Podstawy Informatyki Algorytmy i ich poprawność
Błędy Błędy: językowe logiczne Błędy językowe Związane ze składnią języka Wykrywane automatycznie przez kompilator lub interpreter Prosty sposób usuwania Przykład: //fragment programu w języku C++... if(a){ } Else{ } błąd!!! Komunikat kompilatora: Else brak deklaracji tego identyfikatora. Słowo kluczowe else powinno być napisane z małej litery
Błędy logiczne (1) Błędy semantyczne Związane z semantyką języka programowania Kompilator w niektórych przypadkach sugeruje (ostrzega), że dana konstrukcja może nie działać poprawnie Stosunkowo prosto można je zdiagnozować i usunąć Przykład: //fragment programu w języku C++... if(i=8){ }... Błąd semantyczny Zamiarem programisty było sprawdzenie czy i jest równe 8 (i==8), a nie dokonanie podstawienia i=8 (co zawsze jest prawdziwe)
Błędy algorytmiczne Przykład Błędy logiczne (2) Błędy logiczne wynikające z niepoprawnego rozwiązania zadania algorytmicznego (błędny algorytm rozwiązania) Są niezależne od języka, w którym zaimplementowano algorytm Najtrudniej wykrywalne struktura Lista{ Dane info; Wskaźnik_Lista next; //next jest wskaźnikiem do obiektu typu Lista }; void main(){ Wskaźnik_Lista head=λ; //lista pusta head utworz_liste(head,plik); //utworz liste z danych w pliku plik //i niech head wskazuje na pierwszy element //tej listy while(head){ //operacje na liscie... head = head->next; } } //przegladanie elementow listy błąd algorytmiczny Struktura Lista info next Λ
Testowanie programów Testowanie odbywa się poprzez uruchamianie programu dla danych testowych Debugging proces wielokrotnego uruchamiania programu dla wykrycia i usunięcia błędów. Większość środowisk programistycznych jest wyposażona w narzędzia wspomagające proces debuggowania Obydwie metody nie dają gwarancji wykrycia i usunięcia wszystkich błędów. Niepoprawność algorytmu Wykonanie algorytmu rozwiązania zadania dla pewnego zestawu danych zakończy się prawidłowo, ale wyniki są niepoprawne np. źle sformułowany warunek, powinna być silna nierówność, a jest słaba Działanie algorytmu dla pewnego zestawu danych zostanie przerwane; np. dzielenie przez zero, obliczenie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej Algorytm dla pewnego zestawu danych działa w nieskończoność (pętle nieskończone); np. przy przeglądaniu listy wskaźnikowej, wskaźnik nie jest przesuwany do następnego elementu listy
Poprawność algorytmu Poprawność algorytmu Zadanie algorytmiczne: 1. I zbiór dopuszczalnych danych wejściowych 2. R zależności między danymi wejściowymi a żądanymi wynikami Przykład: Zbiór I = <N,L>, gdzie N ℵ +, L lista słów. Zależność R wynikiem ma być lista N-elementowa L, utworzona ze słów z listy L, uporządkowana leksykograficznie Zbiór I i relacja R są specyfikacją zadania uporządkowania listy L, opisanego algorytmem A. Algorytm A jest częściowo poprawny względem I i R: X I, jeżeli A uruchomiony dla I zatrzyma się relacja R między X a otrzymanym wynikiem jest spełniona Algorytm A zatrzymuje się dla zbioru I, tzn. algorytm A zatrzymuje się X I Algorytm A jest całkowicie poprawny względem I i R: X I algorytm A zatrzymuje się i daje wynik spełniający relację R
Poprawność algorytmu Indukcja matematyczna Niech P(n) będzie pewnym stwierdzeniem o liczbie całkowitej n. Chcemy udowodnić, że P jest prawdziwe dla n ℵ +. Korzystamy z indukcji matematycznej: 1. Przedstaw dowód, że P(1) jest prawdziwe 2. Przedstaw dowód, że jeśli wszystkie P(1), P(2),.., P(n) są prawdziwe, to P(n+1) jest też prawdziwe Algorytm Euklidesa (rozszerzony) Dane są dwie dodatnie liczby całkowite m i n. Oblicz ich największy wspólny dzielnik (nwd) d, oraz dwie liczby całkowite a i b takie, że am + bn = d. K1. Inicjowanie. a b 1; a b 0; c m; d n; K2. Dzielenie. Niech q i r będą odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia c przez d: c = qd + r i 0 r < d; K3. Czy reszta zero? Jeśli r = 0, zakończ algorytm; w tym przypadku am + bn = d; K4. Ponowienie. Przyjmij c d; d r; t a ; a a; a t qa; t b ; b b; b t qb; wróć do K2. Przykład Niech m = 2884, n = 364 a a b b c d q r 1 0 0 1 2884 364 7 336 0 1 1-7 364 336 1 28 1-1 -7 8 336 28 12 0 (-1)*2884 + 8*364 = -2884 + 2912 = 28
Poprawność algorytmu Dowód poprawności algorytmu Euklidesa dla dowolnych m i n. Lemat Równości a m + b n = c, am + bn = d są prawdziwe po każdym wykonaniu kroku K2 (na podstawie faktu, że równości są prawdziwe po pierwszym dojściu do K2 i krok K4 nie zmienia ich prawdziwości). Stwierdzenie Pary {m, n} i {n, r} mają ten sam zbiór wspólnych dzielników Indukcja względem n. 1. Jeśli m jest wielokrotnością n, to algorytm działa poprawnie (pierwsze wykonanie kroku K3). Tak jest zawsze, gdy n = 1. 2. Jeśli n > 1 i m nie jest wielokrotnością n. Algorytm po pierwszym przebiegu przechodzi do wykonania przypisania c d; d r, oraz r <n z założenia indukcyjnego stwierdzamy, że końcowa wartość d jest nwd liczb n i r. Ze stwierdzenia że, pary {m, n} i {n, r} mają te same wspólne dzielniki wspólny nwd. Stąd d jest nwd liczb m i n. Z lematu am + bn = d.
Poprawność algorytmu Ogólna metoda dowodzenia poprawności dowolnego algorytmu: opis schematu blokowego algorytmu asercjami. Asercje Opisuje stan rzeczy w chwili, gdy wykonywane jest obliczenie strzałki w schemacie blokowym algorytmu związanej z tą asercją. start A1: m > 0, n > 0 K1. a 1; b 1; a 0; b 0; c m; d n; K2. q iloraz(c / d); r reszta(c / d); K3. r == 0? nie tak K1. c d; d r; t a ; a a; a t qa; t b ; b b; b t qb; stop A2: c = m > 0, d = n > 0, a = b =0, a =b = 1 A3: am + bn = d, a m + b n = c = qd + r, 0 <= r < d, nwd(c, d) = nwd(m, n) A4: am + bn = d = nwd(m, n) A5: am + bn = d, a m + b n = c = qd + r, 0 < r < d, nwd(c, d) = nwd(m, n) A6: am + bn = d, a m + b n = c = qd + r, d > 0, nwd(c, d) = nwd(m, n)
Poprawność algorytmu Ogólna metoda polega na udowodnieniu, że dla każdego bloku zachodzi warunek: Jeśli asercja związana z jakąkolwiek strzałką prowadzącą do bloku jest prawdziwa zanim zostanie wykonana operacja opisywana przez blok, to wszystkie asercje związane ze strzałkami wychodzącymi z bloku są prawdziwe po wykonaniu tej operacji. Z prawdziwości powyższego twierdzenia dla każdego bloku wynika, że wszystkie asercje są prawdziwe podczas każdego wykonania algorytmu (dowód przez indukcję względem liczby kroków obliczenia w sensie liczby strzałek w schemacie blokowym, po którym przeszło obliczenie). Metoda dowodzenia poprawności algorytmów przez asercje i indukcję pochodzi od R.W. Floyda: definicja każdej operacji języka programowania może być sformułowana jako reguła logiczna mówiąca, że pewne asercje można udowodnić po operacji przy założeniu, że pewne asercje były prawdziwe przed operacją. Metoda została rozwinięta przez C.A.R. Hoare a jako metoda niezmienników.