Wykład 14 Test chi-kwadrat zgodności Obserwacje klasyfikujemy do jakościowych klas Zliczamy liczbę obserwacji w każdej klasie Jeżeli są tylko dwie klasy, to liczba obserwacji w pierszej klasie ma rozkład Jeżeli mamy więcej niż dwie klasy, Możemy się skoncentrować na jednej klasie - rozkład Albo możemy rozważać wszystkie klasy na raz Przypomnienie: p (nieznane) p-stwo sukcesu np. bycia w klasie 1 n liczba obserwacji. Obserwujemy y = # obserwacji w klasie 1. ˆp = y ma rozkład, Jeżeli np i n(1-p) są dość duże to rozkład ten możemy aproksymować rozkładem Rozkład 2 Niech y 1, y k będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N(0,1). Suma kwadratów tych zmiennych ma rozkład 2 k (rozkład chikwadrat z k stopniami swobody). 1
Test zgodności chi-kwadrat Rozważymy przypadek danych jakościowych Mamy próbę składającą się z n niezależnych obserwacji Będziemy testowali hipotezę o p-stwach należenia do poszczególnych klas Do obliczania wartości krytycznych skorzystamy z przybliżenia, które działa dla dużych rozmiarów prób. Liczymy oczekiwaną liczbę obserwacji w każdej klasie: n p i (p i założone p-stwo ``bycia w i-tej klasie) Test możemy stosować gdy oczekiwana liczba obserwacji w każdej z klas jest niemniejsza niż 5. Test jest w założeniu podobny do testu znaków ale nie wykorzystuje rozkładu dwumianowego. Prosty przypadek: dwie klasy Np. samiec/samica, tak/nie, sukces/porażka, poprawa/pogorszenie, itd. Badamy model genetyczny dziedziczenia pewnej cechy. Mamy dwie linie homozygotyczne muszki Drosophila, jedną z czerwonymi oczami i jedną z fioletowymi oczami. Sugeruje się, że za kolor oczu odpowiedzialny jest tylko jeden gen i że allel oczu czerwonych dominuje nad allelem oczu fioletowych. Jeżeli założona hipoteza jest prawdziwa to w krzyżówce F2 stosunek liczby muszek z czerwonymi oczami do liczby muszek z fioletowymi oczami powinien być w przybliżeniu równy Aby zweryfikować tę hipotezę wyhodowano 43 muszki z populacji F2 (wykorzystując kilku rodziców z linii homozygotycznych). 29 z tych muszek miało czerwone oczy a 14 fioletowe oczy. 2
Klasy: Czerwone oczy; hipotetyczne p-stwo p = oczekiwana liczba: E1 = Fioletowe oczy; hipotetyczne p-stwo p = Oczekiwana liczba: E2 = Czy allel czerwonych oczu dominuje nad allelem fioletowych oczu? Niech p będzie p-stwem, że muszka w populacji F2 ma czerwone oczy H 0 : p = ; H A : Użyjemy testu zgodności chi-kwadrat 2 s = (O-E) 2 /E przy H0 ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat z df = p #klas - 1 =. Testujemy na poziomie = 0.05 ; Wartość krytyczna= pˆ = 3
2 s = (zaobserwowana - oczekiwana) 2 / oczekiwana = (O-E) 2 /E = Wniosek: Możemy także testować przeciwko alternatywie kierunkowej np. p < 0.75. W tym przypadku odrzucamy H0 gdy OBA poniższe warunki sa spełnione: X 2 s pˆ > 2 1(2 ), tzn. < 0.75 (tzn estymator odchyla się od hipotetycznej wartości w tym samym kierunku co H A ) Więcej niż 2 klasy U słodkiego groszku allel fioletowego koloru kwiatów (F) jest dominujący nad allelem czerwonego koloru (C) a allel wydłużonych ziaren pyłku (d) jest dominujący nad allelem okrągłych ziaren (o). Mamy P1 rodziców homozygotycznych z allelami dominującymi (FFdd) i P2 rodziców homozygotycznych z allelami recesywnymi (CCoo). W generacji F1 wszystkie groszki mają genotypy ( ) i mają Groszki z populacji F1 krzyżujemy i dostajemy populację F2. Przypuszcza się, że geny kontrolujące obie cechy są odległe o 20 cm. Jeżeli jest to prawdą to w populacji F2 poszczególne fenotypy powinny występować w proporcjach 67.44:7.56:7.56:17.44 67.44% fioletowe/wydłużone FFdd albo FCdd albo FFdo albo FCdo, [( 2-2 +3)/4] 7.56% fioletowe/okrągłe : FFoo albo FCoo, [(2-2 )/4] 7.56% czerwone/wydłużone = CCdd albo CCLdo, [(2-2 )/4] 17.44% czerwone/okrągłe = CCoo, [(1- ) 2 /4], Gdzie =0.1648 (p-stwo rekombinacji). Wyhodowano 381 osobników z populacji F2 i zaobserwowano 284 fioletowe/wydłużone 21 fioletowe/okrągłe 21 czerwone/wydłużone 55 czerwone/okrągłe 4
Czy geny są w odległości 20 cm? Niech p 1, p 2, p 3, p 4 będą p-stwami odpowiednio fioletowe/wydłużone, fioletowe/okragłe, czerwone/wydłużone, czerwone/okrągłe w populacji F2. H 0 : p 1 =0.6744, p 2 = 0.0756, p 3 =0.0756, p 4 =0.1744 ; p-stwa poszczególnych klas odpowiadają odległości 20 cm. H A : p-stwa klas nie odpowiadają odległości 20 cm. Użyjemy testu chi-kwadrat, df = #klas - 1 = 2 s = (O-E) 2 /E ma przy H 0 rozkład Testujemy na poziomie = 0.05; Wartość krytyczna = Wartości oczekiwane liczby obserwacji w każdej klasie przy H 0 (n p i ): 2 s = Wniosek: Podsumowanie testu chi-kwadrat zgodności Definiujemy p i dla każdej klasy i formułujemy hipotezę. Jeżeli są tylko dwie klasy to alternatywę można łatwo opisać za pomocą wzoru, może ona też być kierunkowa. 5
Jeżeli mamy więcej niż dwie klasy alternatywę należy opisać słowami. Dla każdej klasy liczymy E i = np i. Sprawdzamy czy wszystkie E i są nie mniejsze niż 5. (Jeżeli nie to nie można stosować testu chi-kwadrat) Liczymy 2 s = (O-E) 2 /E sumując po wszystkich klasach. Porównujemy z wartością krytyczną z rozkładu 2 k-1; odrzucamy H 0 gdy statystyka jest większa od wartości krytycznej. 6