ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla x jest ciągła w punktach x 1 1 i x. Sformułuj odpowiedź. Zad.. (5 pkt) Zbadaj ciągłość funkcji: x 3x x f x 5 Odpowiedź uzasadnij. dla dla x x Zad.3. (4 pkt) Wyznacz te wartości parametrów a i b, przy których funkcja g : R R, określona wzorem g x x x b a dla x dla x jest ciągła w punkcie x. Zad.4. (7 pkt) Zbadaj, dla jakich wartości parametrów a i b funkcja określona wzorem: x 1, dla x 1 f ( x) ax 1, dla 1 x x b, dla x jest ciągła w punktach x 1 1 i x. Dla wyznaczonych wartości a i b sporządź wykres funkcji f. Opracowała D. Brzezińska 1
Zad.5. (5 pkt) W tabeli podane są wartości funkcji f 3; 4 R : dla trzech argumentów. x - 0 3 5 f (x) 3 8 5 8-1 Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f. a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x 0. b) Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj argument, dla którego funkcja f osiąga ekstremum. c) Podaj najmniejszą wartość funkcji f. -13-1 -11-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3 - -1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14-1 Zad.6. (7pkt) x Dana jest funkcja f x oraz prosta l nachylona do osi OX pod kątem, którego sinus jest x 1 równy 0,6. a) Oblicz współczynnik kierunkowy prostej l. b) Zbadaj, ile jest stycznych do wykresu funkcji f, równoległych do prostej l. Zad.7. (4 pkt) 3 Wyznacz liczbę ekstremów funkcji f określonej wzorem f xax x 3ax b w zależności od parametrów a i b. - -3-4 -5-6 -7-8 -9-10 -11-1 -13-14 -15 5 y 4 3 1, x R x Opracowała D. Brzezińska
Zad.8. (4 pkt) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f : R R,określonej wzorem f x x 1 5 x, w przedziale 0 ; 7. Zad.9. (7 pkt) Funkcja f dana jest wzorem 3 f ( x) x 6x c dla x R i c R. a)wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale 1; 3 b) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f., wiedząc, że 08 f. Zad.10. (4 pkt) Wyznacz a i b wiedząc, że funkcja f określona wzorem ax b f x dla x 1; 1 4 x przyjmuje w przedziale 1; 1 najmniejszą wartość dla x 0 i ta najmniejsza wartość jest równa 1. Uzasadnij, że dla wyznaczonych a i b funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla x 0. Zad. 11. (5 pkt ) Powyższy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej W x stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby ( - ) oraz 1, a pochodna ' W 18. a) Wyznacz wzór wielomianu W x b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciętej x 3 Opracowała D. Brzezińska 3
Zad. 1. (5 pkt ) Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f. a) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja f jest malejąca. b) Wyznacz wartość x, dla której funkcja f osiąga maksimum lokalne. Odpowiedź uzasadnij. c) Wiedząc, że punkt A = ( 1, ) należy do wykresu funkcji f, napisz równanie stycznej do krzywej f w punkcie A. Zad.13. (7 pkt) Producent zamierza rozlewać sok do pudełek, w kształcie prostopadłościanu, o pojemności 1,8 litra. Dobierz wymiary pudełka tak, aby na jego wyprodukowanie zużyć jak najmniej materiału przyjmując, że stosunek długości sąsiednich krawędzi podstawy pudełka jest równy :3 ( wykonując obliczenia zaniedbaj ilość materiału potrzebnego na sklejenia, złożenia itp.). Zad.14. (7 pkt) Na kuli o promieniu długości R = 4 cm opisujemy stożki o promieniu długości r i wysokości długości H. Spośród wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość. Oblicz długość promienia i wysokości znalezionego stożka. Zad.15. (6pkt) Objętość walca jest równa 50 cm 3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Zad.16. (7 pkt) Przekątna przekroju osiowego walca ma długość równą ten walec? Odpowiedź odpowiednio uzasadnij. 3. Jaką największą objętość może mieć Zad.17. (6 pkt) Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne, w których suma długości wszystkich długości jest równa 36. Oblicz wymiary graniastosłupa o największej objętości Opracowała D. Brzezińska 4
Zad.18. (7 pkt ) 1 Dane jest równanie: x m 5x m m 0. 4 Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość. Zad.19. (7 pkt) Suma długości dwóch boków trójkąta równa się 4 cm, a kąt między tymi bokami ma miarę Oblicz, jaka jest najmniejsza możliwa wartość obwodu tego trójkąta. 0 60. Zad.0. (7 pkt ) Przez punkt P = (-1, 4) prowadzimy proste przecinające osie układu współrzędnych w punktach A = ( x, 0) i B = (0, y), przy czym x< 0 i y > 0. Wyznacz równanie tej z nich, dla której suma odległości punktów A i B od początku układu współrzędnych jest najmniejsza. Zad.1. (5 pkt) Kwadratowy arkusz blachy ma bok długości 30 cm. Po wycięciu na rogach tego arkusza czterech przystających kwadratów i odpowiednim zgięciu otrzymujemy pudełko. Wyznacz długość boku kwadratów, które należy wyciąć, aby otrzymać pudełko o największej objętości. Zad.. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego a jest liczbą mniejszą od 1.Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia a a 1 a 50 49 wiedząc, że a 51 1. n Zad. 3. (7 pkt) Z pojemnika zawierającego 7 kul, wśród których znajduje się n białych kul ( n N ), losujemy trzy razy po jednej kuli że zwracaniem. Dla jakiej liczby n prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch białych kul jest największe? Zad.4. (6pkt) Wykaż, że równanie x 3 9x 4x 0 ma w przedziale 0 ; 1 dokładnie jedno rozwiązanie. Zad. 5. ( 1 pkt) Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem A. ma więcej niż dwa minima lokalne. B. ma dokładnie dwa minima lokalne. C. ma dokładnie jedno minimum lokalne. D. nie ma minimum lokalnego. Zad. 6. ( 1 pkt) Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego? A. B. c. D. Opracowała D. Brzezińska 5
Zad. 7. pochodnej tej funkcji w punkcie. dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartość Zad.8. ( pkt) Funkcja f jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej. Oblicz pochodną funkcji f w punkcie. Zad. 9. ( pkt) wartość pochodnej tej funkcji w punkcie dziesiętnego otrzymanego wyniku. dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia Zad. 30. dla wszystkich liczb rzeczywistych x, takich że i. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonego wyniku. Zad. 31. dla i leżący na wykresie tej funkcji punkt A o współrzędnej x równej 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A. Zad. 3. i leżący na wykresie tej funkcji punkt A o współrzędnej x równej. Uzasadnij, że styczna do wykresu funkcji f w punkcie A ma równanie. Zad. 33. Uzasadnij, że prosta l o równaniu wzorem. jest styczna do wykresu funkcji f określonej Zad. 34. Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem i punkt leżący na wykresie tej funkcji, gdzie p jest dowolna liczbą rzeczywistą. Wyznacz a i b tak, by prosta o równaniu była styczna do wykresu funkcji f w punkcie P. Wykaż, że dla każdego x zachodzi nierówność. Zad. 35. Prosta o równaniu przecina parabolę o równaniu w dwóch punktach A i B. Udowodnij, że styczne do tej paraboli w punktach A i B są prostopadłe. Zad. 36. ( 3 pkt) Funkcja f jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f, która jest równoległa do prostej Opracowała D. Brzezińska 6
Zad. 37. ( 4 pkt) Funkcja f jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu Zad. 38. Wykaż, że funkcja w przedziale jest rosnąca. Zad. 39. Funkcja f dana jest wzorem. Wykaż, że dla funkcja f jest rosnąca w całej dziedzinie. Zad. 40. Funkcja f określona jest wzorem.. Wyznacz liczbę rozwiązań równania Zad. 41. Wykaz, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność. Zad. 4. Udowodnij, że jeśli, to dokładnie jedna liczba rzeczywista x spełnia równanie:. Zad. 43. Dane jest równanie z niewiadomą x i parametrami a oraz b. Wykaż, że dane równanie ma co najwyżej dwa rozwiązania. Zad. 44. Wykaż, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zad. 45. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale. Zad. 46. zbiór wartości funkcji f jest przedziałem domkniętym. dla każdej liczby rzeczywistej x. Uzasadnij, że Zad. 47. Dany jest wykres funkcji kwadratowej oraz punkt. Znajdź punkt na wykresie funkcji f leżący najbliżej punktu A. Zad. 48. dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Wyznacz punkt leżący na wykresie funkcji f najbliżej punktu. Zad. 49. ( 7 pkt) Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Opracowała D. Brzezińska 7
Zad. 50. ( 7 pkt) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa ma długość 5 i każde z ramion też ma długość 5. Oblicz długość dłuższej podstawy tego z rozpatrywanych trapezów, który ma największe pole. Oblicz to pole. Zad. 51. Wewnątrz kąta prostego AOB wybrano punkt P, odległy od półprostych OA i OB odpowiednio o i 3. Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne o przyprostokątnych zawartych w półprostych OA i OB i przeciwprostokątnej przechodzącej przez punkt P. Wyznacz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zad. 5. Rozważamy wszystkie prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku AB, gdzie i, a pozostałe dwa na paraboli o równaniu (zobacz rysunek). Wyznacz wymiary tego z prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to pole. Zad. 53. Rozpatrujemy odcinki równoległe do osi Oy, których jeden koniec leży na wykresie funkcji kwadratowej f określonej wzorem, a drugi koniec leży na wykresie funkcji g określonej wzorem dla. Oblicz długość najkrótszego takiego odcinka. Opracowała D. Brzezińska 8
Zad. 54. ( 7 pkt) Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości i szerokości W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża ( zobacz rysunek). Następnie zgięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko ( bez przykrywki). Oblicz długość boku każdego z wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę maksymalną objętość. Zad. 55. Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany, w których przekątna ma długość d oraz stosunek długości krawędzi podstawy jest równy 3:4. Wyznacz długości krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych prostopadłościanów, który ma największe pole powierzchni bocznej. Zad. 56. Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa 4. Wyznacz promień okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę objętość. Zad. 57. Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej równa się. Oblicz promień podstawy tego z walców, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość. Zad. 58. ( 7 pkt) Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 0. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka. Opracowała D. Brzezińska 9
Zad. 59. ( 7 pkt) Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 0. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka. Zad. 60. ( 7 pkt) Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość. Opracowała D. Brzezińska 10