1 Rozkład prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych (przepływów najwyższych w roku) 1. metoda CUGW (Pearson III i metoda kwantyli) Metoda ta powstała w latach sześćdziesiątych zeszłego stulecia i jest oparta m. in. na pracach Kaczmarka (1960a, 1960b). W 1968 roku została opublikowana w postaci regulacji prawnej (CUGW 1968), a w 1991 roku nieco rozszerzona przez zespół IMGW (IMGW 1991). Metoda ta stosuje trójparametrowy rozkład Pearsona typu III, którego parametry są estymowane graficzną metodą decyli. Rozkład ten jest zapisany w formie kwantylowej [ ] Q 1 (, ) max, p = Q + cv Φ s p (1) gdzie Q max,p jest kwantylem dowolnego rzędu p przepływu maksymalnego w roku (tj. przepływu p% lub przepływu T-letniego, gdzie T = 1/p), Q jest medianą zmiennej Q max, c v kwantylowym współczynnikiem zmienności, Φ(s,p) stablicowaną funkcją kwantylowego współczynnika skośności s i prawdopodobieństwa przewyższenia p. Procedurę obliczeniowa składa się z kilku etapów, które najłatwiej prześledzić na konkretnym przykładzie. Niech będzie dana n-letnia chronologiczna próba losową przepływów maksymalnych w roku {Q max,1, Q max,2,..., Q max, n }, jak podaje poniższa tabela 1: Tabela 1. Przepływy maksymalne roczne Q max (m 3 /s) w przekroju Sucha na Skawie w okresie 1951 1997 (źródło: Ozga-Zielińska i in. 1999) rok 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 Q max 74 63 52 24.2 117 19.6 45.3 236 48.9 221 22.8 146 65.4 39 173 81.5 rok 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 Q max 66.6 89.6 52.1 447 46.4 104 45.4 129 152 122 101 167 32.4 202 75.4 117 rok 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Q max 270 108 180 79.6 181 59.5 107 30 128 30.8 94 105 108 348 256 co ilustruje graficznie rys. 1. Q m a x, m 3 ês 600 0 SkawaêSucha 1951-1997 19 1960 1970 1980 1990 Rys. 1. Ciąg chronologiczny przepływów maksymalnych rocznych Q max (m 3 /s) w przekroju Sucha na Skawie w okresie 1951 1997. Posiadane dane powinny być starannie zweryfikowane pod względem ich jednorodności (stałość warunków formowania się wezbrań, brak czynników ubocznych, wiarygodność krzywych konsumcyjnych itd.). Ponieważ dane takie są przygotowywane przez wyspecjalizowane agencje, weryfikacja taka jeśli jest w ogóle prowadzona ogranicza się do badania jednorodności szeregu czasowego za pomocą jakiegoś testu jednorodności, zwykle testu na brak trendu liniowego lub trendu monotonicznego. Proponowane i zastosowane są tu takie
testy jak test na nieistotność współczynnika kierunkowego regresji liniowej, czy nieparametryczny test Manna-Whitneya. Następnym krokiem jest uporządkowanie posiadanej próby chronologicznej w ciąg malejący {Q max,(1), Q max,(2),..., Q max,(n) }, obliczenie kolejnych wartości p i empirycznego prawdopodobieństwa przewyższenia za pomocą wzoru ozn i ˆP( Qmax Qmax,( i) ) = pi =, i = 1,2,..., n (2) n + 1 umieszczenie punktów (p i, Q max,(i) ) na siatce pearsonowskiej (podanej w osobnym pliku siatka PIII.pdf), wyrównanie ich odręcznie i odczytanie wartości czterech decyli: ˆQ 90 i ˆQ 10, co ilustruje rys. 2. 2 Skawa êsucha 1951-1997 x, m 3 ês 0 90 70 30 20 10 5 PHQ max xl, % Rys. 2. Empiryczna funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia przepływów maksymalnych rocznych (punkty połączone łamaną) z zaznaczonymi odczytanymi z wykresu decylami ˆQ 90 i ˆQ (znak ). 10 Z rys. 2 można odczytać, że wartości kwantyli ˆQ 90 i ˆQ 10 wynoszą w przybliżeniu odpowiednio 10, 30, i 240 m 3 /s. Następnie, za pomocą podanych niżej wzorów, obliczane są dwie bezwymiarowe wartości: empiryczny (kwantylowy) współczynnik zmienności ĉ v oraz pewną wartość pomocniczą ˆb : cˆ 2 10 90 v = (3) ˆ ˆ cˆ vq b = Wykorzystując znane wartości decyli i wzory (3) i (4) dostajemy ĉ v = ( ˆQ 10 ˆQ 90 )/(2 ˆQ ) = (240 30/(2 ) = 210/ = 1.05, oraz ˆb = 1.05 /( 10) = 1.05 /90 = 1.167. Wartość ˆb służy do odczytania z podanej tabeli (tabela C.1 na końcu niniejszego tekstu) wartości s wielkości zwanej współczynnikiem skośności. Następnie z kolejnej tabeli (tabela C.3) odczytuje się wartości Φ(s,p) dla zadanej wartości s i zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p. (4)
W naszym przykładzie interpolacja s dla wartości ˆb = 1.167 w tabeli C.1 daje s = 0.727. Tabela C.3 daje po interpolacji liniowej następujące wartości Φ(s = 0.725, p): p, % 99% 95% 90% 80% 70% % 30% 20% 10% 5% 3% 2% 1% Φ(s=0.725, p) -0.813-0.7235-0.6375-0.485-0.335 0 0.4575 0.8 1.3625 1.9075 2.301 2.6105 3.134 które po wstawieniu do wzoru (1): max, p dają poszukiwany rozkład teoretyczny: 3 [ 1 1.05 (0.725, p) ] Q ˆ = + Φ m /s (5) p, % 99% 95% 90% 80% 70% % 30% 20% 10% 5% 3% 2% 1% max, p m 3 /s 17.4 26.5 35.2.7 66.0 146.5 181.3 238.4 293.8 333.7 365.2 418.4 3 Można teraz nanieść otrzymane wartości max, p na wykres empirycznego prawdopodobieństwa przewyższenia. Otrzymany wynik jest przedstawiony na rys. 3. Z wykresu tego można odczytać wartości innych żądanych kwantyli; można też ocenić wizualnie jakość dopasowania. SkawaêSucha 1951-1997 x, m 3 ês 0 90 70 30 20 10 5 1 PHQ max xl, % Rys. 3. Teoretyczna funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia przepływu maksymalnego rocznego (linia gładka) obliczona metodą CUGW. Maksymalna różnica D max pomiędzy dystrybuantami (liczona w poziomie) wynosi około 10% dla Q max nieco ponad m 3 /s. Należy teraz zbadać, czy nie istnieją powody przeciwko przyjęciu, że badana zmienna losowa podlega znalezionemu rozkładowi prawdopodobieństwa. Do tego celu wytyczne CUGW (1968) i IMGW (1991) zalecają zastosowanie testu Kołmogorowa na poziomie istotności 5%. Zadanie to można wykonać w ten sposób, że znajduje się na wykresie takim jak na rys. 3 maksymalną różnicę D max pomiędzy prawdopodobieństwem empirycznym a teoretycznym (tj. różnicę w poziomie) i bada się, czy różnica ta nie przekracza wartości krytycznej tego testu. Z rys. 3 można z grubsza odczytać, że poszukiwana maksymalna różnica wynosi około 10% (dla przepływu ok. m 3 /s). Przyjmując tę wartość mamy: λ = D n = 0.1 47 = 0.686 < λ ( α = 5%) = 1.36 max A więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, przyjmujemy w takim razie, że znaleziony rozkład prawdopodobieństwa (1) ze estymowanymi parametrami jest rzeczywistym rozkładem przepływów maksymalnych rocznych Skawy w Suchej. kryt
Pozostaje jeszcze jeden problem: ocena niepewności (tzw. błędu) kwantyla Q ˆmax, p. Problem ten jest rozwiązywany za pomocą jednostronnego (lewostronnego) przedziału ufności dla rzeczywistej wartości kwantyla Q max,p (CUGW 1968, IMGW 1991): ˆ α Q = + t σ (6) ( ) max, p max, p α max, p lub dwustronnego przedziału ufności (IMGW 1991): ˆ α Q = ± t σ (7) ( ) max, p max, p α Q max, p gdzie t α jest kwantylem w rozkładzie normalnym N(0;1) rzędu odpowiednio: 1 α w (6) i 1 α/2 w (7) a σ odchylenie standardowe kwantyla Q ˆmax, p oblicza się ze wzoru: max, p σ max, p cˆ v = F( s, p) (8) Funkcja F(s,p) jest stablicowana (np. Kaczmarek 1970); jej wartości są podane w załączonej w niniejszym tekście tabeli C.2. Wartość t α w (6) i (7) wynikają odpowiednio z następujących wzorów: E Q max, p max, p P < tα = Pα = 1 α σ max, p E Q max, p max, p P < tα = Pα = 1 α σ max, p Ostatnią czynnością jest wykreślenie odpowiedniego obszaru ufności. P α 84% 90% 95% 99% t α dla (6) i (9) 0.994 1.282 1.645 2.326 t α dla (7) i (10) 1.405 1.645 1.960 2.576 n 4 (9) (10) SkawaêSucha 1951-1997 x, m 3 ês 0 90 70 30 20 10 5 1 PHQ max xl, % Rys. 4. 80% jednostronny obszar ufności (linia przerywana oznacza górną granicę) przepływów maksymalnych w roku Skawy w Suchej (metoda CUGW).
5 2. metoda 2: Pearson III, metoda największej wiarygodności Metoda ta stosuje również stosuje trójparametrowy rozkład Pearsona typu III, który zapisany w postaci jawnej ma np. taką postać: α fγ x = x e x > > Γ( λ) λ λ 1 α ( x ) ( ;, α, λ) ( ),, α, λ 0 Dolne ograniczenie jest szacowane np. z wykresu (jak na rys. 2) a pozostałe dwa parametry, tj. α i λ estymowane metodą największej wiarygodności. Jedna z postaci tej metody, najłatwiejsza do stosowania, ma postać gdzie: Aλ = ln( x ) ln( x ) ˆ 1 4A λ 1 1 4A + + λ 3 λ (11) (12) ˆ λ ˆ α = (13) x Dla analizowanych danych, przyjmując znalezioną już wartość dolnego ograniczenia = 10 m 3 /s, dostajemy: x = 116.22, ln( x ) = 4.6655, ln( x ) = 4.3336, A λ = 0.3319, ˆλ = 1.6577 i ˆα = 0.0156. Mając te wartości i korzystając z Excela (bliższe informacje w osobnym pliku Excel- RozkłCiagłe1.pdf), łatwo dostajemy dowolną wartość przepływu Q max,p. Na przykład jak to pokazuje rysunek poniżej dla prawdopodobieństwa przewyższenia p = 5% Excel daje wartość Q max,5% = 267.68 m 3 /s, skąd dostajemy Q max,5% = 277.68 m 3 /s. Należy koniecznie zauważyć, że wartość ˆλ = 1.6577 wpisujemy w ramkę Alfa a wartość ˆα = 0.0156 wpisujemy ramkę Beta. Inne przykładowe wyniki uzyskane za pomocą Excela pokazane są niżej.
6 Utworzoną ten sposób zależność Q max,p od p dla metody największej wiarygodności została na rys. 5 poniżej porównana z zależnością z rys. 3. SkawaêSucha 1951-1997 x, m 3 ês 0 90 70 30 20 10 5 1 0.5 PHQ max xl, % Rys. 5. Teoretyczna funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia przepływu maksymalnego rocznego (linia gruba przerywana) obliczona metodą CUGW i teoretyczna funkcja prawdopodobieństwa przewyższenia przepływu maksymalnego rocznego (linia cienka przerywana) obliczona metodą największej wiarygodności.
7 Tabela C.1. Wartości kwantylowego współczynnika skośności s w funkcji wielkości b (4) b s b s b s b s b s b s 0.01 0.007 0.55 0.361 1.9 1.057 3.7 1.470 6.2 1.679 17 1.882 0.02 0.013 0.60 0.393 2.0 1.093 3.8 1.483 6.4 1.689 18 1.889 0.03 0.020 0.65 0.424 2.1 1.126 3.9 1.495 6.6 1.698 19 1.895 0.04 0.027 0.70 0.455 2.2 1.158 3.2 1.392 6.8 1.707 20 1.900 0.05 0.033 0.75 0.486 2.3 1.188 3.4 1.426 7.0 1.715 21 1.905 0.06 0.040 0.80 0.517 2.4 1.217 3.6 1.456 7.2 1.723 22 1.909 0.07 0.047 0.85 0.547 2.5 1.243 3.8 1.483 7.4 1.730 23 1.913 0.08 0.053 0.90 0.576 2.6 1.268 4.0 1.7 7.6 1.737 24 1.917 0.09 0.060 0.95 0.605 2.7 1.292 4.2 1.530 7.8 1.744 25 1.920 0.10 0.067 1.0 0.634 2.8 1.314 4.4 1.551 8 1.7 26 1.923 0.15 0. 1.1 0.690 2.9 1.336 4.6 1.570 9 1.778 27 1.926 0.20 0.133 1.2 0.744 3.0 1.356 4.8 1.587 10 1.800 28 1.929 0.25 0.166 1.3 0.795 3.1 1.375 5.0 1.603 11 1.818 29 1.931 0.30 0.199 1.4 0.845 3.2 1.392 5.2 1.618 12 1.833 30 1.933 0.35 0.232 1.5 0.892 3.3 1.410 5.4 1.632 13 1.846 35 1.943 0.40 0.265 1.6 0.937 3.4 1.426 5.6 1.645 14 1.857 40 1.9 0.45 0.297 1.7 0.979 3.5 1.441 5.8 1.657 15 1.867 1.960 0. 0.329 1.8 1.019 3.6 1.456 6.0 1.668 16 1.875 75 1.973 1.980 Tabela C.2. Wartości funkcji F(s,p) dla zadanych wartości s i p wymagane do stosowania wzoru (8). s p% 10 5 1 0.1 0.01 0.0 0.978 1.334 1.909 3.735 6.848 10.233 0.1 0.978 1.478 2.119 4.080 7.390 10.981 0.2 0.978 1.622 2.329 4.426 7.933 11.730 0.3 0.978 1.767 2.543 4.794 8.529 12.566 0.4 0.978 1.912 2.758 5.162 9.126 13.402 0.5 0.978 2.056 2.970 5.531 9.725 14.243 0.6 0.978 2. 3.183 5.900 10.324 15.084 0.7 0.978 2.344 3.402 6.292 10.976 16.008 0.8 0.978 2.489 3.621 6.684 11.629 16.933 0.9 0.978 2.633 3.836 7.066 12.260 17.818 1.0 0.978 2.777 4.052 7.449 12.892 18.704 1.1 0.978 2.921 4.268 7.832 13.520 19.583 1.2 0.978 3.066 4.484 8.215 14.148 20.463 1.3 0.978 3.210 4.699 8.598 14.775 21.339 1.4 0.973 3.355 4.915 8.981 15.403 22.215 1.5 0.978 3.499 5.130 9.361 16.022 23.080 1.6 0.978 3.643 5.345 9.741 16.642 23.945 1.7 0.978 3.733 5.561 10.122 17.264 24.809 1.8 0.978 3.903 5.777 10.4. 17.887 25.674 1.9 0.978 4.077 5.992 10.883 18.5 26.533 2.0 0.978 4.221 6.207 11.263 19.123 27.393
8 Tabela C.3. Wartości funkcji Φ(s,p) dla zadanych wartości s i p s p 0.001 0.002 0.005 0.010 0.020 0.030 0.0 0. 0. 0. 0.0 0.700 0.800 0.900 0.9 0.990 0.05 2.558 2.373 2.112 1.898 1.667 1.522 1.325 1.025 0.667 0.413 0.000-0.405-0.646-0.975-1.242-1.734 0.10 2.709 2.3 2.216 1.983 1.732 1.576 1.366 1.0 0.678 0.417 0.000-0.401-0.635-0.9-1.202-1.653 0.15 2.863 2.636 2.321 2.068 1.799 1.631 1.408 1.075 0.689 0.421 0.000-0.396-0.624-0.925-1.161-1.574 0.20 3.019 2.771 2.428 2.155 1.865 1.687 1.4 1. 0.699 0.425 0.000-0.392-0.613-0.900-1.121-1.497 0.25 3.179 2.909 2.537 2.242 1.933 1.743 1.492 1.125 0.709 0.429 0.000-0.387-0.601-0.875-1.081-1.421 0.30 3.341 3.048 2.647 2.331 2.001 1.800 1.535 1.1 0.719 0.432 0.000-0.382-0.590-0.8-1.042-1.348 0.35 3.7 3.190 2.759 2.421 2.070 1.857 1.578 1.175 0.729 0.436 0.000-0.377-0.578-0.825-1.002-1.276 0.40 3.675 3.334 2.872 2.512 2.139 1.914 1.621 1. 0.739 0.439 0.000-0.372-0.566-0.800-0.964-1.206 0.45 3.845 3.480 2.987 2.604 2.210 1.972 1.664 1.225 0.749 0.442 0.000-0.367-0.554-0.775-0.925-1.139 0. 4.019 3.629 3.104 2.697 2.281 2.031 1.708 1.2 0.759 0.446 0.000-0.361-0.542-0.7-0.887-1.073 0.55 4.195 3.780 3.222 2.792 2.352 2.090 1.751 1.275 0.768 0.449 0.000-0.356-0.530-0.725-0.8-1.011 0.60 4.375 3.934 3.342 2.888 2.425 2.149 1.795 1. 0.778 0.451 0.000-0.3-0.517-0.700-0.813-0.951 0.65 4.558 4.090 3.465 2.985 2.498 2.209 1.840 1.325 0.787 0.454 0.000-0.344-0.5-0.675-0.777-0.893 0.70 4.744 4.249 3.589 3.084 2.573 2.270 1.885 1.3 0.796 0.456 0.000-0.338-0.492-0.6-0.741-0.839 0.75 4.935 4.411 3.715 3.184 2.648 2.332 1.930 1.375 0.804 0.459 0.000-0.332-0.478-0.625-0.706-0.787 0.80 5.129 4.577 3.844 3.286 2.725 2.394 1.975 1. 0.813 0.461 0.000-0.325-0.465-0.600-0.671-0.738 0.85 5.328 4.746 3.975 3.390 2.803 2.458 2.021 1.425 0.821 0.463 0.000-0.318-0.451-0.575-0.637-0.691 0.90 5.532 4.920 4.110 3.496 2.882 2.522 2.068 1.4 0.829 0.464 0.000-0.311-0.437-0.5-0.604-0.647 0.95 5.742 5.098 4.247 3.605 2.963 2.587 2.115 1.475 0.837 0.465 0.000-0.303-0.422-0.525-0.571-0.605 1.00 5.958 5.281 4.389 3.716 3.045 2.654 2.162 1.0 0.845 0.466 0.000-0.295-0.407-0.0-0.539-0.566 1.05 6.180 5.470 4.534 3.830 3.129 2.722 2.211 1.525 0.852 0.467 0.000-0.287-0.392-0.475-0.8-0.528 1.10 6.411 5.666 4.685 3.947 3.216 2.791 2.260 1.5 0.858 0.467 0.000-0.278-0.376-0.4-0.478-0.493 1.15 6.651 5.868 4.840 4.069 3.305 2.862 2.310 1.575 0.864 0.467 0.000-0.269-0.359-0.425-0.448-0.459 1.20 6.902 6.080 5.002 4.194 3.396 2.935 2.361 1.600 0.870 0.466 0.000-0.259-0.343-0. -0.418-0.427 1.25 7.164 6.301 5.170 4.325 3.491 3.010 2.413 1.625 0.875 0.465 0.000-0.249-0.325-0.375-0.390-0.395 1.30 7.439 6.533 5.347 4.461 3.589 3.088 2.467 1.6 0.880 0.463 0.000-0.239-0.308-0.3-0.361-0.365 1.35 7.731 6.778 5.532 4.604 3.692 3.168 2.522 1.675 0.883 0.460 0.000-0.227-0.289-0.325-0.334-0.336 1.40 8.042 7.038 5.729 4.755 3.800 3.253 2.578 1.700 0.886 0.457 0.000-0.215-0.271-0. -0.306-0.308 1.45 8.375 7.317 5.939 4.915 3.914 3.341 2.637 1.725 0.887 0.452 0.000-0.202-0.251-0.275-0.280-0.281 1. 8.735 7.618 6.164 5.087 4.035 3.434 2.699 1.7 0.888 0.447 0.000-0.189-0.231-0.2-0.253-0.254 1.55 9.129 7.947 6.410 5.272 4.165 3.534 2.763 1.775 0.887 0.439 0.000-0.175-0.210-0.225-0.227-0.228 1.60 9.565 8.309 6.679 5.476 4.305 3.641 2.832 1.800 0.883 0.431 0.000-0.160-0.189-0. -0.201-0.202 1.65 10.056 8.716 6.981 5.701 4.461 3.758 2.905 1.825 0.878 0.420 0.000-0.144-0.167-0.175-0.176-0.176 1.70 10.619 9.183 7.324 5.957 4.635 3.889 2.986 1.8 0.870 0.407 0.000-0.126-0.145-0.1-0.1-0.151 1.75 11.284 9.731 7.726 6.254 4.835 4.037 3.075 1.875 0.857 0.390 0.000-0.108-0.122-0.125-0.125-0.125 1.80 12.099 10.402 8.214 6.612 5.074 4.212 3.178 1.900 0.839 0.368 0.000-0.089-0.098-0. -0. -0. 1.85 13.160 11.272 8.843 7.071 5.375 4.429 3.302 1.925 0.812 0.340 0.000-0.069-0.074-0.075-0.075-0.075 1.90 14.687 12.519 9.737 7.716 5.793 4.727 3.465 1.9 0.770 0.301 0.000-0.047-0.0-0.0-0.0-0.0 1.95 17.423 14.742 11.316 8.842 6.6 5.225 3.726 1.975 0.694 0.239 0.000-0.024-0.025-0.025-0.025-0.025 1.999 38.410 31.548 22.917 16.840 11.310 8.412 5.228 1.999 0.347 0.053 0.000 0.000-0.001-0.001-0.001-0.001
9 Literatura CUGW, 1968, Zasady obliczania największych przepływów rocznych o określonym prawdopodobieństwie pojawiania się przy projektowaniu obiektów inżynierskich i urządzeń technicznych gospodarki wodnej w zakresie budownictwa hydrotechnicznego, Załącznik do Zarządzenia nr 26 Prezesa CUGW z dnia 9 lipca 1968 r. (Dz. Bud. nr 9 poz. 42), Wydawnictwo Katalogów i Cenników, Warszawa 1973. IMGW 1991: Biernat B., Bogdanowicz E., Czarnecka H., Dobrzyńska I., Fal B., Karwowski, S., Skorupska B., Stachý J. Zasady obliczania maksymalnych rocznych przepływów rzek polskich o określonym prawdopodobieństwie pojawiania się, IMGW., Seria: Instrukcje i podręczniki, Warszawa Kaczmarek Z., 1960a, Obliczanie parametrów rozkładu Fostera przy pomocy decyli, Gosp. Wodna., XX (2), 77 81. Kaczmarek Z., 1960b, Przedział ufności jako miara dokładności oszacowania prawdopodobnych przepływów powodziowych, Wiad. Sł. Hydrol., VII (4), 133 185. Kaczmarek Z.: Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii, WKiŁ, Warszawa 1970. Ozga-Zielińska M., Brzeziński J., Ozga-Zieliński B.: 1999, Zasady obliczania największych przepływów rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia przy projektowaniu obiektów budownictwa hydrotechnicznego. Długie ciągi pomiarowe przepływów, IMGW, Materiały Badawcze, Seria Hydrologia i Oceanologia, 27.