Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 CZŁOWIEK NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie
DANE INFORMACYJNE Naukowa Grupa Projektowa, Uniwersytet Szczeciński ID grupy: 97_USZ Opiekun: Grzegorz Szkibiel Kompetencja: Matematyka i fizyka Temat projektowy: Kongruencje i ich zastosowania. Rok szkolny 2010/2011, semestr II.
Organizacja 1. Definicja i podstawowe własności kongruencji 2. Wyznaczanie dni tygodnia 3. Dzielenie 4. Kongruencje z jedną niewiadomą 5. Kongruencje z dwiema niewiadomymi 6. Zastosowania w kryptografii 7. Kongruencje a wielomiany, cechy podzielności 8. Potegowanie modulo m 9. Chińskie twierdzenie o resztach ŹRÓDŁO : pl.euabc.com
Podział pracy, odpowiedzialni Część 1: Karolina Nowaczewska, LO Tow. Sal. Szczecin Część 2: Clarissa i Tiziana Burdzy, LO Tow. Sal. Szczecin oraz Ewa Krzysztanowicz, III LO Szczecin Część 3: Nina Szostak, XI LO Szczecin Część 4: Agnieszka Mosińska, VIII LO Szczecin Część 5: Joanna Mosińska, VIII LO Szczecin Część 6: Paweł Bacławski, LO Tow. Sal. Szczecin Część 7: Paweł Kowerski i Sebastian Kurek, II LO Szczecin Część 8: Paweł Kowerski i Bartłomiej Mazan, II LO Szczecin Część 9: Ewa Krzysztanowicz, III LO Szczecin
1. Definicja i podstawowe własności kongruencji Karolina Nowaczewska, LO Tow. Sal. Szczecin
Definicja kongruencji Mówimy, że a przystaje do b modulo m, co zapisujemy a b (mod m), jeśli m jest dzielnikiem liczby a b. Zakładamy przy tym, że m > 1.
Własności kongruencji symetria: jeżeli dla liczb całkowityc a i b, a b (mod n), to b a (mod n) przechodniość: jeżeli dla liczb całkowityc a, b i c, a b mod n, b c mod n, to a c (mod n) kongruencja sumy: jeżeli a p mod n i b q mod n, to (a + b) p + q (mod n) kongruencja iloczynu: jeżeli a p mod n i b q mod n, to a b p q (mod n)
Kongruencje: czyli o podzielności Zapis a b, czytamy a dzieli b, oznacza to to samo co a*k=b gdzie k jest liczbą całkowitą. Idąc tym tropem zdefiniujmy resztę z dzielenia, np. 11/2= 5 i reszty 1. Matematycy uważają że resztą z dzielenia a/b jest r takie że b*k+r=a i r C dodatnich, niby proste, ale trzeba tu zwrócić uwagę na to że r musi być dodatnie.
Kongruencje, czyli o podzielności - przykałdy 11 / 2 11=2*5+1-11 / 2-11=2*-6+5 11 / -2 11=-2*6+5 Czyli jak widać jeśli jest dzielenie gdzie dzielnik lub dzielna są z "-" to reszta nie jest tak oczywista, można to rozwiązywać ze wzoru b*k+r=a
2. Wyznaczanie dni tygodnia Clarissa i Tiziana Burdzy, LO Tow. Sal. Szczecin oraz Ewa Krzysztanowicz, III LO Szczecin
Zjazd gnieźnieński Zadanie. Zjazd gnieźnieński odbył się w niedzielę pomiędzy 10. a 16. kwietnia roku 1000. Wiemy, że w dzień bitwy pod Grunwaldem, tj. 15 VII 1410 był wtorek. Jaka była data zjazdu gnieźnieńskiego? 15 VII 1410 -> wtorek (2) Rozwiązanie. Przydzielamy liczbę do dnia tygodnia: Niedziela = 0, Poniedziałek = 1, Wtorek = 2, Środa = 3, Czwartek = 4, Piątek = 5, Sobota = 6.
Zjazd gnieźnieński Wiedząc, że 15.VII.1410 roku był wtorek (2) liczymy, jaki dzień tygodnia był 15.VII.1000 roku. Te dwie daty dzieli 410 lat, z których 102 były przestępne. Stąd wyrażenie, 2-410* 365-102 z którego musimy obliczyć resztę z dzielenia przez 7. Obliczamy najpierw, że -410 Ξ 3(mod 7), 365 Ξ 1(mod 7) oraz -102 Ξ 3(mod 7). Stąd 2-410* 365-102 Ξ 2+3*1+3 Ξ 1 (mod 7) Zatem 15.VII.1000 był poniedziałek.
Zjazd gnieźnieński Dalej obliczamy na palcach : 15.VII.1000 poniedziałek 1.VII.1000 poniedziałek 30.VI.1000 niedziela 2.VI.1000 niedziela 27.V.1000 niedziela 6.V.1000 niedziela 29.IV.1000 niedziela 15.IV.1000 niedziela Odp. Zjazd gnieźnieński odbył się w niedzielę 15.IV.1000r.
6. Zastosowania w kryptografii Paweł Bacławski LO Tow. Sal. Szczecin
Przykłady szyfrów, w których możemy użyć kongruencji: szyfry afiniczne szyfr Cezara szyfr Beauforta Szyfry zazwyczaj pokazuje się w blokach po 5 liter i tak też w tej prezentacji będzie to pokazane.
Szyfry afiniczne Aby móc zastosować szyfry afiniczne musimy każdej z 26 liter przyporządkować kolejno jedną liczbę: A 0, B 1, C 2 ( ) Z 25. Pozwoli nam to na wykonywanie działań arytmetycznych na liczbach. Wiedząc, że alfabet bez polskich znaków ma 26 liter oraz zakładając, że p będzie oznaczało pozycję litery, n i k klucze (n, k), a l literę po przekształceniu, tworzymy równanie (szyfr afiniczny): np + k l mod 26 Liczby, który możemy podstawić pod n to: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25
Znając już budowę szyfru afinicznego, spróbujmy coś zaszyfrować. Przykładem, który zaszyfrujemy jest Neal Koblitz (twórca szyfru afinicznego). Zastosujemy klucz (3, 6). Litery jakie mamy do zaszyfrowania to: a, b, e, i, k, l, n, o, t, z. Odpowiadają im pozycję: a 0, b 1, e 4, i 8, k 10, l 11, n 13, o 14, t 19, z 25. Stosując klucz, mnożymy każdą pozycję przez 3 i dodajemy 6, po czym stosujemy (mod 26).
NEAL KOBLITZ ->??? [a] 0 3 + 6 6(mod 26) [g] [b] 1 3 + 6 9(mod 26) [j] [e] 4 3 + 6 18(mod 26) [s] [i] 8 3 + 6 4(mod 26) [e] [k] 10 3 + 6 10(mod 26) [k] [l] 11 3 + 6 13(mod 26) [n] [n] 13 3 + 6 19(mod 26) [t] [o] 14 3 + 6 22(mod 26) [w] [t] 19 3 + 6 11(mod 26) [l] [z] 25 3 + 6 3(mod 26) [d] A więc, po zaszyfrowaniu, NEAL KOBLITZ, to TSGNK WJNEL D.
Szyfr cezara Szyfr Cezara, działa podobnie jak szyfry afiniczne, które są jakby rozszerzoną wersją tego pierwszego. Tak samo do każdej litery alfabetu łacińskiego podstawiamy liczbę, czyli: A 0, B 1, C 2 ( ) Z 25. Jednak tu sprawa jest prostsza, gdyż nie musimy mnożyć pozycji naszej liczby przez n, które w szyfrze Cezara nie występuje. Dlatego, jak łatwo się domyślić, równaniem tego szyfru jest: p + k l mod 26 Tak samo jak poprzednio, p to pozycja litery, k klucz, a l to litera po przekształceniu.
Kości zostały rzucone Jako, iż twórcą tego szyfru był sam Juliusz Cezar, używając klucza 3, zaszyfrujmy jedno z jego słynnych powiedzeń: Alea iacta est ( Kości zostały rzucone ) Litery, który mamy do zaszyfrowania to: a, c, e, i, l, s, t. Ponownie, jak w szyfrach afinicznych dobieramy odpowiednią pozycję: a 0, c 2, e 4, i 8, l 11, s 18, t 19. Tutaj sprawa jest prostsza, gdyż jedyne co musimy zrobić, to do pozycji liczby (p) dodać liczbę, czyli klucz (k), po czym zastosować (mod 26).
ALEA IACTA EST [a] 0 + 3 3(mod 26) [d] [c] 2 + 3 5(mod 26) [f] [e] 4 + 3 7(mod 26) [] [l] 11 + 3 14(mod 26) [o] [s] 18 + 3 21(mod 26) [v] [t] 19 + 3 22(mod 26) [w] [i] 8 + 3 11(mod 26) [l] Stąd wiemy, że ALEA IACTA EST, po zaszyfrowaniu kluczem 3, to: DOHDL DFWDH VW.
Szyfr Beauforta W szyfrze Beauforta, podobnie jak w dwóch poprzednich, pod każdą liczbę alfabetu łacińskiego podstawiamy liczbę: A 0, B 1, C 2 ( ) Z 25. Chcąc zastosować szyfr Beauforta musimy znaleźć liczby przeciwne do alfabetu łacińskiego. Aby to zrobić odejmujemy od zera pozycję każdej litery, po czym dodajemy 26, czyli liczbę, która określa liczbę liter w alfabecie. Stąd też, tak będzie wyglądał alfabet po przekształceniu: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Z Y X W V U T S R Q P O N M L K J I H G F E D C B Patrząc na powyższe przekształcenie możemy zauważyć, że A oraz N są swoimi przeciwnościami.
Szyfr Beauforta Aby wykonać szyfrowanie, należy poznać równanie tego szyfru, które wygląda następująco: p + k l (mod 26) Wiemy, że p oznacza liczbę przeciwną (np.: B->Z, D->X), k klucz, l liczba otrzymana po zaszyfrowaniu, która jest odpowiednikiem w alfabecie łacińskim. Klucz, w praktyce przesuwa liczby przeciwne o k pozycji, dzięki czemu można zaszyfrować, żądane wyrażenie.
Zaszyfrujemy teraz nazwę miejsca urodzenia samego Beauforta: County Meath. Użyjemy klucza 7. Litery jakie mamy do zaszyfrowania to: a, c, e, h, m, n, o, t, u, y. Odnajdujemy ich położenie w przeciwnym alfabecie: a 0, c 24, e 22, h 19, m 14, n 13, o 12, t 7, u 6, y 2. Znając już ich położenie, przesuwamy je o 7, czyli nasze k.
[a] 0 + 7 7(mod 26) [] [c] 24 + 7 5(mod 26) [f] [e] 22 + 7 3(mod 26) [d] [] 19 + 7 0(mod 26) [a] [m] 14 + 7 21(mod 26) [v] [n] 13 + 7 20(mod 26) [u] [o] 12 + 7 19(mod 26) [t] [t] 7 + 7 14(mod 26) [o] [u] 6 + 7 13(mod 26) [n] [y] 2 + 7 9(mod 26) [j] Dlatego COUNTY MEATH, po zaszyfrowaniu kluczem 7, to FTNUO JVDHO A
? XDUFQ IJEGI UOXQJ QRKFC? Co jest zaszyfrowane w tytule?! Szyfry afiniczne, klucz (3, 4). Powodzenia! ; )