Spis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona.............. 3 3.1. Równanie sine-gordona.......................... 3 3.1.1. Rozwiązania dla fali biegnącej................... 7 3.2. Równanie falowe.............................. 8 3.2.1. Wyprowadzenie równania falowego................ 8 3.2.2. Rozwiązania równania falowego.................. 10 3.3. Rozwiązanie d Alemberta równania falowego............... 11 3.3.1. Ogólne rozwiązanie równania falowego.............. 11 3.3.2. Rozwiązanie d Alemberta..................... 12
Wykład 3 Modelowanie fal. Równanie sine-gordona Simply seeing is an act of creation. 3.1. Równanie sine-gordona Równanie sine-gordona u tt u xx + sin u = 0, (3.1) opisuje mechaniczną linię transmisyjną, będącą analogiem linii długiej w elektryczności. Nazwa nawiązuje do równania Kleina-Gordona z kwantowej teorii pola. Linia transymisyjna została zaproponowana przez A.C. Scotta pod koniec lat 1960-ych. Urządzenie składa się z układu wielu wahadeł połączonych poziomo cienkim drutem. Każde wahadło może swobodnie bujać się w płaszczyźnie prostopadłej do drutu, powodując równocześnie ruch dwu sąsiednich wahadeł. Takie sprzężenie wahadeł pozwala na przemieszczanie się zakłócenia z jednej części układu do następnego, w sposób mechaniczny przekazując sygnał z jednego końca do drugiego końca urządzenia. Równanie Sine-Gordona występuje również w nadprzewodzących liniach transmisyjnych, kryształach, impulsach laserowych i w geometrii powierzchni. Niech u(x, t) oznacza kąt obrotu wahadła w punkcie x i w chwili t. Zakładamy, że każde wahadło ma masę m, długość l i że są rozmieszczone w równych odległościach x. Korzystamy z równania Newtona dla ruchu obrotowego I d2 u i = moment obrotowy działający na i-te wahadło (3.2) dt2 I = m l 2 moment bezwładności wahadła. Mamy trzy momenty obrotowe: 1. związany z siłą grawitacji (±mg sin u i l) ; 2. związany z obrotem sprężyny, na której zaczepione są wahadła i i i 1; 3. związany z obrotem sprężyny, na której zaczepione są wahadła i i i + 1; Jeśli wahadło jest wychylone w lewo (jeśli w lewo, to π/2 < u i < 0 i sin u i < 0) lub w prawo (jeśli w prawo, to 0 < u i < π/2 i sin u i > 0), to moment zmienia swój znak (tak jak sin u i ) i próbuje obrócić wahadło z powrotem w położenie równowagi.
4 Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona Rys. 3.1. Wahadła przypięte do poziomej struny. Rys. 3.2. Małe zakłócenie przemieszczające się wzdłuż linii wahadeł.
3.1. Równanie sine-gordona Rys. 3.3. Duże zakłócenie przemieszczające się wzdłuż linii wahadeł. Rys. 3.4. Dwa sąsiednie wahadła. 5
6 Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona X O ) PJ PJFRVX PJVLQX Rys. 3.5. Wahadło matematyczne. Momenty obrotowe, pochodzące od skręcania sprężyny, zależą od trzech elementów: 1. od wielkości skręcenia; 2. od długości skręcanej sprężyny; 3. od materiału, z jakiego sprężyna jest wykonana. Moment ten możemy modelować równaniem moment obrotowy sprężyny = K u i+1 u i x u i+1 u i wielkość skręcenia pomiędzy whadłami i i i + 1; x długość tej części sprężyny; K > 0 stała materiałowa. Podobnie dla wahadeł i i i 1. Ostatecznie m l 2 d2 u i dt 2 = K u i+1 2u i + u i 1 x Będziemy modelować kratkę materiału, zakładając, że ρ gęstość masy. m x ρ, gdy x 0,, mgl sin u i. (3.3) Jeśli podzielimy równanie (3.3) przez x i przejdziemy do granicy x 0, to otrzymamy równanie różniczkowe ρ l 2 u tt = K u xx ρgl sin u. Kładąc A = ρl 2 i T = ρgl dostajemy równanie Sine-Gordona A u tt K u xx + T sin u = 0.
3.2. Równanie falowe 7 3.1.1. Rozwiązania dla fali biegnącej Będziemy poszukiwać rozwiązań równania Sine-Gordona (3.1) u tt u xx + sin u = 0, w postaci fali biegnącej u(x, t) = f(x ct). Mamy Mnożymy dwustronnie przez f c 2 f f + sin f = 0. (c 2 1) f f + (sin f) f = 0. i całkujemy dostając równanie pierwszego rzędu Poszukujemy rozwiązań f wahadła) co daje a = 1. Tak więc 1 2 (c2 1)(f ) 2 cos f = a. zachowujących się dobrze asymptotycznie (np. dla f(z) 0, f (z) 0, dla z (f ) 2 = 2 4 (1 cos f) = 1 c2 1 c 2 sin2 (f/2). Prędkość dźwięku musi spełniać warunek c 2 < 1. Rozwiązanie [ ( f(z) = 4 arctan exp z )], 1 c 2 generuje falę biegnącą [ ( u(x, t) = 4 arctan exp x ct )]. 1 c 2 Badanie granicy lim u(x, t) = 0, x lim u(x, t) = 2π, x co oznacza, że rozwiązanie jest frontem falowym. Przed frontem falowym wahadło jest w stanie niezakłóconym (kąt u jest bliski 0), a za frontem falowym wahadło jest bliskie kąta 2π, co oznacza, że to wahadło wykonało pełny obrót wokół poziomej sprężyny dokładnie raz.
8 Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona [ X[W Rys. 3.6. Przemieszczenie struny u(x, t) w chwili t w położeniu x. [ [ [ Rys. 3.7. Fragment struny S. 3.2. Równanie falowe Omówimy równanie falowe u tt = c 2 u xx, modelujące drgania napiętej struny (np. w gitarze). u(x, t) miara przemieszczenia struny w położeniu x w chwili t; u t (x, t) pionowa prędkość punktu x na strunie w chwili t; u tt (x, t) pionowe przyspieszenie punktu x na strunie w chwili t; u x (x, t) miara nachylenia struny w punkcie x. Sposób drgań zależy od materiału z jakiego zrobiono strunę i od siły na nią działającej. Robimy następujące założenia: jednorodność struny: gęstość masy na jednostkę długości ρ jest stała; drgania płaskie: struna pozostaje w swej płaszczyźnie drgań; jednorodne napięcie: każdy fragment struny wywiera na sąsiednie segmenty taką samą siłę T ; kierunek tej siły zmienia, gdyż jest zawsze styczny do struny; brak innych sił; małe drgania: nachylenie u x zawsze jest niewielkie. 3.2.1. Wyprowadzenie równania falowego Równanie falowe jest wnioskiem z drugiego prawa Newtona. Niech S będzie odcinkiem struny leżącym między punktami x a x + x, gdzie x > 0 jest małe. Drugie prawo Newtona (Masa S) (Przyspieszenie S) = Siła całkowita działająca na S, (3.4) gdzie przyspieszenie i siła działają w kierunku prostopadłym do S.
3.2. Równanie falowe 9 7 7 [ [ [ Rys. 3.8. Naprężenia rozciągające segment struny S. Masa S: Masa S = ρ x+ x dla małych wychyleń u x 1, więc Przyspieszenie S: x Masa S = ρ 1 + (u x (s, t)) 2 ds. x+ x x u tt (x, t) 1 ds = ρ x. Siła działająca na S: Siła ta rozciąga końce segmentu (stycznie do kierunku segmentu) Wektor styczny w punkcie x do struny ma współrzędne (1, u x (x, t), czyli siła rozciągajaca T T (1, u x (x, t)) 1 + (u x (s, t)) 2, działająca na lewy koniec segmentu. Korzystamy jeszcze raz z założenia o małych amplitudach 1 + (u x (s, t)) 2 1, i wtedy pionowa składowa siły wynosi T u x (x, t). Powtarzamy rozumowanie dla prawego końca segmentu Siła całkowita T u x (x + x, t). Siła całkowita na S = T u x (x + x, t) T u x (x, t). Podstawiamy powyższe wyniki do równania (3.4) Dzielimy przez x (ρ x) u tt (x, t) = T u x (x + x, t) T u x (x, t). (3.5) ρ u tt (x, t) = T u x(x + x, t) u x (x, t) x,
10 Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona Rys. 3.9. Ekranowana linia przesyłowa. co w granicy x 0 daje Kładąc c = ρ u tt (x, t) = T u xx (x, t). T/ρ otrzymujemy tradycyjną postać równania falowego u tt (x, t) = c 2 u xx (x, t). (3.6) Równanie przyjmuje bardziej skomplikowana postać, jeśli uwzględnimy jeszcze inne siły, np. ρ u tt = T u xx F u t R u + f(x, t). F u t siła tarcia (const. = F > 0); R u liniowa siła zwrotna (const. = R > 0); f(x, t) siła zewnętrzna (np. grawitacja). 3.2.2. Rozwiązania równania falowego Tu tylko uwagi wstępne. Szczegóły dalej. Rozwiązaniami równania falowego są fale biegnące i u(x, t) = f(x c t), u(x, t) = f(x + c t), gdzie c jest prędkością propagacji fali. Ponieważ c = T ρ, to prędkość fali możemy: zwiększać, zwiększając napięcie struny T, zmniejszać dobierając materiał o większej gęstości masy. Klasyczne równanie falowe jest jednym z wielu równań posiadającym rozwiązania w postaci fal. To równanie opisuje drgania struny, długiej smukłej belki, prądu i napięcia w elektrycznej linii przesyłowej. i(x, t) prąd elektryczny; v(x, t) napięcie prądu elektrycznego; Równanie linii transmisyjnej i x + C v t + G v = 0,
3.3. Rozwiązanie d Alemberta równania falowego 11 v x + L i t + R i = 0, C pojemność elektryczna na jednostkę długości kabla; G upływ (wyciekanie) na jednostkę długości; R oporność elektryczna na jednostkę długości kabla; L induktancja elektryczna na jednostkę długości kabla. Eliminujemy v (pierwsze równanie różniczkujemy wzgl. x, a drugie względem t i eliminujemy człony v xt i v tx, a następnie jeszcze raz używamy równanie drugie do eliminacji v x ). W wyniku dostajemy Podobnie możemy wyeliminować i. i xx = (CL) i tt + (CR + GL) i t + (GR) i. Jeśli R = G = 0, to otrzymujemy znane równania falowe gdzie c = 1/(CL). i tt = c 2 i xx, v tt = c 2 v xx, 3.3. Rozwiązanie d Alemberta równania falowego Pokażemy, że rozwiązanie równania falowego u tt = c 2 u xx jest sumą dwu fal biegnących, jednej w prawo, a drugiej w lewo Zagadnienie początkowe: cząstkowe równanie różniczkowe u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct). u tt = c 2 u xx, < x <, t > 0, warunki początkowe u(x, 0) = f(x), może być sformułowane następująco: u t (x, 0) = g(x), u(x, t) = 1 2 (f(x ct) + f(x + ct)) = 1 2c 3.3.1. Ogólne rozwiązanie równania falowego x+ct x ct g(s) ds. Wiemy już, że rozwiązaniami są dwie fale biegnące: h(x cy) i h(x + ct). Robimy zamianę zmiennych: ξ(x, t) = x ct, η(x, t) = x + ct,
12 Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona są to współrzędne śledzące fale biegnące z lewej i z prawej strony. W tym nowym układzie współrzędnych rozwiązanie buduje się łatwiej. Z definicji Różniczkujemy u(x, t) = U(ξ(x, t), η(x, t)). u t = U ξ ξ t + U η η t = cu ξ + cu η, u tt = c(u ξξ ξ t + U ξη η t ) + c(u ηξ ξ t + U ηη η t ) = c( cu ξξ + cu ξη ) + c( cu ηξ + cu ηη )) = c 2 U ξξ 2c 2 U ξη + c 2 U ηη, u x = U ξ ξ x + U η η x = U ξ + U η, (3.7) Po podstawieniu, dostajemy u xx = (U ξξ ξ x + U ξη η x ) + (U ηξ ξ x + U ηη η x ) = (U ξξ + U ξη ) + (U ηξ + U ηη ) = U ξξ + 2U ξη + U ηη. U ξη = 0. Całkujemy względem η (od η nie zależy) U ξ = φ(ξ). Całkujemy względem ξ U(ξ, η) = φ(ξ)dξ + G(η) = F (ξ) + G(η). Wracając do starych zmiennych Przykłady rozwiązań równania falowego: u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct). (3.8) u(x, t) = e x ct, u(x, t) = sin(x + ct), u(x, t) = (x + ct) 2 + e (x ct)2. Dwa pierwsze równania reprezentują fale biegnące w lewo i w prawo. Trzecie równanie jest kombinacją fal w lewo i w prawo. 3.3.2. Rozwiązanie d Alemberta Założenia: położenie początkowe u(x, 0) i początkowa prędkość u t (x, 0) są dane dla wszystkich x (np. niech będą równe 0). Jeśli w chwili początkowej potrącimy strunę, to w chwili początkowej będzie ona miała profil u(x, 0) = f(x) i prędkość u t (x, 0) = 0.
3.3. Rozwiązanie d Alemberta równania falowego 13 Rys. 3.10. Profile rozwiązania równania falowego z profilem początkowym u(x, 0) = e x2. Rozwiążemy teraz następujące zadanie: PDE: u tt = c 2 u xx, < x <, t > 0, IC: u(x, 0) = f(x), u t (x, 0) = g(x). Poszukujemy rozwiązania w postaci ogólnej: u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct). Wstawiamy warunki początkowe na położenie i na prędkość Dzielimy powyższe przez c i całkujemy od 0 do x F (x) + G(x) = f(x). (3.9) c F (x) + c G (x) = g(x). (3.10) F (x) + G(x) = F (0) + G(0) + 1 c x 0 g(s)ds. (3.11) Równania (3.9) i (3.11) tworzą układ równań liniowych na F (x) i G(x) F (x) = 1 2 f(x) + 1 2 (F (0) G(0)) 1 2c G(x) = 1 2 f(x) 1 2 (F (0) G(0)) + 1 2c Rozwiązanie będzie więc mieć postać: u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct) = 1 2 f(x ct) + 1 2 (F (0) G(0)) 1 2c x 0 x + 1 2 f(x + ct) 1 2 (F (0) G(0)) + 1 2c = 1 2 f(x ct) + 1 2 f(x + t) + 1 2c 0 x+ct x ct g(s)ds, g(s)ds, x ct 0 g(s)ds x+ct 0 g(s)ds. g(s)ds
14 Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie d Alemberta u(x, t) = 1 2 (f(x ct) + f(x + ct)) + 1 2c x+ct x ct g(s)ds. (3.12) równania falowego. Jest to rzadki przypadek rozwiązania w jawnej postaci. Literatura 1. Knobel Roger, An introduction to the mathematical theory of waves, American Mathematical Society, USA, 2000. 2. Matyka Maciej. Symulacje komputerowe w fizyce. Helion, 2002. File: fpk2004w3.tex, Version 2.0, 15.III.2004