O UDERZENIU W UKŁADACH TYPU CZETAJEVVA PRZEBORSKIEGO. N. Ja. С Y G A N o w A (WOLGOGRAD)

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O UDERZENIU W UKŁADACH TYPU CZETAJEVVA PRZEBORSKIEGO. N. Ja. С Y G A N o w A (WOLGOGRAD)"

Anna Łuczak
8 lat temu
Przeglądów:

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4 11 (1973) O UDERZENIU W UKŁADACH TYPU CZETAJEVVA PRZEBORSKIEGO N. Ja. С Y G A N o w A (WOLGOGRAD) W pracy [1] BOŁOTOW otrzymał uogólioą formę zasady ajmiejszego skrę powaia dla układów z wię zami holoomiczymi i aholoomiczymi pierwszego rzę du poddaych działaiu sił impulsowych. W iiejszej pracy uogólioą zasadę ajmiejszego skrę powaia rozszerza się a zjawisko udaru w układach typu Czetajewa Przeborskiego. 1. W pracy BOŁOTOWA [1] uogólioa zasada ajmiejszego skrę powaia dla układu puktów materialych przy działaiu a ie sił impulsowych posiada postać 0.1) 3D 3 gdzie x id x id x i5 rzuty prę dkośi cpuktów układu po udarze w ruchu rzeczywistym (d) czę ś ciowo zwolioym z wię zów (o) i moż liwym (ó). Udar w układzie zachodzi albo pod wpływem działaia zewę trzych impulsów udarowych lub pod wpływem agłego ałoż eia owych wię zów (holoomiczych lub aholoomiczych pierwszego rzę du) lub wskutek wspólego działaia obu tych czyików. Dowód prawdziwoś ci zwią zku (1.1) w pracy BOŁOTOWA [1] oparty jest a dwóch założ eiach: 1. przemieszczeia moż liwe daego układu zawarte są w zbiorze moż liwych przemieszczeń układu czę ś ciowo wyzwoloego z wię zów 2. istieją moż liwe przemieszczeia puktów układu proporcjoale do róż icy prę dkoś c i po udarze w ruchu rzeczywistym (d) i moż liwym (6). Przy okreś leiu przemieszczeń moż liwych według CZETAJEWA i PRZEBORSKIEGO te dwa waruki są spełioe a więc zwią zek (1.1) bę dzie prawdziwy i dla układów z ieliiowymi wię zami pierwszego rzę du. Mamy układ puktów materialych /г z masami m t. Zakładamy że do udaru układ miał ałoż oe ideale w ogólym przypadku ieliiowe aholoomicze wię zy pierwszego rzę du (1.2) fj(txiziyixi j>z t ) = 0 (j= 12 i = 12...«) (ie wyklucza się że iektóre z tych wię zów bę dą liiowe aholoomicze lub holoomicze).

2 3+4 N. Ja. CYGANÓW A Udar spowodoway jest zewę trzymi impulsami udarowymi S (A t B h C t ) i mometalym ałoż eiem owych wię zów które zachowują się przy póź iejszym ruchu układu. Wś ród tych wię zów są ideale holoomicze jedostroe wię zy (1.3) ł>(f *iy z) > 0 (v = 12...p /=12...и ) i idealie aholoomicze pierwszego rzę du w ogólym przypadku ieliiowe jedostroe wię zy (1.4) y x (t x t y i z Xi y ż )>0 (A = / i = и ). Przez ruch czę ś ciowo wyzwoloy bę dziemy rozumieć ruch układu pod działaiem zewę trzych impulsów udarowych S t i przy ałoż eiu owych wię zów (1.3) (1.4) jak w ruchu rzeczywistym lecz pod warukiem wstę pego wyzwoleia układu od dowolej liczby wię zów (1.2). Zgodie z zasadą D'Alemberta Lagrage'a dla sił impulsowych mamy (1.5) JT" [Aimi(x id Xi 0)]dxi+[Bi mi(y id y 0)dyi]+[Ci mi(ż id ż 0)]ż i i ;=i gdzie x i0 y i0 ż l0 rzuty prę dkośi cpuktów układu do udaru *id У id z u rzuty prę dkośi crzeczywistych puktów układu po udarze dx t óyi dzi rzuty moż liwych przemieszczeń puktów układu poczas udaru. Moż liwe przemieszczeia rozpatrywaego układu według CZETAJEWA [2] i PRZEBOR SKIEGO [3] okreś loe są zwią zkami i= 1 0 0= 12...*) i=i 0 (v = 12...p) О (Я = 12.../). Dla ruchu czę ś ciowo wyzwoloego zasada D'Alemberta Lagrage'a przyjmie postać: (1.9) 2J [Ai iiixit x^dxi+lbt miiyu yiowyi+lci miizit ZioyidZi i = i gdzie x id y id ż id rzuty prę dkośi cpuktów układu po udarze w ruchu czę ś ciowo wyzwoloym dx t dy t dz { rzuty przemieszczeń moż liwych puktów układu czę ś ciowo wyzwoloego. Poieważ dla układów typu Czetajewa Przeborskiego moż liwe przemieszczeia daego układu zajduje się wś ród moż liwych przemieszczeń układu czę ś ciowo wyzwoloego to rówaie (1.9) przyjmie postać (1 10) 2J [Ai iiix^ x^dxi + lbi miiy^ yio^dyi+ici miiz^ Zio^dz = 0.

3 O UDERZENIU W UKŁADACH TYPU CZETAJEWA 345 Odejmując rówaie (1.10) od rówaia (1.5) otrzymamy: (1.11) 2j m i K*d x u ) dx t + (y id у u) dyi + (ż zu) dz t ] = 0. ;=i Udowodimy że istieją moż liwe przemieszczeia układu podczas udaru proporcjoale do róż icy prę dkośi cpuktów układu w ruchu rzeczywistym i moż liwym. Zapiszemy waruki które spełiają prę dkośi c puktów układu po udarze w ruchu rzeczywistym i moż liwym. Jeś li w ruchu rzeczywistym układu w koń cu udaru słabie jakikolwiek z wię zów (1.3) to wielkość którą (3 V > 0. 1= 1 BOŁOTOW [1] azywa prę dkoś ci ą osłabiaia wię zów ie może być ujemą [4]: Jeś li słabie w koń cu udaru jakikolwiek z wię zów (1.4) to prę dkośi cw chwili kiedy układ odrzuca wię ź spełiają waruek [4] (1.13) f>.(txi у i z i k u у u ż u ) = 0. Bę dziemy rozpatrywać tylko takie moż liwe ruchy w których prę dkośi cosłabiaia wię zów (1.3) bę dą rówe takim samym prę dkoś ciom w ruchu rzeczywistym. Dla takich ruchów moż liwych prę dkośi cspełiają astę pująe c waruki: (1.15) rp x (t x t у i z\ ku. У 16 ż u)= 0. Odejmując odpowiedie zwią zki (1.14) i (1.15) od zwią zków (1.12) i (1.13) otrzymujemy: 1 { k i d (1.16) ^'d x ~ k i i ) + d 8< ( y i d ~ +^ y i 6 ) (*«*») = > i = i ' ' (1.17) fiit Xi у i z i x id у u ż u ) y>x(tx t у i z i k u у и ż is ) = 0. Rozkładając fukcję ip x (t Xiy t ZiX U y u ż id ) a róż ice k u х а ; y id ~y id ź id 'z is i ograiczając się do człoów pierwszego rzę du odoś ie tych róż ic ż rówoś ci (1.17) otrzymamy (1.18) ^ ^ ( ^ * «) + ^С л ^+^ (* 4 И ) = 0. /=i Jeś li chodzi o wię zy dwustroe (1.2) które były ałoż oe a układ do udaru i które pozostają w czasie udaru to dla ich widoczie spełia się waruek (L19) S Ąк * ;( ы ~* 1 )+ ж {У ш ~ У " )+ Ж {iu ~' Za) =

4 346 N. Ja. CYGANOWA Porówując waruki (1.16) z warukami (1.7) waruki (1.18) z warukami (1.8) waruki (1.19) z warukami (1.6) wioskujemy że (1.20) dx t = к (х и х а ) d.vi = k(y id y id ) dz t = k(ż u z it ) (k dowoly współczyik dodati) co ozacza istieie moż liwych przemieszczeń podczas udaru proporcjoalych do róż ic prę dkośi cpuktów układu po udarze w ruchu rzeczywistym i moż liwym. Na podstawie zwią zku (1.20) rówaie (1.11) zapiszemy w postaci: m Skąd otrzymamy 2] m [(x id x id )(x id ku) + (У \д У 1с )(У и У а )+ (г м ż id )(ż id z i6 )] = 0. /= 1 (1 21) T dó = T ió T di gdzie T dó = mi{(x id ) 2 + (y id y id y + (z id z id ) 2 ] odchyleie ruchu rzeczywistego układu po udarze od ruchu czę ś ciowo wyzwoloego. T&d i T u okreś la się aalogiczie. Ze zwią zku (1.21) wyikają dwie ierówoś ci (1.22) T dd <T dd (1.23) T 6d < T 3Ó z których pierwsza wyraża uogólioą zasadę ajmiejszego skrę powaia a druga twierdzeie CZETAJEWA [2] dla udaru. 2. Na podstawie ierówoś ci (1.22) i (1.23) moż a otrzymać zwią zek mię dzy eergiami kietyczymi w (d) (Ó) i (<3) ruchach po udarze. Dodając ierówoś ci (1.22) i (1.23) podstawiając otrzymae ierówoś ci do wzorów a T dt T da T sd otrzymamy З л З /1 З л (2.1) У m i (x id ) 2 + 2J mi(x id y < 2 ^ m i(x id ) 2. 1=1 /=1 /=1 Wprowadzając eergię kietyczą dla ruchu rzeczywistego moż liwego i wyzwoloego i ozaczając je odpowiedio T d T t T ó ierówość (2.1) zapiszemy w postaci 3/i З л 7л + Ta I Г V 1 V"1 "I (2.2) T d < д 2. + у 2^»и 'х!д (х ы х 1а ) + m ixis(x u Xia)y /=1 1=1 Sumy w awiasach kwadratowych w ostatiej ierówoś ci mają okreś loy ses mechaiczy. Rozpatrzymy pierwszą sumę. Wchodzą ce w ią róż ice moż a uważ ać za przemieszczeia moż liwe. Wówczas suma ta bę dzie miała postać (2.3) У т : х 1д д Х 1. 3/1

6 348 N. Ja. CYOANOWA Jeś li ograiczymy się tylko do takich moż liwych ruchów w których prę dkośi csą ortogoale do impulsów sił reakcji wię zów odrzucoych to z ierówoś ci (2.10) otrzymamy (2.П ) T A < to zaczy że jeż eli udar w układzie puktów materialych zajdują cych się w bezruchu astę puje wskutek ałoż eia owych wię zów to eergia kietycza ruchu rzeczywistego układu po udarze jest miejsza od połowy sumy eergii kietyczych ruchu czę ś ciowo wyzwoloego i takiego ruchu moż liwego w którym prę dkośi cpuktów są ortogoale do impulsów odrzucoych reakcji wię zów przy wyzwoleiu układu. 3. W pracy [2] CZETAJEW wyprowadził twierdzeie: odchyleie ruchu rzeczywistego układu z wię zami idealymi (w przypadku ogólym ieliiowymi aholoomiczymi) od jakiegokolwiek ruchu moż liwego jest miejsze iż odchyleie tego ostatiego od ruchu czę ś ciowo wyzwoloego. Dla udaru twierdzeie Czetajewa przyjmuje postać ierówoś ci (1.23) które zapisujemy astę pują co : З л (3.1) m(x id x t ) 2 < ^mi(x id x i6 ) 2 i=i gdzie x id x id x i6 prę dkoś ci lub З л i = l puktów układu po udarze w (d) (d) i (<5) ruchach З л З л З л (3.2) 2j^f~~2J~^T~ K 2j i=i /=i ;=i mixd{xii ~ Xid) Ta ostatia ierówość a podstawie zwią zku (2.7) bę dzie sprowadzoa do postaci З л (3.3) T t T»< 2?*»Jig» i=i gdzie Rf x ~ d) impulsy sił reakcji wię zów odrzucaych przy czę ś ciowym oswobodzeiu układu. Jeż eli prę dkośi cruchu moż liwego po udarze są ortogoale do impulsów sił reakcji wię zów odrzucaych przy czę ś ciowym oswobodzeiu układu to biorąc pod uwagę ierówość (3.3) Tt < T d ; widzimy że eergia kietycza ruchu rzeczywistego po udarze jest miejsza od eergii kietyczej ruchu czę ś ciowo wyzwoloego. 1. E. А. Б о л о т о во п р и н ц и Гп ае у с с а И т. 21 в Н. Г. Ч Е Т А Е О В п р и н ц и Гп ае у с с а И с е р Literatura cytowaa w tekś cie з в. ф и з. м а. то б ва п ри К а з а н см к уо н и в е р с и т 1916 е т е з в. ф и з м а. От б ва п ри К а з а н см к уо н и в е р с и т е т е

7 O UDERZENIU W UKŁADACH TYPU CZETAJEWA A. PRZEBORSKI Die allgemeisle Gleichuge der relatiwistiche Dyamik Math. Zeitschrift. Bd. 36 Berli 1933 s Г. К. С У С Л О ТВ е о р е т и ч е смк еа хя а н и к Га о с т е х и з д 1944 а т с т р POLITECHNIKA WOŁGOGRAD Praca została złoż oa w Redakcji dia 9 lutego 1973 r.

Podobne dokumenty

ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Z E S Z Y T Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ TADEUSZ BURCZYŃSKI METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH ECHANIKA Z. 97 GLIWICE 1989 POLITECHNIKA