PROBLEM HARMONOGRAMOWANIA JAKO KOMBINATORYCZNA AUKCJA CZASU *

PIOTR MODLI SKI Politechnika Warszawska Warszawa PROBLEM HARMONOGRAMOWANIA JAKO KOMBINATORYCZNA AUKCJA CZASU * Streszczenie W pracy zaproponowano metod modelowania praktycznych problemów harmonogramowania za pomoc wielotowarowych mechanizmów rynkowych. Wprowadzona została Kombinatoryczna Aukca Czasu ako narz dzie umo liwia ce zapis zarówno prostych problemów, ak i wykorzystu cych zale no ci pomi dzy poszczególnymi zasobami, w szczególno ci komplementarno i substytucyo. Przedstawiono sposób zapisu zadania harmonogramowania w sposób naturalny, pozwala cy na koncentrac na wymaganiach funkconalnych zamiast na zale no ciach pomi dzy poszczególnymi zasobami. Słowa kluczowe: harmonogramowanie, aukca, aukca kombinatoryczna, zarz dzanie czasem, Kombinatoryczna Aukca Czasu, KAC. 1. Wprowadzenie Istniee wielka ró norodno problemów harmonogramowania procesów dyskretnych, które ze wzgl du na całkowitoliczbowy charakter zadania s trudne do rozwi zania. Z drugie strony w wielu sytuacach s do siebie bardzo podobne, ale pewne specyficzne własno ci powodu, e niemo liwe est zastosowanie algorytmów zaproektowanych dla ednego problemu do rozwi zywania innych. Wspólnym elementem zada harmonogramowania est wyst powanie czasu. Czasem poawia si w postaci awne, gdzie istnie konkretne wymagania co do terminu wykonania konkretne operaci, w innym przypadku est ukryty w ograniczeniach, kiedy czas wykonywania est dowolny, ale istnie np. ci le okre lone zasoby, których nie wolno przekroczy (np. dost pna ilo procesorów). Niniesza praca ma na celu zaprezentowanie sposobu modelowania tego typu problemów w oparciu o aukc kombinatoryczn specyficznych towarów par (zasób, chwila czasu). Problemy aukcye s dobrze znane w informatyce, od lat udoskonalane s narz dzia zwi ksza ce zarówno efektywno ich rozwi zywania, ak i poprawia ce cechy takie, ak sprawiedliwo, zgodno motywaci itp. [2,3,7,8] Wszystkie te wyniki mo liwe b d do zastosowania w rozwi zywaniu problemów harmonogramowania po przekształceniu ich do postaci aukcye. 2. Opis problemu Skoncentrumy si na do ogólnym problemie, uszczegóławia c który mo na b dzie do do wielu istnie cych modeli harmonogramowania. Zadanie polega na wyznaczeniu takiego rozdziału w czasie (i by mo e przestrzeni, o czym pó nie) dost pnych zasobów, który zapewni * Praca cz ciowo finansowana w ramach proektu badawczego nr. NN514044438

Problem harmonogramowania ako kombinatoryczna aukca czasu 137 zaspokoenie zapotrzebowania na poszczególne zasoby przy nalepszym ich wykorzystaniu z uwzgl dnieniem istnie cych ogranicze. W przypadku w którym zaspokoenie wszystkich zapotrzebowa nie est mo liwe, minimalizowana est wa ona liczba wymaga odrzuconych. Powy sze okre lenie mo na dopasowa do praktycznie ka dego zadania harmonogramowania, dzi ki czemu proponowany model nie ogranicza zakresu zastosowa. Konkretne problemy tego typu s w literaturze dyskutowane, ednak s to rozwi zania specalizowane, przystosowane do konkretnego zastosowania (np. [1,5,9]). Dla ustalenia uwagi przymimy nast pu ce zało enia szczegółowe opisu ce problem i przy t terminologi : Procesorem elementarnym b d nazywał ka dy zasób, który faktycznie wyst pue w problemie. Przymimy, e zasoby te indeksowane b d przez l { 1,,L}. Multiprocesorem, lub procesorem wirtualnym nazywa b dziemy grupy procesorów elementarnych składa ce si z pewne 4 liczby procesorów elementarnych. Poniewa procesor wirtualny nie istniee w rzeczywisto ci, wykorzystanie multiprocesora nale y rozumie ako wykorzystanie dowolnego procesora elementarnego wchodz cego w ego skład. Multiprocesory indeksowane s przez λ { 1,,Λ}. Sposób grupowania procesorów elementarnych w multiprocesory okre lony est przez parametry równe 1 e li procesor l est elementem multiprocesora λ i 0 w przeciwnym wypadku. Ma c okre lone w powy szy sposób zasoby mo na zdefiniowa rozwa any system obsługi w sposób nast pu cy: do wykonania est M operaci indeksowanych {1,..., M}, przy czym do dyspozyci est C chwil czasu indeksowanych c {1,..., C}, oraz Λ multiprocesorów indeksowanych λ {1,..., Λ}. Ka da operaca zawiera N wymaga zasobowych n {1,..., N }, które spełnione musz by ednocze nie. Wymagania zasobowe to po prostu zasób zagregowany, który mo e spełni dane wymaganie m = m m m, gdzie: i ilo zasobu niezb dna do tego celu. Okre lane est wektorem ( ) m λ {1,..., Λ}, okre la multiprocesor którego dotyczy wymaganie m min {0,..., m max }, est minimaln ilo ci zasobów multiprocesora niezb dn do realizaci wymagania; mo e by równa 0, e li istniee górne ograniczenie m max m { min,...}, est maksymaln ilo ci zasobów multiprocesora niezb dn do realizaci wymagania. Konkretna operaca mo e zosta przy ta do wykonania wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie wymagania wchodz ce w e skład s spełnione, zatem dla ka de operaci mamy: x = 1 c n { 1, N } x m l lc m α l λ λ min max, min α λ l 4 W szczególnym przypadku z adnego, ale w te sytuaci wymaganie korzysta ce z takiego zasobu nigdy nie b dzie mogło zosta spełnione, akkolwiek w pewnych specyficznych sytuacach mechanizm ten mo e okaza si przydatny.

138 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 33, 2010 gdzie: x = 1 c n { 1, N } x m l lc m α l x est równe 1 e li -ta operaca est przy ta, lub 0 w przeciwnym razie, x lc est równe 1 e li n-te wymaganie -te operaci est spełniane przez l-ty zasób w c-te chwili czasu, lub 0 w przeciwnym razie. Ponadto przymuemy zało enie, e dany procesor elementarny w dane chwili mo e wyst powa ako element tylko ednego multiprocesora 5. Jednocze nie mo e by przydzielony do nie wi ce ni edne operaci 6. Mamy wi c dla ka dego zasobu elementarnego i ka de chwili: x 1. n Ka da z operaci posiada ponadto: okre lone ramy czasowe, w których mo e zosta wykonana r {1,..., C} (release time) chwila gotowo ci do obsługi D {1,..., C} (deadline) ostateczny termin zako czenia e li operaca nie mie ci si w powy szych ramach, est odrzucana okre lony czas trwania7 p {1,..., C} okre lon wag w. Celem, do którego d ymy est po pierwsze doprowadzenie do sytuaci, w które wszystkie operace zostan wykonane zgodnie z ograniczeniami 8, po drugie uwzgl dnianie ewentualnych preferenci dotycz cych czasu wykonywania poszczególnych operaci. Zamodelowano to ako minimalizac wa one liczby operaci odrzuconych: min ( w (1 x )) = min ( w x w ) gdzie w to waga -te operaci. x 3. Zapis w postaci Kombinatoryczne Aukci Czasu Przedstawiony w poprzednim rozdziale problem zapisa mo na w postaci aukci kombinatoryczne o specyficzne strukturze. W dalsze cz ci pracy nazywana ona b dzie Kombinatoryczn Aukc Czasu (KAC). Poszczególne elementy problemu odpowiada niemal dokładnie analogicznym elementom opisu aukci. lc x λ max 5 Nawet e li w inne chwili traktowany est ako element innego procesora wirtualnego, to nie mo e spełnia ednocze nie wi ce ni ednego wymagania zasobowego. 6 To ograniczenie oczywi cie dotyczy tylko procesorów elementarnych. Multiprocesor mo e ednocze nie obsługiwa wiele operaci korzysta c z faktu, e w ego skład wchodzi wiele ró nych procesorów elementarnych. 7 Dla ustalenia uwagi przymu w pocz tkowym etapie prac, e p = 1. 8 Je li nie est to mo liwe, to doprowadzenie do sytuaci, w które odrzucone by były edynie te namnie istotne operace, a wi c te, które ma namniesze wagi.

Problem harmonogramowania ako kombinatoryczna aukca czasu 139 3.1. Funkca celu W przypadku aukci celem est przydział dóbr maksymalizu cy dobrobyt, a wi c maksymalizu cy sum ró nic pomi dzy cenami ofertowymi, a rozliczeniowymi przy tych ofert: of rozl min x ( w w ) x Jest to równowa ne minimalizaci wa one liczby odrzuconych ofert kupna przy zało eniu, e ceny ofertowe wszystkich ofert sprzeda y s równe 0 9. 3.2. Struktura oferty W modelu aukcyym poszczególne oferty odpowiada konkretnym operacom, które ma zosta wykonane. Opis oferty powinien odpowiada opisowi operaci, w szczególno ci wszystkich zwi zanych z ni wymaga. Przymu c podział ofert zgodny z wykorzystywanym w modelu M 3 [4] mo na zauwa y, e poza specyficznymi trywialnymi przypadkami, którymi nie b dziemy si tuta zamowa, wszystkie interesu ce nas oferty nale do grupy ofert grupu cych. Jest to mechanizm pozwala cy na zapisanie ogranicze na elementarne towary znadu ce si w konkretnych wi zkach wchodz cych w skład oferty. Umo liwia to zapis zale no ci pomi dzy towarami takich, ak substytucyo, czy komplementarno, czego dowód znale mo na m.in. w pracy [6]. Warto zwróci uwag tak e na podmiot składa cy ofert. Poniewa ak zaznaczono wcze nie, odpowiada ona operaci, która ma zosta wykonana, logiczne byłoby uto samienie oferenta z wła cicielem dane operaci. 3.3. Towary Jak zaznaczono wcze nie, towarami obracanymi na aukci s konkretne chwile poszczególnych zasobów, ednak zarówno dotyczy to zasobów elementarnych (procesorów), ak i zagregowanych (multiprocesorów). Dzi ki temu mo liwe est zamodelowanie nietrywialnych zale no ci pomi dzy nimi. Poniewa w problemie wyst pue ak zauwa ono w rozdziale 2 C chwil czasu, L procesorów elementarnych, oraz Λ multiprocesorów, w aukci b dzie wyst powało C(L+Λ) towarów. To est górne ograniczenie oczywi cie mo e si zdarzy, e np. nie wszystkie multiprocesory b d wykorzystywane, wówczas nie ma potrzeby ich definiowa. 4. Metody opisu ofert W ogólnym przypadku aukci kombinatoryczne naprostszym sposobem opisu est wykorzystanie edynie zasobów elementarnych. Niesie to ednak za sob ryzyko nieprawidłowego opisu preferenci gracza cho by niemo no prostego modelowania wspomniane u substytucyo ci. Konieczne byłoby wybranie a prori procesora na którym operaca b dzie wykonywana 10 i zakładanie, e b dzie to mo liwe, wzgl dnie okre lenie kilku ró nych ofert i liczenie si z mo liwo ci przy cia kilku, co poci ga za sob koszty zablokowania pewnych zasobów, a zatem by mo e odrzucenia innych ofert, które mogłyby zosta przy te. 9 W praktyce ceny ofert sprzeda y nie musz by równe zero i mo na e wykorzysta do modelowania preferenci poszczególnych zasobów elementarnych. 10 Wzgl dnie zbioru procesorów.

140 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 33, 2010 Rozwi zaniem tego problemu est wykorzystanie ofert grupu cych, w których wykorzystywane s ograniczenia na poszczególne towary. Zapisywane s one w postaci pomocniczych dóbr, które specyfikowane s bezpo rednio przez oferenta. Składa c ofert dodawane s pewne towary wirtualne odpowiedniki multiprocesorów w problemie wy ciowym, dla których opisywane s konkretne wymagania. Warto zwróci ednak uwag na fakt, i w tym przypadku po pierwsze ka dy z graczy definiue własny zestaw tych towarów, co utrudnia rozwi zywanie zadania, po drugie im wymagania s mnie szczegółowe, tym bardzie zło ona musi by oferta 11. Istotnym est tak e fakt, i tak przedstawiony model nadal nie odpowiada wymaganiom gracza, który okre la wymagania w kategoriach multiprocesorów 12. Trzecim pode ciem est oddzielenie opisu multiprocesorów od same oferty na wykonanie konkretne operaci. Ka dy zasób zagregowany opisywany est za pomoc szeregu prostych ofert, po edne na ka dy towar elementarny wchodz cy w ego skład. Zło enie tych ofert mo e by wykonywane w sposób automatyczny przez dodatkowego gracza wprowadzonego przez operatora rynku. Ma c zdefiniowane zasoby zagregowane, poszczególne oferty odpowiada operacom wykonywanych na konkretnych multiprocesorach. Taki sposób zapisu est naturalny w opisie wymaga, oraz w przeciwie stwie do pode cia poprzedniego, zło ono opisu wymagania est praktycznie stała, co nawy e opis mo e by uproszczony z powodu braku którego elementu ograniczenia. 5. Wyniki KAC i drugi etap rozwi zania Wynikiem KAC nie est konkretny przydział zasobów elementarnych, chwil czasu i operaci, ale rozwi zanie problemu zrelaksowanego. W ka de chwili czasu s okre lone procesory elementarne, które s wykorzystywane (cho nie ma informaci, do które operaci zostały przydzielone), oraz o multiprocesorach (ile procesorów elementarnych wchodz cych w skład konkretnego multiprocesora zostało w dane chwili wykorzystanych). Co warte podkre lenia, nie est tu istotna wielko uzyskanego na aukci dobrobytu (mimo, i est ona maksymalizowana), ani tym bardzie poszczególne ceny rozliczeniowe! Celem wykorzystania mechanizmu aukcyego est zbilansowanie ilo ciowe poszczególnych zasobów. Po zako czeniu pierwszego etapu Kombinatoryczne Aukci Czasu cały problem rozbity zostae na szereg niezale nych chwil czasu, przy czym w ka de z nich okre lone s przy te oferty, wykorzystywane procesory i multiprocesory. Celem drugiego etapu est znalezienie dopuszczalnego rozwi zania ł cz cego wszystkie te elementy, przy czym wiadomo z góry, i nale y przydzieli wszystkie procesory elementarne, multiprocesory, oraz wszystkie operace, które s w dane chwili wykonywane. W przypadku, w którym ka dy towar elementarny mo e by elementem tylko ednego towaru zagregowanego rozwi zanie est trywialne wystarczy po kolei przydziela do operaci procesory w ramach poszczególnych wymaga w dowolne koleo ci i zawsze osi gniemy rozwi zanie dopuszczalne 13. 11 Przykładowo oferta na konkretne dobro składa si z tylko z niego, oferta na dowolne dobro z pewnego zbioru wymaga wyliczenia wszystkich elementów, które mog by wykorzystane, oraz dodania ogranicze na wykorzystanie dokładnie ednego. 12 Stwierdzenie to w aden sposób nie ogranicza ogólno ci rozwa a, gdy zasób wirtualny mo e składa si tylko z ednego zasobu elementarnego. 13 Je li nie ma preferenci polega cych na wyborze operaci któr dany procesor ma wykonywa, a co nawy e na czas w którym ma pracowa, to wszystkie rozwi zania dopuszczalne s równowa ne.

Problem harmonogramowania ako kombinatoryczna aukca czasu 141 Bardzie interesu cy est przypadek w którym towary elementarne mog reprezentowa kilka ró nych agregatów. W te sytuaci w ogólnym przypadku nietrywialnym zadaniem est okre lenie, do którego z multiprocesorów nale y w dane chwili czasu przypisa konkretny procesor elementarny. W pracy [10] zaproponowano metod rozwi zywania tego typu problemów w oparciu o przekształcenie problemu do zbioru grafów dwudzielnych, dzi ki czemu w ka dym przypadku mo liwe est znalezienie dopuszczalnego rozwi zania, które ednocze nie est rozwi zaniem optymalnym (przynamnie w sensie Pareto). Warto zwróci uwag, e ze wzgl du na całkowit niezale no rozpatrywanych chwil czasu, zadanie drugiego etapu mo na niemal całkowicie zrównolegli, co przyda si mo e zwłaszcza w przypadku rozwi zywania wi kszych (o znaczne liczbie etapów) problemów. 6. Przykłady zastosowania Zaprezentowany model wykorzysta mo na w bezpo redni sposób ako narz dzie do układania planu za. Przymimy, e mamy dost pne trzy chwile czasu dwugodzinne okresy: t1: 8:00 10:00, t2: 10:00 12:00, t3: 12:00 14:00 Mamy dwa zespoły: zespół1, oraz zespół2, które uwzgl dniane s w planie. Ponadto mamy dwa rodzae zada du e, na których wymagana est obecno obu zespołów, oraz małe, z którymi poradzi sobie poedynczy zespół. Co istotne, w przypadku małych nie est istotne, który z zespołów si nimi zamue wa ne tylko, by był dokładnie eden. Ka de z zada mog odby si w dowolnym z trzech proponowanych terminów, ednak w przypadku du ych preferowanym est termin pierwszy, dwa pozostałe równowa ne, w przypadku małych nalepszy est termin drugi, ewentualnie trzeci, za nagorszy uwa amy pierwszy. Podczas wykonywania ka dego zadania musi by obecna osoba zarz dza ca. O ile w przypadku zada du ych musi to by kierownik, o tyle w przypadku małych zarz dza mo e tak e zast pca. Ostatnim elementem est lokalizaca. Ka de zadanie musi odbywa si w poedyncze sali. W przypadku zada du ych oba zespoły mieszcz si obok siebie, ednak małe nie mog by wykonywane przez dwa zespoły ednocze nie w te same sali, gdy zespoły wzaemnie by sobie przeszkadzały. Mamy do dyspozyci dwie sale: sala1, oraz sala2. Poniewa w kilku miescach wyst pue mo liwo wyboru, utworzone zostan trzy agregaty: zespół est agregatem ł cz cym zespół1 oraz zespół2 zarz dca agregue osoby mog ce zarz dza małymi zespołami, a wi c kierownika i zast pc sala ł czy dost pne pomieszczenia, a wi c sal 1, oraz sal 2 Co warte podkre lenia, prezentowane agregaty nie s czym sztucznym, ale naturalnym odzwierciedleniem struktury problemu. Poni e przedstawiono oferty opisu ce powy szy problem, ednak ze wzgl du na symetri zapisu i oszcz dno miesca, przedstawiony został edynie zapis dla chwili t1. Dla pozostałych wygl da analogicznie. Ponadto ze wzgl du na czytelno podano tylko warto ci niezerowe.

142 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 33, 2010 Elementarne Tabela 2: Oferty proste wprowadza ce zasoby elementarne Zasoby Oferty ZESP1 ZESP2 SALA1 SALA2 KIER ZAST Zespół1-1 Zespół2-1 Sala1-1 Sala2-1 Kierownik -1 Zast pca -1 W tabeli 1 wida po edne ofercie sprzeda y (ceny s nieistotne, dla ustalenia uwagi mo na przy, e zerowe) dla ka dego zasobu elementarnego. Wolumeny s uemne dla zaznaczenia, e est to oferta sprzeda y. Tabela 2 przedstawia oferty przypisu ce zasoby elementarne do zasobów zagregowanych. W powy szym przykładzie zasób elementarny est elementem dokładnie ednego agregatu, ale nie est to konieczne. Mo e wyst powa wi ce ofert które utworz dalsze przypisania. Poedyncza oferta polega na zakupie towaru elementarnego przy ednoczesne sprzeda y odpowiedniego wirtualnego. Tabela 3 przedstawia oferty rzeczywiste okre la ce wymagania. Dla za cia du ego wymagana est obecno ednego kierownika, edne sali, oraz dwóch zespołów. Dla zadania małego kierownik nie est potrzebny, ale potrzeba dwóch zarz dców 14, do tego dwie sale i dwa zespoły. Elementarne Agr. Tabela 3: Oferty zintegrowane wprowadza ce zasoby zagregowane Zasoby Oferty ZESP1_Ze ZESP2_Ze SALA1_Sa SALA2_Sa KIER_Za ZAST_Za Zespół1 1 Zespół2 1 Sala1 1 Sala2 1 Kierownik 1 Zast pca 1 Zespół -1-1 Zarz dca -1-1 Sala -1-1 14 Oczywi cie ze struktury zarz dców wynika, e kierownik równie si do tego zbioru zalicza i w rozwi zaniu zostanie przypisany do zarz dzania edn z grup, ednak nie est to cz ci wymaga, tote podczas specyfikowania oferty nie musi by zaznaczane.

Problem harmonogramowania ako kombinatoryczna aukca czasu 143 Tabela 4: Oferty opisu ce rzeczywiste wymagania Zasoby Oferty Zagregowane ZADANIE_DU E ZADANIE_MAŁE Kierownik 1 Zespół 2 2 Zarz dca 2 Sala 1 2 Du e_zadanie 1 Małe_zadanie 1 Tabela 5:Oferta grupu ca opisu ca du e zadanie Zasoby Oferty Ograniczenia zagregowane T1 T2 T3 Min Max Kierownik 1 1 1 Zespół 2 2 2 Zarz dca Sala 1 1 1 Du e_zadanie 1 1 1 1 1 Wyst pue tu tak e dodatkowy element widoczne w tabeli 4 ograniczenia. W tym przypadku est to zaznaczenie, e oferta o nazwie ZADANIE_DU E est przy ta pod warunkiem, e uda si przydzieli wymagane zasoby w ilo ci chwil czasu pomi dzy Min, a Max, czyli w tym konkretnym przypadku, e zasoby trzeba przydzieli w dokładnie edne chwili. Analogiczne ograniczenia mo na doda tak e przy konkretnych zasobach (zarówno elementarnych, ak i zagregowanych), co pozwala na modelowanie specyficznych wymaga, np. maksymalnego dopuszczalnego obci enia danego procesora. Rozwi zanie zaprezentowanego zadania okre la w które chwili czasu zrealizowane s które z ofert, a tak e które zasoby (tak elementarne, ak i zagregowane) wykorzystywane s w które chwili. Ze wzgl du na specyfik zadania i fakt, e operace zostan zrealizowane w ró nych chwilach, pozwala to w bezpo redni sposób na okre lenie które z zasobów w którym momencie wykorzystywane s do realizaci które operaci. W sytuaci w które nie ma te ednoznaczno ci wykorzystywane est zadanie drugie fazy, które szczegółowo opisane zostanie w pracy [10]. Prezentowany model wykorzystano tak e do zamodelowania problemu układania planu za na podstawie danych z Instytutu Automatyki i Informatyki Stosowane PW. Rozwi zanie to nadae si równie do modelowania zagadnie planowania produkci zwłaszcza przy bardzie zło onych problemach, w których wyst pu zale no ci pomi dzy zasobami.

144 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 33, 2010 [1] Abdennadher S.,Schlenker H.: Nurse scheduling using constraint logic programming w: Proceedings of the National Conference on Artifical Intelligence, J. Wiley & Sons Ltd. 1999. [2] Ausubel L.M. i in.: The clock-proxy auction: A practical combinatorial auction design w: Combinatorial Auctions, MIT Press, Ch. 5, 115 138, 2006. [3] Groves T, Ledyard J.: Optimal allocation of public goods: A solution to the free rider problem. Econometrica, 45(4):783 809, 1977. [4] Kacprzak P. i in.: Model danych dla otwartego systemu obrotu wielotowarowego M 3 w: Bazy danych. Nowe technologie. vol. 2, Bezpiecze stwo, wybrane technologie i zastosowania WKiŁ, Warszawa 2007. [5] Miller H.E. i in.: Nurse scheduling using mathematical programming w: Operations Research vol. 24, JSTOR 1976. [6] Modli ski P.: Model M 3 a aukce kombinatoryczne, praca dyplomowa magisterska, Politechnika Warszawska, Warszawa 2008. [7] Pałka P.: Analiza zgodno ci motywaci w rozproszonych systemach rynkowych z wykorzystaniem mechanizmów obrotu wielotowarowego, rozprawa doktorska, Politechnika Warszawska, Warszawa 2009. [8] Parkes, D.C. i in.: ICE: An iterative combinatorial exchange w Proceedings of the 6th ACM Conference on Electronic Commerce, ACM 2005. [9] Strevell M.W. Chong, P.S.: Gambling on vacation w: Interfaces vol. 15, JSTOR 1985. [10] Modli ski P.: Kombinatoryczna Aukca Czasu Struktura Zadania, materiały konferencye XVII KKAPD, Zakopane 2010 przy te do druku.

Problem harmonogramowania ako kombinatoryczna aukca czasu 145 SCHEDULING PROBLEM AS A COMBINATORIAL AUCTION OF TIME Summary In the research work there is shown a method of modelling the practical problems of scheduling using multicommodity market mechanisms. The Combinatorial Auction of Time was introduced as a tool that provides the recording of simple problems as well as these which use relations between the particular resources especially complementarity and substitutability. There is presented a way of recording the task of scheduling in natural way which enables to focus on functional requirements instead of on the relations between the particular resources. Keywords: scheduling, auction, combinatorial auction, time management, Combinatorial Auction of Time, CAT. Instytut Automatyki i Informatyki Stosowane Politechnika Warszawska e-mail: p.modlinski@ia.pw.edu.pl http://www.ia.pw.edu.pl