Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4"

Transkrypt

1 Plan Literatura Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 Paweł Paduch Politechnika Świętokrzyska 5 czerwca 2014 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 1 z 51

2 Plan wykładu Plan Literatura 1 Plan Literatura 2 Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania 3 Krótki opis Algorytm Zalecane parametry 4 5 Problemy przydziału Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 2 z 51

3 Literatura Plan Literatura Marco Dorigo, Thomas Stützle - Ant Colony Optimization. Bradford Company, Scituate, MA, USA, 2004 HAS-SOP Home Page - luca/has-sop.html Christian Blum, Marco Dorigo - Hcaco: the hyper-cube framework for ant colony optimization. in Proc. MIC 2001 Metaheuristics Int. Conf, strony , 2001 Tony White, Simon Kaegi, Terri Oda - Revisiting elitism in ant colony optimization. GECCO 03: Proceedings of the 2003 international conference on Genetic and evolutionary computation, strony , Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 3 z 51

4 Literatura Plan Literatura Çela, E. - The quadratic assignment problem: theory and algorithms. Combinatorial optimization. Kluwer Academic Publishers, Vittorio Maniezzo, Alberto Colorni, Marco Dorigo. - The ant system applied to the quadratic assignment, IEEE, 1994 Vittorio Maniezzo. - Exact and approximate nondeterministic tree-search procedures for the quadratic assignment problem. INFORMS J. on Computing,11: , April 1999 Thomas Stützle. - Max-min ant system for quadratic assignment problems, Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 4 z 51

5 Literatura Plan Literatura Thomas Stützle, Holger H. Hoos. - Max-min ant system, Gambardella L.M., Taillard E.D., Dorigo M. - Ant colonies for the quadratic assignment problem. Journal of the Operational Research Society, 50: (10), 1 February Thomas Stützle, Marco Dorigo. - ACO algorithms for the quadratic assignment problem, strony McGraw-Hill Ltd., UK, Maidenhead, UK, England, 1999 K. I. Aardal, C. P. M. van Hoesel, A. M. C. A. Koster, C. Mannino, A. Sassano. - Models and solution techniques for the frequency assignment problem. Berlin, Germany,2001 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 5 z 51

6 System hipersześcienny Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania Hipersześcienny system dla ACO (ang. Hyper Cube Ant Colony Optimization - ) został wprowadzony przez Blum, Roli i Dorigo w celu automatycznego przeskalowywania wartości feromonowej tak, by były one w przedziale [0, 1]. Było to podyktowane przez sformułowanie wielu optymalizacyjnych problemów kombinatorycznych, których rozwiązanie może być reprezentowane przez binarne wektory. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 6 z 51

7 System hipersześcienny Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania Zmienne decyzyjne, które mogą przyjmować wartości {1, 0}, zazwyczaj odpowiadają składnikom rozwiązania, gdyż są one używane przez mrówki do jego budowy. Rozwiązanie problemu odpowiada jednemu z narożników n wymiarowego hipersześcianu, gdzie n jest liczbą zmiennych decyzyjnych. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 7 z 51

8 Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania Jednym ze sposobów tworzenia kresu dolnego dla rozważanego problemu jest pozwolenie na wybieranie przez każdą zmienną wartości rzeczywistych z przedziału [0, 1]. W takim przypadku zbiór możliwych rozwiązań S rx zawiera wszystkie wektory v R n będące wypukłymi kombinacjami binarnych wektorów x B n : v S rx v = v i B n γ i x i, γ i [0, 1], γi = 1. (1) Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 8 z 51

9 Aktualizacja feromonu Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania Gdy wartości feromonowe znormalizujemy by mieściły się w przedziale [0, 1], wtedy związek z ACO staje się wyraźniejszy. W tym przypadku, wektor feromonowy τ = (τ 1,..., τ n ) odpowiada punktowi w S (wypukłej otoczce przestrzeni rozwiązań S). Gdy τ jest wektorem binarnym, odpowiada to rozwiązaniu problemu. W przypadku TSP zmienna decyzyjna x ij może odpowiadać krawędzi (i, j) i mieć wartość x ij = 1, gdy krawędź (i, j) jest użyta lub x ij = 0 gdy tak nie jest. W takim przypadku, wartość feromonowa jest związana z każdą zmienną decyzyjną, a to już jest bardzo bliskie sposobu rozwiązywania TSP za pomocą algorytmów ACO. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 9 z 51

10 Aktualizacja feromonu Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania By utrzymać wartość feromonu w przedziale [0, 1] jego uaktualnienie trzeba wykonać według poniższej reguły: gdzie τ k ij = 1/C k m h=1 (1/C h ), τ ij (1 ρ)τ ij + ρ m k=1 τ k ij, (2) jeżeli krawędź (i, j) jest użyta przez mrówkę k 0, w innym przypadku. (3) Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

11 Interpretacja graficzna Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania Nowy wektor może być zinterpretowany jako przesunięcie starego wektora feromonowego w kierunku średniej ważonej rozwiązań użytych do uaktualnienia śladu feromonowego. Załóżmy, że zbiór możliwych rozwiązań zawiera 3 wektory (0,0,0), (1,1,0) i (0,1,1), wtedy feromonowy wektor τ przesuwa się w obszarze poszarzonego trójkąta rozpiętego pomiędzy trzema możliwymi rozwiązaniami. Dwa rozwiązania (0,0,0) i (1,1,0) zostały wygenerowane przez mrówki i użyte do uaktualnienia feromonu. τ będzie przesunięty w kierunku średniej ważonej d dwóch rozwiązań. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

12 Interpretacja graficzna Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania Na rysunku widać też, że rozwiązanie (0,0,0) jest lepszej jakości niż (1,0,0) i dlatego przesunięcie jest bliżej niego. (0,1,1) (1,1,1) (0,0,1) (1,0,1) Rozwiązanie mrówki 2 (0,0,0) d (1,0,0) (1,1,0) Rozwiązanie mrówki 1 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

13 Konstruowanie rozwiązania Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania Konstruowanie rozwiązania rozpoczyna się poprzez wylosowanie (z jednakowym prawdopodobieństwem) jednego połączenia pomiędzy miastami. Następnie w n 1 krokach dodawane są do częściowego rozwiązania s p (ang. partial solution) kolejne możliwe połączenia (składniki rozwiązania c i,xi J(s p ), J(s p ) określa zbiór możliwych składników rozwiązania, które mrówki mogą dodać do bieżącego częściowego rozwiązania s p. Wybór kolejnego składnika rozwiązania dokonywany jest za pomocą tzw. prawdopodobieństwa przejścia (ang. transition probabilities) określonym przez funkcję zwaną regułą przejścia stanu (ang. state transition rule). Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

14 Konstruowanie rozwiązania Aktualizacja feromonu Interpretacja graficzna Konstruowanie rozwiązania Reguła przejścia stanu jest funkcją feromonu oraz ewentualnie dodatkowych wartości (np. długości krawędzi). W AS reguła przejścia stanu określa prawdopodobieństwo dodania do bieżącego częściowego rozwiązania s p możliwego składnika rozwiązania c i,xi J(s p ), jako stosunek wartości feromonu τ i,xi (dla składnika c i,xi ) do sumy wartości feromonu dla wszystkich możliwych składników rozwiązania. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

15 Ant System Local Best Tour Krótki opis Algorytm Zalecane parametry Tony White, Simon Kaegi oraz Terri Oda przedstawili w swojej pracy Revisiting Elitism in Ant Colony Optimization modyfikację algorytmu EAS. W systemie mrówkowym była potrzeba globalnego obserwatora, który by stwierdził, która z tras jest najlepsza. Główną ideą jest pozbycie się tego globalnego obserwatora. Zamiast tego każda z mrówek pamięta najlepszą z tras, którą znalazła do tej pory i używa jej zamiast elitarnego rozwiązania. Wygląda to tak, jakby skala problemu została zredukowana do poziomu pojedynczej mrówki, która ma indywidualną kopie systemu mrówkowego używającego jednej elitarnej mrówki. Efektywność tego rozwiązania jest bardzo zbliżona do EAS Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

16 Algorytm Krótki opis Algorytm Zalecane parametry Algorytm jest bardzo podobny do EAS. Też składa się z dwóch głównych części, inicjalizacji i głównej pętli. Różnica polega na dodaniu Lokalnego Wyszukiwania, oraz zastąpieniu elitarnych mrówek lokalnymi najlepszymi mrówkami. Inicjalizacja Wczytaj początkowe wartości parametrów Ustaw początkową wartość feromonu na krawędziach Rozmieść mrówki w losowych miastach Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

17 Algorytm Krótki opis Algorytm Zalecane parametry Główna pętla 1 Konstruowanie rozwiązania Mrówki wybierają trasę zgodnie z prawdopodobieństwem danym wzorem jak w przypadku AS. Szanse na wybranie kolejnej krawędzi zależą od ilości feromonu τ i heurystyki η. Kolejne miasta wybierane z puli miast nieodwiedzonych, aż będzie ona pusta. 2 Zaimplementowane Lokalne Wyszukiwanie - w AS oryginalnie nie stosowano. 3 Aktualizacja najlepszej trasy - każda mrówka wylicza długość otrzymanej trasy i w razie poprawienia wyniku zapamiętuje ją. 4 Aktualizacja feromonu Odparuj Nanieś feromon przez wszystkie mrówki jak w AS cycle. Dodatkowo nanieś feromon przez wszystkie mrówki jak w AS cycle (ale na ich lokalne najlepsze trasy). Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

18 Zalecane parametry Krótki opis Algorytm Zalecane parametry W zalecane są następujące parametry: α = 1 β = 5 ρ = 0, 5 m = n, gdzie m liczba mrówek a n liczba miast τ 0 = 10 6 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

19 AS Zalety + dobra dokumentacja + prostota + intuicyjność Wady - stosunkowo słabe wyniki w porównaniu z następcami Cechy szczególne wszystkie mrówki nanoszą feromon 3 sposoby nanoszenia feromonu QAS (ilościowy) - feromon nanoszony po każdym kroku, stała ilość DAS (gęstościowy) - feromon nanoszony po każdym kroku, ilość zależna od długości krawędzi CAS (cykliczny) - feromon nanoszony dopiero gdy wszystkie mrówki znajdą rozwiązanie, ilość zależna od długości trasy Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

20 EAS Zalety + w porównaniu do AS lepsze rezultaty osiągnięte w mniejszej liczbie iteracji Wady - potrzeba pamiętania najlepszej trasy - dodatkowy parametr określający liczbę elitarnych mrówek Cechy szczególne na najlepszą trasę od początku działania algorytmu nanoszona jest dodatkowa ilość feromonu Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

21 ANT-Q Zalety + bardzo dobre rezultaty + feromon jest odparowywany tylko na krawędziach, które były użyte przez mrówki, przyspiesza to algorytm Wady - znaczny poziom komplikacji w aktualizacji feromonu - aktualizacja feromonu przez wszystkie mrówki w każdym kroku jest kosztowna - algorytm został zaniechany na rzecz jego następcy Cechy szczególne feromon aktualizowany jest tylko na krawędziach, gdzie poruszają się mrówki po znalezieniu trasy przez wszystkie mrówki wyliczane jest opóźnione wzmocnienie i feromon jest aktualizowany na najkrótszej trasie od początku działania algorytmu T gb lub na najkrótszej trasie w danej iteracji T ib Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

22 ACS Zalety + bardzo dobre rezultaty + feromon jest odparowywany tylko na krawędziach, które były użyte przez mrówki + nieznaczne uproszczenie w stosunku do ANT-Q + dobra dokumentacja Wady - nadal dość duży poziom komplikacji - aktualizacja feromonu przez wszystkie mrówki w każdym kroku jest kosztowna Cechy szczególne jeden z lepszych algorytmów mrówkowych odparowywanie tylko na krawędziach użytych przez mrówki dodatkowe wzmocnienie feromonu na najlepszej trasie Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

23 MMAS Zalety + bardzo dobre rezultaty + dobra dokumentacja + tylko jedna mrówka nanosi feromon Wady - potrzeba restartowania algorytmu gdy dojdzie do stagnacji Cechy szczególne wprowadzenie limitów dolnych i górnych na poziom feromonu restartowanie algorytmu inicjacja maksymalną ilością feromonu τ max Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

24 AS rank Zalety + wyniki nieco lepsze niż EAS Wady - nieco większy stopień komplikacji niż EAS - potrzeba sortowania wyników by utworzyć rankingi Cechy szczególne feromon aktualizowany jak w EAS dodatkowo kilka najlepszych mrówek aktualizuje feromon w ilościach zależnych od miejsca w rankingu Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

25 ANTS Zalety + obliczanie prawdopodobieństwa wyboru następnego miasta jest dużo mniej kosztowne niż AS Wady - duży stopień komplikacji - pierwotnie nie był zaprojektowany do TSP - potrzeba liczenia dolnej granicy Cechy szczególne modyfikacja w sposobie liczenia prawdopodobieństwa modyfikacja w sposobie aktualizacji feromonu (brak parametru parowania) lepsze rozwiązania od średniej dodają feromon, gorsze odejmują Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

26 BWAS Zalety + do kilkuset miast bardzo dobre wyniki, nawet lepsze niż ACS Wady - spory poziom komplikacji Cechy szczególne najgorsza bieżąca ścieżka powoduje odparowanie feromonu najlepsza globalna ścieżka powoduje dodanie feromonu restartowanie jak w MMAS wprowadzono element mutacji Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

27 Zalety + można rozwiązywać wiele problemów kombinatorycznych, których rozwiązanie może być reprezentowane przez binarne wektory Wady - duży stopień komplikacji Cechy szczególne wartość feromonowa przeskalowana do przedziału [0, 1] rozwiązania leżą w narożnikach hipersześcianu Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

28 Zalety + jakość rozwiązania lepsza od EAS + możliwość łatwego rozproszenia + mniej parametrów niż EAS + prostota Wady - dość uboga dokumentacja Cechy szczególne algorytm bazuje na EAS pozbycie się globalnego obserwatora pamiętającego najlepszą trasę każda mrówka pamięta swoją najlepszą trasę Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

29 Pierwsze zastosowania Problemy przydziału Aby sprawdzić przydatność nowych algorytmów metaheurystycznych trzeba zaimplementować je do rozwiązania wielu problemów i porównać z innymi algorytmami. Tak stało się też z algorytmami mrówkowymi. Jednym z najlepszych narzędzi do testowania rozwiązań problemów NP-trudnych jest zadanie komiwojażera (TSP). Z czasem pojawiały się kolejne zastosowania. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

30 Główne obszary zastosowań Problemy przydziału Obecnie można mówić już o dziesiątkach zastosowań, które można pogrupować według następujących kategorii: Problemy wyznaczania trasy (ang. routing problems) Problemy przydziału (ang. assignment problems) Problemy harmonogramowania (ang. scheduling problems) Problemy sumy podzbioru (ang. subset problem) Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

31 Problemy przydziału W problemie wyznaczania trasy: mamy jednego lub wielu agentów, określony zbiór lokacji, każdy agent musi odwiedzić wszystkie lokacje w odpowiedniej kolejności. Ogólny problem polega na znalezieniu takiej kolejności, by trasa pomiędzy kolejnymi lokacjami była minimalna. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

32 Problemy przydziału Do zagadnienia wyznaczania trasy można zaliczyć takie problemy jak: Problem sekwencyjnego porządkowania Problem marszrutyzacji Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

33 Problemy przydziału Problem sekwencyjnego porządkowania Jest to problem asymetrycznego TSP różniący się tym, że zamiast cyklu Hamiltona mamy znaleźć ścieżkę Hamiltona (z węzła 1 do n) oraz, że brane są pod uwagę ograniczenia pierwszeństwa. Takie ograniczenia wymagają, by pewny węzeł i był zawsze odwiedzony przed węzłem j. Adaptacją algorytmu mrówkowego ACO do problemu sekwencyjnego porządkowania jest HAS-SOP (ang. Hybrid Ant System - Sequential Ordering Problem) zaprezentowaną przez Gambardella i Dorigo w 1997 roku 1. 1 L. M. Gambardella, M. Dorigo. Has-sop: Hybrid ant system for the sequential ordering problem, Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

34 Problemy przydziału Problem sekwencyjnego porządkowania Główną ideą algorytmu HAS-SOP było zastosowanie lokalnego szukania (ang. local search). Jest to specyficzna procedura 3-opt zwana SOP-3-exchange, która może sobie poradzić z wieloma ograniczeniami pierwszeństwa bez jednoczesnego zwiększania złożoności obliczeniowej. Wyniki uzyskane za pomocą HAS-SOP były znacznie lepsze od dotychczasowego algorytmu genetycznego MPO/AI specjalnie zaprojektowanego rozwiązywania zadań sekwencyjnego porządkowania. HAS-SOP jest obecnie najlepszym algorytm dla SOP 2 2 Luca Maria Gambardella, Marco Dorigo. An ant colony system hybridized with a new local search for the sequential ordering problem. INFORMS J. on Computing, 12: , July 2000 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

35 Problem marszrutyzacji Problemy przydziału Poblem wyznaczania trasy pojazdu (ang. Vehicle Routing Problem - VRP) 3 jest problemem zarządzania dystrybucją, taką jak np. w firmach kurierskich. Polega on na wyznaczeniu optymalnych tras dla określonej liczby pojazdów, których zadaniem jest obsłużenie zbioru klientów. Taką optymalizację należy wykonać przy pewnych ograniczeniach. 3 P. Toth, D. Vigo. The vehicle routing problem. SIAM monographs on discrete mathematics and applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

36 Problem marszrutyzacji Problemy przydziału W klasycznym zagadnieniu VRP mamy następujące założenia: drogi łączące poszczególnych klientów tworzą graf nieskierowany, koszt dotarcia od klienta i do klienta j jest dany (np. w postaci czasu), do obsłużenia jest n klientów, każdy klient obsługiwany jest przez jeden pojazd, jeden pojazd może obsługiwać wielu klientów, trasa każdego pojazdu zaczyna się i kończy w bazie, dodatkowym założeniem może być ograniczona ładowność pojazdu, problem CVRP (ang. Capacitated VRP), można założyć, że określony klient może być obsłużony w ścisłych oknach czasowych VRPTW (ang. VRP Time Window). Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

37 Problem marszrutyzacji Problemy przydziału Celem jest znalezienie zbioru tras takich by zminimalizować czas oczekiwania klientów. Do rozwiązania CVRP zaadoptowano algorytm AS rank (AS rank CVRP) 4 udoskonalony przez Reimanna, Stummera i Doernera (AS rank CVRPsav) 5. 4 Bernd Bullnheimer, Richard F. Hartl, Christine Strauss. An improved ant system algorithm for the vehicle routing problem. Annals of Operations Research, 89: , Marc Reimann, Michael Stummer, Karl Doerner. A savings based ant system for the vehicle routing problem. Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference, GECCO 02, strony , San Francisco, CA, USA, Morgan Kaufmann Publishers Inc. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

38 Problem marszrutyzacji Problemy przydziału W przypadku VRPTW funkcja celu jest nieco inna. Minimalizujemy liczbę ciężarówek i sumaryczny czas jazdy. Przy czym preferowana jest mniejsza liczba pojazdów niż minimalny całkowity czas podróży. Obecnie najlepszym algorytmem mrówkowym zastosowanym do rozwiązania tego problemu jest MACS-VRPTW 6, gdzie MACS oznacza (ang. Multiple ACS). 6 L. M. Gambardella, E. Taillard, G. Agazzi. Macs-vrptw: A multiple ant colony system for vehicle routing problems with time windows, Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

39 Problem marszrutyzacji Problemy przydziału W MACS użyte są dwie równolegle pracujące, oddziałujące na siebie kolonie mrówek (ACS-VEI i ACS-TIME). Kolonia ACS-VEI minimalizuje liczbę pojazdów (tras), stara się znaleźć możliwe rozwiązanie dla v min 1 Jeżeli to się uda oba algorytmy są restartowane i zaczynają z nowym v min. kolonia ACS-TIME stara się dla danej liczby pojazdów zminimalizować sumaryczny czas podróży. startuje z v min pojazdami, Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

40 Problemy przydziału Problemy przydziału Problem przydziału polega na przypisaniu jednostek (obiektów, zadań, itp.) do pewnej liczby zasobów (miejsca, agenci, itp.) z zastrzeżeniem pewnych ograniczeń. Przypisanie może być ogólnie reprezentowane jako mapowanie zbioru I na zbiór J, gdzie każde przypisanie ma jakiś koszt. Funkcją celu jest minimalizacja sumarycznych kosztów. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

41 ACO w problemie przydziału Problemy przydziału W celu zaimplementowania ACO do rozwiązania problemu przydziału, trzeba przenieść problem do grafu konstrukcyjnego G C = (C, L), gdzie C jest zbiorem komponentów (zwykle zawiera wszystkie elementy i wszystkie zasoby), L jest zbiorem połączeń, które w pełni łączą graf. Mamy dwa typy decyzyjne. kolejność elementów w jakich będą one układane do których zasobów przypisać kolejne elementy. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

42 ACO w problemie przydziału Problemy przydziału Ślad feromonowy τ ij jak i decyzja heurystyczna η ij, mogą być skojarzone z obydwoma typami i są związane z parą (i, j), gdzie i jest elementem a j jest zasobem. Jednak w większości przypadków ślad feromonowy wykorzystuje się jedynie do kojarzenia elementów z zasobami, kolejność zaś jest ustanawiana w sposób heurystyczny lub zupełnie losowy Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

43 Kwadratowe zagadnienie przydziału Problemy przydziału Pierwsze sformułowanie zadania przydziału kwadratowego (ang. Quadratic Assignment Problem - QAP) zostało sformułowane w 1957 roku gdy Koopmans i Beckmann wyprowadzili matematyczny model przydziału ekonomicznych aktywności do zbioru lokacji. Obecnie QAP ma wiele praktycznych zastosowań jak: harmonogramowanie, projektowanie rozmieszczenia układów elektronicznych na płytkach drukowanych, alokacja zadań w przetwarzaniu równoległym i rozproszonym, statystyka i analiza danych, projektowanie paneli kontrolnych, klawiatur, rozmieszczenie budynków. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

44 Sformułowanie problemu Problemy przydziału Matematycznie problem można przedstawić za pomocą dwóch macierzy A = [a ij ] oraz B = [b rs ], obie o rozmiarach nxn, gdzie a ij jest odległością pomiędzy punktami i oraz j, b rs jest kosztem przewozu pomiędzy zadaniem r i s. W takim wypadku funkcją celu jest opisana poniższą zależnością: f (π) = n i=1 j=1 n b ij a πi π j, (4) gdzie π i jest lokalizacją obiektu i w bieżącym rozwiązaniu π S(n), S(n) - jest zbiorem permutacji zbioru {1, 2,..., n}. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

45 Cel Problemy przydziału Celem QAS jest znalezienie przypisania obiektów do lokalizacji tak, by funkcja celu była jak najmniejsza. b ij a πi π j oznacza koszt wkładu jednoczesnego przydziału obiektu i do lokalizacji π i i obiektu j do lokalizacji π j. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

46 Przykłady algorytmów Problemy przydziału Do algorytmów mrówkowych, którym z powodzeniem udało się podołać kwadratowemu zagadnieniu przydziału należą: AS jako AS-QAP ANTS jako ANTS-QAP MMAS jako MMAS-QAP Hybrid AS (HAS) FANT (Fast Ant System) Zarówno HAS jak i FANT są jedynie inspirowane systemami mrówkowymi i w znacznym stopniu odstępują od głównego aspektu metaheurystycznych struktur ACO. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

47 Uogólnione zagadnienie przydziału Problemy przydziału W uogólnionym problemie przydziału (ang. Generalized Assignment Problem - GAP), zbiór zadań musi być przydzielony do zbioru agentów w taki sposób, by koszt funkcji przydziału był minimalny. Każdy agent j ma ograniczoną pojemność zasobów a j, a każde zadanie i przypisane do agenta j zabiera b ij z jego zasobów. Dodatkowo jest wprowadzony koszt d ij przydziału zadania i do agenta j. Jednym z pierwszych algorytmów mrówkowych zastosowanych do rozwiązania GAP był MMAS-GAP wzorowany na MMAS 7 7 Helena Ramalhinho Louren co, Daniel Serra. Adaptive approach heuristics for the generalized assignment problem. Raport instytutowy, Economic Working Papers Series No.304, Universitat Pompeu Fabra, Dept. of Economics and Management, 1998 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

48 Kolorowanie Grafów Problemy przydziału Jednym z pierwszych problemów przydziału bazujących na ACO był problem kolorowania grafów (ang. Graph Coloring Problem - GCP). Dla danego grafu nieskierowanego G = (N, A) należy wyznaczyć minimalną liczbę kolorów przypisanych do węzłów w taki sposób, by wszystkie pary sąsiadujących ze sobą węzłów miały różne kolory. Zagadnienie to próbowali rozwiązać Costa i Hertz 8 używając do tego AS. Wydajność algorytmu w jego podstawowej wersji była dość słaba, o wiele lepsze były rozwiązania hybrydowe albo tabu search. Jednak zastosowanie bardziej zaawansowanych ACO niż AS w połączeniu z przeszukiwaniem lokalnym powinno dać lepsze wyniki 8 D. Costa, A. Hertz. Ants can colour graphs. The Journal of the Operational Research Society, 48(3): , 1997 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

49 Problem przydziału częstotliwości Problemy przydziału Problem przydziału częstotliwości (ang. Frequency Assignment Problem - FAP) polega na przydzieleniu częstotliwości radiowych do nadajników na pewnym obszarze tak, by nie zakłócały się wzajemnie. Pasmo częstotliwości powinno mieć jak najmniejszą szerokość. Istnieje bardzo wiele wariantów tego problemu. Jedną z bardziej skutecznych adaptacji algorytmu mrówkowego uzyskali Maniezzo i Carbonaro 9 stosując algorytm ANTS. 9 Vittorio Maniezzo, Antonella Carbonaro. An ants heuristic for the frequency assignment problem. Future Gener. Comput. Syst., 16: , June 2000 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

50 Pytania Problemy przydziału? Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

51 koniec Problemy przydziału Dziękuję Państwu za uwagę. Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz z 51

Algorytmy mrówkowe (ang. Ant Colony Optimization)

Algorytmy mrówkowe (ang. Ant Colony Optimization) Algorytmy mrówkowe (ang. Ant Colony Optimization) 1. Wprowadzenie do ACO a) mrówki naturalne b) mrówki sztuczne c) literatura (kilka pozycji) 2. ACO i TSP 1. Wprowadzenie do ACO a) mrówki naturalne ślepe,

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe

Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe Plan Literatura Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe Paweł Paduch Politechnika Świętokrzyska 8 maja 2014 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe 1 z 43 Plan wykładu Plan Literatura

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation)

Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Jest to technika probabilistyczna rozwiązywania problemów obliczeniowych, które mogą zostać sprowadzone do problemu znalezienie

Bardziej szczegółowo

Techniki optymalizacji

Techniki optymalizacji Techniki optymalizacji Metaheurystyki oparte na algorytmach lokalnego przeszukiwania Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl GRASP Greedy Randomized Adaptive Search Procedure T.A. Feo, M.G.C. Resende,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe. Plan. » Algorytm mrówkowy» Warianty» CVRP» Demo» Środowisko dynamiczne» Pomysł modyfikacji» Testowanie

Algorytmy mrówkowe. Plan. » Algorytm mrówkowy» Warianty» CVRP» Demo» Środowisko dynamiczne» Pomysł modyfikacji» Testowanie Algorytmy mrówkowe w środowiskach dynamicznych Dariusz Maksim, promotor: prof. nzw. dr hab. Jacek Mańdziuk 1/51 Plan» Algorytm mrówkowy» Warianty» CVRP» Demo» Środowisko dynamiczne» Pomysł modyfikacji»

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4

Obliczenia Naturalne - Algorytmy Mrówkowe cz. 4 Plan Literatura Obliczenia Naturalne - y Mrówkowe cz. 4 Paweł Paduch Politechnika Świętokrzyska 12 czerwca 2014 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - y Mrówkowe cz. 4 1 z 37 Plan wykładu Wstęp Plan Literatura

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe. P. Oleksyk. Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne

Algorytmy mrówkowe. P. Oleksyk. Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne y mrówkowe P. Oleksyk Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne 14 kwietnia 2015 1 Geneza algorytmu - biologia 2 3 4 5 6 7 8 Geneza

Bardziej szczegółowo

Problem komiwojażera ACO. Zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym.

Problem komiwojażera ACO. Zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym. Problem komiwojażera ACO Zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym. -Wikipedia Problem do rozwiązania zazwyczaj jest przedstawiany jako

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 10 - Mrówki w labiryntach Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/05/2016 1 / 48 Na poprzednim wykładzie 1... 2... 3... 2 / 48 1 Motywacja biologiczna Podstawowe mechanizmy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy metaheurystyczne Wykład 6. Piotr Syga

Algorytmy metaheurystyczne Wykład 6. Piotr Syga Algorytmy metaheurystyczne Wykład 6 Piotr Syga 10.04.2017 Wprowadzenie Inspiracje Wprowadzenie ACS idea 1 Zaczynamy z pustym rozwiązaniem początkowym 2 Dzielimy problem na komponenty (przedmiot do zabrania,

Bardziej szczegółowo

Systemy mrówkowe. Opracowali: Dawid Strucker, Konrad Baranowski

Systemy mrówkowe. Opracowali: Dawid Strucker, Konrad Baranowski Systemy mrówkowe Opracowali: Dawid Strucker, Konrad Baranowski Wprowadzenie Algorytmy mrówkowe oparte są o zasadę inteligencji roju (ang. swarm intelligence). Służą głównie do znajdowania najkrótszej drogi

Bardziej szczegółowo

Techniki optymalizacji

Techniki optymalizacji Techniki optymalizacji Wprowadzenie Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Literatura D.E. Goldberg Algorytmy genetyczne i zastosowania, WNT, 1995 Z. Michalewicz Algorytmy genetyczne + struktury danych

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naturalne Natural Computing. Informatyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Obliczenia naturalne Natural Computing. Informatyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny) KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe. H. Bednarz. Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne

Algorytmy mrówkowe. H. Bednarz. Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne Algorytmy mrówkowe H. Bednarz Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Inteligentne systemy informatyczne 13 kwietnia 2015 1 2 3 4 Przestrzeń poszukiwań Ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Mrówkowe. Daniel Błaszkiewicz. 11 maja 2011. Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego

Algorytmy Mrówkowe. Daniel Błaszkiewicz. 11 maja 2011. Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego Algorytmy Mrówkowe Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 11 maja 2011 Opis Mrówki w naturze Algorytmy to stosunkowo nowy gatunek algorytmów optymalizacyjnych stworzony przez Marco Dorigo w 1992

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problem

Wykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problem Wykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problemie marszrutyzacji Promotor: dr inż. Aneta Poniszewska-Marańda Współpromotor: mgr inż. Łukasz Chomątek 18 stycznia 2013 Przedmiot i cele pracy dyplomowej

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe w dynamicznych problemach transportowych

Algorytmy mrówkowe w dynamicznych problemach transportowych y w dynamicznych problemach transportowych prof. dr hab Jacek Mandziuk MiNI, PW 3 czerwca 2013 Cel pracy Zbadanie zachowania algorytmu go zwykłego oraz z zaimplementowanymi optymalizacjami dla problemów

Bardziej szczegółowo

Problem Komiwojażera - algorytmy metaheurystyczne

Problem Komiwojażera - algorytmy metaheurystyczne Problem Komiwojażera - algorytmy metaheurystyczne algorytm mrówkowy algorytm genetyczny by Bartosz Tomeczko. All rights reserved. 2010. TSP dlaczego metaheurystyki i heurystyki? TSP Travelling Salesman

Bardziej szczegółowo

Metody Programowania

Metody Programowania POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Podejście memetyczne do problemu DCVRP - wstępne wyniki. Adam Żychowski

Podejście memetyczne do problemu DCVRP - wstępne wyniki. Adam Żychowski Podejście memetyczne do problemu DCVRP - wstępne wyniki Adam Żychowski Na podstawie prac X. S. Chen, L. Feng, Y. S. Ong A Self-Adaptive Memeplexes Robust Search Scheme for solving Stochastic Demands Vehicle

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

Algorytm dyskretnego PSO z przeszukiwaniem lokalnym w problemie dynamicznej wersji TSP

Algorytm dyskretnego PSO z przeszukiwaniem lokalnym w problemie dynamicznej wersji TSP Algorytm dyskretnego PSO z przeszukiwaniem lokalnym w problemie dynamicznej wersji TSP Łukasz Strąk lukasz.strak@gmail.com Uniwersytet Śląski, Instytut Informatyki, Będzińska 39, 41-205 Sosnowiec 9 grudnia

Bardziej szczegółowo

Metoda UCT w stochastycznych problemach transportowych

Metoda UCT w stochastycznych problemach transportowych Metoda UCT w stochastycznych problemach transportowych mgr inż. Maciej Świechowski promotor: prof. Jacek Mańdziuk Seminarium Metody Inteligencji Obliczeniowej 25.06.2015 Plan prezentacji Krótkie przypomnienie

Bardziej szczegółowo

OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA

OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) 16.01.2003 Algorytmy i Struktury Danych PIŁA ALGORYTMY ZACHŁANNE czas [ms] Porównanie Algorytmów Rozwiązyjących problem TSP 100 000 000 000,000 10 000 000

Bardziej szczegółowo

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Droga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Wybrane algorytmy

Optymalizacja. Wybrane algorytmy dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problem

Wykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problem Wykorzystanie algorytmów mrówkowych w dynamicznym problemie marszrutyzacji Promotor: dr inż. Aneta Poniszewska-Marańda Współpromotor: mgr inż. Łukasz Chomątek 14 czerwca 2013 Przedmiot i cele pracy dyplomowej

Bardziej szczegółowo

XII International PhD Workshop OWD 2010, October 2010 MODEL TEORETYCZNY ALGORYTMU MRÓWKOWEGO SAS

XII International PhD Workshop OWD 2010, October 2010 MODEL TEORETYCZNY ALGORYTMU MRÓWKOWEGO SAS XII International PhD Workshop OWD 2010, 23 26 October 2010 MODEL TEORETYCZNY ALGORYTMU MRÓWKOWEGO SAS Paweł Rembelski, Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych (Opiekun naukowy: prof. Witold

Bardziej szczegółowo

Algorytmy heurystyczne w UCB dla DVRP

Algorytmy heurystyczne w UCB dla DVRP Algorytmy heurystyczne w UCB dla DVRP Seminarium IO na MiNI 24.03.2015 Michał Okulewicz based on the decision DEC-2012/07/B/ST6/01527 Plan prezentacji Definicja problemu DVRP UCB na potrzeby DVRP Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy

Bardziej szczegółowo

Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).

Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ). Algorytm A* Opracowanie: Joanna Raczyńska 1.Wstęp Algorytm A* jest heurystycznym algorytmem służącym do znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie. Jest to algorytm zupełny i optymalny, co oznacza, że zawsze

Bardziej szczegółowo

Obliczenia z wykorzystaniem sztucznej inteligencji

Obliczenia z wykorzystaniem sztucznej inteligencji Obliczenia z wykorzystaniem sztucznej inteligencji wykład III Systemy mrówkowe Joanna Kołodziejczyk marzec 2016 Joanna Kołodziejczyk Obliczenia z wykorzystaniem sztucznej inteligencji marzec 2016 1 / 38

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW MRÓWKOWYCH W ROZWIĄZANIU PROBLEMU SZEREGOWANIA ZADAŃ APPLICATION OF ANT COLONY SYSTEMS IN SOLVING OF TASK SCHEDULING PROBLEM

ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW MRÓWKOWYCH W ROZWIĄZANIU PROBLEMU SZEREGOWANIA ZADAŃ APPLICATION OF ANT COLONY SYSTEMS IN SOLVING OF TASK SCHEDULING PROBLEM GRZEGORZ FILO ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW MRÓWKOWYCH W ROZWIĄZANIU PROBLEMU SZEREGOWANIA ZADAŃ APPLICATION OF ANT COLONY SYSTEMS IN SOLVING OF TASK SCHEDULING PROBLEM S t r e s z c z e n i e A b s t r a c

Bardziej szczegółowo

Seminarium IO. Zastosowanie wielorojowej metody PSO w Dynamic Vehicle Routing Problem. Michał Okulewicz

Seminarium IO. Zastosowanie wielorojowej metody PSO w Dynamic Vehicle Routing Problem. Michał Okulewicz Seminarium IO Zastosowanie wielorojowej metody PSO w Dynamic Vehicle Routing Problem Michał Okulewicz 26.02.2013 Plan prezentacji Przypomnienie Problem DVRP Algorytm PSO Podejścia DAPSO, MAPSO 2PSO, 2MPSO

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM KLASTERYZACJI W ZASTOSOWANIU DO PROBLEMU TRASOWANIA POJAZDÓW

ALGORYTM KLASTERYZACJI W ZASTOSOWANIU DO PROBLEMU TRASOWANIA POJAZDÓW Logistyka - nauka Tomasz AMBROZIAK *, Roland JACHIMOWSKI * ALGORYTM KLASTERYZACJI W ZASTOSOWANIU DO PROBLEMU TRASOWANIA POJAZDÓW Streszczenie W artykule scharakteryzowano problematykę klasteryzacji punktów

Bardziej szczegółowo

Techniki optymalizacji

Techniki optymalizacji Techniki optymalizacji Algorytm kolonii mrówek Idea Smuga feromonowa 1 Sztuczne mrówki w TSP Sztuczna mrówka agent, który porusza się z miasta do miasta Mrówki preferują miasta połączone łukami z dużą

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

Analiza stanów gry na potrzeby UCT w DVRP

Analiza stanów gry na potrzeby UCT w DVRP Analiza stanów gry na potrzeby UCT w DVRP Seminarium IO na MiNI 04.11.2014 Michał Okulewicz based on the decision DEC-2012/07/B/ST6/01527 Plan prezentacji Definicja problemu DVRP DVRP na potrzeby UCB Analiza

Bardziej szczegółowo

Obliczenia z wykorzystaniem sztucznej inteligencji

Obliczenia z wykorzystaniem sztucznej inteligencji Obliczenia z wykorzystaniem sztucznej inteligencji wykład III Systemy mrówkowe Joanna Kołodziejczyk 31 marzec 2014 Plan wykładu 1 Inspiracje biologiczne Informacje ogólne Naturalna optymalizacja 2 Artificial

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

Zadania laboratoryjne i projektowe - wersja β

Zadania laboratoryjne i projektowe - wersja β Zadania laboratoryjne i projektowe - wersja β 1 Laboratorium Dwa problemy do wyboru (jeden do realizacji). 1. Water Jug Problem, 2. Wieże Hanoi. Water Jug Problem Ograniczenia dla każdej z wersji: pojemniki

Bardziej szczegółowo

Algorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak

Algorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 13 listopada 2007 Plan wystapienia 1 Informatyka Kwantowa podstawy 2 Opis problemu (przeszukiwanie zbioru) 3 Intuicyjna

Bardziej szczegółowo

Techniki optymalizacji

Techniki optymalizacji Techniki optymalizacji Dokładne algorytmy optymalizacji Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem minimalizacji

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa

Bardziej szczegółowo

Algorytmy metaheurystyczne podsumowanie

Algorytmy metaheurystyczne podsumowanie dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem

Bardziej szczegółowo

Strategie Zespołowe (SZ) dr inż. Tomasz Białaszewski

Strategie Zespołowe (SZ) dr inż. Tomasz Białaszewski Strategie Zespołowe (SZ) dr inż. Tomasz Białaszewski Tematyka wykładu Algorytmy Inteligencji Roju (Swarm Intelligence, SI) Optymalizacja kolonią mrówek (Ant Colony Optimization, ACO) Optymalizacja rojem

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie UCT w problemach transportowych ze zmiennym zakorkowaniem ulic

Zastosowanie UCT w problemach transportowych ze zmiennym zakorkowaniem ulic Zastosowanie UCT w problemach transportowych ze zmiennym zakorkowaniem ulic MACIEJ ŚWIECHOWSKI PROMOTOR: PROF. JACEK MAŃDZIUK TEMAT W RAMACH GRANTU NCN NA PODSTAWIE DECYZJI DEC-2012/07/B/ST6/01527 Plan

Bardziej szczegółowo

Seminarium IO. Zastosowanie metody PSO w Dynamic Vehicle Routing Problem (kontynuacja) Michał Okulewicz

Seminarium IO. Zastosowanie metody PSO w Dynamic Vehicle Routing Problem (kontynuacja) Michał Okulewicz Seminarium IO Zastosowanie metody PSO w Dynamic Vehicle Routing Problem (kontynuacja) Michał Okulewicz 26.10.2012 Plan prezentacji Problem VRP+DR Algorytm PSO Podejścia MAPSO + 2-Opt 2-phase PSO Wyniki

Bardziej szczegółowo

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03

Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Algorytmy stochastyczne laboratorium 03 Jarosław Piersa 10 marca 2014 1 Projekty 1.1 Problem plecakowy (1p) Oznaczenia: dany zbiór przedmiotów x 1,.., x N, każdy przedmiot ma określoną wagę w(x i ) i wartość

Bardziej szczegółowo

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ALGORYTM MRÓWKOWY (ANT SYSTEM) ALGORYTM MRÓWKOWY. Algorytm mrówkowy PLAN WYKŁADU Algorytm mrówowy OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wyład 8 dr inż. Agniesza Bołtuć (ANT SYSTEM) Inspiracja: Zachowanie mrówe podczas poszuiwania żywności, Zachowanie to polega na tym, że jeśli do żywności

Bardziej szczegółowo

Ogólne wiadomości o grafach

Ogólne wiadomości o grafach Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,

Bardziej szczegółowo

Tomasz M. Gwizdałła 2012/13

Tomasz M. Gwizdałła 2012/13 METODY METODY OPTYMALIZACJI OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2012/13 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.523b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 7: Problem komiwojażera (TSP) cz. 2

LABORATORIUM 7: Problem komiwojażera (TSP) cz. 2 Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl OBLICZENIA EWOLUCYJNE LABORATORIUM 7: Problem komiwojażera (TSP) cz. 2 opracował:

Bardziej szczegółowo

Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10,

Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10, 1 Kwantyzacja wektorowa Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10, 28.04.2006 Kwantyzacja wektorowa: dane dzielone na bloki (wektory), każdy blok kwantyzowany jako jeden element danych. Ogólny

Bardziej szczegółowo

Problemy z ograniczeniami

Problemy z ograniczeniami Problemy z ograniczeniami 1 2 Dlaczego zadania z ograniczeniami Wiele praktycznych problemów to problemy z ograniczeniami. Problemy trudne obliczeniowo (np-trudne) to prawie zawsze problemy z ograniczeniami.

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH I MRÓWKOWYCH W PROBLEMACH TRANSPORTOWYCH

WYKORZYSTANIE ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH I MRÓWKOWYCH W PROBLEMACH TRANSPORTOWYCH Inżynieria Rolnicza 7(105)/2008 WYKORZYSTANIE ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH I MRÓWKOWYCH W PROBLEMACH TRANSPORTOWYCH Justyna Zduńczuk, Wojciech Przystupa Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy

Bardziej szczegółowo

Maciej Piotr Jankowski

Maciej Piotr Jankowski Reduced Adder Graph Implementacja algorytmu RAG Maciej Piotr Jankowski 2005.12.22 Maciej Piotr Jankowski 1 Plan prezentacji 1. Wstęp 2. Implementacja 3. Usprawnienia optymalizacyjne 3.1. Tablica ekspansji

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Przeszukiwanie lokalne

Optymalizacja. Przeszukiwanie lokalne dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Idea sąsiedztwa Definicja sąsiedztwa x S zbiór N(x) S rozwiązań, które leżą blisko rozwiązania x

Bardziej szczegółowo

Algorytm genetyczny (genetic algorithm)-

Algorytm genetyczny (genetic algorithm)- Optymalizacja W praktyce inżynierskiej często zachodzi potrzeba znalezienia parametrów, dla których system/urządzenie będzie działać w sposób optymalny. Klasyczne podejście do optymalizacji: sformułowanie

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej

Bardziej szczegółowo

Algorytmy mrówkowe wprowadzenie.

Algorytmy mrówkowe wprowadzenie. Algorytmy mrówkowe wprowadzenie. Jakub Zajkowski 1 Wstęp i rys historyczny Algorytmy mrówkowe to grupa procesów służących przede wszystkim do poszukiwania dróg w grafie. Z formalnego punktu widzenia algorytmy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Metody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu

Metody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu Metody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: wtorek

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Mrówkowe. Daniel Błaszkiewicz 11 maja 2011

Algorytmy Mrówkowe. Daniel Błaszkiewicz 11 maja 2011 Algorytmy Mrówkowe Daniel Błaszkiewicz 11 maja 2011 1 Wprowadzenie Popularnym ostatnimi laty podejściem do tworzenia nowych klas algorytmów do szukania rozwiązań problemów nie mających algorytmów rozwiązujących

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy ewolucyjne 1

Algorytmy ewolucyjne 1 Algorytmy ewolucyjne 1 2 Zasady zaliczenia przedmiotu Prowadzący (wykład i pracownie specjalistyczną): Wojciech Kwedlo, pokój 205. Konsultacje dla studentów studiów dziennych: poniedziałek,środa, godz

Bardziej szczegółowo

METODY OPTYMALIZACJI. Tomasz M. Gwizdałła 2018/19

METODY OPTYMALIZACJI. Tomasz M. Gwizdałła 2018/19 METODY OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2018/19 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.524b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla

Bardziej szczegółowo

Projektowanie i analiza algorytmów

Projektowanie i analiza algorytmów POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Projektowanie i analiza algorytmów www.pk.edu.pl/~zk/piaa_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2013-01-09

Bardziej szczegółowo

PEWNE METODY HYBRYDOWE W JEDNOKRYTERIALNEJ OPTYMALIZACJI KONSTRUKCJI SOME HYBRID METHODS FOR SINGLE CRITERIA DESIGN OPTIMIZATION

PEWNE METODY HYBRYDOWE W JEDNOKRYTERIALNEJ OPTYMALIZACJI KONSTRUKCJI SOME HYBRID METHODS FOR SINGLE CRITERIA DESIGN OPTIMIZATION STANISŁAW KRENICH PEWNE METODY HYBRYDOWE W JEDNOKRYTERIALNEJ OPTYMALIZACJI KONSTRUKCJI SOME HYBRID METHODS FOR SINGLE CRITERIA DESIGN OPTIMIZATION S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne dla problemu komiwojażera (ang. traveling salesperson)

Algorytmy genetyczne dla problemu komiwojażera (ang. traveling salesperson) Algorytmy genetyczne dla problemu komiwojażera (ang. traveling salesperson) 1 2 Wprowadzenie Sztandarowy problem optymalizacji kombinatorycznej. Problem NP-trudny. Potrzeba poszukiwania heurystyk. Chętnie

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

Algorytmy sortujące i wyszukujące

Algorytmy sortujące i wyszukujące Algorytmy sortujące i wyszukujące Zadaniem algorytmów sortujących jest ułożenie elementów danego zbioru w ściśle określonej kolejności. Najczęściej wykorzystywany jest porządek numeryczny lub leksykograficzny.

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Naturalne - Wstęp

Obliczenia Naturalne - Wstęp Literatura Wprowadzenie Obliczenia Naturalne - Wstęp Paweł Paduch Politechnika Świętokrzyska 18 lutego 2014 Paweł Paduch Obliczenia Naturalne - Wstęp 1 z 49 Plan wykładu Wstęp Literatura Wprowadzenie 1

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE TRASY PRZEJŚCIA STATKU Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU MRÓWKOWEGO

PLANOWANIE TRASY PRZEJŚCIA STATKU Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU MRÓWKOWEGO Agnieszka Lazarowska Akademia Morska w Gdyni PLANOWANIE TRASY PRZEJŚCIA STATKU Z ZASTOSOWANIEM ALGORYTMU MRÓWKOWEGO W artykule zaprezentowano wyniki pracy badawczej, dotyczącej zastosowania jednej z metod

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE ZAGADNIEŃ UKŁADANIA TRAS POJAZDÓW Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMÓW EWOLUCYJNYCH. Wstęp

ROZWIĄZYWANIE ZAGADNIEŃ UKŁADANIA TRAS POJAZDÓW Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMÓW EWOLUCYJNYCH. Wstęp B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 2005 Radosław JADCZAK* ROZWIĄZYWANIE ZAGADNIEŃ UKŁADANIA TRAS POJAZDÓW Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMÓW EWOLUCYJNYCH W artykule poruszono zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy ewolucyjne

Algorytmy ewolucyjne Algorytmy ewolucyjne wprowadzenie Piotr Lipiński lipinski@ii.uni.wroc.pl Piotr Lipiński Algorytmy ewolucyjne p.1/16 Cel wykładu zapoznanie studentów z algorytmami ewolucyjnymi, przede wszystkim nowoczesnymi

Bardziej szczegółowo

Metody przeszukiwania

Metody przeszukiwania Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

PRZESZUKIWANIE LOKALNE I ALGORYTMY POPULACYJNE DLA WIELOKRYTERIALNEGO PROBLEMU GNIAZDOWEGO

PRZESZUKIWANIE LOKALNE I ALGORYTMY POPULACYJNE DLA WIELOKRYTERIALNEGO PROBLEMU GNIAZDOWEGO Przeszukiwanie lokalne i algorytmy... Jarosław RUDY, Dominik ŻELAZNY Politechnika Wrocławska PRZESZUKIWANIE LOKALNE I ALGORYTMY POPULACYJNE DLA WIELOKRYTERIALNEGO PROBLEMU GNIAZDOWEGO Streszczenie. W pracy

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych ELEMENTY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium nr 9 PRZESZUKIWANIE GRAFÓW Z

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych

Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2013/14 Znajdowanie maksimum w zbiorze

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych

Bardziej szczegółowo

Heurystyczne metody przeszukiwania

Heurystyczne metody przeszukiwania Heurystyczne metody przeszukiwania Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Pojęcie heurystyki Metody heurystyczne są jednym z ważniejszych narzędzi sztucznej inteligencji.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Zadanie do wykonania 1) Utwórz na pulpicie katalog w formacie Imię nazwisko, w którym umieść wszystkie pliki związane z

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010 Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)

Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Algorytmy i struktury danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 5: Algorytmy

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ALGORYTMU MRÓWKOWEGO DO WYZNACZANIA MAKSYMALNEJ GRUPY WZAJEMNIE POŁĄCZONYCH ELEMENTÓW

ZASTOSOWANIE ALGORYTMU MRÓWKOWEGO DO WYZNACZANIA MAKSYMALNEJ GRUPY WZAJEMNIE POŁĄCZONYCH ELEMENTÓW KRZYSZTOF SCHIFF ZASTOSOWANIE ALGORYTMU MRÓWKOWEGO DO WYZNACZANIA MAKSYMALNEJ GRUPY WZAJEMNIE POŁĄCZONYCH ELEMENTÓW ANT ALGORITHMS FOR DETERMINING MAXIMUM GROUP OF INTERCONNECTED ELEMENTS Streszczenie

Bardziej szczegółowo