Wstęp do obliczeń FEM

Transkrypt

1 Wstęp do obliczeń FEM Wiadomości jak zacząć M. Rad

2 Plan wykładu Obliczenia polowe co to jest (w skrócie) Model Program Jak po kolei stworzyć model zadać parametry obliczyć oglądnąć wyniki

3 Obliczenia polowe Opis układów fizycznych poprzez bloki skupione i prawa całkowe ułatwia analizę i obliczenia, ale jest często zbytnim uproszczeniem. Opis polowy, z użyciem równań różniczkowych cząstkowych, precyzuje znacznie dokładniejszy obraz, ale tylko w wybranych przypadkach dają się one rozwiązać analitycznie. Brak możliwości uzyskania rozwiązań analitycznych powoduje, że aktualnie podstawową metodą jest numeryczne wyliczanie przybliżonego rozwiązywania tych równań. W tym celu najczęściej stosowana jest metoda elementów skończonych (Finite Element Method) Dokładniejsze podstawy tej metody zostaną przedstawione w dalszych wykładach tutaj skupimy się na wiadomościach niezbędnych do rozpoczęcia ćwiczeń

4 Metoda FEM w wielkim skrócie Podstawową ideą tej metody jest podział obszaru, w którym pole ma być wyznaczone na małe podobszary (elementy skończone). Obszar obliczeń musi być oczywiście skończony Podobszary te wypełniają całkowicie obszar obliczeń W przypadku problemu płaskiego są to najczęściej trójkąty lub prostokąty. Każda z tych figur ma wierzchołki, które są wspólne dla kilku sąsiednich elementów. Tworzy się siatka z punktami węzłowymi. Poszukiwane są wartości pola w tych punktach węzłowych, takie które możliwie najlepiej odtwarzają wartości oczekiwane, w świetle pewnego kryterium. Zwykle jest to pewien funkcjonał, a więc szukane jest minimum pewnego funkcjonału.

5 Metoda FEM cd... Opis polowy, cząstkowy ciągły, nieliniowy zostaje zamieniony na opis różnicowy w wielu poszczególnych elementach. W każdym z nich jest liniowy. Matematycznie problem sprowadza się więc do rozwiązywania układu równań liniowych, zwyczajnych. Liczba tych równań jest wprawdzie duża, lecz techniki liczenia są znane i uniwersalne

6 Metoda FEM... Oczywiście rozwiązanie musi też uwzględniać warunki, jakie zostają zadane na brzegu obszaru, który jest analizowany oraz zadane wymuszenia zewnętrzne. Można też powiedzieć odwrotnie: aby dostać jakiekolwiek sensowne wyniki, należy znać i prawidłowo zadać warunki brzegowe.

7 Metoda FEM... Zjawiska fizyczne w naturze zachodzą w trójwymiarowej przestrzeni i są zmienne w czasie. Zmianę w czasie dyskretyzuje się i traktuje poszczególne stany w czasie, jako oddzielne przypadki. Pozostaje trójwymiarowy (3D) układ współrzędnych przestrzennych. Tworzenie modelu 3D skutkuje zwykle powstaniem dużej liczby elementów, a w konsekwencji długim czasem obliczeń, jest też dużo trudniejsze. Z tego powodu często upraszcza się opis do dwuwymiarowego (2D), gdy można założyć, że w układzie badanym spełnione są pewne warunki symetrii.

8 Model 2D płaski Wyróżnia się dwa podstawowe przypadki: - gdy pole w płaszczyznach równoległych dowolnie oddalonych jest takie samo problem płaski (planar)

9 Model 2D osiowo - symetryczny gdy pole w płaszczyznach obróconych względem wspólnej osi, leżącej w tych płaszczyznach, jest takie samo układ osiowo symetryczny (axisymmetric). W obu przypadkach występują dwie współrzędne przestrzenne, a opis problemu i wyniki można przedstawić na płaszczyźnie (ekranie, kartce).

10 Program do obliczeń Programy komercyjne mają duże możliwości, lecz są kosztowne Najczęściej mają bardzo duże wymagania sprzętowe Dodatkowo ich skuteczna obsługa wymaga dość długiej nauki. Z tych powodów zdecydowano się na program FEMM 4.2:

11 Femm 4.2 Program Femm 4.2 umożliwia realizację wszystkich istotnych etapów obliczeń; od sformułowania geometrii układu i zadania własności materiałów, przez generację siatki i wykonanie obliczeń, do obserwacji wyników i ich eksportu na zewnątrz. Nie ma konieczności wspomagania się innymi programami, lecz gdy ma się taką potrzebę, są też takie opcje (np. Matlab).

12 Femm 4.2 Program Femm 4.2 daje możliwość przeliczania problemów: magnetycznych, elektrycznych, cieplnych i przepływowych. Trzy pierwsze opcje zostaną użyte w ramach laboratorium przedmiotu. Sposób obsługi we wszystkich przypadkach jest podobny i dlatego szerzej zostanie omówiony tylko dla pola magnetycznego.

13 Realizacja obliczeń pola magnetycznego Dla wyznaczenia pola magnetycznego trzeba wykonać następujące kroki: 1) sformułować geometrię układu 2) określić własności magnetyczne materiałów w poszczególnych obszarach 3) określić rozkład obszarów prądowych i wartości płynących prądów 4) określić kształt, typ i wartości warunków brzegowych Po takim sformułowaniu problemu można przejść do generacji siatki elementów, następnie obliczeń pola i po ich zakończeniu do obserwacji i przetwarzania wyników.

14 Ad 1) Geometria układu Geometrię obiektu można określić tworząc rysunek przy użyciu narzędzi programu femm 4.2, lub importując wcześniej przygotowane zbiory.dxf (format generowany przez programy CAD). Rysunki wykonane w programie femm można też eksportować na zewnątrz do formatu.dxf. Eksportowana jest tylko geometria obiektu z zachowaniem skali, lecz bez danych materiałowych.

15 Uruchomienie programu Wybrać rodzaj problemu Następnie z górnego paska menu programu wybrać zakładkę Problem W oknie tym zadawane są też takie wielkości jak: jednostki miary (mm, m, cale), głębokość obiektu przy problemie płaskim, częstotliwość prądów wzbudzających i ewentualnie dokładność i sposób obliczeń. Te ostatnie wielkości raczej należy pozostawić takimi, jakie są (jak na rys. obok).

16 Główne okno Po zadaniu tych wielkości otwiera się główne okno programu.

17 Przyciski w linii poziomej na górze służą do zrealizowania geometrii i sterowania procesem obliczania. Przyciski w linii pionowej po lewej stronie służą do manipulowania obrazem, jak przemieszczanie, powiększanie, a także dwa górne z nich odnoszą się do użycia języka LUA. Funkcja poszczególnego przycisku jest podpowiadana w lewym dolnym rogu okna. Funkcje realizowane poprzez przyciski są też w rozwijanych menu. Poprzez poszczególne menu można zrealizować też inne zadania, jak na przykład zdefiniowanie materiałów.

18 Ustalenie materiałów Materiały, które wystąpią w modelowanym układzie trzeba ustalić wywołując opcję Properities Materials Library, jak na rysunku: Wybrane materiały należy przenieść na prawą stronę

19 Geometria Mając przygotowane materiały należy zadać kształty geometryczne. Dla każdego rodzaju materiału tworzy się oddzielny, zamknięty obszar. Również, gdy planujemy zagęszczanie siatki w pewnych okolicach, to obszar ten musimy wydzielić. Przewidzieć także trzeba kontury dla planowanych obliczeń, na przykład rozkładu wartości indukcji na pewnej linii, gdyż wyniki takie wykreślane są tylko na określonych wcześniej konturach, lub na ich częściach.

20 Geometria Jak już wcześniej wspomniano, geometrię modelu można wczytać z pliku lub narysować bezpośrednio w Femm'ie Wczytana grafika może być edytowana w już w programie

21 Geometria - tworzenie Tworząc rysunek w programie femm 4.2 korzystamy z trzech elementów: punktu, odcinka i łuku. Aktywowane są ich odpowiedniki przyciskami w górnej linijce. Podstawowym elementem jest punkt, gdyż odcinek jest rozpinany pomiędzy dwoma wcześniej określonymi punktami. Łuk też ma końce na dwóch istniejących punktach. Dla łuku trzeba podać dodatkowo kąt środkowy, któremu ten łuk ma odpowiadać.

22 Granica obliczeń i warunki brzegowe Pola magnetyczne są w rzeczywistości nieograniczone. Praktycznie jednak, poza pewnym obszarem, stają się już pomijalne i nie ma potrzeby ich tam wyliczać. Należy więc zawsze określić granicę obszaru obliczeń, nazywaną brzegiem. Związane jest to również z samym sposobem obliczeń w FEM. Aby wartości pola w pobliżu brzegu były zbliżone do rzeczywistych dla pola nieograniczonego, należy określić zawsze warunki brzegowe. Sprowadza się to do określenia rozkładu potencjału magnetycznego na brzegu. W programie przewidziane jest kilka typów takich rozkładów.

23 Ustalenie granicy obliczeń Aby ustalić granicę obliczeń należy z menu Properties wybrać punkt Boundary Następnie wybrać Add Property Następnie wybrać nazwę definiowanej granicy i jej rodzaj

24 Przypisanie materiałów do obszarów Mając geometrię obiektu trzeba zadać poszczególnym obszarom parametry materiałowe, przez przypisanie do materiałów znajdujących się w bibliotece modelu, a także sprecyzować obwody i określić płynące w nich prądy. Te dane obwodów trzeba wcześniej wpisać do biblioteki wywołując opcję Properties Circuits.

25 Przypisanie materiałów do obszarów Wskaźnik materiału (zielony kwadracik) aktywuje się prawym przyciskiem myszki. Najbliższy do kursora wskaźnik zmienia wtedy kolor na czerwony. Naciskając na klawiaturze spację otwiera się okienko do zadania parametrów danego obszaru. Należy wybrać rodzaj materiału (z wcześniej załączonych do modelu) oraz opcjonalnie obwód

26

27 Generacja siatki Po całkowitym zdefiniowaniu geometrii i określeniu własności materiałów wszystkich obszarów należy zapisać plik (jest to konieczne) Następnie możemy uruchomić generator siatki elementów.

28 Siatka Dzieli poszczególne obszary obiektu na trójkąty prostoliniowe. Fragmenty o małym promieniu krzywizny generują w konsekwencji dużą liczbę elementów. Z doświadczeń praktycznych wynika, że należy tak wpływać na tworzenie siatki, aby liczba elementów nie przekraczała

29 Siatka gęstość Na liczbę elementów ma wpływ możliwy do zadeklarowania maksymalny wymiar elementu siatki w poszczególnym obszarze. Pozostawienie opcjonalnie doboru automatycznego może często nie dawać zadowalających wyników, ale dla początkujących użytkowników jest to postępowanie zalecane. W miarę nabywania praktycznego doświadczenia i wzrostu wymagań można skorzystać z dostępnej opcji deklarowania wymiaru maksymalnych elementów przy definiowaniu własności poszczególnych obszarów.

30 Siatka - gęstość Aby ustalić ręcznie gęstość siatki należy przywołać okno z własnościami obszaru ( properities for selected block ) Odznaczyć Let Triangle choose Mesh Size W polu Mesh size wpisać żądaną wielkość

31

32 Obliczenia Po wygenerowaniu siatki, można uruchomić proces obliczeniowy, przy pomocy przycisku z korbką. Postęp obliczeń pokazywany jest w okienku informacyjnym. Gdy ono zniknie, obliczenia są zakończone i można przejść do obserwacji ich wyników w nowym oknie, wykorzystując przycisk z okularami.

33

34 Obserwacja wyników Wielkość i sposób ich obrazowania można wybrać w oknie dialogowym Po zaznaczaniu Show Density i Show Legend otrzymujemy obraz pozwalający ocenić okiem rozkład indukcji, będący mapą kolorów. Obok tego w okienku FEMM Output wyświetlane są różne wielkości liczbowe przypisane punktowi w którym został naciśnięty lewy przycisk myszki, co widać w prawym dolnym rogu rysunku.

35 Obliczanie sił itp... Po wyznaczeniu rozkładu pola istnieje też możliwość wyliczenia różnych interesujących wartości, jak: siły, strumienie sprzężone, indukcyjności, moce i.t.p. W przetwornikach o ruchu liniowym interesująca jest siła mechaniczna działająca na poszczególne części.

36 Obliczenia sił Wyliczanie sił i momentów w programie femm bazuje na całkowaniu wartości tensora naprężeń Maxwella. Zasadniczo całkowanie to powinno odbywać się po powierzchni granicznej danej bryły. W metodzie elementów skończonych jednak wartości pola, szczególnie składowej stycznej, wyliczone na powierzchni granicznej między ferromagnetykiem a powietrzem, mogą być obarczone znacznym błędem. Znana w elektromagnetyzmie jest jednak relacja, że całka z tensora naprężeń Maxwella po dowolnej zamkniętej powierzchni w powietrzu otaczającym bryłę jest równa sumarycznej sile działającej na tę bryłę.

37 Obliczenia sił cd.. W programie Femm, dla zminimalizowania błędów wynikających z dyskretyzacji siatki elementów, wbudowano specjalną procedurę uśredniającą. Wywoływana jest ona przez Force via Weighted Stress Tensor. Działa automatycznie i nie wymaga ingerencji wykonującego obliczenia. Należy tylko wcześniej zaznaczyć bloki materiałów lub uzwojeń, które są całkowicie otoczone powietrzem.

38

39 Indukcyjność, strumień sprzężony... Parametry związane z obwodami wylicza się wywołując dostępne opcje przyciskiem z rysunkiem cewki:

40

41 Wykresy wartości Inną możliwością przedstawienia wyników obliczeń rozkładu pola jest wykonanie wykresu zmienności wybranej wielkości pola na wybranej linii, na przykład na dolnej powierzchni zwory. Trzeba to zaznaczyć wybierając przycisk z czerwonym odcinkiem, aktywować wybraną linię przez aktywację jej skrajnych punktów (o czym informuje czerwony kolor), a następnie aktywując przycisk z symbolem wykresu. Wreszcie trzeba wybrać jedną z możliwych wielkości pola:

42 Wykresy wartości

43 Literatura Układy elektromechaniczne i transformatory obliczenia i zadania P. Dybowski, T.Lerch, W. Milej, W.Rams, J.Skwarczyński. Wydawnictwo AGH Podręcznik ( manual.pdf ) do programu FEMM 4.2 Pobrać można z: Informacje nt ćwiczeń na home.agh.edu.pl/~rad/wiki

44 harmonogram dzień godzina sala budynek prowadzący wt C6 mgr.s.barczentewicz wt C6 dr.t.lerch Śr C6 dr. M. Rad śr C6 mgr.s.barczentewicz czw 8.30 (14) H18 B1 dr. M. Rad czw C6 dr. T. Lerch czw C6 mgr.s.barczentewicz