Wykład 14 Obliczanie pól powierzchni figur geometrycznych Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza 1, pokój 04
Mapa katastralna
Kataster Obliczanie pola powierzchni figur geometrycznych związane jest z katastrem nieruchomości instytucją o wielkim znaczeniu dla sprawnego funkcjonowania państwa, gdyż jest podstawą do ustalania podatku gruntowego. Pierwsze znaki zakładania i prowadzenia katastru sięgają okresu starożytności i odnoszą się do ludów Chaldei, Egiptu oraz Rzymu Kataster gruntowy określa dla danego obszaru: granicami stan własności (posiadanie), sytuację, użytkowanie gruntów, ich obszar, klasyfikację, wartość. Dane te zebrane są w tzw. operacie katastralnym, zakładanym i prowadzonym dla jednostek katastralnych. Na mapach katastralnych przedstawione są: granice własności użytków gruntowych, konturów klasyfikacyjnych, rzuty poziome obiektów stałych (budynki, mosty). Figury zamknięte granicami własności i użytków, odpowiednio ponumerowane na mapie, stanowią tzw. parcele. 3
Mapa katastralna 4
O konieczności liczenia powierzchni Z opisu katastru wynika, że umiejętność obliczenia powierzchni figur geometrycznych konieczna, liczba działek do pomiaru powierzchni bardzo duża. Aby na czas dostarczyć niezbędne, do wyliczenia podatku gruntowego wykazy powierzchni, metody analityczne, graficzne, analityczno-graficzne mechaniczne. Obecnie z powodu komputerów i urządzeń do digitalizacji większość metod obliczania powierzchni ma wartość historyczną. Jedyna metoda obecnie stosowana to metoda analityczna!!!. 5
Dwa rodzaje figur Las ul. Zakochanych rzeka 6
Dwa rodzaje typów danych Dane z pomiarów terenowych Dane z pomiarów na mapie 7
Obliczanie prostych figur geometrycznych z miar terenowych Trójkąt Kwadrat Czworokąt Trapez 8
Trójkąt P = 1 a h a = 1 b h b = 1 c hc A 1 1 P = absinγ = a csin β = a = sinα P = b = sin β p c sinγ b P = 1 1 bcsinα sinα sinγ sin β ( p a)( p b)( p c) C γ b a α h a c β B 9
Kwadrat, prostokąt P = a P = 1 d d a P = ab 1 P = d sinϕ a d b ϕ 10
Równoległobok, trapez P = a h P = absinα b α h a 1 P = ( a + b)h P = c h 1 1 h h b c a 11
Pole dowolnego wieloboku zamkniętego A B C D 1
Powierzchnia ze współrzędnych X P = n i= 1 x i ( y y ) i+ 1 i 1 y P = n i= 1 y i ( x x ) i+ 1 i 1 y3 y1 1 3 y4 4 x x3 x1 x4 Y 13
os biegunowa Powierzchnia ze współrzędnych P n = r r i i + 1 sin i + 1 i= 1 ( β β ) i 1 3 r1 r r3 β β3 β1 biegun β4 r4 4 14
Powierzchnia z miar graficznych P = 1 ah h a 15
Pole z miar graficznych 1 P = ( a + b) h b a h 16
Pole z miar graficznych 17
Pole z miar graficznych 18
Dopuszczalne różnice w metodzie graficznej Skala 1:500 Skala 1:000 Skala 1:5000 dp = 0.00P +. 0 dp = 0.00P + 1. 0 dp = 0.00P + 0. 5 P P P 19
Planimetr Budowa Planimetru Ramię biegunowe Ramię wodzące (zmienna długość) Kółko całkujące Wodzik biegun 0
Kółko całkujące Obrót kółka całkującego wokół osi można odczytać na odpowiedniej skali. Obwód kółka podzielony jest na 100 części Za pomocą umieszczonego obok noniusza można odczytywać dziesiąte części działki czyli 1/1000 część obwodu kółka. Odczyty kółka są zawsze liczbą czterocyfrową. 1
Pomiar Powierzchni Biegun na zewnątrz P = (n n 1 ) C n 1 odczyt początkowy n odczyt końcowy C stała mnożenia (w m ) w k b
Pomiar Powierzchni Biegun wewnątrz P = (n n 1 ) C+C 1 n 1 odczyt początkowy n odczyt końcowy C stała mnożenia (w m ) C 1 stała dodawania (w m ) k w b 3
Dopuszczalne różnice Powierzchnia figury na mapie w cm Dopuszczalna różnica w działkach 0-0 0-100 3 100-00 4 4
Teoria planimetru Element powierzchni f dh Obrót kółka całkującego dh 1/f dϕ -g dϕ dp=fdh+1/f dϕ da=dh-gdϕ g G 1 G f dh d F 1 F dh = da + gdϕ p. ( f g + 1 f ) ϕ dp = f da + d ( f g + 1 f ) ϕ + Δ P = f a + d P. 5
Wyznaczanie stałej mnożenia Weź znaną powierzchnię Ustaw planimetr z biegunem na zewnątrz Dokonaj odczytu n 1 Obwiedź figurę Dokonaj odczytu n Oblicz C ze wzoru: C = P n n 1 6
Wyznaczanie stałej dodawania W pierwszej kolejności wyznacz stała mnożenia!!! Umieść biegun wewnątrz figury o znanej powierzchni Dokonaj odczytu n 1 Obwiedź figurę Dokonaj odczytu n Oblicz C 1 ze wzoru: C 1 1 = P ( n n ) C 7
Dokładność pomiaru pola powierzchni 8
9 Dokładność metody analitycznej Pole powierzchni prostej figury geometrycznej jest funkcją dwu elementów. Zależność ta w postaci ogólnej ma postać: Boki a i b są obarczone błędami pomiaru ma i mb Błędy te powodują, że pole P jest wyznaczane z błędem mp Dzieląc obie strony przez P mamy ( ) b a a,b f P = = b a P m b m a m + = b a P b m a m P m + =
Przykład Pomierzono a i h z błędami m a i m h = m Pole P = 1\ ah Błąd pola = m m P = a + h a h 30
Przykład miary z terenu trójkąt A = 100 m B = 150 m P = 7500 m błąd pola trójkata 50 40 30 0 10 0 0.0 0.10 0.50 błąd pomiaru boku 31
Dokładność metody graficznej Cechą charakterystyczną graficznego określenia długości elementów liniowych jest to, że wartość błędu średniego jest niezależna od mierzonej długości czyli równanie przyjmuje najmniejszą wartość wówczas, gdy m l oraz a i b są małe Błąd średni m l graficznego wyznaczenia długości zależy od : dokładności mapy ( a b ) m = m + P zdolności rozdzielczej oka l m = m = najdogodniejsze przy graficznym wyznaczaniu pól są figury małe spełniające warunek a ~ b. a b m l 3
Przykład miary graficzne Trójkąt: Skala 1: 500, 1:1000, 1:500 A = 100 m B = 150 m błąd powierzchni 000 1500 1000 500 P = 7500 m 0 500 1000 5000 mianownik skali mapy 33
Dokładność wyznaczenia pola planimetrem Wzór Jordana-Eggerta m P = 0. P mm Kwadrat o boku 10 cm wyznaczany jest z błędem??? 0 m 34
Thank You for Attention 35