I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie... Imię i Nazwisko... Klasa... Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY...... Liczba punktów...... Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera 10 stron. Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś nauczycielowi. 2. Na tej stronie wpisz swoje nazwisko i imię, oraz klasę i nazwisko nauczyciela uczącego. 3. Przeczytaj uważnie wszystkie zadania. 4. Rozwiązania zadań zapisz czarnym długopisem lub piórem. Nie używaj korektora. 5. Wybrane odpowiedzi do zadań zamkniętych wyraźnie przekreśl krzyżykiem. Błędne zaznaczenie otocz kołkiem i zaznacz właściwe. 6. Rozwiązania zadań, w których należy samodzielnie sformułować odpowiedź, zapisz czytelnie i starannie w wyznaczonych miejscach. Pomyłki przekreśl. 7. Możesz wykorzystać brudnopis. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora prostego. 9. Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 180 minut. 10. Za poprawne rozwiązanie wszystkich zadań możesz uzyskać 50 punktów. Powodzenia! PRZED MATURĄ marzec 2016 Czas pracy: 180 minut 50 pkt. str. 1
ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 6. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) W trójmianie kwadratowym z parametrem kwadrat różnicy pierwiastków jest równy A. B. C. D. Zadanie 2. (0-1) Funkcja określona jest wzorem. Największą wartością funkcji dla argumentów z przedziału jest A. B. C. D. Zadanie 3. (0-1) Ciąg określony jest wzorem rekurencyjnym dla. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy A. B. C. D. Zadanie 4. (0-1) Pole trójkąta o bokach długości i jest równe. Wówczas pozostały bok tego trójkąta może mieć długość A. B. C. D. Zadanie 5. (0-1) W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma, a długość podstawy jest równa. Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest liczbą z przedziału A. B. C. D. Zadanie 6. (0-1) Funkcja określona jest wzorem. Stąd wynosi A. B. C. D. str. 2
W zadaniach 7. 9. zakoduj wynik obliczeń. Zadanie 7. (0 2) ZADANIA Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Oblicz granicę i wyznacz zaokrąglenie otrzymanego wyniku do części tysięcznych. Zakoduj odpowiedź (kolejno cyfry części: dziesiątych, setnych i tysięcznych tego zaokrąglenia). 2 5 9 Zadanie 8. (0 2) Funkcja określona jest wzorem. Oblicz współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie o pierwszej współrzędnej równej oraz wyznacz zaokrąglenie otrzymanej liczby do części setnych. Zakoduj odpowiedź (kolejno cyfry : jedności, części dziesiątych i setnych otrzymanego zaokrąglenia). 4 1 7 Zadanie 9. (0 2) Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa. Wyznacz iloraz ciągu i zapisz go w postaci liczby dziesiętnej. Zakoduj odpowiedź (kolejno cyfry: jedności, części dziesiątych i setnych zapisanego wyniku). 0 6 0 ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań 10. 19. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania. Zadanie 10. (0 3) Funkcja kwadratowa f określona wzorem ma dwa miejsca zerowe takie, że jedno z nich jest liczbą odwrotną do drugiego. Wykaż, że do wykresu funkcji f należy punkt. Ponieważ jeden z pierwiastków jest odwrotnością drugiego to ich iloczyn jest równy. Z wzorów Viete a wynika, że iloczyn pierwiastków jest stosunkiem do, zatem. Po podstawieniu wzór naszej funkcji przyjmie postać:. Wartość funkcji dla to co kończy dowód. str. 3
Zadanie 11. (0 3) Rozwiąż nierówność. Dana nierówność jest równoważna nierówności podwójnej: przekształcamy. Alternatywa nierówności w pierwszym nawiasie jest równoważna Z koniunkcji w drugim nawiasie mamy Z koniunkcji między nawiasami wynika Ostatecznie Zadanie 12. (0 3) Rozwiąż równanie o niewiadomej z przedziału. Ze wzoru na cosinus kąta podwojonego i ze wzoru na sumę cosinusów mamy czyli zatem otrzymujemy: Wybieramy rozwiązania należące do danego przedziału: str. 4
Zadanie 13. (0 3) Rozważmy trapez prostokątny o podstawach oraz i kątach prostych przy wierzchołkach i. Ponadto punkt jest środkiem okręgu wpisanego w ten trapez oraz i. Oblicz obwód trapezu. Suma miar kątów trapezu jest równa. Dwa kąty są proste więc. Wynika z tego, że kąt jest prosty. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa w mamy. Podstawiamy liczby i obliczamy. Z obliczamy, a z. Ostatecznie Zadanie 14. (0 3) Wykaż, że. Dana nierówność jest równoważna kolejnym nierównościom: a to jest oczywiście prawda. str. 5
Zadanie 15. (0 3) W trapezie, o podstawach i, dwusieczna kąta ostrego o wierzchołku jest prostopadła do ramienia i dzieli je w stosunku, licząc od wierzchołka. Oblicz stosunek pól figur, na które ta dwusieczna dzieli trapez. zatem a stąd. ą ó ł Ska a p d b eństwa jest równa. a. Ostatecznie Zadanie 16. (0 7) Punkt jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego, a punkt jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz współrzędne wierzchołków i. jest równ b czny czy zatem czyli a stąd. Wektor jest pr st padły do prostej przech dzącej przez punkt. Prosta a zate równan e. Punkty i eżą na krę u p sany na trójkąc e ABC równan u R zw ązuje y układ lub Ostatecznie oraz i str. 6
Zadanie 17. (0 6) Oblicz, ile jest parzystych liczb sześciocyfrowych, w których zapisie występuje co najmniej jedna czwórka i nie występuje piątka. 1. Obliczmy ile jest liczb sześciocyfrowych parzystych nie zawierających : Na pierwszym miejscu cyfr (bez i ), na drugim, trzecim, czwartym i piątym miejscu cyfr (bez ), na ostatnim miejscu dowolna parzysta - cyfr (,,,, ) czyli takich liczb jest 2. Obliczmy ile jest liczb sześciocyfrowych parzystych nie zawierających i 4: (2 pkt.) Na pierwszym miejscu cyfr (bez i i ), na drugim, trzecim, czwartym i piątym miejscu cyfr (bez i ), na ostatnim miejscu parzysta - cyfry (,,, ), czyli takich liczb jest (2 pkt.) 3. Liczb sześciocyfrowych parzystych zawierających co najmniej jedną jest równa różnicy między wyliczonymi wielkościami: Ostatecznie: (2pkt.) str. 7
Zadanie 18. (0 7) Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne wpisane w okrąg o promieniu długości. Wyznacz długość wysokości tego z rozpatrywanych trójkątów, którego pole jest największe, oraz oblicz to pole. Rozpatrzmy dwa przypadki: 1 oraz 2. Jeżeli przyjmiemy to w obu przypadkach. Ponieważ to i Porównując wzory widać że: (*) Badamy funkcję:. Funkcja i funkcja są w tych samych przedziałach monotoniczne. Oczywiście. (Można wykazać, że dla zachodzi nierówność ). Wystarczy zbadać funkcję w przedziale. jest jedynym rozwiązaniem z przedziału. i oraz zatem dla funkcja przyjmuje wartość największą i. Ostatecznie najw ększe p e jest równe. (1pkt.) ( *) można to uzasadnić na bazie równości długości cięciw równoodległych od środka okręgu i przez porównanie wysokości trójkątów. str. 8