Grafy podstawowe pojęcia

71 Grafy podstawowe pojęcia Graf jest najbardziej złożoną strukturą dynamiczną. W przeciwieństwie do drzewa i listy, które są szczególnymi przypadkami grafów, nie nakładamy tu żadnych ograniczeń, jeśli chodzi o łuki łączące węzły grafu, mogą one występować w dowolnej ilości, łącząc poszczególne węzły w dowolny sposób. Dodatkowo w grafach dopuszczamy przetwarzanie (dodawanie i usuwanie) łuków, niezależnie od przetwarzania węzłów. Wszystko to stwarza duże problemy, jeśli chodzi o reprezentacje grafów w pamięci komputera. Istnieje wiele reprezentacji o różniących się własnościach. Przykładowe zastosowania grafów: analiza sieci elektrycznych, ale też sieci komputerowych, zagadnienia segmentacji programów i wieloprzetwarzania, zagadnienia planowania w badaniach operacyjnych, identyfikacja struktur molekularnych w chemii organicznej. 1 2 3 6 5 4 Rys. 42. Przykładowy graf

72 Podstawowe pojęcia: 1. Graf, w którym wszystkie krawędzie są krawędziami skierowanymi, nazywamy grafem skierowanym, albo zorientowanym, w przeciwnym przypadku grafem nieskierowanym. 2. Ścieżką w grafie nazywać będziemy ciąg możliwych do przejścia, wierzchołków, np. (2, 3, 4). 3. Cyklem będzie ścieżka, zaczynająca się i kończąca tym samym wierzchołkiem, np. (2, 3, 4, 2). 4. Graf nie zawierający żadnych cykli nazywać będziemy grafem acyklicznym, w przeciwnym przypadku grafem cyklicznym. 5. Kolejną, ważną z punktu widzenia wielu algorytmów grafowych, jest spójność grafu. Oto definicje: Graf nieskierowany nazywać będziemy spójnym, jeśli między dwoma dowolnymi węzłami istnieje przynajmniej jedna, łącząca je ścieżka. W przeciwnym przypadku graf nieskierowany nazywać będziemy niespójnym. Graf skierowany nazywać będziemy spójnym, jeśli po odrzuceniu skierowania, między dwoma dowolnymi węzłami istnieje przynajmniej jedna, łącząca je ścieżka.

73 Graf skierowany nazywać będziemy silnie spójnym, jeśli między dwoma dowolnymi węzłami istnieje przynajmniej jedna. łącząca je ścieżka. Przykładowy graf skierowany z rys. 42, po odrzuceniu węzła z etykietą 6, jest grafem spójnym, natomiast nie jest grafem silnie spójnym brak, na przykład, ścieżki od węzła 5 do 3. 6. Graf, w którym każdej krawędzi przypisano pewną wartość (wagę), nazywać będziemy grafem ważonym. Waga może reprezentować, na przykład, koszt przejścia między dwoma węzłami. 7. Grafem płaskim nazywać będziemy narysowany na płaszczyźnie graf, w którym między dwoma dowolnymi wierzchołkami narysować można przynajmniej jedną krawędź. Przykładowy graf z rys. 42 jest takim grafem płaskim. Grafy metody reprezentacji w pamięci Poniżej zostaną przedstawione trzy, najczęściej spotykane, najważniejsze reprezentacje grafów. Macierz sąsiedztwa Macierz sąsiedztwa (adjacency matrix) jest reprezentacją tablicową, statyczną. Jej zaletą jest szybki, bezpośredni dostęp do krawędzi (a więc możliwość łatwego ich przetwarzania), wielką wadą natomiast, wynikający ze statyczności - brak możliwości łatwego przetwarzania (dodawania lub usuwania) węzłów.

74 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 Rys. 43. Reprezentacja przykładowego grafu, którego model przedstawiono na rys. 42, w postaci bitowej macierzy sąsiedztwa Oznaczmy przez n ilość węzłów grafu, oraz przez m ilość jego krawędzi. Bitowa macierz sąsiedztwa będzie macierzą kwadratową o rozmiarach n x n zawierającą jedynki na skrzyżowaniu odpowiednich wierszy i kolumn (dla reprezentowania krawędzi) i zera w pozostałych miejscach. Ponieważ zajętość pamięci w tej reprezentacji zależy tylko od ilości węzłów (jest proporcjonalna do n 2 ), reprezentacja dobrze nadaje się do przechowywania informacji o grafach gęstych, dla których (n/m) << 1. W reprezentacji grafu nieskierowanego w postaci macierzy sąsiedztwa jedynki występują symetrycznie względem głównej przekątnej, dlatego też zwykle przechowuje się tylko informacje zawarte nad, lub pod główną przekątną, co pozwala zmniejszyć zajętość pamięci prawie o połowę, kosztem niewielkiego wydłużenia czasu dostępu. Lista krawędzi Lista krawędzi, jak sama nazwa wskazuje, przechowuje informacje tylko o krawędziach, podobnie zresztą jak macierz

75 sąsiedztwa. Jest to jednak struktura dynamiczna, jej rozmiary są wyznaczone przez rzeczywistą ilość krawędzi. 1 2 2 2 3 4 4 2 2 3 5 4 2 5 Rys. 44. Reprezentacja przykładowego grafu, przedstawionego na rys. 42, w postaci listy krawędzi. Każdy z elementów listy zawiera etykiety krawędzi: węzła wyjściowego (górny wiersz), oraz docelowego (dolny wiersz),. Oto jak wyglądają zalety i wady tej reprezentacji, pokazane w sposób skondensowany: zajętość pamięci zależy tylko od ilości krawędzi i jest proporcjonalna do m, reprezentacja nadaje się więc wybitnie do przechowywania informacji o grafach rzadkich, dla których (n/m) >>1, dodawanie, lub usuwanie węzłów jest możliwe, pociąga za sobą jedynie konieczność modyfikacji listy krawędzi (usunięcie elementów listy krawędzi odpowiadających krawędziom wychodzącym i dochodzącym do usuwanego węzła), istnieje możliwość reprezentacji krawędzi zapętlonych i równoległych (każdej krawędzi odpowiada bowiem odrębny element listy krawędzi). Podobnie - dodając do elementów listy krawędzi pole, przechowujące wagę krawędzi, można reprezentować grafy ważone, zajętość pamięci dla grafów nieskierowanych wzrasta natomiast dwukrotnie w stosunku do grafów skierowanych, trzeba bowiem w liście krawędzi reprezentować możliwość poruszania się w obu kierunkach miedzy węzłami grafu.

76 Lista incydencji Najbardziej uniwersalną, o najlepszych własnościach, wydaje się być reprezentacja, którą nazwiemy listą incydencji. Jest to struktura w pełni dynamiczna, z możliwością przechowywania (i przetwarzania) w jednej strukturze wszystkich informacji, dotyczących zarówno krawędzi, jak i węzłów. Za taką uniwersalność płacimy jednak względnie dużym stopniem skomplikowania struktury, z czym jednak nie musi wiązać się, jak zobaczymy, skomplikowanie algorytmów. W strukturze, przechowującej pełną informację o grafie, występują dwa rodzaje rekordów. Zdefiniujmy najpierw postać rekordów, przechowujących informacje dotyczące węzłów grafu: struct VERT { int klucz; int old; ELEM * eref; VERT * nextv; }; Zawierają one, oprócz etykiety węzła o nazwie klucz, wskazanie eref do początku listy rekordów, opisujących krawędzie wychodzące z danego węzła (rekordy odpowiadające krawędziom są typu ELEM), oraz wskazanie nextv do następnego węzła w liście węzłów. Znaczenie pola old zostanie wyjaśnione później. Rekordy drugiego rodzaju przechowują informacje dotyczące krawędzi. Są one typu:

77 struct ELEM { VERT * vref; ELEM * nexte; }; gdzie: vref jest wskazaniem węzła, do którego wiedzie dana krawędź, nexte jest wskazaniem kolejnego rekordu w liście krawędzi wychodzących z tego samego węzła. Poniższy rysunek przedstawia początkowa część struktury przykładowego grafu z rys. 42 1 graf ptr k old do węzła 3 do węzła 5 2 old Rys. 45 Reprezentacja części przykładowego grafu w postaci listy incydencji Oto cechy tej reprezentacji: zajętość pamięci zależy w równym stopniu od ilości węzłów grafu, jak i od ilości jego krawędzi, i jest proporcjonalna do sumy ( n + m ), taka reprezentacja nadaje się więc do przechowywania dowolnych grafów, o ile rozmiary grafu nie są zbyt duże, wtedy bowiem zaczyna odgrywać rolę czas dostępu sekwencyjnego,

78 dodawanie, lub usuwanie zarówno węzłów, jak i krawędzi, jest możliwe i łatwe, zajętość pamięci dla grafów nieskierowanych wzrasta i jest proporcjonalna do ( n + 2 * m ), dwukrotnie bowiem wzrasta ilość rekordów reprezentujących krawędzie, najważniejszą jednak zaletą tej reprezentacji jest jej listowy charakter (w istocie jest to lista list), co daje szansę stosowania prostych algorytmów obsługi, i to zarówno rekurencyjnych, jak też iteracyjnych. Algorytm szukania w głąb dla grafu Algorytm szukania w głąb jest podstawowym algorytmem grafowym. Jego konstrukcja oparta jest o schemat ogólny tak zwanych algorytmów z powrotami, zwanych niekiedy wyszukiwaniem wyczerpującym. Schemat ten zostanie bardziej szczegółowo omówiony w dalszej części wykładu. Poza tym, algorytm szukania w głąb jest kolejnym przykładem rekurencyjnego algorytmu typu dziel i zwyciężaj. Jego zasada została już omówiona przy okazji algorytmu sortowania tablic QuickSort. Poniżej przedstawiono pełną postać algorytmu szukania w głąb dla grafu w formie rekurencyjnej funkcji, zapisanej w notacji C/C++ i wykorzystującej podane wcześniej definicje struktur. Przy okazji zauważmy, że cechą charakterystyczną tych algorytmów jest umieszczona wewnątrz ciała funkcji pętla iteracyjna, zawierająca rekurencyjne wywołanie.

79 Załóżmy, że podobnie jak w drzewie binarnym, chcemy wykonać pewną operację Q(ptr) na wszystkich węzłach zupełnie dowolnego grafu skierowanego. W tym celu należy dokonać wywołania SEARCH ( graf ); niżej zdefiniowanej rekurencyjnej funkcji void SEARCH( VERT * ptr) { if ( not old ) // 1 { ptr old =1; Q( ptr ); // 2 ELEM * k = ptr eref; // 3 while (k) // 4 { SEARCH( k vref ); // 5 k = k nexte; // 6 } } } Szczegółowa analiza działania tego algorytmu wykaże, że odwiedzenie wszystkich węzłów grafu zawsze powiedzie się, jeśli będzie to graf silnie spójny, w przeciwnym przypadku, może się nie powieść. W jaki sposób działa ten algorytm? Kolejne węzły są wybierane z listy krawędzi danego węzła (linia 5). Jeśli wybrany węzeł nie był jeszcze odwiedzony (linia 1), zaznaczamy jego odwiedzenie wpisując jedynkę w jego pole old i wykonując na nim operację Q (linia 2), a następnie zabieramy się do przeglądania jego listy krawędzi (linie 3 i 4), nie kończąc przeglądania listy krawędzi węzła poprzedniego (sic!).

80 W ten sposób poruszamy się w głąb grafu. Po zakończeniu przeglądania jednak każdej listy krawędzi, wycofujemy się rekurencyjnie, powracając do przeglądania listy incydencji węzła poprzedniego. Zauważmy, że kolejność występowania węzłów w liście węzłów nie ma żadnego znaczenia. Dalej powiązanie węzłów w listę wydaje się zbyteczne (nie korzystaliśmy przecież ze wskaźnika nextv). Ale to tylko pozór. Jest ono konieczne, ponieważ w trakcie przetwarzania grafu może, po kolejnej operacji, okazać się, że do któregoś z węzłów nie dochodzi żadna krawędź, ani żadna z niego nie wychodzić (węzeł o etykiecie 6 w naszym przykładowym grafie), albo też po prostu graf przestanie być grafem silnie spójnym (nawet jeśli przedtem był). Sytuacje takie powodują omijanie niektórych węzłów w trakcie rekurencyjnego wywoływania algorytmu. Dzięki utrzymywaniu wszystkich węzłów grafu w liście węzłów możemy w niżej podany sposób VERT * k = graf; while ( k ) { SEARCH( k ); k = k nextv; } zapobiec omijaniu niektórych węzłów. Nie należy jednak, przed każdym cyklem przeglądania grafu, zapominać o wyzerowaniu pola old. Algorytm szukania w głąb dla grafu, mimo swoich skromnych rozmiarów (tylko 6 linii poleceń!), posiada wielką siłę i możliwości. Na jego kanwie można zaproponować wiele algorytmów obsługujących grafy. Oto przykłady:

81 wyszukiwanie węzła o zadanych cechach, wyszukiwanie węzła o najmniejszej (największej) wartości klucza, wyszukiwanie najkrótszej ścieżki do węzła o zadanych cechach, wyszukiwanie wszystkich ścieżek do węzła o zadanych cechach, badanie cykliczności grafu, badania spójności i silnej spójności grafu, badanie płaskości grafu, itd. Poza tym, lista incydencji umożliwia łatwe, dynamiczne dostawianie i usuwanie węzłów grafu. Wszystko to uzyskujemy dzięki stosowaniu algorytmów rekurencyjnych do rekurencyjnych struktur danych. Zadania do samodzielnego rozwiązania: 1. Wykaż, że metoda preorder dla drzewa binarnego jest szczególnym przypadkiem algorytmu szukania w głąb dla grafu, gdy ten ostatni degeneruje się do takiego drzewa. 2. Jaka będzie kolejność wykonywania wybranej operacji w poniższym grafie, po wywołaniu procedury szukania w głąb, począwszy od węzła o etykiecie 7? Rozważ wszelkie możliwe rozwiązania. 3. Dodaj minimalną ilość krawędzi do poniższego grafu tak, aby graf ten stał się grafem silnie spójnym.

82 graf 3 9 7 1 Kodowanie mieszające Opisana poniżej metoda przechowywania i wyszukiwania elementów będzie miała praktyczny sens, jeśli zbiór potencjalnych kluczy identyfikujących te elementy jest zbiorem o bardzo dużej liczności. W takich sytuacjach bowiem omawiane dotychczas metody, łącznie z drzewem binarnych poszukiwań, nie zapewnią nam dostatecznie dużej efektywności algorytmów wyszukiwania. Dla przykładu, wspomniane drzewo binarnych poszukiwań, stanie się drzewem silnie nie wyważonym i efektywność wyszukiwania w takim drzewie zbliży się do efektywności wyszukiwania liniowego w liście liniowej. Wyobraźmy sobie, że w pewnym systemie używa się haseł o długości 10 liter wykorzystując alfabet języka polskiego. Wszystkich możliwych haseł (być może potencjalnych kluczy użytkowników tego systemu) będzie 33 10, to jest około 1.5 * 10 15 haseł. Jeżeli liczba użytkowników nie jest zbyt duża, opłacalnym będzie zastosowanie systemu, który najpierw dokona wstępnej selekcji tych użytkowników, szufladkując każdego z nich do odrębnych przegródek.

83 Zadanie szufladkowania może być wykonane za pomocą metody, zwanej kodowaniem mieszającym, lub transformacją kluczową. W literaturze można też spotkać terminy mieszanie liniowe, lub haszowanie dla określenia opisywanej teraz metody, lub jej odmian. Ponieważ jest bardzo wiele różnych zastosowań tej metody, jak również wiele jej odmian, najpierw opiszemy problem możliwie ogólnie a następnie omówimy jedną z jej implementacji, opartej o struktury listowe. Niech U będzie pewnym uniwersum, tj. dowolnym, skończonym zbiorem (na przykład zbiorem haseł) o dużej liczności. Przez A i U oznaczmy dowolny i-ty podzbiór (tzw. katalog) zbioru U, natomiast przez m << U oznaczmy liczbę tych katalogów. Wszystkie katalogi są zbiorami rozłącznymi. Nie muszą one zawierać elementów uniwersum U. Natomiast dowolny element x U, jeśli się pojawi, musi być zakwalifikowany w sposób jednoznaczny do jednego i tylko jednego katalogu. Przez h(x) oznaczmy funkcję o szczególnych własnościach (tak zwaną funkcję transformującą lub funkcję haszującą), której zadaniem będzie przydzielanie w sposób jednoznaczny dowolnemu elementowi x U określonego katalogu A i. Będzie to więc funkcja h: U { 1, 2, 3,..., m } z uniwersum U w zbiór liczb naturalnych, będących numerami katalogów.

84 Funkcja haszująca powinna spełniać dwa podstawowe warunki: - przyjmować wartości ze zbioru { 1, 2, 3,..., m } w sposób możliwie równomierny, - koszt liczenia tej funkcji musi być stały, to jest niezależny od x U i możliwie najniższy. Pierwszy z tych warunków sprowadza się do żądania, aby dla każdego x U prawdopodobieństwo otrzymania określonej wartości i { 1, 2, 3,..., m } było mniej więcej stałe, to jest niezależne od samej wartości i. Cała trudność w efektywnym zastosowaniu kodowania mieszającego polega na znalezieniu odpowiedniej do danego problemu, a jednocześnie spełniającej oba postawione warunki, funkcji haszującej. Poniższy rysunek przedstawia ideę implementacji metody kodowania mieszającego z wykorzystaniem list liniowych. 1 2 H Null dobrze całość Null Null Null kot Null Null m Null Rys. 46. Kodowanie mieszające wykorzystujące listy liniowe Tablica H, indeksowana numerami katalogów, przechowuje wskaźniki do list liniowych z elementami uniwersum U.

85 Wstawienie nowego elementu do tej struktury sprowadza się do obliczenia, za pomocą funkcji haszującej, wartości indeksu i { 1, 2, 3,..., m }, a następnie umieszczenia tego elementu w liście wskazywanej przez element tablicy H[i]. Podobnie przebiega wyszukanie elementu o kluczu równym zadanej wartości x. Najpierw oblicza się przy pomocy funkcji haszującej wartość i a następnie przegląda listę wskazywaną przez H[i] w celu ostatecznego wyszukania elementu. W celu przyspieszenia wyszukiwania warto jest poszczególne listy utrzymywać w stanie uporządkowania. Algorytmy z powrotami Algorytm szukania w głąb dla grafu jest typowym przykładem szerszej klasy algorytmów, zwanych algorytmami z powrotami lub wyszukiwaniem wyczerpującym. Są to algorytmy rekurencyjne, które w swoim ciele zawierają, zamiast warunkowych wywołań rekurencyjnych, pętlę iteracyjną, z której wnętrza następują dopiero wywołania rekurencyjne. Pojedyncze wywołanie algorytmu rekurencyjnego może więc spowodować ciąg kolejnych wywołań rekurencyjnych (wszystkie wywołania z tego samego poziomu) nadzorowanych przez pętlę iteracyjną. Pętla ta musi być tak skonstruowana, aby dla każdego dopuszczalnego zestawu danych zapewnić spełnienie w pewnym momencie warunku stopu, przerywając ten ciąg wywołań. Algorytmy z powrotami wykorzystywane są nie tylko do rozwiązywania problemów, dających się łatwo przedstawić w postaci grafu, ale w szeregu innych dziedzinach wiążących się ściśle z informatyką, takich jak: teoria automatów,

86 projektowanie i analiza sieciowych systemów operacyjnych, przetwarzanie równoległe, wykorzystanie logiki w programowaniu, problemy kodowania, czy wreszcie gry komputerowe. Klasa algorytmów z powrotami opisana została już dawno opisana w literaturze, gdzie została zilustrowana szeregiem klasycznych problemów, takich jak: szukanie wyjścia z labiryntu, problem ośmiu hetmanów, droga skoczka szachowego, problem komiwojażera, problem doboru, problem plecakowy. Klasę algorytmów z powrotami omówimy na przykładzie problemu szukania wyjścia z labiryntu. 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 Rys. 47 Labirynt zawierający 25 ponumerowanych pól z widocznymi przegrodami, uniemożliwiającymi przejście między niektórymi polami W labiryncie, przedstawionym na rys. 47 można przechodzić między sąsiednimi polami po liniach prostych. Zadanie polega na szukaniu drogi między dwoma dowolnymi polami labiryntu. Tak postawiony problem trzeba jednak uszczegółowić, można bowiem szukać odpowiedzi na następujące pytania: - czy taka droga w ogóle istnieje? - jeśli tak, to czy takich różnych dróg jest więcej? - jeśli tak, to która z nich jest najkrótsza?

87 Mówiąc ogólnie metoda powrotów polega na próbach rozszerzenia pewnego rozwiązania częściowego. W każdym kroku, jeśli rozszerzenie aktualnego rozwiązania częściowego nie jest możliwe, powraca się do krótszego rozwiązania częściowego i ponownie próbuje się je rozszerzyć. Tak więc można szukać drogi miedzy dwoma dowolnymi polami labiryntu kierując się następującymi zasadami: 1. z danego pola mogę zawsze wybrać dopuszczalne, nie badaną jeszcze pole sąsiednie, 2. jeśli będąc w określonym polu stwierdzę, że nie istnieje dopuszczalne, nie badana jeszcze pole sąsiednie, zmuszony jestem cofnąć się na pole, z którego wykonałem poprzedni ruch i próbować z tego pola realizować punkt 1. Znane są dwie, różne reprezentacje pozwalające zaimplementować przedstawioną wyżej ideę algorytmu z powrotami: 1. implementacja oparta na zbiorach, 2. implementacja w postaci drzewa. Implementacja algorytmu z powrotami oparta na zbiorach Niech A i będzie zbiorem kandydatów związanych z punktem i (w naszym przypadku z polem labiryntu o numerze i). Zbiór ograniczeń, związanych z punktem i oznaczmy przez O i. Wtedy S i = A i - O i jest zbiorem dopuszczalnych kandydatów, związanych z punktem i.

88 Dla przykładowego pola o numerze 13 labiryntu, przestawionego na rys. 47 będzie: A 13 = { 8, 12, 14, 18} O 13 = { 8 } S 13 = { 12, 14, 18} Na ogół zbiory A i można generować automatycznie. Tak też jest i w naszym przykładowym labiryncie są to dwu-, trzylub czteroelementowe zbiory o wartościach różniących się o 1, lub o 5 od wartości i. Natomiast zbiory O i są albo z góry zadane i na ogół nie zmieniają się w trakcie realizacji algorytmu, albo (w przypadku bardziej ogólnym) są generowane dla punktu i (a często i dla najbliższego jego otoczenia), na bieżąco w trakcie realizacji algorytmu. Tak się dzieje, na przykład, w większości zręcznościowych gier komputerowych. Rozwiązaniem częściowym jest częściowy wektor rozwiązań (a 1, a 2,..., a k ), zawierający nie powtarzające się numery punktów i reprezentujący częściową, dopuszczalną drogę z punktu wyjściowego a 1 do punktu a k. Przykładem rozwiązania częściowego dla rozważanego labiryntu może być wektor ( 1, 2, 7, 12, 13, 14, 19, 20 ). Próba rozszerzenia rozwiązania częściowego polegać będzie na wyborze ze zbioru S k kolejnego kandydata, rozszerzając rozwiązanie częściowe do (a 1, a 2,..., a k, a k+1 ) a następnie sprawdzenie, czy w ten sposób osiągamy rozwiązanie końcowe ( w naszym przykładzie dochodzimy do pola docelowego labiryntu ). Jeśli nie kontynuujemy rozszerzanie rozwiązania częściowego wybierając kolejnego kandydata ze zbioru S k+1. Dla zaznaczenia, że przejście z punktu a k, do a k+1 miało już miejsce i w przyszłości nie powinno już być badane, usuwamy ze zbioru S k kandydata S k+1.

89 Takie poruszanie się w głąb labiryntu musimy przerwać, jeśli napotkamy pusty zbiór S k. Wtedy algorytm usuwa z rozwiązania częściowego kandydata a k, wybierając kolejnego kandydata ze zbioru S k-1. Gdyby i ten zbiór okazał się pusty, trzeba usunąć z rozwiązania częściowego punkt a k-1, próbując rozszerzyć to rozwiązanie punktem ze zbioru S k-2. Poniżej przedstawiono w pseudokodzie ogólną postać algorytmu z powrotami. Przystosowanie algorytmu, zapisanego w pseudokodzie do rozwiązywania pewnych konkretnych problemów polegać będzie na uszczegółowieniu sformułowań zapisanych w języku naturalnym i ich zapisie na poziomie języka programowania. Przedtem należy wybrać oczywiście odpowiednią reprezentację danych. void próbuj( ) { zapoczątkuj wybieranie kandydatów; do { wybierz następnego kandydata; if (dopuszczalny) { zapisz go; if (rozwiązanie niepełne) { próbuj( ); // próba wykonania następnego kroku if (nie ma następnego kandydata) usuń poprzedni zapis; } } } while ( rozwiązanie niepełne and jest następny kandydat); } Rys. 48 Ogólna postać algorytmu z powrotami zapisana w pseudokodzie

90 Ćwiczenia do samodzielnego wykonania: 1. W jaki sposób i dlaczego przy pomocy algorytmu z powrotami można stwierdzić, że między dwoma polami labiryntu nie istnieje żadna droga? 2. W jaki sposób należy zmodyfikować algorytm z powrotami, aby: a) znajdował on wszystkie drogi miedzy dwoma dowolnymi polami labiryntu, b) znajdował on najkrótszą drogę spośród wszystkich możliwych dróg labiryntu. 3. Zastąp w ogólnym algorytmie z powrotami wszystkie sformułowania w języku naturalnym przez odpowiednie polecenia w języku programowania tak, aby algorytm ten znajdował drogę między dwoma dowolnymi polami a i b labiryntu.