PODSTAWY MES wykład 1 Metoda Elementów Skończonych (Finite Element Method) Matematyk przybliżona metoda rozwiązywania równań różniczkowych; przybliżona metoda minimalizacji funkcjonału; dająca rozwiązanie zbieżne do ścisłego Inżynier metoda (przybliżona) rozwiązywania problemów mechaniki ciała odkształcalnego, wytrzymałości materiałów, mechaniki konstrukcji, dynamiki, przepływu ciepła, przepływu cieczy (i innych) 1
Motywacja współczesne obliczeniowe narzędzie inżyniera liczne pakiety dostępne na rynku ANSYS, ABAQUS, SOLIDWORKS, ROBOT, ADINA, DIANA, ANKA, FEAP, FEMAP, NASTRAN... działanie jako czarna skrzynka bogate narzędzia (graficzne) do pre- i post-procesingu Korzyści rozwiązywanie złożonych problemów zwolnienie projektanta z problemów rachunkowych rezygnacja z licznych uproszczeń łatwość uwzględnienia wielu wariantów obciążeń, ukształtowania, połączeń możliwości dokładniejszego opisu materiału wysoka dokładność uzyskanych rozwiązań... 2
Dlaczego narzędzie w postaci pakietu MES? Aby zredukować liczbę testów prototypowych Symulacja (modelowanie) komputerowa umożliwia szybkie i efektywne testowanie licznych scenariuszy what-if? Aby symulować projekty nie nadające się do testowania prototypowego (np. implanty chirurgiczne (sztuczne kolano)) Poza wszystkim oszczędność kosztów oszczędność czasu skrócenie time to market tworzenie projektów bardziej niezawodnych i o lepszej jakości 3
model kręgosłupa szyjnego Mariusz Walczak, Łukasz Różycki ANALIZA STANU NAPRĘŻEŃ W TWARDYCH TKANKACH ZĘBÓW NA PRZYKŁADZIE DOLNEGO SIEKACZA Z WYKORZYSTANIEM METODY MES, Postępy Nauki i Techniki nr 11, 2011 model zęba 4
Beata Dejak, z Katedry Protetyki i Zaburzeń Czynnościowych Fizjologii Narządu Żucia Uniwersytetu Medycznego w Łodzi, Ocena naprężeń w zębach trzonowych podczas trójwymiarowej symulacji żucia i zaciskania zębów, PROTET. STOMATOL., 2007, LVII, 4, 260-268 JUSTYNA MIODOWSKA, MAGDALENA KROMKA-SZYDEK, JAN BIELSKI, MAGDALENA JĘDRUSIK-PAWŁOWSKA NUMERICAL ANALYSIS OF THE MANDIBULAR RECONSTRUCTION WITH THE USE OF AUTOGENOUS BONE GRAFT AND DENTAL IMPLANTS 5
6
7
Modelowanie i źródła błędów obiekt rzeczywisty model matematyczny model dyskretny rozwiązanie dyskretne błąd rozwiązania błąd dyskretyzacji błąd modelowania matematyczny opis rzeczywistości przy pomocy równań różniczkowych, algebraicznych, całkowych konieczność przyjęcia założeń modelowych, hipotez, pominięcia nieistotnych efektów itp. zamiana modelu ciągłego na dyskretny w celu uzyskania rozwiązania przybliżonego (metoda elementów skończonych, metoda różnic skończonych, metoda całek brzegowych, metoda Trefftza, metoda objętości skończonych itd.) numeryczne rozwiązanie (dużego) układu równań algebraicznych 15 model 3D równania równowagi (Naviera) 3 równania różniczkowe cząstkowe wiążące naprężenia (6) i siły masowe równania geometryczne (Cauchy ego) 6 równań różniczkowych cząstkowych wiążących przemieszczenia (3) i odkształcenia (6) równania konstytutywne (fizyczne) 6 równań algebraicznych wiążących naprężenia (6) i odkształcenia (6) (prawo Hooka) warunki brzegowe naprężeniowe i przemieszczeniowe 8
belka model 1D deformacja funkcją jednej zmiennej równania zwyczajne jednoosiowy stan naprężenia i odkształcenia jedno równanie fizyczne jedno (dwa) przemieszczenia punktów jedna funkcja jednej zmiennej hipoteza płaskich przekrojów (Bernoulli ego) liniowy rozkład odkształceń po wysokości przekroju model dyskretny konstrukcja podzielona na skończone fragmenty niewiadomymi są przemieszczenia w skończonej liczbie węzłów operatory różniczkowe zastąpione algebraicznymi równania algebraiczne skończona liczba niewiadomych układ równań algebraicznych 9
konieczność zaufania do sprzętu i oprogramowania bezkrytyczne akceptowanie wyników komputerowych możliwe niewykrywalne błędy użytkownika możliwość złego doboru elementów, siatki, modelu konstrukcji, parametrów,...... Generał porucznik L. Euler za naszym pośrednictwem składa poniższą deklarację. Wyznaje otwarcie:... III. Że nawet będąc królem matematyków będzie się wstydził swego błędu, pozostającego w niezgodzie ze zdrowym rozsądkiem i podstawową wiedzą, a popełnionego przy wnioskowaniu na podstawie wzorów, że ciało pod wpływem sił przyciągania zlokalizowanych w środku sfery zmieni nagle kierunek poruszania się w stronę środka IV. Że zrobi wszystko, co możliwe, aby nie być ponownie oszukanym przez zły wzór. Przeprasza gorąco za to, iż pewnego razu, wprowadzony w zakłopotanie paradoksalnym wynikiem, oświadczył: chociaż wydaje się to być w niezgodzie z rzeczywistością, to jednak musimy ufać naszym obliczeniom bardziej niż naszym zmysłom... Fragment z Diatribe du docteur Akakia Voltaire a (1752) (Niklaus Wirth, Algorytmy + struktury danych = programy) 10
Dla inżyniera - analiza metodą elementów skończonych to sposób symulacji warunków obciążeniowych dla (modelu) konstrukcji i określania odpowiedzi konstrukcji na te warunki. Konstrukcja jest modelowana przy użyciu dyskretnych fragmentów zwanych elementami skończonymi. Każdy element posiada dokładne równania, które opisują jego odpowiedź na zadane obciążenie. Suma odpowiedzi wszystkich elementów modelu stanowi całkowitą odpowiedź układu. Elementy mają skończone rozmiary (zamiast nieskończenie małych różniczek) oraz skończoną liczbę niewiadomych (dyskretnych, zamiast funkcji o nieskończonej liczbie stopni swobody). Metoda elementów skończonych analizy konstrukcji została stworzona przez badaczy akademickich i przemysłowych w latach 50tych i 60tych XX wieku. Teoria leżąca u jej podstaw ma ponad 100 lat i była już bazą dla ręcznych obliczeń podwieszonych mostów i kotłów parowych. Rozwój metody matematycy i inżynierowie (mechanicy) Rozwój i dostępność sprzętu komputerowego możliwość rozwiązywania coraz trudniejszych problemów algebraicznych Metoda przybliżonego rozwiązywania problemu analitycznego (równań różniczkowych) przez zastąpienie go problemem algebraicznym Rozszerzenie zastosowań metody na inne działy fizyki 11
Literatura O.C. Zienkiewicz, Metoda elementów skończonych, Arkady 1972 J. Szmelter, Programy metody elementów skończonych, Arkady 1973 M. Dacko, Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji, Arkady 1994 M. Kleiber, Wprowadzenie do metody elementów skończonych, PWN 1989 M. Kleiber, Komputerowe metody mechaniki ciał stałych, Mechanika techniczna, Tom XI, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1995 Z. Waszczyszyn, Z. Cichoń, M. Radwańska, Metoda elementów skończonych w stateczności konstrukcji, Arkady 1990 R. Bąk, T. Burczyński, Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego, WNT 2001 T. Zagrajek, G. Krzesiński, P. Marek, Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji; ćwiczenia z zastosowaniem systemu ANSYS, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, W-wa, 2005 23 Literatura pomoce dydaktyczne PK S. Łaczek, Wprowadzenie do systemu elementów skończonych ANSYS, Politechnika Krakowska, 1999 S. Łaczek, Modelowanie i analiza konstrukcji w systemie MES ANSYS v.11, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, 2011 J. Bielski, Wprowadzenie do inżynierskich zastosowań metody elementów skończonych, PK 2010 J. Bielski, Inżynierskie zastosowania systemu MES, PK 2013 M. Mrzygłód, Podstawy analizy wytrzymałościowej konstrukcji w programie ANSYS/Mechanical APDL, PK 2014 24 12
Materiały (pdf) dostępne w sieci: 1) www.pk.edu.pl/~m-1 Dydaktyka Materiały do wykładów, ćwiczeń, laboratorium Materiały do zajęć 13