Grawitacja + Astronomia Matura 2005 Zadanie 31. Syriusz (14 pkt) Zimą najjaśniejszą gwiazdą naszego nocnego nieba jest Syriusz. Pod tą nazwą kryje się układ dwóch gwiazd poruszających się wokół wspólnego środka masy. Syriusz A jest gwiazdą ciągu głównego, a Syriusz B jest białym karłem i nie można go zobaczyć gołym okiem. 31.1 (2 pkt) Na podstawie tekstu i własnej wiedzy wymień dwie charakterystyczne cechy białych karłów. 31.2 (3 pkt) Średnia gęstość Syriusza B wynosi 2,4 10 9 kg 3, a jego promień 5,9 10 6 m. Oblicz wartość m przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni Syriusza B, pomijając wpływ Syriusza A. 31.3 (2 pkt) Na rysunku przedstawiono budowę wnętrza Syriusza A. Energia zawarta w jądrze gwiazdy transportowana jest na powierzchnię przez warstwę konwektywną, a z powierzchni fotosfery wypromieniowana w przestrzeń kosmiczną. Zapisz, czym różni się transport energii w wyniku konwekcji od transportu poprzez promieniowanie. 31.4 (3 pkt) Głównym źródłem energii Syriusza A są reakcje termojądrowe polegające na zamianie wodoru w hel za pośrednictwem węgla i tlenu (tzw. cykl CNO). a. Uzupełnij równanie reakcji będącej częścią cyklu CNO. 15 7 N +... 8 O + γ 14 1
b. Poniżej zamieszczono równania dwóch przemian jądrowych cyklu CNO. Obok równań reakcji zapisz nazwę tego typu procesu jądrowego. 1 13 6 C+ 1H 7 N + γ -------------------------------------------------------------- 12 + 13 + N 13 C 7 6 e -------------------------------------------------------------- 31.5 (4 pkt) W zachodzącym w jądrze Syriusza A cyklu CNO najwięcej energii wydziela się podczas reakcji zamiany węgla w azot. 13 6 1 14 C+ H = N + γ 1 Oblicz, ile jąder węgla w Syriuszu A musiałoby ulec tego typu reakcji, by wytworzona energia mogła w normalnych warunkach stopić 1 g lodu. Ciepło topnienia lodu wynosi 3,34 10 5 J/kg. Masy jąder wodoru, węgla i azotu mają wartości odpowiednio równe: m H = 1,673 10-27 kg, m C = 21,586 10-27 kg, m N = 23,245 10-27 kg Matura 2007 Zadanie 5. Jądro atomowe a gwiazda neutronowa (12 pkt) 5.1 (2 pkt) Zapisz dwie cechy sił jądrowych. 7 1.... 2.... 5.2 (3 pkt) Wykaż, że średnia gęstość materii jądrowej jest niezależna od liczby masowej. Wykorzystaj założenia podane poniżej. 4 3 1. Jądro atomowe można traktować jako kulę (objętość kuli V = π R ). 3 2. Empiryczny wzór określający promień jądra atomowego ma postać R = r 3 A, gdzie r = 1,2 10-15 m, zaś A jest liczbą masową. 3. Masę jądra atomu można szacować jako iloczyn liczby masowej i masy neutronu. Masywne gwiazdy w końcowym etapie ewolucji odrzucają zewnętrzne warstwy materii i zapadając się mogą tworzyć gwiazdy neutronowe. Jeśli masa zapadającej się części gwiazdy jest dostatecznie duża to powstaje czarna dziura. Czarna dziura to obiekt astronomiczny, który tak silnie oddziałuje grawitacyjnie na swoje otoczenie, że żaden rodzaj materii ani energii nie może jej opuścić. 5.3 (3 pkt) Oszacuj promień gwiazdy neutronowej o masie 12,56 10 29 równej 3 10 17 kg/m 3 kg i średniej gęstości 2
5.4 (4 pkt) Masywna gwiazda w wyniku ewolucji utworzyła obiekt o masie 12,56 10 29 kg i promieniu 1 km. Oszacuj wartość drugiej prędkości kosmicznej dla tego obiektu. Oceń, czy ten obiekt może być czarną dziurą. Odpowiedź uzasadnij. Matura 2008 Zadanie 5. Asteroida Apophis (12 pkt) Amerykańska agencja kosmiczna (NASA) przygotowuje plany umożliwiające lądowanie na asteroidzie. NASA chce sprawdzić, czy jest możliwa zmiana kursu takiego ciała w przypadku, gdyby zmierzało ono w kierunku Ziemi. Naszej planecie może w 2029 roku zagrozić stosunkowo niewielka asteroida Apophis o masie 8 10 10 kg. Astronomowie oceniają, że asteroida mija naszą planetę w niewielkiej odległości raz na 1500 lat. Podczas jednego obiegu wokół Słońca orbita Apophis dwukrotnie przecina się z orbitą Ziemi. Najbliższe zbliżenie do Ziemi nastąpi w piątek 13 kwietnia 2029 roku. Astronomowie szacują, że wartość prędkości asteroidy względem Ziemi w momencie potencjalnego zderzenia będzie wynosiła około 13 km/s. Asteroida Apophis Średnia odległość od Słońca Mimośród orbity Peryhelium 0,922 AU 0,191 0,746 AU Na podstawie: http://neo.jpl.nasa.gov/news/news146.html http://en.wikipedia.org/wiki/99942_apophis Zadanie 5.1 (1 pkt) Oszacuj wartość przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni asteroidy. W obliczeniach przyjmij, że asteroida jest jednorodną kulą. Aphelium Nachylenie orbity względem ekliptyki Średnica asteroidy 1,098 AU 3,333 390 m Zadanie 5.2 (3 pkt) Podaj, w którym położeniu (peryhelium czy aphelium) wartość prędkości obiegu asteroidy wokół Słońca jest najmniejsza. Odpowiedź uzasadnij, odwołując się do odpowiedniego prawa i podając jego treść. Zadanie 5.3 (3 pkt) Oszacuj okres obiegu asteroidy wokół Słońca. Wynik podaj w dniach ziemskich. Podczas obliczeń przyjmij, że asteroida porusza się po orbicie kołowej, rok ziemski trwa 365 dni, a średnia odległość Ziemi od Słońca jest równa 1 AU (1 AU = 15 10 10 m). Zadanie 5.4 (2 pkt) Wykaż, że wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla asteroidy Apophis wynosi około 0,165 m/s. Zadanie 5.5 (3 pkt) Oblicz maksymalną energię, jaka może wydzielić się w momencie zderzenia asteroidy z powierzchnią Ziemi. Wyraź tę energię w megatonach (MT), przyjmując, że 1 MT 4 10 15 J. 3
Matura 2009 Zadanie 5. Cefeidy (12 pkt) Cefeidy to regularnie zmieniające swoją jasność gwiazdy, nawet dziesięć tysięcy razy jaśniejsze od Słońca. Każda cefeida okresowo zmienia swoje rozmiary i temperaturę powierzchni. Własności cefeid wykorzystywane są do wyznaczania odległości do galaktyk, w których się znajdują. Swoją nazwę zawdzięczają gwieździe δ Cephei w gwiazdozbiorze Cefeusza. Jej rozmiary są kilkadziesiąt razy większe od Słońca, jej temperatura zmienia się od 6800 K w maksimum blasku do 5500 K w minimum, a moc jej promieniowania osiąga średnią wartość ok. 2000 razy większą niż Słońce. W obliczeniach przyjmij, że moc promieniowania Słońca wynosi 3,82 10 26 W. Poniżej przedstawiono diagram Hertzsprunga-Russella klasyfikujący gwiazdy, na którym zaznaczono obszary I, II, III, IV. Wykres dotyczy zadań 5.1 i 5.2. Zadanie 5.1 (2 pkt) Zapisz, w którym z zaznaczonych obszarów I, II, III, IV na diagramie Hertzsprunga-Russella znajduje się cefeida δ Cephei. Zapisz nazwę gwiazd znajdujących się w obszarze I. Zadanie 5.2 (2 pkt) Oszacuj (w watach), w jakim przedziale zawiera się moc promieniowania gwiazd leżących na ciągu głównym. Wykres przedstawia zmiany jasności w czasie dla pewnej cefeidy. 3,5 Jasnoœæ cefeidy w jednostkach umownych 3,8 4,1 4,4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 dni 4
Zadanie 5.3 (1 pkt) Oszacuj i zapisz okres zmian jasności tej cefeidy. Wykorzystaj dane zawarte na wykresie. Zadanie 5.4 (1 pkt) Moc promieniowania emitowanego z jednostki powierzchni gwiazdy zależy od temperatury jej powierzchni. Wyjaśnij, dlaczego cefeida δ Cephei emituje znacznie więcej energii niż Słońce, mimo podobnej temperatury powierzchni. Zadanie 5.5 (2 pkt) moc cefeidy / moc S³oñca Odległości do galaktyk, w których zidentyfikowano cefeidy, można wyznaczać, wykorzystując zależność pomiędzy okresem zmian jasności dla różnych cefeid i ich średnią mocą promieniowania. Na wykresie poniżej przedstawiono zależność między średnią mocą promieniowania a okresem zmian jasności. 6000 4000 2000 0 5 10 15 dni Oblicz średnią moc promieniowania cefeidy o okresie zmian jasności 10 dni, korzystając z informacji zawartych w tekście wprowadzającym oraz na wykresie. Zadanie 5.6 (2 pkt) Strumień energii Φ (wyrażony w W/m2) padający prostopadle na jednostkową powierzchnię P obliczamy ze wzoru: Φ =, gdzie P jest mocą promieniowania gwiazdy, 4π r2 a r jest odległością od gwiazdy. Na podstawie pomiarów ustalono, że średnia moc promieniowania pewnej cefeidy wynosi 12,56 1028 W, a strumień energii docierający od tej cefeidy w pobliże Ziemi jest równy 1 10 12 W/m2. Oblicz odległość tej cefeidy od Ziemi. Zadanie 5.7 (2 pkt) Odległości wyznaczane opisaną powyżej metodą są bardzo duże i podaje się je w latach świetlnych lub w parsekach. Wyraź odległość 1017 km w latach świetlnych. Matura 2010 Zadanie 5. Satelita GLAST (10 pkt) GLAST (Gamma-ray Large Area Space Telescope) jest kosmicznym obserwatorium promieniowania gamma. Krąży po kołowej orbicie okołoziemskiej o promieniu 6920 km z prędkością około 7,6 km/s. Obserwatorium ma masę około 4300 kg i jest wyposażone w akumulatory oraz dwa panele baterii słonecznych o mocy około 3120 W. Najważniejszym instrumentem satelity jest teleskop LAT, który może rejestrować co 10 µs pojedyncze fotony o energiach w zakresie od 20 MeV do 300 GeV. W jego wnętrzu znajdują się warstwy folii wolframowej, w której, w wyniku absorpcji fotonu, powstaje elektron i pozyton. Tory tych cząstek śledzone są za pomocą detektorów krzemowych. Cząstki oddają swoją energię w kalorymetrze, co umożliwia pomiar energii fotonu. Na podstawie: Świat Nauki I/2008 oraz http://fermi.gsfc.nasa.gov/ 5
Zadanie 5.1 (2 pkt) Zapisz nazwy dwóch zasad zachowania, jakie są spełnione podczas rejestrowania fotonów. 1.... 2.... Zadanie 5.2 (2 pkt) Określ prawdziwość zdań, wpisując w odpowiednich miejscach wyraz: prawda lub fałsz. Pomiar energii wydzielonej w kalorymetrze umożliwia wyznaczenie długości fali fotonu γ rejestrowanego w teleskopie LAT.... Teleskop LAT umożliwia śledzenie torów fotonów przy pomocy detektorów krzemowych.... Zadanie 5.3 (1 pkt) Oblicz maksymalną liczbę fotonów, jaka może być zarejestrowana w ciągu jednej sekundy przez teleskop LAT. Zadanie 5.4 (2 pkt) Oblicz największą długość fali odpowiadającą fotonom rejestrowanych w teleskopie. W obliczeniach przyjmij, że 1 ev = 1,6 10 19 J. Zadanie 5.5 (1 pkt) Oblicz okres obiegu satelity GLAST wokół Ziemi. Zadanie 5.6 (1 pkt) Zapisz nazwę urządzenia, które dostarcza energii elektrycznej do urządzeń satelity podczas przebywania satelity w cieniu Ziemi. Zadanie 5.7 (1 pkt) Wyjaśnij pojęcie czarna dziura. Matura 2011 Zadanie 2. Mars (11 pkt) Statek kosmiczny o masie 50 t po wyłączeniu silników przeleciał w pobliżu Marsa. W pewnej chwili t 0 statek przelatywał na wysokości 500 km nad powierzchnią planety. Masa Marsa wynosi 6,4 10 23 kg, a jego promień 3,4 10 6 m. Zadanie 2.1 (2 pkt) Oblicz wartość przyspieszenia swobodnego spadku na powierzchni Marsa. Zadanie 2.2 (3 pkt) Oblicz prędkość ucieczki statku (minimalną prędkość początkową, jaką statek musiałby uzyskać na podanej wysokości 500 km, aby oddalić się z wyłączonymi silnikami na dowolnie dużą odległość od Marsa). Oblicz prędkość ruchu statku po orbicie kołowej na tej wysokości. 6
Jeśli początkowa prędkość statku miała wartość v 0 = 4 10 3 m/s i była skierowana poziomo (prostopadle do prostej poprowadzonej do środka Marsa), to czy w miarę upływu czasu (t > t 0 ) odległość statku od planety będzie: pozostawała stała, rosła stale, malała, rosła, a potem malała? Podkreśl właściwą spośród czterech powyższych możliwości i szczegółowo uzasadnij swój wybór. Informacja do zadań 2.3 i 2.4 Od statku kosmicznego odłącza się lądownik z astronautą. W końcowej fazie lądowania (blisko powierzchni planety) lądownik porusza się pionowo z opóźnieniem równym 11 m/s 2. Zadanie 2.3 (3 pkt) Narysuj, oznacz i opisz wszystkie siły działające na astronautę w końcowej fazie lądowania. Długości wektorów powinny przedstawiać zależności między ich wartościami. Narysuj siłę wypadkową (oznacz ją jako W), a jeśli jest ona równa zeru, to napisz, że W = 0. Rysunek astronauta fotel Zadanie 2.4 (1 pkt) Masa astronauty wynosi 80 kg, a natężenie pola grawitacyjnego Marsa ma wartość 3,7 N/kg. Oblicz wartość siły nacisku astronauty na fotel. Zadanie 2.5 (2 pkt) Na Marsie natężenie pola grawitacyjnego jest mniejsze, niż na Ziemi. Astronauci dokonują tam pomiaru okresu drgań pionowych ciężarka na sprężynie (wahadła sprężynowego) i okresu drgań ciężarka zawieszonego na nitce (wahadła matematycznego). Na Ziemi okresy drgań obydwu wahadeł były jednakowe. Czy na Marsie będą one także jednakowe, a jeśli nie, to dla którego wahadła okres drgań będzie dłuższy? Uzasadnij odpowiedź. Matura 2014 Zadanie 6. Planeta (8 pkt) Przypuśćmy, że w pewnej galaktyce astronauci odkryli kulistą planetę, której masa jest dokładnie 3 razy mniejsza od masy Ziemi. Zmierzono promień planety 4,59 10 6 m oraz okres drgań wahadła matematycznego o długości 1 m na równiku i na biegunie tej planety. Otrzymane wyniki pomiarów zamieszczono w środkowej kolumnie tabeli. Szerokość geograficzna Okres wahadła, s Przyspieszenie swobodnego spadku, m/s 2 0 (równik) 2,52 6,22 90 (biegun) 2,50 6,31 7
Zadanie 6.1 (2 pkt) Wykaż, że podana wartość przyspieszenia swobodnego spadku na biegunie jest zgodna z zamieszczonymi wyżej informacjami o planecie. Zadanie 6.2 (1 pkt) Wykaż, że podana wartość przyspieszenia swobodnego spadku na równiku jest zgodna z odpowiednim okresem wahadła. Zadanie 6.3 (3 pkt) Przyczyną różnicy między wartościami przyspieszenia swobodnego spadku na równiku i na biegunie jest obrót planety wokół własnej osi. Korzystając z wyników zamieszczonych w tabeli, oblicz okres obrotu tej planety. Zadanie 6.4 (2 pkt) Krótko po starcie z powierzchni planety statek kosmiczny uzyskał prędkość o wartości 8 km/s. Wykonując niezbędne obliczenia, sprawdź, czy ta prędkość wystarczy, aby statek mógł oddalić się od planety na dowolnie dużą odległość. 8