1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci



Podobne dokumenty
XXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r.

1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.

XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.

XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r.

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.

XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.

LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r.

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.

XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.

LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r.

3 Ubezpieczenia na życie

Elementy teorii przeżywalności

XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r.

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Elementy teorii przeżywalności

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Składki i rezerwy netto

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Metody aktuarialne - opis przedmiotu

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

01. dla x 0; 1 2 wynosi:

Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

1. Ubezpieczenia życiowe

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

Matematyka finansowa

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE

z przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa

Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

4. Ubezpieczenie Życiowe

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ

4. Ubezpieczenie Życiowe

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Matematyka ubezpieczeń na życie Life Insurance Mathematics. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2C

1 Elementy teorii przeżywalności

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2017/2018

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

1 Elementy teorii przeżywalności

Ubezpieczenia na życie

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Transkrypt:

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli obecnie dwa życia mają (y) lat, a trzy kolejne odpowiednio (y+1), (y+2) oraz (y+5) lat. Znane są prawdopodobieństwa dla pojedynczych osób: p 0,952707 p 0, 930628 Podaj najbliższą wartość. 5 y+ 1 5 y+ 3 5 y+ 2 5 p y+ 4 p 0,887992 0, 808492 (A) 0,345 (B) 0,506 (C) 0,552 (D) 0,698 (E) 0,785 1

2. Rozpatrujemy grupę osób w wieku (+1/3) lat i analizujemy śmiertelność w tej grupie do wieku (+1) lat. Znamy jedynie q 0, 06, dlatego rozważamy założenie UDD oraz założenie Balducciego. Podaj, dla jakiego u intensywność wymierania µ będzie o 2% wyższa według Balducciego w stosunku do + 1 + u 3 UDD. Podaj najbliższą wartość. (A) 0,168 (B) 0,172 (C) 0,176 (D) 0,180 (E) 0,184 2

3. Osoba w wieku () lat zakupiła terminowe ubezpieczenie na życie za składkę netto A 1 0,39347. Taką samą kwotę zapłaciła osoba o 1 dzień starsza, ponieważ : n odpowiednio skrócono termin jej ubezpieczenia. O ile dni krócej trwać będzie ubezpieczenie osoby starszej? Dane są: A 0,69674 µ 0, 05 µ 0, 1 δ 0, 05 : n Podaj najbliższą wartość. (A) 0,55 (B) 0,65 (C) 0,85 (D) 1,05 (E) 1,35 +n 3

4. Rozpatrujemy bezterminowe ubezpieczenie na życie (), wypłacające 1 zł na koniec roku śmierci, ze stałą składką płaconą dożywotnio na początku każdego roku ubezpieczenia. A Przy składce P strata L ubezpieczyciela ma wariancję Var ( L) 0,40. a&& Ubezpieczyciel postanowił zastosować składkę P ˆ (1 + λ) P, uwzględniającą narzut na ryzyko. Wyznacz Var (Lˆ), czyli wariancję straty przy składce Pˆ, jeśli A 0,1 oraz λ 0,25. Podaj najbliższą wartość. (A) 0,420 (B) 0,425 (C) 0,430 (D) 0,435 (E) 0,440 4

5. Osoba () zawarła 20-letnie ubezpieczenie na życie i dożycie na kwotę 100 000, płatną na koniec roku śmierci. Roczna składka jest płacona na początku roku przez cały okres ubezpieczenia. Po 10 latach ubezpieczony przestał płacić składkę. Ubezpieczenie zamieniono na bezskładkowe dożywotnie ubezpieczenie na życie z sumą 100 000 oraz bezskładkowe ubezpieczenie na dożycie wieku +20 lat, z sumą ubezpieczenia S. Wyznacz S, jeśli dane są: v 0,95 10 p 0, 975 20 p 0, 920 a& & 16,658 a& & +10 14, 907 & 7, 036. Podaj najbliższą wartość. 10 a& + 10 (A) 19 000 (B) 19 500 (C) 20 000 (D) 20 500 (E) 21 000 5

6. W bezterminowym ubezpieczeniu na życie () roczna składka jest płacona na początku roku przez cały okres ubezpieczenia, a świadczenia pośmiertne jest płatne na koniec roku śmierci. W (k+1) roku ubezpieczyciel osiągnął zysk techniczny dzięki stopie oprocentowania lokat przewyższającej stopę techniczną. Zysk techniczny z oszczędności, s Gk + 1, powstający dzięki lokatom rezerwy netto oraz składki na oszczędności, przeznaczono w całości na wzrost sumy ubezpieczenia. W rezultacie od przyszłego roku suma ubezpieczenia oraz składka wzrosną o 10%. Podaj nadwyżkę stopy przychodów z lokat ponad stopę techniczną, jeśli wiadomo, że na złotówkę sumy ubezpieczenia składka na oszczędności dane są a& & 10.4032, a& & +k 9. 8570, a& & +k +1 9. 7859. Podaj najbliższą wartość w punktach procentowych. s π k 0.00144 oraz (A) 9 (B) 9,5 (C) 10 (D) 10,5 (E) 11 6

7. Ubezpieczenie rentowe dla () przewiduje dożywotnią rentę, wypłacaną na początku każdego roku po n-letnim okresie płacenia składek. Składki są płacone raz w roku, na początku roku. Ubezpieczyciel przez cały okres ubezpieczenia (na początku każdego roku) ponosi koszty administracyjne, niezależne od wysokości renty, w kwocie 25 zł rocznie. Ponosi również koszty zmienne, a mianowicie: w wysokości 10% składki brutto, w momencie poboru składki, w wysokości 5% wypłacanej renty, w momencie wypłaty renty. Podaj wysokość składki brutto za kolejne (drugie, trzecie,...) 100 zł rocznej renty. Dane są: a& & 19,6 a& & 8, 5. : n Podaj najbliższą wartość. (A) 145 (B) 147,50 (C) 150 (D) 152,50 (E) 155 7

8. Na życie (60) oraz (y60) wykupiona została za jednorazową składkę netto renta rewersyjna 1000. Osoby () oraz (y) pochodzą z populacji de Moivre a z a y parametrem odpowiednio ω 90 oraz ω 120. Wyznacz rezerwę netto po 10 latach tego ubezpieczenia, jeśli ubezpieczyciel wie jedynie, że nie wystąpił powód do uruchomienia wypłat renty, jednak nie ma innych informacji o statusie obydwojga osób. Dane jest δ 0, 02. Podaj najbliższą wartość. (A) 8250 (B) 8550 (C) 8850 (D) 9150 (E) 9450 y 8

9. Na osobę () wystawiono roczną polisę życiową, wypłacającą 100 000 na koniec okresu ubezpieczenia. Ubezpieczony został zaliczony do populacji, której odpowiada p 0, 94. W populacji tej śmiertelność ma w ciągu roku jednostajny rozkład. W momencie zawierania ubezpieczenia wiadomo, że ubezpieczony podda się za 8 miesięcy krótkiej operacji, którą przeżywa tylko 60% pacjentów. Jeśli pacjent przeżyje operację, to jej wpływ na zdrowie i szanse dalszego życia może się ujawnić nie wcześniej niż za pół roku. Zawarta umowa ubezpieczenia wyłącza świadczenie z tytułu śmierci w trakcie tej operacji. Wyznacz składkę netto za to ubezpieczenie przy v0,95. (A) 4860 (B) 4900 (C) 4940 (D) 4980 (E) 5020 9

10. Rozważamy plan emerytalny, w którym pracownicy wstępują do planu w wieku 25 lat, a przechodzą na emeryturę w wieku 65 lat. Składka normalna (normal cost rate) dla pracownika w wieku 50 lat osiąga intensywność 1000 zł na rok. Osoba wypadająca z planu przed wiekiem emerytalnym otrzymuje świadczenie finansowane z innej składki. Podaj kwotę którą zgromadzi w planie osoba przechodząca na emeryturę (według wartości na moment wypłaty pierwszej emerytury) jeśli: a25 : 25 funkcja kumulacji uprawnień M ( ), a funkcja przetrwania w planie oraz δ 0, 05. Podaj najbliższą wartość. 25 : 40 150 s( ) 125 (A) 162 250 (B) 163 500 (C) 164 750 (D) 166 000 (E) 167 250 10

XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Matematyka ubezpieczeń życiowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :...Klucz odpowiedzi... Pesel...Grupa 1... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja 1 C 2 B 3 B 4 A 5 E 6 E 7 D 8 B 9 C 10 E * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 11