Pozycjonowanie i stabilizacja po o enia platformy podwieszanej z uwzgl dnieniem drgaƒ poziomych wywo anych przemieszczaniem si osób

Transkrypt

1 Pozycjonowanie i stabilizacja po o enia platformy podwieszanej z uwzgl dnieniem drgaƒ poziomych wywo anych przemieszczaniem si osób STEFAN CHWASTEK Artyku jest rozwini ciem pracy, która ju zosta a opublikowana w Problemach Maszyn Roboczych [1]. Zaprezentowany w niej model fizyczny platformy pomija drgania poziome w czasie podnoszenia asymetrycznie obcià onej platformy, albowiem nie rozpatrywano ruchu osób, które si na niej znajdujà. Zagro enie, jakie wywo uje przemieszczanie si osób wzgl dem platformy, jest bardzo realne i nigdy do koƒca nie mo na go wykluczyç. Nie mo na bowiem wykluczyç zabronionych zachowaƒ ludzi. Asymetria obcià eƒ platformy powoduje zró nicowanie napi ç w linach, na których jest podwieszona, a tym samym zró nicowanie obcià eƒ silników nap dowych. JeÊli asymetria ma charakter sta y, wówczas dojdzie do ustalenia tzw. punktów pracy na charakterystykach pr dkoêciowych silników nap dowych. Je eli osoby znajdujàce si na platformie zaczynajà si wzgl dem niej przemieszczaç, powodujà pojawienie si sk adowej zmiennej obcià enia w ka dej z lin. Silniki nap dowe wytwarzajà wówczas momenty nap dowe, dopasowujàc si do zmieniajàcych si Dr in. Stefan Chwastek jest adiunktem w Katedrze Maszyn i Transportu Bliskiego Politechniki Krakowskiej. momentów obcià enia. W takich warunkach nie dojdzie do ustalenia Êrednich pr dkoêci obrotowych wirników. Procesy dynamiczne zwiàzane z ruchem platformy b dà wi c procesami niestacjonarnymi. Celem niniejszej pracy jest synteza uk adu automatycznej regulacji klatkowych silników indukcyjnych wciàgarek linowych, zapewniajàcych precyzyjne pozycjonowanie oraz stabilizacj po o enia poziomego platformy w czasie pracy z uwzgl dnieniem zak óceƒ spowodowanych przemieszczaniem si osób. Proponowane rozwiàzanie oparte jest na syntezie regulatora optymalnego LQR, którego dzia anie sprowadza si do odpowiedniego formowania pràdu stojana ka dego z silników indukcyjnych. Model fizyczny linowej platformy podwieszanej Model fizyczny uk adu, którym jest linowa platforma podwieszana do dwóch wciàgarek, przedstawiono na rys. 1. Liczba stopni swobody uk adu przy ograniczeniu si do modelu p askiego i pomini ciu podatnoêci uk adów nap dowych wynosi 5. Poszczególne stopnie swobody reprezentowane sà jako ROK WYD. LXXI ZESZYT 1/

2 równania ruchu platformy podwieszanej przyjmà postaç: (8) Zak ada si, e cz owiek porusza si wzgl dem platformy, nie tracàc kontaktu z podestem. Rys. 1. Model fizyczny linowej platformy podwieszanej elementy wektora wspó rz dnych uogólnionych: q = [x, y, ϕ, ϕ 1, ϕ 2 ] T. Ruch p aski platformy jako bry y sztywnej opisany jest przez zmienne: x, y, ϕ. Wspó rz dne: ϕ 1, ϕ 2 reprezentujà zredukowane do b bnów linowych wymuszenia kàtowe od silników nap dowych. Zak ada si, e adunek jest nieruchomy wzgl dem platformy, wówczas ci ar G 0 reprezentuje sum ci arów: w asnego platformy i adunku. Odleg oêci wypadkowego Êrodka ci koêci ci aru adunku i ci aru w asnego platformy od punktów mocowania lin oznaczono przez L 1 i L 2. Zmienna oznacza przemieszczenie cz owieka o ci arze G 1 wzgl dem platformy. PodatnoÊç liny jest proporcjonalna do jej d ugoêci czynnej l. Ca kowita wartoêç wspó czynnika sztywnoêci zawieszenia c jest efektem szeregowego po àczenia liny i amortyzatora. Szczegó owe za- o enia do modeli fizycznych: platformy linowej oraz wciàgarki przedstawiono w [1]. Stwierdzenie, e przemieszczenia poziome platformy sà ma e w stosunku do rzeczywistych d ugoêci lin, implikuje ma e kàty odchylenia lin od pionu. W konsekwencji napi cia lin S i b dà niewiele wi ksze od swoich sk adowych pionowych S iy. Mo na wi c zapisaç: Synteza uk adu regulacji optymalnej Równania ruchu platformy (8) przy za o onym modelu wymuszeƒ zak ócajàcych mo na przetransponowaç do przestrzeni stanu: d z = Az + Bu + Rw (9) dt A macierz stanu, B macierz sterowaƒ, R macierz wymuszeƒ zak ócajàcych, w wektor wymuszeƒ zak ócajàcych, z wektor stanu, u wektor sterowaƒ. Przy czym: (10) Uk ad automatycznej regulacji platformy przedstawiono w postaci schematu blokowego na rys. 2. (1) Wprowadzajàc oznaczenia: m i = ; i = 0,1 (2) g J = (J 0 + m 1 2 ) (3) µ 1 = m 1 sin(ϕ) (4) µ 2 = m 1 cos(ϕ) (5) λ 1 = [α 1 sin(ϕ) cos(ϕ)] (6) λ 2 = [α 2 sin(ϕ) cos(ϕ)] (7) 36 G i Rys. 2. Schemat blokowy uk adu automatycznej regulacji z wejêciem f S Dwuelementowy wektor odniesienia f s uk adu regulacji tworzà sygna y programowej zmiany cz stotliwoêci napi cia zasilania silników asynchronicznych f s. W ten sposób zdeterminowana zostaje trajektoria. Przyk adowà funkcj zmian cz stotliwoêci, odpowiadajàcà planowanemu podniesieniu platformy na wysokoêç 25 m w czasie T = 35 s, z uwzgl d- ROK WYD. LXXI ZESZYT 1/2012

3 nieniem dwusekundowych faz rozruchu i hamowania przedstawiono na rys. 3. Wszystkie zmienne stanu sà mierzalne w sposób bezpoêredni lub poêredni, co umo liwia syntez regulatora optymalnego LQR. Praca regulatora polega na korekcji cz stotliwoêci napi ç zasilania wejêcia odniesienia wprowadzonej przez p tle sprz enia zwrotnego w postaci sygna ów f 1 i f 2. Formowanie sygna u sprz enia zwrotnego od stanu zachodzi wg zale noêci [1]: u = K [z s z] + F f s (11) K poszukiwana macierz sprz enia zwrotnego, F macierz prognozowania. czasie pracy T, sformu owano w postaci funkcjona u [3]: (12) Q macierz wagowa dla wspó rz dnych stanu, P macierz wagowa dla sterowaƒ. Sterowanie optymalne, dla którego funkcjona (12) osiàga minimum, wymaga rozwiàzania ró niczkowego równania Riccatiego [4]. Pozycjonowanie i stabilizacja po o enia platformy Symulacje komputerowe wykonano w programie Matlab-Simulink dla platformy o d ugoêci 4 m i ci arze G 0 = 6000 N przy o onym w odleg oêci L 1 = 0,7 m od jej lewej kraw dzi. Ci ar G 1 = 1000 N. Model zdeterminowany ruchu cz owieka wzgl dem platformy przedstawiono na rys. 5 w postaci przebiegów pochodnych przemieszczenia. Rys. 3. Programowo sterowana zmiana cz stotliwoêci f S napi cia zasilania dla planowanego pionowego przemieszczenia platformy y S Sterowanie pr dkoêcià silników indukcyjnych to przede wszystkim modulacja cz stotliwoêci zmian napi cia. Zastosowano metod skalarnà, bazujàcà na przemienniku cz stotliwoêci z regulacjà napi cia stojana U proporcjonalnà do cz stotliwoêci f, zapewniajàcà stabilizacj strumienia magnetycznego [2]. Strategia regulacji cz stotliwoêci oparta jest na charakterystykach silnika w stanach ustalonych zredukowanych do wa u wciàgarki. Kryterium jakoêci regulacji oparte na ocenie wartoêci sumy kwadratów odchyleƒ zarówno zmiennych stanu, jak i zmiennych sterujàcych od wartoêci wynikajàcych z zaplanowanej trajektorii w za o onym Rys. 5. Przebiegi pochodnych przemieszczenia cz owieka wzgl dem platformy EfektywnoÊç regulatora oceniano na podstawie przebiegów uchybów: pozycjonowania, poziomowania oraz amplitudy drgaƒ poziomych platformy, przedstawionych odpowiednio na rys. 6, 7 i 8. Linie grube oznaczone odnoênikiem z indeksem dolnym odpowiadajà warunkom oddzia ywania wymuszeƒ zak ócajàcych wywo anych ruchem cz owieka. Oznaczenia literowe przebiegów zawierajàce indeks dolny c odnoszà si do warunków pracy platformy Rys. 4. Charakterystyki mechaniczne silnika indukcyjnego asynchronicznego sterowanego przez przemiennik cz stotliwoêci z regulacjà napi cia uzwojenia stojana zredukowane do wa u wciàgarki Rys. 6. Uchyb pozycjonowania ROK WYD. LXXI ZESZYT 1/

4 Rys. 7. Uchyb poziomowania wartoêci sygna ów potwierdza fizycznà realizowalnoêç przedstawionej metody regulacji. Spe nienie warunków sterowalnoêci i obserwowalnoêci [4, 5] potwierdzi o mo liwoêç regulacji uk adu przez modulacj cz stotliwoêci napi ç zasilania. Poszukiwano wi c takich nastaw regulatora, przy których pojawi si efekt redukcji drgaƒ poziomych, dopuszczajàc mo liwoêç pogorszenia innych wskaêników jakoêci regulacji. Stwierdzono, co ilustruje rys. 10, e mo liwe jest wygaszenie drgaƒ poziomych platformy. Efekt jest jednak opóêniony i wià e si ze znacznym zwi kszeniem intensywnoêci drgaƒ kàtowych rys. 11. Uchyb pozycjonowania zwi kszy si tylko nieznacznie. Przemieszczenia kàtowe w czasie podnoszenia platformy przekraczajà 10, co wyklucza t strategi regulacji. Nie zmienia tego równie fakt, e po ustaniu dzia ania wymuszeƒ zak ócajàcych drgania kàtowe ulegajà wygaszeniu. Nale y zauwa yç, e drgania platformy nale à do niskocz stotliwoêciowych. Rys. 8. Uchyb stabilizacji w kierunku poziomym z w àczonym uk adem automatycznej regulacji. Uchyby pozycjonowania i poziomowania w niewielkim stopniu zale à od zak óceƒ spowodowanych ruchem cz owieka wzgl dem platformy. Sà proporcjonalne do wysokoêci podnoszenia. Praca z w àczonym uk adem automatycznej regulacji niemal ca kowicie niweluje zarówno b dy pozycjonowania, jak i poziomowania. Pojawienie si wymuszeƒ zak ócajàcych pobudza platform do drgaƒ w kierunku poziomym o znacznych amplitudach. Zgodnie z przyj tym modelem matematycznym b dà to drgania niet umione, których uk ad automatycznej regulacji nie b dzie w stanie skutecznie redukowaç. Przedstawione przebiegi uchybów regulacji uzyskano przy korekcji cz stotliwoêci zmian napi ç zasilajàcych przedstawionej na rys. 9. Zakres zmiennoêci Rys. 10. Uchyb stabilizacji w kierunku poziomym Rys. 11. Uchyb poziomowania Rys. 9. Korekcja cz stotliwoêci Podsumowanie W pracy wykazano, e tradycyjne konstrukcje linowych platform podwieszanych, tzn. spe niajàce za o enia modelu fizycznego przedstawionego na rys. 1 sà bardzo wra liwe na zak ócenia dzia ajàce z kierunków poziomych. Realnym zagro eniem mo e byç oddzia ywanie ludzi przemieszczajàcych si wzgl dem platformy w trakcie podnoszenia. Zastosowanie regulatora LQR mo e praktycznie znosiç b dy pozycjonowania i poziomowania, jednak jednoczesna efektywna redukcja drgaƒ poziomych jest niemo liwa. Powodem jest praktyczny brak w asnoêci t umiàcych w kierunku poziomym spowodowany quasi-zerowymi wartoêciami sk adowych 38 ROK WYD. LXXI ZESZYT 1/2012

5 poziomych napi ç lin. Regulacja nap dów sprowadza si do korekcji nawijania lin na b bny, co w odniesieniu do platformy stanowi oddzia ywania pionowe. Aby wi c skutecznie wp ywaç na drgania platformy, konieczne jest zwi kszenie wp ywu sk adowych poziomych napi ç w linach. Rozwiàzaniem mo e tu byç odpowiednie rozsuni cie osi b bnów wciàgarek. Niskie cz stotliwoêci drgaƒ, zarówno wymuszonych, jak i w asnych platformy, uzasadniajà stosowanie metody skalarnej formowania napi ç wyjêciowych, w której nie uwzgl dnia si sprz eƒ zwrotnych w cz Êci elektromagnetycznej uk adu [6]. Pomini cie strat oraz opóênieƒ wynikajàcych z modulacji charakterystyki pr dkoêciowej silnika pozwoli o na opracowanie optymalnej strategii regulacji cz stotliwoêci w odniesieniu do samego obiektu sterowania. Uzyskane wyniki pozwoli y na znalezienie ograniczeƒ le àcych w strukturze cz Êci mechanicznej uk adu automatycznej regulacji i jej modyfikacj. Badania mo liwoêci regulacyjnych zmodyfikowanego modelu stanowià obecnie przedmiot badaƒ autora. Spe nienie oczekiwaƒ odnoszàcych si do mo liwoêci redukcji drgaƒ zmodyfikowanej struktury platformy pozwoli na implementacj metod wektorowych sterowania nap dami [7]. Mo liwe jest równie przyj cie modelu stochastycznego wymuszeƒ zak ócajàcych. LITERATURA 1. Chwastek S.: Stabilizacja i poziomowanie linowych platform podwieszanych metodami wektorowego i skalarnego sterowania przemiennikami cz stotliwoêci. Problemy Maszyn Roboczych. z. 34/2009, ss Tunia H., Kaêmierkowski M.: Automatyka nap du przekszta tnikowego. WK, Warszawa Engel Z., Kowal J.: Sterowanie procesami wibroakustycznymi. Wydawnictwa AGH, Kraków Chwastek S., Micha owski S.: Stabilizacja optymalna osprz tu nieresorowanych maszyn na podwoziach ko owych. Mat. konf. Problemy Rozwoju Maszyn Roboczych, Zakopane 2008, ss Heimann B., Gerth W., Popp K.: Mechatronika. PWN, Warszawa Dembowski A., Chudzik P., Lewandowski D.: Nap d asynchroniczny ze sterowaniem momentu. Nap dy i sterowanie. Miesi cznik Naukowo-Techniczny nr 4 (120), kwiecieƒ 2009, ss Sieklucki G.: Automatyka nap du. Wydawnictwa AGH, Kraków ROK WYD. LXXI ZESZYT 1/