Zsosow memk em plkj Mrek Kręglewsk
Progrm zjęć. Czm są meod umerze? Tworzee lgormu.. Ierje rozwąze rówe pu =(). 3. Rozwązwe rówń jedej zmeej: meod bsekj, Newo sez. 4. Cłkowe umerze: meod rpezów Smpso. 5. Różzkowe umerze. 6. Rozwęe ukj w szereg. 7. Crkersk błędu meod umerzej w zleżoś od długoś kroku. 8. Eksrpolj Rrdso. 9. Numerze rozwązwe rówń różzkow..welom: posć url, sem Horer..Ierpolj welomem.
Progrm zjęć.deje rodzje merz. Dzł merz. 3.Zps merzow ukłdu rówń low. 4.Rozwąze ukłdu rówń low w pos merzowej. 5.Wroś rkersze merz. 6.Eleme eor błędu przeoszee sę błędów. 7.Opmlzj low. 8.Opmlzj elow. LABORATORIUM. Progrm MS Eel. Wkorzse MS Eel do rozwązw problemów umerz LITERATURA:. E. Seer, Memk dl emków, WN PWN.. A. Rlso, Wsęp do lz umerzej, PWN 975.
Lzb rzezwse Nurle:,,3, Cłkowe:,-,-,,,,3,. Wmere: moż przedswć jko m/ Newmer: e moż przedswć jko m/, p. Przesępe: e, π π = [obwód koł]/[śred] = 3,45965 e = +/!+/!+/3!+/4!+ =,78888
Algebr lzb rzezws Przemeość dodw +b=b+ Przemeość może b=b Łązość dodw +(b+)=(+b)+ Łązość może (b)=(b) Rozdzelość może względem dodw (b+)=b+ Moduł lzb =+ Dzłe poęg m = m+ m / = m- ( m ) = ( ) m (b) m = m b m - = / m /m =
Lzb zespoloe Rówe =- e m rozwąz w dzedze lzb rzezws W dzedze lzb zespolo ke rozwąz seją: =-, =, gdze =-, zl =- Ogól posć lzb zespoloej z = +* zęść rzezws lzb zespoloej Re(z) zęść urojo lzb zespoloej Im(z) Przkłd lzb zespolo: -, 4, -6,,5+, Lzb rzezwse o podzbór lzb zespolo, dl kór =, Im(z)= Poęg : =-, 3 =-, 4 =, 5 =, - = / = / = /(-) =-
Dzł lzb zespolo Dwe lzb zespoloe: z = +, z = + Rówość: z =z, jeśl = orz = Dodwe: z +z = ( + ) + ( + ) Możee: z z = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = = + + + = ( - ) + ( + ) Sprzężee zespoloe lzb z=+, o lzb z * =- Kwdr modułu lzb zespoloej z z * = (+)(-) = -+- = + Wzór Euler e = os() + s(), e - = os() - s(), os() = (e + e - )/ s() = (e - e - )/()
Algorm rozwąz rów =() START Wzj, ε, A = = =½(+A/) NIE - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń
Eleme lgormu sekwejego Komórk poząku lub koń Komórk wejś/wjś Komórk operj? Komórk wruku odpowedź TAK lub NIE Keruek do kolejej komórk =() Isrukj podswe wlzo wrość wrże () podsw jes jko ow wrość zmeej
Proes zbeż: =½(+4/) 8 4.5.5.5.5.69756.69756.93.93 6 L P 4 4 6
Proes rozbeż: =6-*..59.59 3.479 3.479-6.54896-6.54896-3.65-3.65-933.545657-933.545657-875.5763-875.5763-7.5953E+ -7.5953E+ -5.7686E+3-5.7686E+3-3.3768E+47-3.3768E+47 -.734E+95 8 6 4 - -4 4 L P -6-8 -
Meod bsekj Rozwąze rów ()=, zl szuke mejs zerow ukj (). Szukm mejs zerowego w przedzle <,b>, w kórm: ) ukj () jes ągł ) () zme zk w przedzle <,b>, z. ()(b)< mejse zerowe p p 3 p 4 p b b b Przkłd: 3 +4* -=
Algorm meod bsekj START Wzj, b, ε ()*(b)< TAK p=(+b)/ ()*(p)< TAK b=p NIE NIE Wpsz: zł przedzł =p Śld dzłń NIE -b <ε TAK Wpsz,b STOP
Meod Newo Rozwąze rów ()=, zl szuke mejs zerow ukj (). Szukm mejs zerowego rozpozją w dowolm puke, jeżel: ) ukj () orz jej perwsz pood są ągłe ) perwsz pood jes róż od zer mejse zerowe 3 sz Rozwęe ukj w szereg Tlor:! ' '
Wjśee meod Newo () ( ) (α)= ( ) (8-α)= ( ) /( - ) - = ( ) /(8-α) - = -( ) /(α) = - ( ) /(α) = - ( ) / ( ) 8-α α Wprowdzee z werdze Pgors
Algorm meod Newo START Wzj, ε = = - ( ) / ( ) NIE - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń
Meod sez Rozwąze rów ()=, zl szuke mejs zerow ukj (). Szukm mejs zerowego rozpozją z pr puków (, ) jeżel: ) ukj () jes ągł ) ( ) ( ), gd mejse zerowe 3 Perwsz pood przblżo przez lorz różow: '
Algorm meod sez START Wzj,, ε q =( ) q =( ) = ; = q =q ; q =( ) NIE = q ( - ) /(q -q ) - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń
Ruek różzkow Pood ukj mr, jk szbko zme zleż zme sę ze zmą zmeej ezleżej =() L gesow (α) (lee) = - α = - lm lm d d pood
Ruek różzkow Zjdź poodą ukj = Ne = - d orz = ( )-( ) = ( ) -( ) = ( +) -( ) = [( ) + +() ]-( ) = = [ +() ] Po podzeleu przez W gr, gd (z. ) d d lm Poodą ukj = jes d/d=
Ruek różzkow Poode wbr ukj elemer ( jes słą): Fukj =() Pood d/d= () - l() l() / s() os() os() -s() d d Ne () orz z() są różzkowlm ukjm : z d dz d z d dz d z dz d z d / z d d d d d d d d d z d d z dz d Fukj złożo (u()) d d d du * du d
Poode - przkłd d/d(4* 5.3* 3 ) = 4*5* 4 -.3*3* = * 4 -.9* d/d(s()*os()) = d/d(s())*os()+s()*d/d(os())= =os()*os() +s()*(-s())=os ()-s ()=os() d/d(½ s()) = ½ os()* =os() d/d(4* 5 /( 3 )) =[d/d(4* 5 )*(- 3 )-4* 5 *d/d(- 3 )]/(- 3 ) = =[* 4 *(- 3 )+* 7 ]/ (- 3 ) =[* 4-8 7 ]/ (- 3 )
Ruek łkow - podsw Fukją perwoą F() ukj () jes k ukj F(), że df()/d=() Cłk eozzo o po prosu ukj perwo Cłk ozzo o gr sum złoów () b d Fb F
Ruek łkow - przkłd Smoód porusz sę ze słą prędkośą v()=5 km/. Oblz odległość, jką poko w ągu (godz). s v( ) 5km/ * km s v d 5d 5 5* 5* km Kmeń spd z przspeszeem g() = m/s. N poząku jego prędkość wosł m/s. Oblz odległość, jką kmeń poko mędz gą 4 ą sekudą spdku. v v s 4 v g( ) d d 4 os d os d 5 4 5*4 5* 8 6m
Ruek łkow - przkłd Jk oblzć łkę z lozu dwó ukj? Cłkowe przez zęś: dg d d = g d d g d Cłk eozzo s d = os os d = os + s + os Cłk ozzo π s d = os π + s π = π os π + os + s π s = π
Cłkowe umerze T b T b d m b m m T T T m * * T T T m m m *, m m T T T T Meod rpezów T m
Cłkowe umerze S b b d m b S S S m m m m *, 4 3 4 3 4 3 / 4 3 m m m m S S S S / 4 4 3 Meod Smpso S m/ m przse
I Cłkowe lze - przkłd ( ) d ()= 3 3 d 4 4 4 4 4 4 684 ()= 4 4 d 5 5 5 5 5 5 9766,4
Cłkowe umerze - przkłd I ( ) d () 3 4 33 464 78 736 T ( ) T ( ) S( ) 3 78 78 *3378 695 4*3378 684 Wk oblzeń umerz 3 4 T(=) 78 3736 T(=) 695 39 S(=) 684 9766,67 I (dokłd) 684 9766,4 ()= 3 ()= 4 T ( ) T ( ) S( ) 3 736 *464 736 3736 4*464 736 9766 3 39 Błęd meod rpezów błąd T() T()-I 78 44 695 T() T()-I 3736 969,6 39 4,6
Gr ukj lm 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑥 𝑎 Problem, gd w gr ukj jes eągł. Przkłd: /, /, - Reguł de l Hôspl (opublkow w 696 roku) Gd () g() dl, o 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 lm = lm 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥 jeżel g (). Gd dl () g () dl, o 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 lm = lm 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥
Szereg geomerz /* 3 S S S S S S r r Gd = ) Sum jes rów ) Jes rozwęem w szereg ukj = Smbol sum:
Szereg Mlur ) ( 4 4 3 3,,, 3 słe 6 ) "( 4 3 ) '( 4 3 3 4 3 d d d d Tus '''() 3! "()! '()!!! 3! '''()! "() '() 3 3
Szereg Tlor ) ( 4 4 3 3,,, 3 słe 6 ) "( 4 3 ) '( 4 3 3 4 3 d d d d Tus ) '''( 3! ) "(! ) '(!!! 3! ) '''(! ) "( ) '( 3 3
Rozwęe w szereg s() = s = os = s = os = s s =! +! +! + 3! 3 + 4! 4 + +! s =! s +! os! s 3! os 3 + 4! s 4 + s = 3! 3 + 5! 5 7! 7 +
Szereg Mlur - przkłd e k k, Oblz wrość (6) sosują rozwęe w szereg Mlur ' k ke k " k e k e k * k Wwołj Tlor seres
Różzkowe umerze ) ( ) ( lm ) ( ) ( lm Przblże jedosroe: L P ) ( ) ( ) ( ) ( - + (+) () (-) Śred P L (róż erl): L P ) ( ) (
Różzkowe błąd meod 3!!! 3!!! 3 3! /:!!! pood błąd 3 3 3! : / 3! 3! pood błąd Pood jedosro Pood erl _
Przkłd oblzee poodej Oblz poodą l() w puke =3 meodą poodej erlej orz jedosroej dl róż długoś kroków: ()=l() l'(3)=/3 l(3)=.986 '()=[(+)-(-)]/(*) () '(3) błąd ^ błąd/^ 4.38694.346574.34.34.69347.5 3.5.5763.33647.339.5.556.5.969. 3..34.333457.4..354.9.647 '()=[(+)-()]/ + (+) (3) błąd błąd/ 4.38694.8768 -.4565 -.4565 Zmejszee kroku zmejsz błąd, prz zm szbej błąd mleje w meodze róż erl.5 3.5.5763.383 -.53.5 -.56. 3..34.37898 -.544. -.5435
Eksrpolj Rrdso Cz wkoują oblze ze skońzo długośą kroku moż oszowć wk grz dl? F p r O r p F() wrość oblzo dl długoś kroku = F() poez wrość dl zerowej długoś kroku p rząd błędu meod umerzej Oblzm wk umerz F dl dwó róż kroków (q) F F F F p r O p q q O r q p p p q q /* q p
Eksrpolj Rrdso.d. r O q q F F F p eż jes obrzoe błędem posępowe moż prowdzć dlej. Njzęśej eksrpolję sosujem dl q=, wed: r O F F F p p p p p p p p p q q F F q q q F q q F q odejmujem srom
Eksrpolj Rrdso przkłd I 3 d 684 Wk umerze meodą rpezów: T() 78 695 T T 695 78 T 695 695 3 684
Eksrpolj Rrdso przkłd ()=l() l'(3)=/3 '()=[(+)-(-)]/(*) P() /3.8 3.8.335.3459..788457.4 3.4.3775.33533 -.87.33343.6.9555. 3..635.33388 -.5.33338.8.969. 3..34.333457 -.4.333333.9.647 błąd meod róż erl, zl p=. = P()-P()
Rówe różzkowe I rzędu Rówe różzkowe opsująe rozpd promeowórz Propozj rozwąz: Sprwdze poprwoś: Podswee do rów: Lew sro rów prwej, gd: dn d N N dn d be b b k e e b be k b ke kn Wrość wzz z wruku poząkowego: Oseze rozwąze lze: k sł szbkoś rozpdu promeowórzego b N e N k N N N N e k
Rozpd promeowórz Rówe różzkowe opsująe rozpd promeowórz dn d kn Rozwąze lze: Okres połowzego rozpdu : N N N e e k k k N e k l k N l k N l
Rówe różzkowe meod Euler Rówe ( jes zą ukją): Wzór przblżo poodą: Po przekszłeu: Uproszzo zps: d d d d, d, d d d Os wzór pozwl oblze wroś ukj puk po puke. Wrość ukj w puke zerowm określją wruk poząkowe.
Rówe różzkowe I rzędu dn d kn k 5.386. N dn/d Nl -5. 5-5 66.537. 5-5 367.8794 3.3 5-65 3.3 4.4 6.5-3.5 35.3353 5.5 3.5-56.5 8.85 6.6 5.65-78.5 49.7877 7.7 7.85-39.65 3.9738 8.8 3.965-9.533 8.3564 9.9.9535-9.76563.9.976563-4.888 6.737947..4888 -.444 4.8677..444 -.7.47875 3.3.7 -.635.53439 4.4.635 -.358.988 5.5.358 -.559.55384 6.6.559 -.769.335463 7.7.769 -.385.3468 8.8.385 -.97.34 9.9.97 -.954.7485.954 -.477.454 8 6 4.5.5 N Nl
Rówe różzkowe II rzędu Drg rmoze F p = m - przspeszee F w = -k - wlee Przjmjm: m= k= Rówowg sł F p = F w =- b ' " b d d Rozwąz szzególe rów: e b b e b be b b e e b b e e Rozwąze ogóle rów: e e F Słe wzze z wruków poząkow
Rówe różzkowe II rzędu e e - Wruk poząkowe: ' ' e e e e Rozwąze ogóle z uwzględeem wruków poząkow: e e os
Rozwąze umerze I d d v d d d dv gdze : Korzsm z przblżo wzorów poode: v v v v v v k v v k k k Ozzm: v v v k k k k k k Z pos rów wk: k k
Rozwąze umerze I.d. Gd = : m v m s 4 k (k) (k) v(k) (k) -.38997 -.39 -.67994.988653 -.6799 -.98865 3.39699.9485958 -.39456 -.948596 4.535988.897485 -.5467 -.897485 5.6544985.837 -.638 -.83 6.785398.747378 -.7477 -.747378 7.96979.6544 -.8386 -.654 8.47976.546387 -.9374 -.54639 9.7897.4974 -.9945 -.497.389969.89544 -.4945 -.8954.4398966.5675 -.8735 -.568.577963.98335 -.77 -.9833 3.7696 -.358 -.8558.3579 4.835957 -.88 -.987.878 5.9634954 -.433 -.549.436 6.94395 -.566 -.9988.566 7.5948 -.6975 -.95384.6975 8.356945 -.8884 -.834834.88837 9.48794 -.963 -.7848.963.679939 -.754 -.6777.754.7488936 -.9764 -.47455.9764.8797933 -.5979 -.3399.59793 3 3.693 -.497 -.7983.4965 4 3.4597 -.595 -.777.5955 pood jedosro 3-5 5 - -3 3 v - - 4 - -3 (k) v(k) (k)
Rozwąze umerze II d d v d d d dv gdze : Korzsm z przblżo wzorów poode erle: v v v 3 v v v 3 k v v k k k Ozzm: v v v k k k k k k 3 Z pos rów wk: k k
Rozwąze umerze II.d. Gd = : m v m v v s 4 k (k) (k) v(k+/) (k) -.6545 -.38997.99436 -.958 -.99433.67994.9658773 -.366 -.965877 3.39699.9377 -.44583 -.9377 4.535988.865838 -.5559 -.865838 5.6544985.79368 -.659733 -.79368 6.785398.76794 -.754 -.7679 7.96979.6843 -.8386 -.684 8.47976.49935 -.8974 -.49935 9.7897.38947 -.9476 -.3895.389969.57945 -.98977 -.5794.4398966.9549 -.99799 -.955.577963 -.4 -.99778.36 3.7696 -.3733 -.98538.3733 4.835957 -.685 -.946493.685 5.9634954 -.38398 -.8963.383987 6.94395 -.597 -.836.5969 7.5948 -.64 -.75758.635 8.356945 -.7898 -.6584.78976 9.48794 -.794435 -.5545.794435.679939 -.86696 -.44566.86696.7488936 -.9463 -.3953.9463.8797933 -.966457 -.934.9664569 3 3.693 -.9974 -.637.99737 4 3.4597 -.999997.6769.9999975 pood erl.5.5 -.5 5 5 - -.5.5.5 v -.5 - -.5 -.5.5.5 - -.5 (k) v(k+/) (k)
Rów kek emzej Rekj rzędu: A k B d A d = k A A = A e k Rekj rzędu: H + H k H v = d H d d d = k = d H d = k H d d = k
Rozwąze Rozdzelee zme d d = k d = k d Po słkowu = k + Jeżel w wl = sężee poząkowe wosło, o =/ = k A A = k A = A + k A /[A] /[A]
Wekor Rówość wekorów = b Dodwe wekorów +b = b+ Wrość, keruek zwro Przkłd: Drog Prędkość Przspeszee Sł Pęd Mome pędu Odejmowe wekorów -b = +(-b) +b b -b -b Możee wekor przez sklr
Skłdowe wekorów = - = - j j Wersor, j są wekorm o długoś jedoskowej skerowe wzdłuż os,. Skłdowe wekor : = -, = - Długość wekor = + Zps wekor: =(, ) lub = + j Wekor w 3 wmr: =(,, z ) lub = + j+ z k
Dzł wekor Rozwżm wekor =(,, z ), b=(b,b,b z ) Rówość wekorów =b, gd =b, =b, z =b z b Dodwe wekorów +b=( +b, +b, z +b z ) Przkłd płszzźe b +b b b Możee przez sklr: =(,, ) 3
Mome dpolow ząsezk Łduek ujem -q o położeu określom przez wekor r Łduek dod +q o położeu określom przez wekor r +q r Mome dpolow r = -q r + q r = q (r -r ) = q r r -q
Pood wekor po sklrze wekor położe s() = s + j s +k s z = (s, s, s z ) wekor prędkoś v() = v + j v +k v z = (v, v, v z ) = = (ds /d, ds /d, ds z /d) wekor przspesze () = + j +k z =(,, z ) = = (dv /d, dv /d, dv z /d) = = (d s /d, ds /d, d s z /d ) Przkłd: s() s s(+) ds/d W ruu po okręgu zm wekor położe s jes określo przez wekor prędkoś zm ds/d, kór jes w kżdej wl prosopdł do s.
Iloz sklr wekorów A b = b os = b + b + z b z gdze =, b = b są długośm wekorów, ( ) jes kąem mędz m Rówowżość dej lozu sklrego O b B AB = OA + OB OA OB os θ = + b b os θ AB = b AB = b + b + b z z = + + z + b + b + b z b + b + z b z = + b b + b + z b z zem b os θ = b + b + z b z
Przkłd lozu sklrego =(4,,-) b=(,,) b = 4 + + (-) = 9 =4 4 + + (-) (-) = 8 = 4,46 b= + + = 9 = 3 loz sklr długoś wekorów b = 4,46 3 =,779 os = (b) /(b)=,77 = os(,77) = π/4 =45
Zk lozu sklrego </ =/ >/ os > os = os < b > b = b < Iloz sklr jes rów zero, gd dw ezerowe wekor są prosopdłe wekor orogole
Iloz wekorow v b b w v = b w = b v = -w włsość komuj długość wekor v = v = b s
Skłdowe lozu wekorowego Iloz wekorowe wersorów, j, k: j=k jk= k=j j=-k kj=- k=-j = jj= kk= =(,, z ) lub = + j+ z k b=(b,b,b z ) lub b=b +b j+b z k b = ( + j+ z k) (b +b j+b z k) = = b + b j + b z k + b j + b jj + b z jk + z b k + z b kj + z b z kk = = b k - b z j b k + b z + z b j z b = b = ( b z - z b ) + ( z b - b z ) j + ( b - b ) k = j k z b b b z wzzk merz
Ierpolj welomem D jes ukj () w pos bl, z. zm jej wroś w (+) puk (węzł) ( ), ( ), ( ),, ( ). Zde: zleźć welom -ego sop k, że: w( )= ( ) w( )= ( ) w( )= ( ) w () zwm welomem erpoljm. Cele erpolj: łwe zpmęe pos ukj (współzk) wkowe operj memz welome wzze pośred wroś ukj
Oblze wroś welomu Posć url welomu k k k w Oblze wroś welomu wg semu Horer w
Oblze wroś welomu Algorm START Wzj, { }, w= =- w=w*+ =- TAK NIE Wpsz w STOP
Śld dzłń w 3 ()=+3- +4 3 =3 = =3 =- 3 =4 Oblz wrość welomu w puke =3. w 3 4 4*3-= *3+3=33 33*3+= - Wrość welomu w puke =3 wos.
Posć Newo welomu Ne,,,, - są dm lzbm, dl kór wroś welomu są określoe (de). Tworzm welom pomoze p k (k=,,,,) ke, że p () = p () = - p () = (- )(- ) p k ()= (- )(- ) (- k- ) Welom w () przedswm jko w k b k p k Jk wzzć współzk b k?
Wzze współzków b k () [ l, l+ ] [ l, l+, l+ ] ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,,,,, k k b,,,
Przkłd 3 3 3 4 3 4 3 4 7 58 5 83 3 7 5 3 5 3 3 w p p p p () [,] [,..,] [,,3] 3 5 466 83 7 96 45 58 9 78 743 8 4 b = b = 83 b = 58 b 3 = 4
Ierpolj low Pros: w ()= + ( ) = = + (/ ) ( ) = = + (/ ) Wzz, - = =( - )/( - ) - = =( )/( - ) w ()= [( )/( - )] + [( - )/( - )] w ()= [( + )/( - )] + [( - )/( - )] w ()= + [( - )/( - )] (- ) o posć Newo dl w () = b p () + b p (), gdze p () = b = p () = - b = ( - )/( - )
Zjwsko Rugego Prz erpolj welomem wsokego sop, p. -ego dl ukj ( ) w przedzle [-,] dl węzłów rówoodległ 5 = - + *, =,,,, () w() -.3846.3846 -.8.5884.8.5884 -.6..588.68. -.4..5.73594.79855. -..5.5.5.9476.68665.5.5.5.48E-5-3.67647-6.363..5 -.5 -.5-5 -3.5-7.5735-7.6753.5.4. -.5.5 5 6.5 93.75.9 84.8463..6. -.5.5 -.5E-5-3.5-93.75-56.5-83.84-67.96..8.5884 -.588.73594 -.948-3.67647 7.57353.9 83.835 9.7794.947.5884.3846 -.8.68 -.7986.68665 6.363-7.6753-84.846-67.96 -.94 -.94.3846
Zjwsko Rugego Porówe wkresu ukj welomu:.5.5.5 -.5 - -.5.5.5 -.5
Dokłdość oblzeń Źródł błędów: błęd d wejśow błęd zokrągleń błęd obę uproszze modelu błęd przpdkowe Błęd bezwzględe względe: wrość przblżo wrość dokłd błąd bezwzględ błąd względ r
Zokrągle obe zokrąglee obęe,397,4,39 -,397 -,4 -,39 zokrąglee do r po przeku lzb obrzo błędem ½ - Przkłd powżej:,4 ½ -3 =,4,5 Jk zokrąglć lzb zkońzoe rą 5?,345,34,435,44 redukj błędów prz dodwu
Przeoszee sę błędów Dodwe odejmowe,5 3,75 3,7,3,4,,33 m 3,8,3,4,,33 m,3,4,,33 Jk jes błąd sum? Jk jes błąd róż?,5,9,86,3,4,,33 m,96,3,4,,33 m
Przeoszee sę błędów Dodwe odejmowe Podobe: Błąd bezwzględ sum lub róż rów sę sume błędów bezwzględ skłdków.
Zoszee sę skłdków prz odejmowu %,,,,,,5763,5764,5763,5764 4 4 4 4 r błąd bezwzględ błąd względ
Przeoszee sę błędów Możee dzelee r r r r r r r r r r r r r r Podobe: r r r r Błąd względ lozu lub lorzu rów sę sume błędów względ zków.
Wkorzse zsd przeosze błędów Oblz perwsk rów kwdrowego wkoują oblze z dokłdośą do 5 r zzą. 8 8 4 784 783 7,98 8 7,98,8 3 lko r zząe 8 7,98 55,98 3 5 r zzą r,5,8 3 r,5 55,98 9 6
Wkorzse zsd przeosze błędów Wkorzse wzorów Vee 6 5 6 3 9 55,98,5 3,7863,5,7863 55,98 55,98 7,98 8 7,98 783 784 4 8 8 r r b
Błęd mksmle złożo wrżeń r,,,,,, D zleżość ukj Prmer obrzoe błędm. Jk jes błąd mksml welkoś złożoej?
Przkłd szow błędu mksmlego 6%,6,3,3, 3 3 r b b b b b,,, 3 3 b b
Błęd sdrdowe złożo wrżeń,,,,,,,,, s s s s s s s s s D zleżość ukj s o błęd sdrdowe zme. Jk jes błąd sdrdow welkoś złożoej?
Przkłd szow błędu sdrdowego,, 3 3 b b s b s s s s b s s b,,, 3 3 b s s b s
Merze Zzjm od ukłdu rówń low + b =, b,,, b, - słe + b =, - zmee (ewdome) b + b b = b możm przez b b + b b = b możm przez b ( b -b ) = b - b odejmujem srom ( b -b ) = - podobe jk dl = b b b b = b b D = b b = b b wzzk D = b D b = = D D = D D
Oblze wroś wzzk Rozwąż ukłd rówń 3-4 = + = 8 D = 3 4 D = 4 8 = 3 4 = = 8 4 = 33 D = 3 8 = 3 8 = = D D = 33 = 3 = D D = =
Wzzk sop 3 + + 3 3 = b + + 3 3 = b 3 + 3 + 33 3 = b 3 Nleż oblzć wzzk j umer wersz j umer kolum D = 3 3 3 3 33 = + 3 3 33 + + 3 3 33 + +3 3 3 3 = = 33 3 3 33 + 3 3 + 3 3 3 3 D = b 3 b 3 D = b 3 3 33 b 3 b 3 D 3 = 3 b 3 33 b b 3 3 b 3 = D D = D D 3 = D 3 D Gd prwe sro są róże od, o ukłd rówń m rozwąz lko wed, gd wzzk D. Gd b =b =b 3 =, o D = D = D 3 = seje rozwąze rwle = = 3 =, erwle rozwąz lko wed gd D=.
Wzzk sop 3 3 3 3 33 3 3 (-) + M + (-) + M +(-) +3 3 M 3 + + (-) + M Mor 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 3 3 M Dopełee lgebrze elemeu j : A j = (-) +j M j
Włsoś wzzków. Zm wersz kolum e zme wroś wzzk D = b b = 3 b 3 3 3 b b b 3 3 rspozj. Możee przez słą D = λ λb λ b = λ 3 b 3 3 b Jeżel λ=, o wrość b wzzk = 3 b 3 3 3. Zm kolejoś wersz lub kolum b b = 3 b 3 3 b b 3 b 3 3 b b = 3 b 3 3 b b b 3 3 3
Włsoś wzzków 4. Dodw wzzków różą sę jedm werszem (kolumą) + d b + d b = 3 + d 3 b 3 3 b b + 3 b 3 3 d b d b d 3 b 3 3 5. Rówość lub proporjolość dwó wersz lub kolum b λ λb λ = 3 b 3 3 λ λ = 3 λ 3 3 6. Dodwe wersz lub kolum pomożo przez słą + λb b + λb b = 3 + λb 3 b 3 3 b b + 3 b 3 3 λb b λb b = λb 3 b 3 3 b b 3 b 3 3
Merze Sposób zpsu przekszłeń low + + 3 3 = b + + 3 3 = b 3 + 3 + 33 3 = b 3 Zdeujm merze A = 3 3 = 3 3 33 3 b = b b b 3 Zdeujm dzł merz, b moż z uworzć wrże rówowże ukłdow rówń
Rodzje merz Merz prosoką o wersz m kolum 3 m 3 m 3 3 33 3m 3 m Merz kwdrow o wersz kolum 3 3 3 3 33 3 3 Merz kolumow b b b 3 b Merz werszow b b b 3 b Merz jedoskow I =
Algebr merz A = 3 3 B = b b b 3 b b b 3 Rówość merz A = B, gd =b, =b, 3 =b 3, =b, =b, 3 =b 3 Możee merz przez sklr A = 3 3 = 3 3 Dodwe merz A + B = 3 3 + b b b 3 b b b 3 = + b + b 3 + b 3 + b + b 3 + b 3
Możee merz = 3 b = b b b 3 b = 3 b b b 3 = b + b + 3 b 3 Wruek wkoloś może: lzb kolum w perwszej merz mus bć dez jk lzb wersz w drugej merz C = AB = b b b 3 b b b 3 = = b + b b + b b 3 + b 3 b + b b + b b 3 + b 3 Ne merz C (mp) jes wkem może merz A (m) B (p) j = k= k b kj = do m, j= do p
Możee merz A = 3 4 5 B = 8 4 3 C = AB = 3 4 5 8 4 3 = 3 + 8 3 + 4 3 + 3 4 + 5 8 4 + 5 4 4 + 5 3 = 9 8 44 3 Jk możć merze? B A 8 4 3 3 3*+*8 3*+4*4 3*+*3 4 5 4*+5*8 4*+5*4 4*+5*3 C
Włsoś lozu merz Łązość A(BC) = (AB)C = ABC Rozdzelość może względem dodw A(B+C) = AB + AC Neprzemeość może merz AB BA A = B = AB = = BA = =
Merz odwro A jes merzą kwdrową A - jes merzą odwroą I jes merzą jedoskową A - A = A A - = I Pr merz odwro A = b d, d b A = d b A d b b A = d b d d b db bd = d b + b + d = = I Przkłd: A = 3 4, A = 4 3 A A = 4 3 3 4 = = = I A A = 4 = 3 4 3 = = I
Merz odwro Proedur oblz merz odwroej Merz kwdrow Merz dopełeń lgebrz Merz dopełeń lgebrz rspoow A = zsąp przez A A A A rspouj A A = A A A Merz dołązo Merz odwro A = A de A Iseje lko wed, gd de A jes róż od
Rozwązwe ukłdu rówń A b A A A A A = b b 3 3 4 3 4 Sprwdzee merz odwroej b = Przkłd: + +3 3 = +3 +4 3 = 3 +4 + 3 = A A = = 3 4 4 4 3 A = 4 8 4 4 4 4 4 3 4 4 4 3 3 4 3 4 = 4 8 4 4 de A = 4 4 4 4 3 4 4 4 A b 8 4 4 4 3 4 4 4 =- = 3 =
Merze przekszłe geomerze wersj P odbe w płszzźe P obró os s s os P φ Merze rsormj geomerz Q są merzm orogolm Q Q Q Q Q T Q Q Q Q Q T os s s os os s s os os s s os Q Q Q Q Q T de Q = (-)(-)-= de Q = (-)(+)-=- de Q = (os) +(s) =
Przekszłee merz przez podobeńswo Iseje odwzorowe A, kóre przekszł : = A Jeżel wekor przekszłe są do wekorów poprzez rsormję Q, jk wgląd odwzorowe wekor w wekor? = Q = Q = A Jeżel orz, o Q = AQ Jeżel merz Q jes eosoblw, o Q Q = Q AQ = Q AQ = B Merze A B są swom rsormm przekszłom przez podobeńswo, wzzk są rówe B = Q AQ de(b) = de Q AQ = de Q de A de Q = de A de Q = de(a) de(q)
Przekszłee - przkłd ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' φ=45 A = Q = os φ s φ s φ os φ = = + = = = = +
Przekszłee - przkłd = 3 45 = 3 3 = (, )=(,) (, )=(3,-) +=3 -=-, = 3, + = =, =, Sprwdzee: 3 = 3 = = = = = = =
Rówe rkersze merz λ sklr, A() I() K() K = A λi merz rkersz merz A dek = K(λ) = de(a - λi)=a - λi= rówe rkersze merz K(λ) = λ + - λ - + - λ - + + λ + = Perwsk welomu K(λ): λ, λ,, λ -, λ zwm perwskm rkerszm (wrośm włsm) merz A. Jeżel B = Q - AQ, o merz rkersz merz B K = B λi = Q - AQ - Q - IQ = Q - (A - I)Q, wzzk dek =B - λi= Q - A - λi Q = A - λi= Dwe merze zwąze przekszłeem przez podobeńswo mją e sme perwsk rkersze.
Perwsk rkersze, de, de I I A B A B
Merz dgol d d d d d d d d d d d d d d d d,,,, 3 3 3 3 3 I D I D D Jeżel seje ke przekszłee przez podobeńswo, kóre merz A sprowdz do merz dgolej D, o eleme przekąej merz dgolej są zrzem perwskm rkerszm (wrośm włsm) merz A.
Przkłd dgolzj merz Q = os φ s φ s φ os φ Q os φ AQ = s φ os φ s φ = s φ os φ s φ os φ os φ + s φ os φ s φ Ab wzerowć eleme edgole: A = os φ s φ s φ os φ os φ s φ os φ s φ = os φ + s φ os φ s φ os φ s φ os φ s φ os φ s φ os φ s φ os φ s φ os φ + s φ os φ + s φ os φ s φ = os φ s φ os φ s φ os φ s φ = os φ = s φ φ = φ = π 4 φ = π 8 Po przekszłeu orzmujem merz: os π 4 + s π 4 os π 4 s π 4 = λ =, λ =
Perwsk wekor rkersze C - AC jes przekszłeem dgolzująm merz A. Kolum merz C są wekorm rkerszm. Jeżel merz C jes orogol, o C - =C T, C - AC = C T AC. C = os π 8 s π 8 s π 8 os π 8 Obusroe pomożee merz A przez wekor rkersz dje wrość rkerszą: os 8 os s os s 8 os s os os os s s os s os s 8 Ogóle: 8 8 T k Ak 8 8 8 8 8 8 8 8 k k,,, 4 8 s s 8 4 8
Regresj low 3 5 5 (, ) 5 (, ) 4 6 8 Regresj low: =*+b Zde: Wzzć opmle wroś orz b.
Regresj low Podswowe złoże: ) Rozkłd wokół l prosej jes losow ) Wrj σ jes ezleż od Meod jmejsz kwdrów: b b, Wzzm m Φ(,b) względem orz b:, b, b b b b
3 Regresj low b b b b Rozwąze ukłdu rówń ze względu, b: b
Regresj low Esm wrj dl wroś : b s Esm wrj dl prmerów orz b: s s s b s Współzk korelj lowej dl próbk r r ov vr, S vr S S Wrość r zwer sę mędz - +. r> wskzuje zleżość dodą, r< zleżość ujemą mędz orz. r= wskzuje brk zleżoś lowej mędz orz. 4
Regresj low - przkłd 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 5
* * -*-b (-*-b)^ -sr -sr 4 4,3,69-3 -4 4 8 6 -,9 3,6 - -7 6 4 36 4 -,, 5 8 5 64 48,7.49 3 6 Sum: 4 8, 5,8 = 5, b= 9,5 s^=,9 s=,79 s^=,45 s=,388 sb^= 4,35 sb=,857 sr= 5 *ov(,)=, sr= 35 *vr()=, *vr()= 56, r(,)=,9945 6
Węej o korelj - kwdr 55 5 45 4 IV III 35 3 μ 5 5 5 I II 3 4 5 6 7 8 9 Kwdr: I -μ < -μ < (-μ )(-μ )> II -μ > -μ < (-μ )(-μ )< III -μ > -μ > (-μ )(-μ )> IV -μ < -μ > (-μ )(-μ )< μ ov(, ) ov, 7
r Współzk korelj lowej ov vr, S vr S S r=- -<r< r= <r< r= 8
Regresj low jko ukłd rówń b b b b 3 3 3 Newdome:, b Szukm rozwąz kego, b uzskć b m Zps merzow: b J
Ukłd rówń dmrow J J ε ε ε J T T Poszukujem rozwąz, dl kórego T jes mmle. J J J J J J J J J ε ε J J J J J J J J J J J T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Tk oblzoe wroś prmerów zpewją mmlzję sum kwdrów odleń od prosej
Przkłd przedswe merzowego 9,5 5, 4 8 4 8 5 4 8 8 6 4 8 *4 de 4 8 6 4 8 6 4 8 6 4 5 4 8 8 8 8 8 4 8 8 8 8 4 J J J J J J J J T T T T b
Wrj dl zmeej 8 4 J 4 6 5 8 Wrje s,3 5,,9 9,5,,7 ε T ε 4,3,9,,7 ε s,3,9,,7, 9 Wrje kowrj dl prmerów (-) o lzb sop swobod w ukłdze 5,8 s ov(, b) ov(, b) s sb 4,6 8 8 58 8 8 J T J,9* 8 8 58 8 348 8 Współzk korelj lowej dl prmerów r ov(, b) 58,6*348, b, 9 s s b Wsok wrość r(,b) ozz, że e moż rówoześe wzzć obu prmerów, b
Jkob W regresj lowej ukj modelu o pros = * + b. Jkob o merz pood po prmer, b we wszsk puk d =,,, b b b J Jeżel do d elbśm dopsowć welom -go sop = + * + *, o jkob młb posć: J
Rozkłd złożoego psm Psmo dośwdzle Nleż dopsowć do psm krzwe Guss w pos 5 5 5 5 5 5 P k k e b k k b - wsokość b - położee - szerokość 4
Meod jmejsz kwdrów { k }, k=:m, M dopsow prmerów Fukj błędu (sum po puk): Φ{ k } = j [ j (dośw) - j ({ k }] Zde Mmlzowć Φ modkują zbór { k } srują z wroś poząkow { k } 5
Fukj błędu jkob 6 3 k k k k k k b k k k k k b k k k k k b k k e b P e b b P e P N k k b k k P P e P k k Rozkłd N psm Eleme jkobu
Algorm 7 b b b P P b P P P P b P P J Y Poprwo wrość { k } J T Y J T J
Meod jmejsz kwdrów 5 5 5 5 5 Krok 3 4 Psmo rozłożoe skłdowe 5 5 5 5 8