Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych

Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych Konferencja Matematyczna OBLICZE 2014 9 11 maja 2014 Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 1 / 24

Spis treści Streszczenie. 1 Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych: Czym jest teoria gier? Pojęcia. Założenia. 2 Gry koalicyjne: Pojęcia. Rozwiązania gier koalicyjnych: J. von Neumanna oraz O. Morgensterna. Wartość Shapley a. Rozwiązanie strukturalne. Rozwiązanie stabilne. Uwagi. 3 Gry parlamentarne i wyborcze: Głosowanie szczere i strategiczne. Umowa reprezentacyjna. Przykłady. 4 Wnioski. Bibliografia. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 2 / 24

Streszczenie ABSTRAKT W referacie skupimy się na przeanalizowaniu zagadnienia teorii gier, jakim są gry N-osobowe. Szczególny nacisk położony zostanie na gry parlamentarne oraz możliwość tworzenia się koalicji. Po krótkim wprowadzeniu teoretycznym przystąpimy do zbadania zastosowań tych gier i ich możliwych rozwiązań. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 3 / 24

Podstawowe pojęcia Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 4 / 24

Czym jest teoria gier? Teoria gier to dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w sytuacji konfliktu interesów. Wywodzi się ona z badania gier hazardowych i taka jest też jej terminologia. W drugiej połowie XX w. teoria gier zyskała matematyczną formę, a jej opis nie dotyczył już tylko prostych gier czy konfliktów, lecz rownież złożonych problemów. Ma to odzwierciedlenie w zastosowaniu jej w ekonomii, biologii (szczególnie w socjobiologii), socjologii, informatyce (sztuczna inteligencja) oraz naukach politycznych. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 5 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Definicja Wybrane pojęcia teorii gier to: Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Definicja Wybrane pojęcia teorii gier to: Gra - dowolna sytuacja konfliktowa. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Definicja Wybrane pojęcia teorii gier to: Gra - dowolna sytuacja konfliktowa. Gracz - dowolny uczestnik gry. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Definicja Wybrane pojęcia teorii gier to: Gra - dowolna sytuacja konfliktowa. Gracz - dowolny uczestnik gry. Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniający wszystkie możliwe sytuacje. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Definicja Wybrane pojęcia teorii gier to: Gra - dowolna sytuacja konfliktowa. Gracz - dowolny uczestnik gry. Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniający wszystkie możliwe sytuacje. Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w której znalazł się gracz. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Definicja Wybrane pojęcia teorii gier to: Gra - dowolna sytuacja konfliktowa. Gracz - dowolny uczestnik gry. Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniający wszystkie możliwe sytuacje. Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w której znalazł się gracz. Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk) w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni, wolność, wygrana polityczna itd.). Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Definicja Wybrane pojęcia teorii gier to: Gra - dowolna sytuacja konfliktowa. Gracz - dowolny uczestnik gry. Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniający wszystkie możliwe sytuacje. Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w której znalazł się gracz. Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk) w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni, wolność, wygrana polityczna itd.). Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyboru strategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie - zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Definicja Wybrane pojęcia teorii gier to: Gra - dowolna sytuacja konfliktowa. Gracz - dowolny uczestnik gry. Strategia - kompletny plan działania gracza, uwzględniający wszystkie możliwe sytuacje. Decyzja - wybór jednej z możliwości w konkretnej sytuacji, w której znalazł się gracz. Wypłata - każdy gracz za swoje działanie otrzymuje nagrodę (zysk) w jednostakach użyteczności (pieniądze, zwycięstwo, uścisk dłoni, wolność, wygrana polityczna itd.). Koalicja - to grupa graczy powstała w celu skoorydnowania wyboru strategii oraz zwiększenia siły głosu jej członków, a co za tym idzie - zwiększenia wspólnie osiągniętego zysku. Definicja Grą n-osobową w postaci strategicznej nazywamy układ: G = (S 1,..., S n, u 1,..., u n ), gdzie S 1,..., S n są zbiorami (niepustymi) strategii graczy 1,..., n, zaś u i : S 1... S n R, i = 1,..., n, są funkcjami zwanymi funkcjami wypłaty poszczególnych graczy. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 6 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Uwaga Wybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to : Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Uwaga Wybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to : Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacją swojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dla każdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niż gdyby grał oddzielnie. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Uwaga Wybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to : Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacją swojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dla każdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niż gdyby grał oddzielnie. Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członków koalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grających oddzielnie. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Uwaga Wybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to : Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacją swojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dla każdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niż gdyby grał oddzielnie. Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członków koalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grających oddzielnie. Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przez precyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy. Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicji oraz pozostałych jej członków. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Uwaga Wybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to : Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacją swojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dla każdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niż gdyby grał oddzielnie. Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członków koalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grających oddzielnie. Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przez precyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy. Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicji oraz pozostałych jej członków. Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 7 / 24

Podstawowe pojęcia teorii gier koalicyjnych N-osobowych Uwaga Wybrane założenia teorii gier koalicyjnych N-osobowych to : Indywidualna racjonalność graczy - kierują się oni maksymalizacją swojej wygranej oraz potrafią ocenić skutki własnych decyzji. Dla każdego gracza wartość jego gry będzie w koalicji nie mniejsza, niż gdyby grał oddzielnie. Koalicyjna racjonalność graczy - suma wypłat wszystkich członków koalicji powinna być nie mniejsza niż suma wypłat członków grających oddzielnie. Znajomość zasad - działania i zachowania graczy są określone przez precyzyjne zasady, znane i przestrzegane przez wszystkich graczy. Każdy gracz zna zarówno swoje preferencje, jak i upodobania koalicji oraz pozostałych jej członków. Każdy uczestnik gry dąży do sformułowania koalicji zwycięskiej. W ramach teorii gier teoretycznie możliwe jest dowolne formowanie koalicji. Niemniej zawarcie niektórych sojuszów może być ograniczone ze względów np. ideologicznych. a Do tego typu rozważań powrócimy przy omawianiu rozwiązań gier kolicyjnych. a Czasem jednak powstają specyficzne porozumienia np. Okrągły Stół w Polsce. Innym przykładem jest tzw. Wielka Koalicja w Niemczech, tzn. chadecy (CDU/CSU) oraz socjaldemokraci (SPD). Są to jednak przypadki wyjątkowe. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 7 / 24

Gry koalicyjne Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 8 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia Definicja Grą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1,..., n} jest zbiorem graczy, zaś ν : 2 N R, zwana funkcją charakterystyczną gry, spełnia warunek ν( ) = 0. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia Definicja Grą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1,..., n} jest zbiorem graczy, zaś ν : 2 N R, zwana funkcją charakterystyczną gry, spełnia warunek ν( ) = 0. Definicja Koalicja to dowolny podzbiór K N. Liczbę ν(k) nazywamy wartością koalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia Definicja Grą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1,..., n} jest zbiorem graczy, zaś ν : 2 N R, zwana funkcją charakterystyczną gry, spełnia warunek ν( ) = 0. Definicja Koalicja to dowolny podzbiór K N. Liczbę ν(k) nazywamy wartością koalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N. Uwaga Każdej koalicji przypisujemy jakąś wartość. Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grał indywidualnie. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia Definicja Grą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1,..., n} jest zbiorem graczy, zaś ν : 2 N R, zwana funkcją charakterystyczną gry, spełnia warunek ν( ) = 0. Definicja Koalicja to dowolny podzbiór K N. Liczbę ν(k) nazywamy wartością koalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N. Uwaga Każdej koalicji przypisujemy jakąś wartość. Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grał indywidualnie. Definicja Grę koalicyjną nazywamy superaddytywną, gdy ) K,K 2 (K N K = ν(k K ) ν(k) + ν(k ) Oznacza to, że łączenie się koalicji nie jest nieopłacalne. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 9 / 24

Gry koalicyjne - pojęcia Definicja Grą koalicyjną nazwyamy parę < N, ν >, gdzie N = {1,..., n} jest zbiorem graczy, zaś ν : 2 N R, zwana funkcją charakterystyczną gry, spełnia warunek ν( ) = 0. Definicja Koalicja to dowolny podzbiór K N. Liczbę ν(k) nazywamy wartością koalicji K. Koalicją wielką nazywamy koalicję N. Uwaga Każdej koalicji przypisujemy jakąś wartość. Każdy uczestnik koalicji ma wypłatę nie mniejszą niż gdyby grał indywidualnie. Definicja Grę koalicyjną nazywamy superaddytywną, gdy ) K,K 2 (K N K = ν(k K ) ν(k) + ν(k ) Oznacza to, że łączenie się koalicji nie jest nieopłacalne. Definicja Wektor wypłat nazywamy podziałem (imputacją), jeżeli jest grupowo i indywidualnie racjonalny. a a patrz pojęcia teorii gier N-osobowych. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 9 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych W literaturze spotykamy kilka opcji rozwiązania gier koalicyjnych. Przyjrzyjmy się krótko niektórym z nich. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 10 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych W literaturze spotykamy kilka opcji rozwiązania gier koalicyjnych. Przyjrzyjmy się krótko niektórym z nich. J. von Neumanna oraz O. Morgensterna - w wyniku rokowań powstaje koalicja zwycięska, która przejmuje całą władzę. Zasadniczo nie jest to rozwiązanie gry, a raczej ukazanie procesu rokowań graczy. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 10 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych W literaturze spotykamy kilka opcji rozwiązania gier koalicyjnych. Przyjrzyjmy się krótko niektórym z nich. J. von Neumanna oraz O. Morgensterna - w wyniku rokowań powstaje koalicja zwycięska, która przejmuje całą władzę. Zasadniczo nie jest to rozwiązanie gry, a raczej ukazanie procesu rokowań graczy. Przykład a Rozważmy model trzech partii - dla uproszczenia : L lewica, C centrum, P prawica. Załóżmy, że mają one taki sam potencjał wyjściowy, tzn. ν(l) = ν(c) = ν(p) = 33 1 3 % Możliwe są trzy koalicje wygrywające : L+C, L+P b, C+P. Natomiast proces ich formowania przedstawia się np. następująco: I 1 = 0, 50 + 0, 50 + 0, 00 (1) H1 = 0, 00 + 0, 75 + 0, 25 (2) I 2 = 0, 50 + 0, 00 + 0, 50 (3) H2 = 0, 75 + 0, 25 + 0, 00 (4) I 3 = 0, 00 + 0, 50 + 0, 50 (5) a Pietraś Z. J.: Teoria gier jako sposób analizy procesów podejmowania decyzji politycznych. Lublin, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, 1997, s.104 b Na temat tego typu koalicji patrz - założenia teorii gier. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 10 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych W literaturze spotykamy kilka opcji rozwiązania gier koalicyjnych. Przyjrzyjmy się krótko niektórym z nich. J. von Neumanna oraz O. Morgensterna - w wyniku rokowań powstaje koalicja zwycięska, która przejmuje całą władzę. Zasadniczo nie jest to rozwiązanie gry, a raczej ukazanie procesu rokowań graczy. Przykład a Rozważmy model trzech partii - dla uproszczenia : L lewica, C centrum, P prawica. Załóżmy, że mają one taki sam potencjał wyjściowy, tzn. ν(l) = ν(c) = ν(p) = 33 1 3 % Możliwe są trzy koalicje wygrywające : L+C, L+P b, C+P. Natomiast proces ich formowania przedstawia się np. następująco: I 1 = 0, 50 + 0, 50 + 0, 00 (1) H1 = 0, 00 + 0, 75 + 0, 25 (2) I 2 = 0, 50 + 0, 00 + 0, 50 (3) H2 = 0, 75 + 0, 25 + 0, 00 (4) I 3 = 0, 00 + 0, 50 + 0, 50 (5) a Pietraś Z. J.: Teoria gier jako sposób analizy procesów podejmowania decyzji politycznych. Lublin, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, 1997, s.104 b Na temat tego typu koalicji patrz - założenia teorii gier. Uwaga Imputacje H1 oraz H2 nazywane są imputacjami heretyckimi, czyli takimi, które przeczą któremuś założeniu. W tym przykładzie zaprzeczają one oczywiście indywidualnej racjonalności. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 10 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Wartość Shapley a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałej koalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, to wartość Shapley a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jest liczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley a nazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy: Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Wartość Shapley a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałej koalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, to wartość Shapley a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jest liczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley a nazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy: Definicja Wartość Shapley a gry koalicyjnej < N, ν > to wektor liczb rzeczywistych φ(ν) = [φ 1 (ν),..., φ n (ν)] spełniających aksjomaty: φ i (ν) = ν(n) racjonalność grupowa, (6) i N ( ) K 2 N i / K, j / K ν(k i) = ν(k j) symetria = bezstronność, ν(k) = ν(k i) ν(i) = 0 gracz nieistotny, (8) ( ) ν ν 1 : 2 N R φ i (ν + ν 1 ) = φ i (ν) + φ i (ν 1 ) addytywność. (9) (7) Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Wartość Shapley a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałej koalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, to wartość Shapley a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jest liczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley a nazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy: Definicja Wartość Shapley a gry koalicyjnej < N, ν > to wektor liczb rzeczywistych φ(ν) = [φ 1 (ν),..., φ n (ν)] spełniających aksjomaty: φ i (ν) = ν(n) racjonalność grupowa, (6) i N ( ) K 2 N i / K, j / K ν(k i) = ν(k j) symetria = bezstronność, ν(k) = ν(k i) ν(i) = 0 gracz nieistotny, (8) ( ) ν ν 1 : 2 N R φ i (ν + ν 1 ) = φ i (ν) + φ i (ν 1 ) addytywność. (9) (7) Definicja Wartość Shapley a gracza i jest to współrzędna φ i (ν) wartości Shapley a gry koalicyjnej < N, ν >. Opisuje ona siłę gracza w tej grze. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Wartość Shapley a - jest to wartość, jaką gracz wnosi do zastałej koalicji. Jeśli po jego dołączeniu nadal jest ona przegrywająca, to wartość Shapley a tego gracza wynosi 0, w przeciwnym wypadku jest liczbą dodatnią. Graczy posiadających niezerową wartość Shapley a nazywamy graczami kluczowymi. Matematycznie mamy: Definicja Wartość Shapley a gry koalicyjnej < N, ν > to wektor liczb rzeczywistych φ(ν) = [φ 1 (ν),..., φ n (ν)] spełniających aksjomaty: φ i (ν) = ν(n) racjonalność grupowa, (6) i N ( ) K 2 N i / K, j / K ν(k i) = ν(k j) symetria = bezstronność, ν(k) = ν(k i) ν(i) = 0 gracz nieistotny, (8) ( ) ν ν 1 : 2 N R φ i (ν + ν 1 ) = φ i (ν) + φ i (ν 1 ) addytywność. (9) (7) Definicja Wartość Shapley a gracza i jest to współrzędna φ i (ν) wartości Shapley a gry koalicyjnej < N, ν >. Opisuje ona siłę gracza w tej grze. Twierdzenie Wartość Shapley a dla gry koalicyjnej < N, ν > zawsze istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 11 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 12 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Definicja Indeks siły Shapley a-shubika to wektor, którego współrzędne dają ułamek układów, w których dany głosujący jest graczem kluczowym. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 12 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Definicja Indeks siły Shapley a-shubika to wektor, którego współrzędne dają ułamek układów, w których dany głosujący jest graczem kluczowym. Przykład (Gra prosta - głosowanie) Niech < N, ν >=< 10; 7, 4, 3, 2 >. Oznacza to, że aby wygrać koalicja potrzebuje co najmniej 10 głosów. Partia A ma 7, B 4, C 3, D 2. Możliwe koalicje wygrywające to : AB 11, AC 10, ABC 14, ABD 13, ACD 12 oraz ABCD 16. A jest graczem kluczowym w 5 koalicjach (AB, AC, ABC, ABD, ACD), B w 2 (AB, ABD), C w 2 (AC, ACD), D w żadnej. Stąd ich indeksy siły Shapley a-shubika wynoszą: A = 5 9, B = 2 9, C = 2 9, D = 0. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 12 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 13 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Rozwiązanie strukturalne W.Rikera. Zakłada się tutaj, że nie powstają koalicje zupełnie dowolne, za to minimalnie wygrywające. Dzięki temu użyteczność, jaką zdobędzie koalcja, może być podzielona w sposób najbardziej efektywny. Istotne jest, że przyjmuje się, że koalicja przegrywająca uzyskuje wartość 0, zaś wygrywająca 1. W danej chwili może powstać zbyt duża koalicja, zatem w drodze wewnętrznych rokowań usuwa się graczy nieistotnych. Najistotniejszym graczem jest więc ten, dzięki któremu dana koalicja przeforsuje swoje zdanie, a bez jego poparcia nie będzie miała takiej możliwości. Odgrywa on rolę języczka u wagi. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 13 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Uwaga Rozwiązanie strukturalne W.Rikera. Zakłada się tutaj, że nie powstają koalicje zupełnie dowolne, za to minimalnie wygrywające. Dzięki temu użyteczność, jaką zdobędzie koalcja, może być podzielona w sposób najbardziej efektywny. Istotne jest, że przyjmuje się, że koalicja przegrywająca uzyskuje wartość 0, zaś wygrywająca 1. W danej chwili może powstać zbyt duża koalicja, zatem w drodze wewnętrznych rokowań usuwa się graczy nieistotnych. Najistotniejszym graczem jest więc ten, dzięki któremu dana koalicja przeforsuje swoje zdanie, a bez jego poparcia nie będzie miała takiej możliwości. Odgrywa on rolę języczka u wagi. Odgrywanie roli języczka u wagi nie zawsze jest korzystne. Już w starożytności Tukidydes napisał: Na tych, którzy podczas wojny opuszczają swych sprzymierzeńców, patrzą ich nowi przyjaciele wprawdzie chętnym okiem, gdyż mogą z nich skorzystać, jednakże nie cenią ich wysoko, uważając, że zdradzili swych dawnych przyjaciół. Sprawiedliwa też jest ta ocena. a a Ibidem, s.108. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 13 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Uwaga Rozwiązanie strukturalne W.Rikera. Zakłada się tutaj, że nie powstają koalicje zupełnie dowolne, za to minimalnie wygrywające. Dzięki temu użyteczność, jaką zdobędzie koalcja, może być podzielona w sposób najbardziej efektywny. Istotne jest, że przyjmuje się, że koalicja przegrywająca uzyskuje wartość 0, zaś wygrywająca 1. W danej chwili może powstać zbyt duża koalicja, zatem w drodze wewnętrznych rokowań usuwa się graczy nieistotnych. Najistotniejszym graczem jest więc ten, dzięki któremu dana koalicja przeforsuje swoje zdanie, a bez jego poparcia nie będzie miała takiej możliwości. Odgrywa on rolę języczka u wagi. Odgrywanie roli języczka u wagi nie zawsze jest korzystne. Już w starożytności Tukidydes napisał: Na tych, którzy podczas wojny opuszczają swych sprzymierzeńców, patrzą ich nowi przyjaciele wprawdzie chętnym okiem, gdyż mogą z nich skorzystać, jednakże nie cenią ich wysoko, uważając, że zdradzili swych dawnych przyjaciół. Sprawiedliwa też jest ta ocena. a a Ibidem, s.108. Definicja Gra koalicyjna nazywana jest grą koalicyjną prostą, jeżeli K 2 N ν(k) {0, 1}. W grach prostych jeżeli ν(k) = 0, to K nazywa się koalicją przegrywającą, jeżeli ν(k) = 1 wygrywającą. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 13 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 14 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Przykład (Gra na większość) { 1, dla S = N, ν(k) = 0, wpp. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 14 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Przykład (Gra na większość) { 1, dla S = N, ν(k) = 0, wpp. Przykład (Gra ważonego głosowania) { 1, dla i K ν(k) = w i > q, 0, wpp. gdzie w i, i = 1,..., n są nieujemnymi wagami, a q > 0 jest wymaganym warunkiem. Dla q = 1 2 w i grę nazywamy grą ważonego głosowania większościowego. i K Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 14 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 15 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce a. Zakłada się, że nie wszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęcie zbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nie uznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków gry koalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowo dochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd. Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partie postsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma zdolności koalicyjnej. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 15 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce a. Zakłada się, że nie wszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęcie zbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nie uznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków gry koalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowo dochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd. Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partie postsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma zdolności koalicyjnej. Definicja Podział x dominuje podział y, jeżeli istnieje koalicja K t. że: x i ν(k) oraz i K x i > y i. i K Oznaczenie : x y. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 15 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce a. Zakłada się, że nie wszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęcie zbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nie uznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków gry koalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowo dochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd. Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partie postsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma zdolności koalicyjnej. Definicja Podział x dominuje podział y, jeżeli istnieje koalicja K t. że: x i ν(k) oraz i K x i > y i. i K Oznaczenie : x y. Definicja Zbiór V podziałów jest zbiorem stabilnym, jeżeli: 1.x V, y V x y wewnętrzna stabilność. 2.z / V x V x z zewnętrzna stabilność. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 15 / 24

Rozwiązania gier koalicyjnych Rozwiązanie stabilne wprowadzone przez L.Luce a. Zakłada się, że nie wszystkie koalicje w rzeczywistości powstają. Wprowadza się pojęcie zbioru stabilnego, który w polityce oznacza, że dopóki gracze nie uznają, że można zawiązać koalicję, która poprawi stan członków gry koalicyjnej, istenieje stabilna sytuacja polityczna. Dodatkowo dochodzą ograniczenia związane z ideologią, narodowością itd. Przykładem może być polska scena polityczna w latach 90. - partie postsolidarnościowe uznały, że SLD nie ma zdolności koalicyjnej. Definicja Podział x dominuje podział y, jeżeli istnieje koalicja K t. że: x i ν(k) oraz i K x i > y i. i K Oznaczenie : x y. Definicja Zbiór V podziałów jest zbiorem stabilnym, jeżeli: 1.x V, y V x y wewnętrzna stabilność. 2.z / V x V x z zewnętrzna stabilność. Uwaga W danej grze zbiorów stabilnych jest zwykle dużo (czasem nieskończenie wiele). Lucas w 1969r. skonstruował grę 10. osobową, która nie posiada żadnego zbioru stabilnego, ale do tej pory nie znaleziono życiowej interpretacji dla tego zjawiska. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 15 / 24

Uwagi Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 16 / 24

Uwagi Podawane są jeszcze inne koncepcje rozwiązania gier koalicyjnych poprzez rdzeń oraz nukleous. Nie będziemy ich jednak omawiać w tej pracy. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 16 / 24

Uwagi Podawane są jeszcze inne koncepcje rozwiązania gier koalicyjnych poprzez rdzeń oraz nukleous. Nie będziemy ich jednak omawiać w tej pracy. Jak widać, nie przyjęto w literaturze jednego sposobu rozwiązania gier koalicyjnych. Co jednak istotne - wszystkie przedstawione metody uzupełniają się. Gracze będą tworzyć zarówno koalicje minimalnie wygrywające, jednak zazwyczaj nie każde, a takie które są stabilne, zaś istotną postacią będzie gracz kluczowy. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 16 / 24

Uwagi Podawane są jeszcze inne koncepcje rozwiązania gier koalicyjnych poprzez rdzeń oraz nukleous. Nie będziemy ich jednak omawiać w tej pracy. Jak widać, nie przyjęto w literaturze jednego sposobu rozwiązania gier koalicyjnych. Co jednak istotne - wszystkie przedstawione metody uzupełniają się. Gracze będą tworzyć zarówno koalicje minimalnie wygrywające, jednak zazwyczaj nie każde, a takie które są stabilne, zaś istotną postacią będzie gracz kluczowy. W literaturze szczegółowo analizuje się koalicyjne triady, tetrady, pentady, a czaem i większe. Wynika to z faktu, że w praktyce politycznej dochodzi do upraszczania układów, np. po wyborach w 1991r. w Polsce rozmowy koalicyjne prowadziło nie 29 ugrupowań partyjnych, ale na ogół trójki i śzóstki. a a patrz Ibidem, s.114. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 16 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 17 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Celem każdej partii politycznej jest przeforsowanie w parlamencie swoich pomysłów. Dlatego chcą zdobyć jak najwięcej głosów w wyborach. Rzadko zdarza się jednak, że jedna partia zdobywa bezwzględną liczbę głosów, tzw. samodzielne rządzenie. Stąd potrzeba tworzenia koalicji, tak by osiągnąć maksymalny zysk - przeforsować jak najwięcej punktów ze swego programu. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 17 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Celem każdej partii politycznej jest przeforsowanie w parlamencie swoich pomysłów. Dlatego chcą zdobyć jak najwięcej głosów w wyborach. Rzadko zdarza się jednak, że jedna partia zdobywa bezwzględną liczbę głosów, tzw. samodzielne rządzenie. Stąd potrzeba tworzenia koalicji, tak by osiągnąć maksymalny zysk - przeforsować jak najwięcej punktów ze swego programu. Definicja Grą parlamentarną będziemy nazywać sytuację, w której kilka partii politycznych pertraktuje w celu utworzenia koalicji zapewniającej udział we władzy. Grą wyborczą sytuację, w której wyborcy oddają swoje głosy na partie polityczne. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 17 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Celem każdej partii politycznej jest przeforsowanie w parlamencie swoich pomysłów. Dlatego chcą zdobyć jak najwięcej głosów w wyborach. Rzadko zdarza się jednak, że jedna partia zdobywa bezwzględną liczbę głosów, tzw. samodzielne rządzenie. Stąd potrzeba tworzenia koalicji, tak by osiągnąć maksymalny zysk - przeforsować jak najwięcej punktów ze swego programu. Definicja Grą parlamentarną będziemy nazywać sytuację, w której kilka partii politycznych pertraktuje w celu utworzenia koalicji zapewniającej udział we władzy. Grą wyborczą sytuację, w której wyborcy oddają swoje głosy na partie polityczne. Uwaga Wyborcy są racjonalni - dążą do maksymalizacji zysków, które mogą uzyskać dzięki zwycięzcom. Partie również są racjonalne - dążą do pozyskania jak największej liczby wyborców. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 17 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 18 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Głosowanie szczere głos jest oddany zgodnie z własnymi preferencjami. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 18 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Głosowanie szczere głos jest oddany zgodnie z własnymi preferencjami. Głosowanie strategiczne głos jest oddany niekoniecznie zgodnie z preferencjami, ale za to w celu osiągnięcia dodatkowych korzyści. Przykładem może być głosowanie w pierwszej turze wyborów prezydenckich 1995r., kiedy to część Polaków głosowała od razu, pomijając swoich ulubieńców, na jednego z dwóch kluczowych kandydatów (Lecha Wałęsę lub Aleksandra Kwaśniewskiego). Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 18 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 19 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Zanotujmy ważną uwagę dotyczącą głosowania w parlamencie: Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 19 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Zanotujmy ważną uwagę dotyczącą głosowania w parlamencie: Uwaga W praktyce politycznej każdy reprezentant klubu głosuje samodzielnie. Aby uniknąć nieporozumień lub tzw. wpadek w trakcie głosowania, klub może nakazać dyscyplinę, tzn. wszyscy członkowie głosują w ten sam sposób. Wtedy obecność parlamentarzystów jest tylko wymogiem formalnym wystarczyłoby zebrać niezrzeszonych posłów oraz reprezentatów klubów (głosowaliby odpowiednio tyle razy, ilu członków liczy dany klub). W istocie mamy do czynienia z tzw. umową reprezentacyjną głosy poszczególnych członków klubu przekazane są reprezentantowi. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 19 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 20 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Przykład Załóżmy, że w parlamencie są trzy równo liczne grupy zwolennicy ustawy (U), przeciwnicy (O) oraz umiarkowani zwolennicy, którzy chcą przegłosować poprawki (P). Preferencje głosowania przedstawiają się następująco : dla U UPO, tzn. Ustawa, Poprawka, Odrzucenie, O OPU, zaś P PUO. Przy głosowaniu szczerym ustawa upadnie w pierwszym czytaniu P oraz O będą głosować za jej odrzuceniem. W kolejnym głosowaniu U oraz P przegłosują poprawki. Wygra więc partia P. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 20 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Przykład Załóżmy, że w parlamencie są trzy równo liczne grupy zwolennicy ustawy (U), przeciwnicy (O) oraz umiarkowani zwolennicy, którzy chcą przegłosować poprawki (P). Preferencje głosowania przedstawiają się następująco : dla U UPO, tzn. Ustawa, Poprawka, Odrzucenie, O OPU, zaś P PUO. Przy głosowaniu szczerym ustawa upadnie w pierwszym czytaniu P oraz O będą głosować za jej odrzuceniem. W kolejnym głosowaniu U oraz P przegłosują poprawki. Wygra więc partia P. Przykład (cd.) Załóżmy, że najpierw głosowane są poprawki. Wtedy nie przejdą one przeciwko będzie U oraz O. W drugim głosowananiu za całym projektem będą wtedy U oraz P. Wtedy wygrywa partia U. Głosowanie strategiczne będzie polegało na niedopuszczeniu do sytuacji najgorszej dla danej partii. Dlatego też O może poprzeć P w pierwszym czytaniu, czym co prawda nie odrzuci projketu, ale osłabi go poprzez przyjęcie poprawek. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 20 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 21 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Przykład (2) Załóżmy, że mamy N graczy, wymagana większość wynosi W (tzn. N 2 < W N). Nie ma zawartej żadnej umowy. Wartość Shapley a każdego gracza wynosi więc 1 N. Niech teraz gracz k przekaże swój głos graczowi l, zaś pozostali gracze grają samodzielnie. Wtedy mamy : x k = 0, x l = 1 + 1 N 1 = 2 N 1, x i = 1 2 N 1 N 2 = N 3 (N 1)(N 2) dla i k, l. Zauważmy, że gracze k oraz l zyskują teraz mają siłę głosu : 0 + 2 N 1 > 1 N + 1 N Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 21 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Przykład (2) Załóżmy, że mamy N graczy, wymagana większość wynosi W (tzn. N 2 < W N). Nie ma zawartej żadnej umowy. Wartość Shapley a każdego gracza wynosi więc 1 N. Niech teraz gracz k przekaże swój głos graczowi l, zaś pozostali gracze grają samodzielnie. Wtedy mamy : x k = 0, x l = 1 + 1 N 1 = 2 N 1, x i = 1 2 N 1 N 2 = N 3 (N 1)(N 2) dla i k, l. Zauważmy, że gracze k oraz l zyskują teraz mają siłę głosu : Uwaga 0 + 2 N 1 > 1 N + 1 N Omówiony przykład jest ważny o ile W < N. W przypadku gry jednomyślności, tzn. W = N zawiązanie koalicji nie jest korzystne dla graczy k oraz l. Niemniej w takiej grze żadne koalicje nie są korzystne. Dlatego zwyczajowo zakłada sie, że W < N, co zresztą jest zgodne z praktyką polityczną. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 21 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 22 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Przykład (2 cd.) Niech teraz umowę reprezentacji zawrze m graczy. Wtedy mamy sytuację przed zawarciem koalicji : x 1 = x 2 =... = x N = 1 N, zaś po : x j1 = x j2 =... = x jm 1 = 0 oraz m N m+1 dla m N W, x k = N W +1 N m+1 dla N W < m < W, 1 dla m W. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 22 / 24

Gry parlamentarne i wyborcze Przykład (2 cd.) Niech teraz umowę reprezentacji zawrze m graczy. Wtedy mamy sytuację przed zawarciem koalicji : x 1 = x 2 =... = x N = 1 N, zaś po : x j1 = x j2 =... = x jm 1 = 0 oraz m N m+1 dla m N W, x k = N W +1 N m+1 dla N W < m < W, 1 dla m W. Uwaga Sytuacja jest trudniejsza do oceny, gdy zawierane jest więcej umów pomiędzy graczami. Z drugiej strony jest to sytuacja najciekawsza, gdyż właśnie taka występuje w praktyce politycznej. Jako jeden ze sposobów proponuje się porównywanie wartości Shapley a dla gracza przed i po zawarciu każdej umowy. Nie ma jednak stałych i efektywnych wzorów na tego typu działania. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 22 / 24

Wnioski Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 23 / 24

Wnioski Teoria gier dostarcza nam istotnych narzędzi do badania zachowań politycznych. Poprzez teorię koalicji ukazuje możliwości rozwinięcia się danej sytuacji. Sam przebieg rokowań jest skądinąd interesującym zagadnieniem. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 23 / 24

Wnioski Teoria gier dostarcza nam istotnych narzędzi do badania zachowań politycznych. Poprzez teorię koalicji ukazuje możliwości rozwinięcia się danej sytuacji. Sam przebieg rokowań jest skądinąd interesującym zagadnieniem. Dzięki tej wiedzy lepiej rozumiemy otaczającą nas rzeczywistość polityczną, dostrzegamy konieczność niektórych, na pierwszy rzut oka wydawałoby się nieracjonalnych, zachowań. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 23 / 24

Wnioski Teoria gier dostarcza nam istotnych narzędzi do badania zachowań politycznych. Poprzez teorię koalicji ukazuje możliwości rozwinięcia się danej sytuacji. Sam przebieg rokowań jest skądinąd interesującym zagadnieniem. Dzięki tej wiedzy lepiej rozumiemy otaczającą nas rzeczywistość polityczną, dostrzegamy konieczność niektórych, na pierwszy rzut oka wydawałoby się nieracjonalnych, zachowań. Politycy mogą korzystać z teorii gier w celu podjęcia decyzji najbardziej dla nich optymalnych. Warto jednak pamiętać, że przy analizie sceny politycznej nie wolno ograniczyć się tylko do teorii gier. Trzeba uwzględnić inne aspekty, ciężko uchwytne przez tę dziedzinę nauki. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 23 / 24

Bibliografia Kasjan S., Malicki P.: Matematyczne modele współpracy i konfliktu teoria gier w praktyce. Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń 2010. Malawski M., Sosnowska H., Wieczorek A.: Konkurencja i kooperacja. Teoria gier w ekonomii i naukach społecznych. PWN, Warszawa 2004. Pietraś Z. J.: Teoria gier jako sposób analizy procesów podejmowania decyzji politycznych. Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1997. Płatkowski T.: Matematyka stosowana. Wstęp do Teorii gier. Uniwersytet Warszawski, Warszawa 2012. Weres L.: Teoria gier w amerykańskiej nauce o stosunkach międzynarodowych. Instytut Zachodni, Poznań 1982. Parlamentarno-polityczne zastosowania teorii gier N - osobowych 9 11 maja 2014 24 / 24