw 0 0 Wystw mx 0 0 mx 0 Żl odpowdjący powyższym sytucjom przedstwją tbelk: mx Jeżel muzeum jest zmknęte, mx 0 6 6 to dzemy do kn, w p.p. do 0 8 8 7 0 7 tetru?!!!! 7 7 0 0 0 8 0 8 7
7. GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZERO Złóżmy, że w grze berze udzł dwóch grczy ostrożnych ntelgentnych: grcz A grcz B. Kżdy z nch może smodzelne podejmowć decyzje (nzywne strtegm grcz). Przyjmjmy, że grcz A m ch M, grcz B N. Dl kżdej pry (, j) decyzj grczy A B znn jest pewn lczb j oznczjąc wygrną grcz A w przypdku, gdy grcz ten podejme decyzję o numerze przy podjęcu przez grcz B decyzj o numerze j. Mcerz M A [ j ] M N nzywć będzemy mcerzą wypłt grcz A. Dl grcz B, w przypdku ger z zerową sumą wypłt, mcerz wypłt jest równ M B M A. Oczywstym jest, że grcz A będze sę strł zmksymlzowć swoją wygrną, grcz B zmnmlzowć swoją przegrną (ujemn wygrn grcz A ozncz wygrną grcz B). Interesy obu grczy są węc sprzeczne. Obj grcze będą dążyć do osągnęc tzw. punktu równowg w grze. Jest to tk sytucj (pr strteg (, j ) obu grczy), któr zpewn grczow A możlwe njwększą wygrną, grczow B możlwe njmnejszą strtę orz zmn tej pry strteg przez obu grczy ne jest dl żdnego z nch opłcln. Element j nos nzwę wrtośc V gry. Punkt równowg nzyw sę często punktem sodłowym mcerzy wypłt. Jest to element mcerzy znjdujący sę n przecęcu wersz o tkm numerze orz kolumny, o tkm numerze j, że element j jest njmnejszy w swom werszu jednocześne njwększy w swojej kolumne. Formlne punkt równowg jest wyznczny nstępująco: wyznczyć tką prę strteg (, j ), dl której zchodz: (7.8) mx mn j mn mx j V {,.., M } j {,..., N} j {,.., N} {,..., M } Jeżel w grze stneje tk pr strteg, dl której spełnone jest (7.8), to prę tą nzywmy rozwąznem gry w zborze tzw. strteg czystych. Strtegę czystą możn utożsmć z tką decyzją grcz, któr jest podejmown tylko rz. j 8
Przykłd 7. (gr z zerową sumą wypłt, konflkt wojenny dwóch stron) W czse II wojny śwtowej jpończycy wlczyl z meryknm w bsene Ocenu Spokojnego. W 943 roku Jpończycy chcel użyć swoch sł stcjonujących w Rbul, Now Brytn, by ztkowć meryknów stcjonujących w Le, Ppu/Now Gwne (rysunek ponżej). Przerzucjąc swoje wojsk trnsportem morskm, jpończycy mogl to zrobć północnym (I strteg) lub połudnowym (II strteg) korytrzem wokół Nowej Brytn. Amerykne z rcj szczupłośc sł odległośc mogl skoncentrowć swoje lotnctwo bombowe n ptrolownu północnego (strteg I) lub połudnowego (strteg II) korytrz. Mcerz ponżej przedstw możlwą lczbę dn bombrdown jpońskego trnsportu przez merykńske lotnctwo w zleżnośc od wybrnej strteg jednych drugch. j Co sę stło? Którą strtegę pownn byl wybrć jedn drudzy? 9
The jpnese, who wnt to mnmze the number of dys of bombng, pck strtegy I, s ths only gves them sngle dy of bombng (nsted of 3) f the mercns pck strtegy II. The mercns, on ther hnd, wnt to mxmze the number of dys of bombng, know tht the jpnese wll pck strtegy I, snce tht obvously s the better choce for them, nd therefore lso pck strtegy I snce tht s the best choce gven the jpnese move. For the jpnese, strtegy I s lwys better thn strtegy II, nd s therefore clled domntng strtegy. Pommo tego, że jpończycy wybrl njlpeszą z możlwych swoch strteg (I) poneśl brdzo cężke strty w czse bombrdowń. Ale to już ne był wn teor ger g 0
Przed sprwdzenem, czy w grze stneje pr strteg czystych w równowdze, pownnśmy usunąć z mcerzy wypłt M A tk zwne strtege zdomnowne. Uzyskmy wówczs mcerz M A. Mówmy, że strteg -t grcz A (-ty werz mcerzy M A ) domnuje strtegę k-tą tego grcz (k-ty werz mcerzy M A ) jeżel (7.9) j kj dl kżdego j orz (7.0) > dl przynjmnej jednego j j kj Mówmy, że strteg j-t grcz B (j-t kolumn mcerzy M A ) domnuje strtegę k-tą tego grcz (k-tą kolumnę mcerzy M A ) jeżel (7.) dl kżdego orz j k (7.) < dl przynjmnej jednego j k Poprzez usunęce strteg zdomnownych zmnejszmy wymr mcerzy wypłt, nstępne sprwdzmy, czy stneje punkt sodłowy. Jeśl stneje, to pr strteg (, j ), dl której spełnone jest (7.8) jest rozwąznem gry. Często zdrz sę, że ne stneje tk pr strteg (, j ), dl której spełnone jest (7.8) (czyl ne stneje punkt sodłowy), tzn. zchodz (7.3) α mx mn j mn mx j γ {,.., M } j {,..., N} j {,.., N} {,..., M } Lczb α jest tzw. dolną wrtoścą gry, lczb γ - górną wrtoścą gry. Wówczs wyzncz sę tzw. sytucję równowg w zborze tzw. strteg mesznych. Strteg meszn jest to kombncj lnow strteg czystych. Inczej możn powedzeć, że strtegę meszną kżdego grcz tworzy rozkłd prwdopodobeństw n zborze jego strteg czystych. Strtege meszne stosowne są n ogół w dwóch rodzjch sytucj: w przypdku welokrotnego (nezleżnego od
sebe) rozgrywn tej smej gry (wtedy prwdopodobeństw nformują o częstośc stosown poszczególnych strteg czystych) lub gdy obszr zstosown decyzj (strteg czystych) dje sę podzelć n wystrczjąco wele obszrów częścowych (przykłd rolnk, który m do obsn pewen reł welom rodzjm pszency zmuszony jest stosowć różny mterł sewny w odpowednch proporcjch). Dl przypdku, gdy obj grcze mją po dwe dopuszczlne strtege, rozkłd prwdopodobeństw n strtegch czystych (czyl strtegę meszną) wyzncz sę nstępująco: (7.4) x +, x x (7.5) y +, y y gdze x jest częstoścą stosown -tej strteg przez grcz A, y j jest częstoścą stosown j-tej strteg przez grcz B. Oczekwn wygrn V obu grczy jest tk sm wynos: (7.6) H ( x, y ) V j x y j. j Jeżel mcerz M A jest wymru N lub M, to stosujemy metodę grfczną poszukwn strteg mesznych.
Przykłd 7.b (wykorzystne teor ger do ustlen welkośc produkcj dwóch frm) Dwóch producentów wytwrz ten sm towr, który jest sprzedwny n rynku. Nech d(z) ozncz funkcję popytu (z - lczb sztuk towru n rynku (w tys.)), c(z) - funkcj kosztów wytwrzn. W ustlonym okrese producent A może wytworzyć z sztuk wyrobu, zś producent B - z sztuk wyrobu. Popyt mleje wrz ze wzrostem lczby sztuk towru n rynku jest zerowy, gdy łączn lczb sztuk towru z z 0. Złóżmy, że producenc z pewnych względów ne porozumewją sę przed wystwenem towru n rynek. Jeśl producenc wystwą n rynek z z sztuk towru, to perwszy z nch otrzym zysk w wysokośc: (7.7) H z, z ) z d( z + z ) c( ) drug ( z (7.8) H ( z, z ) z d( z + z ) c( z ) Przy złożenu, że (7.9) c( z) z 0 (7.0), d( z) z 0, z < z 0 5 w przecwnym przypdku określć le towru pownen kżdy z producentów produkowć, by jego udzł w zysku był możlwe njwększy orz welkość wygrnej kżdego z nch. Złożyć, że obj producenc mogą produkowć towr w nstępujących lczbch sztuk (w tys.):, są jedynym producentm n rynku tego wyrobu. 3
Rozwązne: Z treśc zdn wynk, że kżdy z producentów m do wyboru strtege (lczb sztuk produkownych wyrobów). Njperw tworzymy mcerz wypłt dl grcz (producent) nr (A). Elementm j mcerzy wypłt grcz nr będą wrtośc funkcj H ( ) ( z, z ) H z, z H( z, z ) + H ( z, z ) opsującej udzł w zysku, przy czym z, z j. Dl przykłdu: H(, ) (, ) + H (, ) d( + ) c() 3 0 d( + ) c() + d( + ) c() + 3 0 3 0 H Mcerz wypłt M A dl grcz A po nezbędnych wylczench wygląd nstępująco: (7.) M A 0.5 0.33 0.33 0.5 Dl grcz B mcerz wypłt jest nstępując: M B M A, gdze. Otrzymlśmy ztem grę ze stłą sumą wypłt równą. Okzuje sę, że tką grę możn rozptrywć podobne jk grę z zerową sumą wypłt korzystjąc z pewnego twerdzen 3. Zuwżmy, że gr t ne posd rozwązn w zborze strteg czystych ponewż w mcerzy M A ne stneje tk element, który byłby njmnejszym w swom werszu jednocześne njwększym w swojej kolumne, tzn. ne d sę wyznczyć tkej pry strteg (, j ), dl której zchodz (7.8). W zwązku z tym, będzemy poszukwl rozwązn w zborze strteg mesznych wyznczjąc rozkłd 0.33 Gr z zerową sumą wypłt jest szczególnym przypdkem gry ze stłą sumą wypłt. 3 Kżd nekoopercyjn gr ze stłą sumą wypłt jest równowżn (w sense strteg) pewnej grze z zerową sumą wypłt. 4
prwdopodobeństw n strtegch czystych obu grczy ze wzorów (7.4), (7.5). Otrzymmy: dl grcz A: x 0.5 0.33 0.5 0.33 0.33 + 0.5 + x x 0.5 dl grcz B: y 0.5 0.33 0.5 0.33 0.33+ 0.5 + y y 0.5 0.5, 0.5, Kżdy z grczy pownen ztem stosowć obe swoje strtege z częstoścm 0.5, co zpewn m oczekwną wygrną (oczekwny udzł zysku) równą: V j j x y j 0.5 0.5 0.5 + 0.33 0.5 0.5 + 0.5 0.5 0.5 + 0.33 0.5 0.5 0.665 g 5
7.3 ZADANIA TEORII GIER A ZADANIA PL Złóżmy, że mmy grę dwuosobową o sume zero, przy czym perwszy z grczy posd M strteg, drug odpowedno N. Mmy mcerze wypłt: dl grcz A - M A j, dl grcz B - MB M A x x, x,, x M y y, y,, y N oznczjące częstośc stosown poszczególnych strteg przez grczy. Zdne wyznczen optymlnych wrtośc wektor x, dl grcz nr możn sformułowć nstępująco: orz wektory ( ), ( ) (7.) mx v przy ogrnczench: x + x + + M xm v (7.3) N x + N x + + MN xm v x + x + + xm x, x,, x 0 M Podobne dl grcz nr : (7.4) mn v y + y + + N yn v (7.5) M y + M y + + MN yn v y + y + + yn y, y,, y 0 N MxN 6
Jeżel dokonmy podstweń: x z, v (7.6) y j wj v to perwsze z tych zdń możn zpsć nstępująco: (7.7) mn z przy ogrnczench: (7.8) M z j z M, 0,, M v j, N Druge zdne po dokonnu podstweń zpszemy jk ponżej: (7.9) mx w przy ogrnczench: N j j v (7.30) N j w j j w j,, M 0, j, N 7