MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 56, ISSN 1896-771X MODELOWANIE I ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA PRZY OBCIĄŻENIACH ZGRYZOWYCH DLA PRZYPADKU ZGRYZU PRAWIDŁOWEGO I PROGNACYJNEGO Justyna Miodowska 1a, Magdalena Kromka-Szydek 1b, Justyna Undas 1 1 Zakład Mechaniki Doświadczalnej i Biomechaniki, Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Krakowska a justyna.miodowska@gmail.com, b mkszydek@mech.pk.edu.pl Streszczenie W pracy przedstawiona została analiza numeryczna metodą elementów skończonych dwóch modeli żuchwy: ze zgryzem prawidłowym oraz prognacyjnym. Modele trójwymiarowe stworzono z wykorzystaniem zdjęć tomografii komputerowej oraz oprogramowania Mimics. Wyznaczono kąty zwarciowe pomiędzy zębami antagonistycznymi, a następnie poddano ocenie naprężenia występujące w modelach zębów oraz określono zależności pomiędzy kątem działania siły, a wywołanym stanem naprężenia w badanej strukturze. Analiza wykazała, iż prognacja powoduje nawet 3-krotne zwiększenie kąta oddziaływania zębów antagonistycznych w stosunku do zgryzu prawidłowego oraz mniejsze wartości naprężeń w zębach. Zwiększanie kąta, pod jakim działa obciążenie na powierzchnię styczną zęba siecznego, powoduje zwiększenie naprężeń w szyjkach zębów. Słowa kluczowe: modelowanie MES, żuchwa, prognatyzm, obciążenia zgryzowe MODELING AND ANALYSIS OF THE STRESS STATE AT THE OCCLUSAL LOADS IN THE CASE OF NORMAL AND PROGNATHOUS OCCLUSION Summary The study presented numerical analysis using finite element method of two mandible models: with proper occlusion and with prognathism. Three-dimensional models were created using computed tomography images and Mimics software. Occlusal angles between antagonistic teeth were evaluated. Stress in the tooth models were determined and relationship between the force angle and the resulting stress state in the test structure were established. Analysis showed that prognathism causes up to 3-time increase in the angle of antagonistic teeth to proper occlusion, and smaller values of stress in the teeth. Increasing the angle at which the load is applied to the incisor surface increases the stress on the necks of the teeth. Keywords: FEA, mandible, prognathism, occlusal load 1. WSTĘP Współcześnie wiele osób boryka się z problemami układu stomatognatycznego. Są one określane jako zespół morfologiczno - czynnościowy wzajemnie współdziałających tkanek i narządów jamy ustnej i części twarzoczaszki. Tworzą razem funkcjonalną całość sterowaną przez ośrodkowy układ nerwowy. Okeson wymienia zaburzenia zwarcia jako jedną z przyczyn powstania dysfunkcji układu 83
MODELOWANIE I ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA PRZY OBCIĄŻENIACH stomatognatycznego. Jednak stopień zaburzenia pracy układu zależy przede wszystkim od indywidualnych zdolności kompensacyjnych człowieka [9]. Jancelewicz określiła dwa główne mechanizmy powodujące wzrost dysfunkcji narządu żucia. Pierwszy z nich obejmuje obniżenie zdolności adaptacyjnych człowieka wynikające ze zwiększenia poziomu stresu w życiu codziennym, a drugi dotyczy wzrostu występowania wad zgryzu u dzieci i młodzieży. Połączenie obydwu tych czynników stanowi poważny element przyczyniający się do narastania problemu dysfunkcji układu stomatognatycznego [4]. W literaturze funkcjonuje wiele opracowań dotyczących uproszczonego modelowania żuchwy i zębów, co świadczy o dużym zainteresowaniu tą tematyką [1, 7,8, 11, 12, 13]. Brak jednak opracowań, które w sposób rzeczywisty odzwierciedlają jednocześnie kształty i wzajemne ułożenie zębów, żuchwy oraz szczęki. Niewielu autorów podejmuje problematykę analizy wpływu kąta działania siły na uszkodzenia zębów. Dobosz uważa, iż poziome bądź ukośne działanie siły powoduje uszkodzenia w obszarze szyjek [2]. 2. CEL PRACY Celem pracy było stworzenie trójwymiarowych modeli żuchwy prawidłowej oraz ze zdiagnozowanym prognatyzmem, a następnie wyznaczenie kątów pomiędzy zębami antagonistycznymi w obu przypadkach. Wykorzystując metodę elementów skończonych, przeprowadzono analizę wytrzymałościową przy założonym schemacie obciążenia. Następnie porównano wyniki otrzymane dla analizowanych przypadków oraz określono zależności między kątem działania siły a stanem naprężenia w badanej strukturze. Rys.1 Zestawienie zębów żuchwy oraz szczęki obrazujące różnice w okluzji dla: a) przypadku prawidłowego, b) przypadku z prognatyzmem W pracy skorzystano z metodyki wykonywania tego pomiaru zaproponowanej przez Łasińskiego [5]. Pomiar przeprowadzono dla każdej z czterech par siekaczy w płaszczyźnie bocznej. Obejmował on poprowadzenie linii od zakończenia części korzeniowej zęba do punktu styku koron, przechodząc jednocześnie jak najbliżej krawędzi językowej. Powstałe dwie półproste, za pomocą narzędzia do pomiarów wielkości kątowych programu Mimics, wykorzystano do wyznaczenia kąta pomiędzy zębami antagonistycznymi (rys.2). W taki sam sposób pomiary przeprowadzono dla pozostałych par zębów. 3. MATERIAŁ I METODY Wykorzystując oprogramowanie Mimics oraz zdjęcia pochodzące z tomografii komputerowej (TK), stworzono dwa modele przestrzenne żuchwy: prawidłowej oraz prognatycznej. Składały się one z kości żuchwy, szczęki oraz odseparowanych zębów, które stanowiły odrębne bryły. Na rys. 1 przedstawiono przestrzenne ułożenie elementów modelu w obu przypadkach okluzji: prawidłowej oraz prognatycznej. Tak przygotowane modele posłużyły do wyznaczenia kątów pomiędzy zębami antagonistycznymi. Rys. 2 Wyznaczanie kątów pomiędzy zębami antagonistycznymi, przy użyciu programu Mimics, w modelu żuchwy: a) prawidłowej, b) prognatycznej 84
Justyna Miodowska, Magdalena Kromka-Szydek, Justyna Undas Gotowe modele żuchwy zostały wyeksportowane do programu Ansys Workbench, w którym nałożona została siatka elementów skończonych, zadane zostały warunki brzegowe i przeprowadzona analiza wytrzymałościowa. Zdefiniowane zostały również stałe materiałowe dla poszczególnych elementów układu przyjętych jako materiały izotropowe: kość żuchwy - E=18000 [MPa], v=0,32 i zębina - E=18600 [MPa], v=0,31 [6]. Ponieważ w pracy największą uwagę poświęcono analizie zmian naprężeń w zębach przy obciążeniach zgryzowych, zdecydowano się zastosować schemat obciążenia przez zęby, a nie przez mięśnie. W związku z tym model został utwierdzony symetrycznie na głowach wyrostków kłykciowych żuchwy oraz w obszarze kąta, co odpowiada miejscom przyczepu mięśnia żwacza (rys. 3) [5, 6]. Rys. 4 Przyłożone siły z zachowaniem kierunku działania: a) dla zgryzu prawidłowego, b) dla zgryzu prognatycznego Rys. 3 Schemat utwierdzenia żuchwy Obciążenie zostało przyłożone do zębów siecznych w punktach styku z zębem antagonistycznym wyznaczonych poprzednio w programie Mimics. Przyjęto sumaryczną wartość obciążenia równą 120 [N], która odpowiada ok. 50% maksymalnej wartości uzyskiwanej przez młodego, zdrowego mężczyznę [3]. Każdy ząb obciążono siłą równą 30 [N]. Kąty działania sił, wyznaczone podczas modelowania, zostały następnie przeliczone na układ globalny programu Ansys za pomocą funkcji trygonometrycznych. W pracy przeanalizowano dwa przypadki: żuchwy prawidłowej z siłami przyłożonymi zgodnie z wyznaczonymi dla niej kątami (przypadek I); żuchwy prognatycznej z siłami działającymi zgodnie z wyznaczonymi dla niej kątami (przypadek II). Dla żuchwy prawidłowej oraz prognatycznej, oprócz analiz dla kątów obciążeń wyznaczonych z tomografii komputerowej, przeprowadzono symulacje przy siłach przyłożonych na zęby sieczne pod kątami 0, 15, 30, 45. Wyniki badań zaprezentowano w postaci map naprężeń zredukowanych wg hipotezy Hubera Misesa-Hencky ego (σh-m-h). 4. WYNIKI Różnice w wartościach otrzymanych kątów pomiędzy poszczególnymi zębami z grupy siekaczy dla danego przypadku są nieznaczne i wynoszą od 1 do 3. Natomiast między zgryzem prognatycznym i prawidłowym otrzymano różnice, których największa wartość wynosi 24 (tab. 1). Tabela 1. Kąty współpracy na styku zębów siecznych w modelu żuchwy prawidłowej i prognatycznej po przeliczeniu na układ globalny Ansys Workbench Pary zębów antagonistycznych Kąt współpracy zębów siecznych [ o ] żuchwa prawidłowa żuchwa prognatyczna 22-32 1 14 32 21-31 12 33 11-41 11 32 12-42 11 35 W przypadku I obszar największego wytężenia znajdował się na szyjce zęba 42 po stronie wargowej. Maksymalna wartość naprężenia zredukowanego wyniosła w tym miejscu ponad 18 [MPa]. Największa wartość σh-m-h dla przypadku II wyniosła natomiast 14,8 [MPa], a obszar wytężenia znajdował się po stronie językowej tego samego zęba (rys. 5). 1 oznaczenie zębów wg systemu Viohla 85
MODELOWANIE I ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA PRZY OBCIĄŻENIACH Rys. 5 Mapy rozkładu naprężenia σh-m-h dla zębów 42, 41, 31 i 32 przy obciążeniu 120 [N] dla: a) przypadku I, b) przypadku II Porównanie przekrojów zębów w płaszczyźnie bocznej dla przypadku I i II pokazuje różnice w ułożeniu struktur zębowych w kości żuchwy (rys 6a i 6b). Dla przypadku I zęby usytuowane są prawie pionowo, natomiast przy prognatyzmie dolne zęby sieczne ułożone są skośnie z nachyleniem w kierunku wargowym. W przypadku I koncentracje naprężeń występują na szyjce zęba i w niewielkim obszarze na przyzębiu w części wargowej (rys. 6a). Średnia wartość σh-m-h na ściance zęba i zębodołu wynosi 3,5 [MPa]. Dla przypadku II (rys. 6b) natomiast wytężenie tkanek obserwuje się na powierzchni wargowej oraz językowej zęba, a także w znacznym obszarze na wyniosłościach zębodołów. Wartość naprężenia zredukowanego wynosi średnio 6,5 [MPa]. Graficzne różnice w rozkładzie naprężenia zredukowanego dla tkanek zęba oraz żuchwy przedstawiono na przekrojach na rys. 6. Rys. 6 Mapy rozkładu naprężenia σh-m-h dla przekrojów: a) żuchwy prawidłowej, b) żuchwy prognatycznej, c) zębodołu dla żuchwy prawidłowej, d) zębodołu dla żuchwy patologicznej Przeprowadzone analizy dla zmiennych kątów działania przyłożonych sił, zarówno w przypadku I jak i II, wykazują wzrost wartości naprężenia σh-m-h w obszarze szyjki zęba wraz ze zwiększaniem kąta działania sił. Naprężenie zredukowane σh-m-h w modelu żuchwy prawidłowej zmienia się w zakresie od 12,5 do 34,2 [MPa], a w modelu żuchwy prognatycznej od 7,8 do 15,8 [MPa] dla zmiennych kątów przyłożenia sił w zakresie od 0 do 45 (rys. 7). Analizując przekroje zęba przedstawione na rys. 8 po przyjęciu tej samej skali, można zauważyć, iż po przyłożeniu obciążenia pod kątem 0 obszary wytężenia występują nie tylko przy wargowej stronie szyjki, ale także w części przedniej korzenia. Natomiast po zmianie kąta o 30 obszary wytężenia występują w części wargowej oraz językowej szyjki zęba. Rys. 7 Maksymalne wartości σh-m-h dla przypadku żuchwy prawidłowej i prognatycznej w zależności od wartości kąta działania siły Otrzymane wyniki wskazują na występowanie większych wartości naprężeń zredukowanych w żuchwie prawidłowej niż prognatycznej. Miejsca 86
Justyna Miodowska, Magdalena Kromka-Szydek, Justyna Undas wytężeń znajdują się w okolicach styku środkowej części zęba z zębodołem i osiągają wartość 18 [MPa]. Natomiast u pacjenta z prognatyzmem maksymalne wartości σh-m-h są mniejsze o 20%. Otrzymane wyniki były odwrotne od danych literaturowych [6]. Oczekiwano, iż wartości naprężeń dla modelu prognatycznego będą wyższe niż dla modelu prawidłowego. W związku z tym w pracy zdecydowano się na przeprowadzenie dodatkowych obliczeń porównawczych dla obu przypadków, przykładając siły pod kątami: 0, 15, 30 i 45. Wykazały one, iż wartości naprężeń dla analizowanych przypadków wzrastają wraz z zwiększającym się kątem nachylenia działającego obciążenia. W modelu żuchwy prawidłowej maksymalna wartość naprężenia zredukowanego w przypadku działania siły pionowej (0 ) wynosi 12,5 [MPa]. Zwiększenie kąta działania siły do 15 powoduje przyrost wartości σh-m-h o 54,8%. Dalsze zwiększenie kąta działania siły do 30 powoduje ponaddwukrotny wzrost wartości wytężenia zębiny w porównaniu do siły pionowej i 33,3% wzrost w stosunku do obciążenia działającego pod kątem 15. Natomiast przyłożenie siły pod kątem 45 o powoduje prawie 3-krotny wzrost wartości σh-m-h w stosunku do siły pionowej. W modelu żuchwy prognatycznej przyrost wartości naprężenia jest mniejszy. Maksymalna wartość σh-m-h w przypadku działania siły pionowej (0 ) wynosi 7,8 [MPa]. Wraz ze wzrostem wartości kąta działania siły do 15 wartość naprężenia wzrasta o 39,1%. Natomiast przy kącie 30 wzrost wartości σh-m-h w odniesieniu do siły pionowej wynosi 71,8%, a tylko 23% w porównaniu do wartości naprężenia przy kącie 15. Siła skośna przyłożona pod kątem 45 wywołuje w tym przypadku dwukrotnie większe wartości naprężenia niż siła pionowa. 5. PODSUMOWANIE Naprężenie zredukowane σh-m-h w obu przypadkach zwiększa się wraz ze zwiększaniem wartości kąta nachylenia działania obciążenia, jednak wartości dla przypadku II są około 2 razy mniejsze niż dla modelu prawidłowego. Analizując w takim przypadku rozkład naprężenia na całym modelu prognatycznym, można zauważyć przenoszenie naprężeń z zębów siecznych na wyniosłość zębodołów, czego nie zaobserwowano w przypadku prawidłowej żuchwy. Przeanalizowanie modeli dla przyjętego schematu obciążenia (przez zęby) wykazało rozkład naprężeń charakterystyczny dla prawidłowej pracy żuchwy, w związku z czym odrzucono możliwość źle przyjętych warunków obliczeń. Mniejsze wartości wytężenia w żuchwie prognatycznej autorzy tłumaczą przystosowaniem się układu do panujących warunków obciążenia. Dzięki rozłożeniu obciążenia na większą powierzchnię oraz innemu ułożeniu zębów układ zwiększa swoją wytrzymałość. Taka teoria znajduje potwierdzenie w literaturze, bowiem Jancelewicz opisuje, że to, jak mocno zaburzenie zwarcia jest w stanie zaburzyć pracę całego układu stomatognatycznego, zależy przede wszystkim od indywidualnych zdolności kompensacyjnych danego pacjenta [4]. Otrzymane w pracy maksymalne wartości naprężenia zredukowanego σh-m-h dla zębów są znacznie mniejsze od wartości dopuszczalnych mogących prowadzić do ich zniszczenia. Potwierdza to spostrzeżenie Wigrowicz Makowerowej, że do zaistnienia dysfunkcji oprócz wady zgryzu potrzebne są jeszcze zaburzenia mięśniowe. Może do nich dochodzić, gdyż przedłużające się sytuacje stresowe powodują zaburzenia łuku odruchowego, regulującego siłę nacisku na zęby. W dalszej kolejności prowadzi to do zmian destrukcyjnych w przyzębiu i utraty zębów [4]. Mówiąc o złamaniach zębów siecznych, należy zaznaczyć, że uzyskane wyniki potwierdzają, iż skośna siła obciążenia wpływa na szyjki zębów, wywołując w nich koncentracje naprężenia, natomiast siła pionowa w większym stopniu wpływa na uszkodzenie części korzeniowej. Dobosz opisuje, iż długotrwałe działanie siły pod kątem 45 powoduje niekorzystne wytężenia w obszarze połączenia szkliwno-cementowego. Udokumentowano również, że szyjki zębowe są najbardziej narażone na szkodliwe działanie sił i tam dochodzi do odłamywania się pryzmatów tworzących charakterystyczne ubytki w kształcie klina [2, 10]. Rys. 8 Mapy rozkładu naprężenia σh-m-h w przekroju zęba przy obciążeniu pod kątem a) 0, b) 30 87
MODELOWANIE I ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA PRZY OBCIĄŻENIACH Literatura 1. Dejak B.: Analiza metodą elementów skończonych wytężenia i zespolenia z tkankami ceramicznych endokoron w zębach trzonowych. Protetyka Stomatologiczna 2008, LVIII (3), s. 151-161.. 2. Dobosz A., Panek H., Dobosz K.: Zastosowanie metody elementów skończonych do analizy naprężeń w twardych tkankach zębów. Dental and Medical Problems 2005, 42, 4, s. 651-655. 3. Härle F., Champy M., Terry B.C.: Atlas of craniomaxillofacial osteosynthesis. Thieme, Stuttgart New York 1999. 4. Jancelewicz M.: Dysfunkcje układu stomatognatycznego narastającym problemem współczesnej opieki zdrowotnej przyczyny wzrostu występowania tej dysfunkcji. Hygeia Public Health, 45(1), 2010, p. 17-20. 5. Łasiński W.: Anatomia głowy dla stomatologów. Warszawa: Wyd. Lekarskie PZWL, 1978. 6. Milewski G., Kromka-Szydek M.: Podstawy biomechaniki stomatologicznej. Kraków: Wyd. Pol. Krak., 2010. 7. Moustafa R., Nassef T., Alkhodary M., Marei K., Awadalla M.: A new interactive 3-D numerical model of human mandible for peri-implant analysis in-vivo compared with cone beam computed tomography 3-D quality. American Journal of Biomedical Engineering 2012, 2(1), p. 9-16. 8. Nassef T.M.: New segmentation approach to extract human mandible bones based on actual computed tomography data. American Journal of Biomedical Engineering 2012, 2(5), p. 197-201. 9. Okeson J.P.: Leczenie dysfunkcji narządu żucia i zaburzeń zwarcia. Lublin: Wyd. Czelej, 2005. 10. Rees J.S.: The effect of variation In occlusal loading on the development of abfractiom lesions: a finite element study. Journal Oral Rehabilitation 2002, 29, p. 188-193. 11. Seeberger R., Kater W., Davids R., Thiele O., Edelmann B., Hofele Ch., Freier K.: Changes in the mandibular and dentoalveolar by the use of tooth borne mandibular symphyseal distraction devices. Journal of Cranio- Maxillo-Facial- Surgery 2011, 39, p. 177-181. 12. Ścigała K., Grzebieluch W., Będziński R., Kaczmarek U.: Wstępna analiza numeryczna i doświadczalna rozkładu odkształceń i naprężeń w koronie zęba przedtrzonowego. Czasopismo Stomatologiczne 2005, LVIII (7), p. 473-479. 13. Walczak M., Różycki Ł.: Analiza stanu naprężeń w twardych tkankach zębów na przykładzie dolnego siekacza z wykorzystaniem metody MES. Postęp Nauki i Techniki 2011, 11, s. 107-114. 88