Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym
|
|
- Łucja Kujawa
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 27 października 2013
2 e j f d i b k a h g c Egzamin Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 132 z 935 (14%) Zaakceptowane przez 50 z 52 drużyn (96%) AC WA 67 (50%) TLERE
3 Egzamin Chcemy znaleźć permutację liczb od 1 do n, w której różnica każdych dwóch sąsiednich liczb wynosi co najmniej k. Da się to zrobić wtedy, gdy k n 2. Przeplatamy dwa ciągi malejące rozpoczynające się od b n+1 2 c oraz n. Przykładowo dla n = 6 i n = 7: Dla k > n n+1 2 się nie da, gdyż różnica między liczbą b 2 c a jej sąsiadem w każdej permutacji wynosi co najwyżej b n 2 c.
4 e j f d i b k a h g c Janosik Autor zadania: Tomasz Idziaszek Zgłoszenia: 158 z 935 (16%) Zaakceptowane przez 48 z 52 drużyn (92%) AC WA 54 (34%) TLE RE
5 Janosik Janosik ma n szkatułek, w i-tej znajduje się i mieszków ze złotem. Dopóki jakaś szkatułka jest niepusta, to wykonuje on operację: wybiera szkatułkę z minimalną liczbą mieszków, jeśli jest w niej jeden mieszek, to daje go biedakowi, jeśli jest w niej nieparzysta liczba mieszków, to chowa jeden z nich do kieszeni, w przeciwnym wypadku rozdziela pozostałe mieszki po równo między dwie szkatułki. Należy sprawdzić, ile mieszków zostanie Janosikowi w kieszeni po opróżnieniu wszystkich szkatułek.
6 Janosik Szkatułki możemy rozważać niezależnie. Liczba mieszków z i-tej szkatułki, które zostaną rozdane biedakom, to 2 blg ic, czyli największa potęga dwójki nie większa niż i. Zatem wynikiem jest nx i=1 (i 2 blg ic ) = n(n + 1) 2 blg nc X j=0 2 j min(n 2 j + 1; 2 j ):
7 e j f d i b k a h g c Fotoradary Autor zadania: Tomasz Idziaszek Zgłoszenia: 157 z 935 (16%) Zaakceptowane przez 33 z 52 drużyn (63%) AC WA 95 (60%) TLERE
8 Fotoradary Mamy drzewo o n węzłach. Chcemy zaznaczyć jak największą liczbę węzłów, tak by na każdej ścieżce było zaznaczonych nie więcej niż k węzłów Dzielimy węzły na warstwy: w i-tej warstwie są liście drzewa, które powstaje po usunięciu węzłów z poprzednich warstw.
9 Fotoradary Rozwiązanie zachłanne: dla k parzystego zaznaczmy węzły z k =2 warstw (lub wszystko, jeśli warstw jest mniej), dla k nieparzystego dodatkowo bierzemy jeszcze jeden węzeł (o ile istnieje). Wyznaczając warstwy, trzymamy kolejkę węzłów o stopniu 1. Alternatywnie można wyznaczać numery warstw, korzystając z programowania dynamicznego: numer warstwy dla węzła v to druga co do wielkości wysokość poddrzewa zaczepionego w dziecku v plus 1. Czas działania O(n).
10 e j f d i b k a h g c Demonstracje Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 82 z 935 (8%) Zaakceptowane przez 27 z 52 drużyn (51%) AC WA 43 (52%) TLERE
11 Demonstracje Na prostej mamy zaznaczone n odcinków. Chcemy usunąć dwa z nich, tak aby pozostałe odcinki pokrywały jak najmniejszą część prostej. Końce odcinków dzielą prostą na co najwyżej 2n fragmentów, które znajdujemy, sortując końce. Oznaczmy przez d(i ) długość tych fragmentów, które są pokryte tylko przez odcinek i, a przez d(i ; j ) długość tych, które są pokryte przez dwa odcinki i oraz j.
12 Demonstracje Iterujemy się po kolejnych fragmentach, pamiętając w secie, ile odcinków je pokrywa. Jeśli jeden lub dwa, to odpowiednio zwiększamy wartości d. Jeśli teraz chcemy usunąć odcinki i oraz j, to mamy dwa przypadki: Jeśli d(i ; j ) > 0, to możemy usunąć pokrycie długości d(i ; j ) + d(i ) + d(j ). Aby uwzględnić ten przypadek, sprawdzamy wszystkie fragmenty pokryte przez dwa odcinki. Jeśli d(i ; j ) = 0, to możemy usunąć pokrycie długości d(i ) + d(j ). Tutaj wystarczy rozważyć takie dwa odcinki, które dają największe wartości d. Czas działania to O(n log n), gdyż musimy posortować końce odcinków oraz utrzymywać wartości d(i ; j ) w mapie.
13 e j f d i b k a h g c Inżynieria genetyczna Autor zadania: Tomasz Idziaszek Zgłoszenia: 115 z 935 (12%) Zaakceptowane przez 24 z 52 drużyn (46%) AC WA 47 (40%) TLE RE
14 Inżynieria genetyczna Mamy ciąg n liczb. Należy z niego wykreślić minimalną liczbę wyrazów, aby powstały ciąg był poprawny (tzn. składał się z k-wyrazowych fragmentów zawierających tę samą liczbę), a ponadto był najmniejszy leksykograficznie
15 Inżynieria genetyczna Wyznaczamy tablicę d, gdzie d[i ] to największa długość poprawnego ciągu zawartego w sufiksie zaczynającym się od i-tego wyrazu. Wystarczy iść od tyłu, liczyć wystąpienia poszczególnych liczb i zwiększać wynik, gdy któreś wystąpienie dobije do k. Jeśli wiemy, że optymalne rozwiązanie składa się z b fragmentów, to pierwszy fragment musi kończyć się na takiej pozycji i, że d[i + 1] = b 1. Znajdujemy największe takie i i spośród liczb występujących co najmniej k razy w prefiksie długości i wybieramy najmniejszą. Analogicznie znajdujemy pozostałe fragmenty. W rozwiązaniu utrzymujemy tablicę zliczającą wystąpienia liczb w kawałkach ciągu. Aby ją szybko wyczyścić, wystarczy jeszcze raz przejrzeć dany kawałek. Rozwiązanie działa w czasie O(n).
16 e j f d i b k a h g c Bajthattan Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 25 z 935 (2%) Zaakceptowane przez 9 z 52 drużyn (17%) AC 9 (36%) WA TLE RE
17 Bajthattan Dany jest graf planarny w postaci siatki kwadratowej n n. Z grafu kolejno usuwane są krawędzie i po każdym usunięciu musimy stwierdzić, czy istnieje ścieżka między końcami usuniętej krawędzi. Format danych wymusza rozwiązanie on-line. Jeśli ścieżka pomiędzy końcami usuniętej krawędzi nie istnieje, to usunięcie tej krawędzi spowodowało, że końce znalazły się w różnych spójnych składowych grafu. Równoważnie zatem możemy badać, które usunięcia zwiększają liczbę spójnych składowych grafu.
18 Bajthattan Korzystamy ze wzoru Eulera. Jeśli v, e, f i s to liczba wierzchołków, krawędzi, ścian i spójnych składowych grafu planarnego, to zachodzi v e + f = s + 1: Rozważmy usunięcie jednej krawędzi. Wartość v jest stała, natomiast e zmniejsza się o jeden. Jeśli po obu stronach usuwanej krawędzi mieliśmy tę samą ścianę, to f się nie zmienia (i wtedy s rośnie o jeden), w przeciwnym wypadku f maleje o jeden (i wtedy s się nie zmienia). Powyższy warunek możemy testować, trzymając strukturę find-and-union na ścianach grafu. W momencie, gdy usuwamy krawędź, dwie ściany należy połączyć. Rozwiązanie działa w czasie O(n 2 + k log n), gdzie k to liczba usunięć krawędzi.
19 e j f d i b k a h g c Kocyki Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 101 z 935 (10%) Zaakceptowane przez 7 z 52 drużyn (13%) AC WA 52 (51%) TLE RE
20 Kocyki Na płaszczyźnie znajduje się n prostokątów o wymiarach a b (boki długości a są równoległe do siebie). Chcemy wyznaczyć wartość oczekiwaną pola powierzchni części wspólnej dwóch losowo wybranych prostokątów. Wyznaczamy sumę przecięć wszystkich par prostokątów i dzielimy przez n(n+1) 2. Suma przecięć może być rzędu n 2 M 2, zatem albo pamiętamy ją w typie long double, albo sukcesywnie dzielimy przez n(n+1) 2, utrzymując ułamek mieszany.
21 Kocyki Wykonujemy zamiatanie od lewej do prawej. Dla pionowego paska pomiędzy dwoma zdarzeniami miotły wyznaczamy sumę pól przecięć par prostokątów ograniczonych do tego paska. Wobec tego na miotle mamy problem jednowymiarowy: wkładamy do niej i wyjmujemy z niej odcinki ustalonej długości oraz pytamy się o sumę długości przecięć odcinków na miotle. Złożoność czasowa O(n log n).
22 Kocyki Miotłę można zaimplementować za pomocą drzewa przedziałowego indeksowanego początkami odcinków, które potrafi wyznaczyć liczbę odcinków i sumę początków odcinków na zadanym przedziale. Wstawiając nowy odcinek do miotły, uwzględniamy osobno przecięcia z odcinkami zaczynającymi się wcześniej, a osobno z zaczynającymi się nie wcześniej. Dla tych pierwszych suma długości przecięć ze wstawionym odcinkiem to: P k i=1 (x i + a) k x : x k. x 2 x 1 x a
23 e j f d i b k a h g c Autostrada Autor zadania: Jakub Radoszewski Zgłoszenia: 64 z 935 (6%) Zaakceptowane przez 6 z 52 drużyn (11%) AC WA 33 (51%) TLE RE
24 Autostrada Na prostej zaznaczone jest n punktów o współrzędnych a 1 ; : : : ; a n. Chcemy zaznaczyć na niej równo oddalone od siebie punkty b i = y + x i, tak żeby b 1 a 1 b 2 a 2 : : : a n 1 b n a n b n+1: Wyznaczyć przedział wartości x, dla którego da się to zrobić. Wartości (x ; y), dla których istnieje rozwiązanie, spełniają nierówności y + x i a i y + x (i + 1), czyli a i x (i + 1) y a i x i : Dla ustalonego x możemy w czasie O(n) znaleźć różnicę f (x ) między ograniczeniem górnym na y a ograniczeniem dolnym na y.
25 Autostrada y f (x ) x 1 x x 2 x Wyszukiwaniem ternarnym znajdujemy takie x, dla którego f (x ) jest największe. Wyszukiwaniem binarnym znajdujemy w przedziałach (0; x ] i [x ; 1) takie x 1 i x 2, że f (x 1 ) = f (x 2 ) = 0. Czas działania to O(n log M ).
26 e j f d i b k a h g c Heros Autor zadania: Tomasz Idziaszek Zgłoszenia: 47 z 935 (5%) Zaakceptowane przez 4 z 52 drużyn (7%) AC WA 23 (48%) TLE RE
27 Heros Dany jest ważony graf skierowany o n wierzchołkach, przy czym stopień wyjściowy jest ograniczony przez 10. Mamy też p informacji, że pewien wierzchołek jest niedostępny w pewnym przedziale czasu. Chcemy znaleźć najkrótszą ścieżkę między zadaną parą wierzchołków. Jeśli dla wierzchołka v mamy ` przedziałów niedostępności, to dzielimy ten wierzchołek na ` + 1 wierzchołków v 0 ; : : : ; v ` odpowiadających za spójne kawałki czasu, w których v jest dostępny. Teraz dla każdego v i chcemy wyznaczyć minimalną chwilę zawartą w przedziale dostępności v i, w której możemy dotrzeć do v.
28 Heros Korzystamy z algorytmu Dijkstry. W nowym grafie mamy co najwyżej n + p wierzchołków i 10(n + p) krawędzi. Musimy uważać na krawędzie. Jeśli dojechaliśmy do wierzchołka v i w czasie t i relaksujemy krawędź vu, to potencjalnie musimy rozważyć wiele wierzchołków u j. Ale wszystkie poza pierwszym już nigdy nie zostaną poprawione, więc możemy je usunąć z dalszych relaksacji. u 1 u 2 u 3 v i t Złożoność czasowa O((n + p) log(n + p)).
29 e j f d i b k a h g c Gra w kulki Autor zadania: Jakub Radoszewski Zgłoszenia: 32 z 935 (3%) Zaakceptowane przez 2 z 52 drużyn (3%) AC WA 26 (81%) TLE
30 Gra w kulki Mamy parzystą liczbę kulek, każda zawiera jedną cyfrę. Czy da się podzielić kulki na dwa równoliczne zbiory, tak by iloczyn cyfr w każdym zbiorze był równy? Na początek trywialne przypadki: Jeśli jest jedno 0, to NIE. Jeśli jest więcej zer, to TAK. Liczba piątek musi być parzysta, tak samo liczba siódemek. Pozostałe cyfry są iloczynami 2 i 3. Można więc sprawdzać też inne warunki, np. Jeśli liczba czynników 2 lub 3 w iloczynie wszystkich kulek jest nieparzysta, to NIE.
31 Gra w kulki Kluczowy warunek: Jeśli istnieje rozwiązanie, to istnieje takie, w którym liczba kulek zawierających daną cyfrę nie różni się w zbiorach o więcej niż 6. Dowód poprawności powyższego warunku nie jest prosty (my wspomagaliśmy się komputerem). Dzięki niemu można napisać przeszukiwanie z nawrotami, które mieści się w limicie czasu.
32 e j f d i b k a h g c Cieśla Autor zadania: Tomasz Idziaszek Zgłoszenia: 22 z 935 (2%) Zaakceptowane przez 0 z 52 drużyn (0%) WA 18 (81%) TLERE
33 Cieśla Dany jest prostokąt n m, w którym pola zamalowano na biało lub czarno. Chcemy wyciąć z niego dwa trójkąty, które po sklejeniu dadzą nam jak największą kwadratową szachownicę. Oba trójkąty muszą być prostokątne równoramienne, pokolorowane w szachownicę, o tym samym kolorze pola przy kącie prostym. Można je rozdzielić linią prostą (poziomą, pionową lub w jednym z dwóch kierunków skośnych).
34 Cieśla Dla każdej z O(n + m) półpłaszczyzn wyznaczonych przez te proste i koloru przy kącie prostym chcemy wyznaczyć rozmiar największego trójkąta pokolorowanego w szachownicę zawartego w tej półpłaszczyźnie. Dla ustalonego trójkąta pokolorowanego w szachownicę możemy rozważyć 8 półpłaszczyzn, które go zawierają:
35 Cieśla Dla każdego pola możemy wyznaczyć maksymalny trójkąt pokolorowany w szachownicę, który ma kąt prosty na tym polu. Metodami znanymi z zadania Działka można to dla każdej z 4 orientacji zrobić w czasie O(nm). Dla każdej półpłaszczyzny mamy zatem największy maksymalny trójkąt, który dotyka brzegu półpłaszyzny. Zamiataniem możemy wyznaczyć największy trójkąt, który dotyka brzegu (tu musimy pamiętać, czy brzeg półpłaszczyzny dotyka wierzchołka przy kącie). Drugim zamiataniem możemy wyznaczyć największy trójkąt zawarty w półpłaszczyźnie. Czas działania O(nm).
36 koniec
Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym
Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 26 października 2014 a d c k e b g j i f h Adwokat Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 118 z 857 (13%) Zaakceptowane
Bardziej szczegółowoAkademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym
Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 30 października 2011 c h k f e j i a b d g Czy się zatrzyma? Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 104 z 914 (11%)
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoAkademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym
Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 28 października 2012 j i d c h k b a e g f Jutro Autor zadania: Tomasz Idziaszek Zgłoszenia: 146 z 775 (18%) Zaakceptowane
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001
Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoARKUSZ VIII
www.galileusz.com.pl ARKUSZ VIII W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Iloczyn liczb 2+ 3 i odwrotności liczby 2 3 jest równy A) 2 3 B) 1 C) 2 3 D) 2+
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne
Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoXV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (26 września 209 r.) Rozwiązania zadań testowych. odatnia liczba a jest mniejsza od. Wynika z tego, że a) a 2 > a; b) a > a; c)
Bardziej szczegółowoDzień pierwszy- grupa młodsza
Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 WYPEŁNIANIE OBSZARÓW. Plan wykładu: 1. Wypełnianie wieloboku
WYKŁ 3 WYPŁNINI OSZRÓW. Wypełnianie wieloboku Zasada parzystości: Prosta, która nie przechodzi przez wierzchołek przecina wielobok parzystą ilość razy. Plan wykładu: Wypełnianie wieloboku Wypełnianie konturu
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoPrzecięcia odcinków. Wykład /07
Przecięcia odcinków Wykład 2 2006/07 Problem Dane: zbiór S={s 1,...,s n } odcinków na płaszczyźnie Wynik: zbiór punktów przecięć wszystkich odcinków z S, wraz z informacją które odcinki przecinają się
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek
Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoJednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I 1. W Biwerlandii w obiegu są monety o nominałach 5 eciepecie i 8 eciepecie. Jaką najmniejszą (dodatnią) kwotę można zapłacić za zakupy, jeżeli sprzedawca
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoDrzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany
, 1 2 3, czas zamortyzowany zajęcia 3. Wojciech Śmietanka, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński rozpinajace, 1 2 3 rozpinajace Mamy graf nieskierowany, ważony, wagi większe od 0. Chcemy wybrać taki podzbiór
Bardziej szczegółowoJeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 2 2 Problemy algorytmiczne Klasy problemów algorytmicznych Liczby Fibonacciego Przeszukiwanie tablic Największy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoZadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska
Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 5 MARCA 016 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 3 4 3 + 3 9 jest
Bardziej szczegółowo2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego
Wymagania dla kl. 3 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019
EGZAMIN ÓSMOKLASISTY od roku szkolnego 2018/2019 MATEMATYKA Przykładowy arkusz egzaminacyjny (EO_7) Czas pracy: do 150 minut GRUDZIEŃ 2017 Centralna Komisja Egzaminacyjna Warszawa Zadanie 1. (0 1) Z okazji
Bardziej szczegółowoZłożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla kl. VI
Wymagania edukacyjne z matematyki dla kl. VI Semestr I Wymagane wiadomości i umiejętności (uczeń zna, umie, potrafi) na ocenę: dopuszczającą: nazwy argumentów działań algorytmy czterech działań pisemnych
Bardziej szczegółowoCzy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoARKUSZ X
www.galileusz.com.pl ARKUSZ X W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 3 2 jest równa A) 5 2 B) 6 2 C) 6 2 D) 2 Zadanie 2. (0-1 pkt) Kurtka zimowa
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
Bardziej szczegółowoKujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2018 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony
Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowo1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:
1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoMatura próbna matematyka poziom rozszerzony
Matura próbna matematyka poziom rozszerzony Zadanie 1 (1pkt) Jaki jest zbiór wartości funkcji f(x) = 5 cos x 1, jeśli x π, π? 4 (a) 0, + //gdy pominie przedział na x i policzy dla x R (b) 0, 7 + //prawidłowa
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 33). Ewentualny
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoTest, dzień pierwszy, grupa młodsza
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3. Zakres podstawowy
Plan wynikowy klasa 3 Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające. RACHUNE PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew
1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania
Bardziej szczegółowoXV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI
XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW ORAZ KLAS DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW PROWADZONYCH W SZKOŁACH INNEGO TYPU WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 ETAP
Bardziej szczegółowoAlgorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie
Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
WYŻSZA SZKOŁA IFORMATYKI STOSOWAEJ I ZARZĄDZAIA Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa algorytmu wynika z liczby i rozmiaru struktur danych wykorzystywanych w algorytmie. Złożoność czasowa algorytmu
Bardziej szczegółowoRozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych
GEOMETRYCZNE 1) Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe odcinki: AX, XY i YB. Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB. Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe pola. Wizualizacja zadania
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV Zna zależności wartości cyfry od jej położenia w liczbie Zna kolejność działań bez użycia nawiasów Zna algorytmy czterech działań pisemnych
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;
Bardziej szczegółowoMATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI
Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowo