1 LICZBY I ZBIORY Znajdź NW D i NW W liczb: 112 i 210.

Transkrypt

1 LIZBY I ZBIORY Liczby i zbiory. Jakim działaniem można opisać zbiór wyróżniony na diagramie?. Zbiory. Działania na zbiorach d) A B A B A B A B. Oceń, który ze zbiorów jest skończony, a który nieskończony: zbiór liczb mniejszych od zbiór liczb naturalnych mniejszych od zbiór ziaren piasku na kuli ziemskiej d) zbiór rozwiązań nierówności + >.. Wypisz elementy zbioru, którego elementami są dzielniki liczby 0.. Zbiór liczb naturalnych i całkowitych. Wymień pięć elementów zbioru nieskończonego: {, 0,,...} {,,,...}.. Wypisz wszystkie podzbiory zbioru {,, }.. Dany jest zbiór X = {0,,,,, }. Wypisz wszystkie podzbiory zbioru X, które są: jednoelementowe pięcioelementowe.. Wyznacz zbiór A B, jeśli: A = {0,,,, 8} i B = {0,,, } A = {n N : n } i B = {n N : n > }.. Wyznacz zbiór A B, jeśli: A = {0,,,, 8} i B = {0,,, } A = {n N : n } i B = {n N : n < } A = {n N : n > } i B = {n N : n 8}. 8. Wyznacz zbiór A\B, jeśli: A = {, 0,, } i B = {0,,,, } A = {n N : n } i B = {n N : n > } A = {n N : n jest podzielne przez } i B = {n N : n 0}. 9. Dane są zbiory: A = {,,, 8, 0}, B = {0, }, = {8,,, }. Wypisz elementy zbiorów: A B, A, B A B, A, B A\B, A\, B\, d) A B\. 0. Niech X jest zbiorem wszystkich trójkątów, T zbiorem trójkątów równoramiennych, P zbiorem trójkątów prostokątnych, R zbiorem trójkątów równobocznych. Przyjmując, że T jest zbiorem trójkątów, które nie sa równoramienne, opisz analogicznie zbiory P i R. Wyznacz zbiory: P R = T P = T R = T P R =.. Oblicz resztę z dzielenia: 9 : 9 : : d) 00 : 0.. Jeśli n N, to liczba postaci n + podzielona przez daje resztę. Zapisz w tej postaci liczbę, która podzielona przez daje resztę: 0 d) e).. Ze zbioru liczb {,, 9, 08, 0,, 99, 9} wypisz: liczby podzielne przez liczby podzielne przez 9.. Wykonaj pisemnie działania: : 8.. Znajdź NW D i NW W liczb: i 0.. Zapisz symbolicznie liczbę naturalną, która jest: liczbą parzystą liczbą nieparzystą liczbą, która podzielona przez daje resztę.. Ile razy czynnik występuje w iloczynie... 0 rozłożonym na czynniki pierwsze? 8. Wykonaj działania: ( 9) + 8 ( ) ( ) ( ) d) ( ). 9. Oblicz: ( ) ( ) ( 8) ( ) [( ) ] ( ) d) ( ) + ( ) e) [ 9 + ( )] ( ) [ + ( )] ( 8). 0. Oblicz wartość wyrażenia: (a ( b + dla a =, b = i c = a b dla a =, b = (a ) ( dla a = d) a (a+) ( a+) ( ) (a ) a dla a = 89.

2 LIZBY I ZBIORY. W miejsce wpisz odpowiedni znak "+" lub " " tak aby otrzymać równość prawdziwą: ( 0) = 0 0 = ( 0) = d) [ ( )] =.. Oblicz: [ + ( 8)] [ ( ) + ( )] [ + ( )] [ ( 8) + ( ) ( ) ( )] [ 8 9 ( 8)] [ ( ) 8 ( )].. Zbiór liczb wymiernych i niewymiernych. Wykonaj działania: 8 + ( ) ( ) d) : ( ) e) + ( ) + ( ) g) (.8) 9 h) : ( 8).. Oblicz: [ ( )] ( 8 ) + : [ 9 ( + )] ) ( 0. : 0. : ). [( ) : ] : ( ) d) : (. Wykonaj działania: ( + ) + ( 8 ), ( 9 ) (, 9) :, + (, 8) d) ( + ) (, ) :. Oblicz: (, 9 ) + (, 9 + ), ( 9 ) (, 9) [ + ( )], d),, +,,. Arkusz blachy stalowej ma wymiary, m, 0, 8 m i 0, mm. Masa dm stali wynosi, 8 kg. Ile arkuszy tej blachy można przewieźć na bagażniku samochodowym, jeśli obciążenie bagażnika nie może być większe niż kg?. Sprawdź, czy równość [ : ( )] =, [, 8 + 9, ] jest prawdziwa.. Skonstruuj odcinki długości: Wykaż, że liczba jest liczbą niewymierną.. Zbiór liczb rzeczywistych. Działania na liczbach. Jakim zbiorem liczb jest: N W N R W \N W\R (R\W) R.. Ze zbioru liczb { , 000..() } wypisz liczby należące do zbioru liczb: naturalnych całkowitych wymiernych d) niewymiernych.. Wyznacz rozwinięcia dziesiętne liczb: 8 0 d) e) 9.. W ramce obok przedstawiono sposób zamiany ułamka okresowego na ułamek zwykły. Wykonaj analogicznie przekształcenia ułamków okresowych: 0.().() 0.() d) 0.().. Wyznacz rozwinięcia dziesiętne danych liczb przy pomocy kalkulatora. 89 d) 9 e) 9.. Sprawdź, czy prawdziwa jest równość: 0, () + 0, () =, () 0, (9) + 0, (0) =. = 0.() = =... 0 = = + 9 = = 9 Liczba "pi" jest liczbą niewymierną. Sam symbol π został wprowadzony w 0r. przez matematyka angielskiego W. Jonesa. W ciągu wieków obowiązywały różne wymierne przybliżenia tej liczby: Archimedes (IIIw.p.e.): π Bhaskara (XIIw.): π 0 A. Metius (XVIw): π Które z nich jest najdokładniejsze?. Odkryj prawidłowości w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej i dopisz w nim 0 kolejnych cyfr: 0, ,...,... d), e),... 0, Podaj kilka różnych przedstawień liczb wymiernych:. d) e) Sprawdź, czy suma liczb niewymiernych + i jest liczbą wymierną. 0. Wykaż, że + jest liczbą niewymierną.

3 LIZBY I ZBIORY 9. Przedstaw wyniki działań: 0, () + 0, () i 0, () 0, () w postaci ułamków okresowych. 0. Korzystając z reguły oraz przykładu w ramce obok, zamień ułamek okresowy na zwykły: 0, () 0, () 0, () d), () e), () 0, ().. Potęgi i pierwiastki. Oblicz: ( ) d) ( Reguła. Powtarzającą się grupę liczb zapisujemy w liczniku ułamka.. W mianowniku ułamka zapisujemy tyle "9", ile cyfr ma okres ułamka. Przykład: 0, () = 9 0, () = 99 0, () = 0, + 0, 0() = 0, + 0, 0, () = + = ). Zapisz dane wyrażenia jako potęgi o jednej podstawie: 9 d) 9 e). Porównaj liczby:,, 9,,,, 8.. Wpisz odpowiednią liczbę w miejsce kwadratu: = = ( ) = d) 9 = e) a b = (a =. Oblicz: + 0 : ( 9 ) d) ( ) + ( ) e) + + ( : ) ( ). Zapisz w postaci podanej obok potęgi: : 8 : 8 ( ) : : 8 ( ) 9: 0. Przedstaw poniższe wyrażenia w postaci potęgi o podstawie a(a 0) (a ) :a a a (a a ) (a a ) (a a ) (a ) (a a ) d) (a ) (a ) (a ) :a 8. Oblicz stosunek masy elektronu do masy atomu wodoru, wiedząc, ze masa atomu wodoru wynosi 0, g, a masa elektronu 9, g. 9. Dane są odległości sześciu planet od Słońca: Jowisz, km Mars 8 0 km Saturn 0 8 km Wenus 0, 8 0 km Uran, km Ziemia 9, 0 km Uporządkuj planety według odległości od Słońca. 0. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: 8 d) e) 8 g) 98 h) 8 i) 8 j). Przedstaw wyrażenia bez pierwiastków: 8 d) ( ) g) 8 h). Wykonaj działania: + 8 ( + ) + ( 8 ) 0 d) ( 0 8) e) + + g) 8+ h) ( ) ( ) ( ) + ( ). Wzory skróconego mnożenia II stopnia. Wykonaj działania, stosując wzory skróconego mnożenia: e) 0 (a ) ( k m ) (a + ) ( a + ( a + )(a + ) ( y) ( + ) ( y) (a ) ( )( + ). Uzupełnij: (a +...) = a + a + 9 (a +...) = a + 0a +... (b...) = b d)... = ( + )(...) e) (... + ) = (...) = Wykonaj działania, doprowadź do najprostszej postaci: (a + ) (a ) (a + ) (a )(a + ) (a ).. Rozłóż na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia: + + 9a a + 8 d) 8a b e) 9 00 f*) ( + y). Oblicz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: 0 99 d) Wykonaj mnożenie: ( + ) ( ) ( )( + ) d) ( + ) e) ( ) ( + )( ). Usuń niewymierność z mianownika: g) + + h) + i) d) + j) + 8. Wykaż, że = + +. e) k) + +

4 LIZBY I ZBIORY. Przedziały liczbowe. Przedstaw na osi liczbowej przedziały: ( ) 0 ( ) d) e) ( ) ( g) ) h) ).. Zdefiniuj przedziały nieograniczone prawostronnie otwarte i prawostronnie domknięte. Zilustruj przedziały na osi.. Wymień po pięć liczb, które należą / nie należą do przedziałów: ( ) 0 ) ) d) ( e) ) ( ).. Zbiór liczb przedstawionych na osi liczbowej zapisz jako przedział. 0 0 e) 0 g) 0. Oceń, który zbiór jest przedziałem: 0 d) 0 0 h) 0 { R : > } { N : 0 < < 0} { W : } d) { : > } e) { R : 0 < } { R : = }.. Zaznacz na osi liczbowej przedziały: { R : > i } { R : } { R : i < } d) { R : < } e) { R : > 0} { R : < < }. Zapisz warunek, który spełniają liczby, jeżeli: ( ( + ) d) ( )..8 Działania na przedziałach. Zapisz jako sumę przedziałów: ( ) \ ( ) ( \ ) ( ) \.. Dane są przedziały A oraz B. Wyznacz A B, A B, A \ B, B \ A, jeżeli: A = ( ), B = 0 A = (, B = ( A = ( 0, B = ( d) A = (, B = ( ) e) A = ( ), B = A = π, B =.. g) A =, B = 0) h) A = ( ), B = ). Wypisz elementy zbioru: ) N ) ) N + d) ( 0 R + e) R \ (.. Zapisz w postaci przedziału: > i < > lub < < lub > d) < i >..9 Równania liniowe z jedna niewiadoma. Rozwiąż równania: = + = ( ) ( + ) = d) = e) ( ) ( ) = ( + ) ( + ) = i) ( ) = ( + ) g) ( ) = h) + = + j) = k) ( ) = + ( ) l) ( + ) ( ) = 8( ). Rozwiąż równania: + = + = ( ) = 9.. Suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest równa 8. Znajdź te liczby.. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m równanie (m + ) = m + : ma jedno rozwiązanie ma nieskończenie wiele rozwiązań nie ma rozwiązania..0 Nierówności liniowe. Zapisz w postaci przedziału zbiór rozwiązań nierówności: > + <.. Rozwiąż nierówności: ( ) ( + ) < 9( ) t+ 0 t ( ) d) y y+ < y 0.. Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności: + > d) < ( + ) e) ( + ) ( + ).. Przedstaw na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności: < d) ( ) > ( ) +.. Rozwiąż nierówność: > 0 p p + 8 z > z d) t+ 0 < t e) m+ < m+ ( + ) g) a + a a+ a h) y + > + y.. Rozwiąż nierówność <, następnie nierówność + < 9, a w końcu wyznacz zbiór ich wspólnych rozwiązań.

5 LIZBY I ZBIORY. Wyznacz zbiór liczb, z których każda spełnia jednocześnie nierówności: > 0 i < > i > i 0 d) + 0 i. 8. Oblicz, jaką liczbą może być długość boku trójkąta równobocznego przedstawionego na rysunku.8, gdy suma obwodów obydwu trójkątów równobocznych jest mniejsza od obwodu równoległoboku.. Układy równań liniowych. Rozwiąż metodą podstawiania: { { + y = t z = y = + t z = { p q = p + q =. Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników { { { y = 8 t z = a + b = + y = t + z = a b =. Rozwiąż algebraicznie układy równań: { { t u = 0 +y + y = +y t + u + = 0 y =. Rozwiąż dowolną metodą: { { { + y = 0 + y = 0 y = y = + + y = + + y =. Rozwiąż nierówność podwójną: { p+q + p q = p+q p q = d) Rys..8 { 0, (y ) = + y = +9 0, < < y + y y + < ( + ) + < ( + ) d) z + > z + > z+. Dla jakich wartości parametru m pierwiastek równania +m = 0 należy do przedziału ( )?. Suma dwóch liczb jest równa. Jeżeli każdą z nich zwiększymy o, to otrzymamy liczby, z których jedna jest razy większa od drugiej. Jakie to liczby? 8. Rozwiąż algebraicznie następujące układy równań: { { y+ y+ = ( ) ( y) = ( )( + ) y+ + y 9 = + y =. Wartość bezwzględna. Oblicz:.8, 0,,, +,. Zapisz bez symbolu wartości bezwzględnej:, π,, 0 0,,,. Wyznacz postać, jaką ma wyrażenie: + dla < dla >.. Oblicz wartość wyrażeń: + + dla = + dla =. Zapisz każdą z liczb bez wartości bezwzględnej: 0 + d).. Znajdź wszystkie liczby, dla których: = =. = d) = 0 e) = = g) = h) + = 8.. Rozwiąż nierówności. Zbiór rozwiązań zaznacz na osi liczbowej. + < 9 d) + >. 8. Zaznacz na osi liczbowej zbiory: A = { R : } B = { R : + > } = { R : + = } d) D = { R : = }. 9. Rozwiąż nierówność: < 0. Wyznacz A B, gdzie: A = { N + : + } i B = { : }.. Rozwiąż równania: = + + = + =. Wskazówka: Skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia (a + i (a!. Zapisz przedziały w postaci wartości bezwzględnej: 9 ( ) ( ) (8 + ) d) ( + ). Aby zapisać przedział, wykorzystując własność wartości bezwzględnej, należy:. obliczyć środek przedziału jako średnią arytmetyczną końców: + =. obliczyć odległość między końcami a środkiem: ( ) =. Zapisać nierówność:.

6 LIZBY I ZBIORY. Przybliżenia liczbowe. Używając kalkulatora, wyznacz wartość przybliżoną i podaj wynik z dokładnością: 0, 0 0,.. Pracownik sklepu RTV otrzymał płyty DVD w cenie zł oraz 9 zł.na pytanie klientów o cenę nowych płyt pracownik odpowiedział, że kosztują one w przybliżeniu 0 zł i 00 zł. Oblicz błąd bezwględny i względny podanych przybliżeń.. Wyznacz przybliżenie z niedomiarem i nadmiarem z dokładnością do 0, 00 liczb: + d) +.. Pewna -letnia pani pytana na przyjęciu o wiek odpowiedziała, że "w zaokrągleniu ma 0 lat". Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny podanego przybliżenia wieku tej pani.. W firmie X, obliczając płacę netto pracownika, otrzymano kwotę 9, 98. Na pasku wypłaty pracownika zapisano płacę w wysokości 9, zł. Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia. Jak zmienia się błąd, jeżeli firma zatrudni 00 pracowników zarabiających netto 9, 98 zł. Jak zmieni się wartość wypłaconych przez firmę pieniędzy?. Na egzaminie na prawo jazdy zdający zaznaczył, że długość drogi hamowania na mokrym asfalcie przy prędkości 0 km/h wynosi 0 m, a przy prędkości 00 km/h około 00 m. W rzeczywistości droga hamowania wynosi odpowiednio: m i 9 m. Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny obu przybliżeń.. Potęga o wykładniku rzeczywistym. Oblicz: ( ) 8 : d) 0,8 0,. Podane potęgi mają wartości wymierne. Jakie? 9 d) e). Oblicz: 9 d) 8 e) 8. Korzystając z definicji potęgi o wykładniku wymiernym przedstaw poniższe iloczyny w postaci jednej potęgi: d) g) h). Podaj przybliżoną wartość potęgi Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej:.,,, 0, π,, π. e) 8 i) j).. Metody szacowania. Wiedząc, że, < <, i, < y <,, wyznacz oszacowanie + y, y oraz y.. Działka ma kształt trójkąta. Długości jej boków zmierzone z dokładnością do dm wynoszą:, m,, m i 0, 8 m. Oszacuj długość każdego boku tej działki, a następnie wyznacz oszacowanie jej obwodu.. Wielkość, 8 kg to wartość przybliżona masy cukru. Błąd tego przybliżenia wynosi 0, kg. Wyznacz oszacowanie tej masy cukru.. Niech, < r <, będzie oszacowaniem promienia koła,, < π <, oszacowaniem liczby π. Oszacuj: obwód koła pole koła.. Oszacuj pole prostokątnej działki, której przybliżone wymiary z dokładnością do dm wynoszą, m i, m.. Zaokrąglenie z dokładnością do 0, liczby a wynosi,, a liczby b,. Wyznacz oszacowanie liczb a i b oraz różnicy a b.. Procenty. Wyraź w postaci procentu liczby: 0. d).0 e) 0.().. Zapisz w postaci liczby wymiernej: %.% 9 % d) 8% e) 0% %... Obliczanie procentu danej liczby. Oblicz 8% z liczby 0,. (odp. 9,).. Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba. ena jednej akcji DET-u wynosiła pewnego dnia zł, a w dniu następnym. zł. Oblicz procentowy wzrost ceny akcji DET-u. (odp. %). Oblicz, ile procent zarobił kupiec, który nabył towar za 00 zł i sprzedał go za zł. (odp. 8% ). ena jednej akcji ZAG-u wynosiła w pewnym dniu 9 zł, a maksymalny kurs akcji tej firmy.8 zł. Oblicz procentowy spadek kursu akcji ZAG-u.

7 LIZBY I ZBIORY. Za akcje WRZOS-u przed porannym fiingiem płacono 0 zł, po drugim fiingu zł. O ile procent wzrosły w tym dniu akcje WRZOS-u? (odp. 8%) 8. Przetwórnia zakupiła w pierwszym rzucie 0 ton ogórków, w tym % korniszonów, w drugim rzucie ton ogórków, w tym 0% korniszonów. Jaki procent masy zakupionych ogórków stanowiły korniszony? (odp.,%).. Obliczanie liczby na podstawie danego jej procentu 9. Księgarz dawał 8% rabatu przy zakupie co najmniej dwudziestu książek. Jaka była wartość sprzedanych książek, od których rabat wynosił zł? (odp. 0 zł) 0. W firmie ETA podniesiono płace o %. Ile złotych otrzyma pracownik, który do tej pory zarabiał 0 zł? Ile złotych zarabiał pracownik, który po podwyżce otrzymał 0 zł?. Hurtownia obniżyła ceny telewizorów o %. Jaka jest nowa cena telewizora, który kosztował 800 zł? (odp. 8zł) Jaka była stara cena telewizora, który obecnie kosztuje 00 zł? (odp. 0zł).. Odsetki. Procent składany. Każdy z banków A i B przyjął lokatę 000 zł na % w stosunku rocznym. Bank A z roczną kapitalizacją odsetek, bank B - z kwartalną. Jaki dochód uzyska się po dwóch latach w każdym banku, gdy odsetki będą dopisywane do kapitału? (odp. A 0. zł, B 0.9 zł). Banki podają stopy procentowe za jeden rok. Jaką roczną stopę procentową powinien stosować bank A z zadania poprzedniego, aby dochód od kapitału początkowego był taki sam jak w banku B?. W banku ZŁOTY obniżono stopy procentowe. Poprzednio za kredyt w wysokości 000 zł z roczną kapitalizacją odsetek trzeba było zwrócić po roku 800 zł, obecnie ten sam kredyt jest o 00 zł tańszy. O ile procent obniżono stopy procentowe? (odp. %). Po ilu latach kapitał 000 zł oddany do banku na 0% będzie miał wartość końcową 00 zł? (Przy rocznej kapitalizacji odsetek.) (odp. lat 9. Za kredyt w wysokości 000 zł zwrócono do banku po dwóch latach zł. Na jaki procent w stosunku rocznym bank udzielił tego kredytu z roczną kapitalizacją odsetek? (odp. %) 0. Wyznacz dochód, który uzyska się po roku od lokaty w wysokości 000 zł oprocentowanej na % w stosunku rocznym, gdy kapitalizacja odsetek następuje co miesiąc. (odp., zł). Zamieszczona tabela podaje liczbę ludności świata w pewnych latach. (Rocznik Statystyczny GUS, 00 r.) Rok Liczba ludności (mln) Na podstawie danych z lat 90 i 000 oblicz roczny procent przyrostu ludności, przyjmując, że przyrost ludności opisuje procent składany. (odp.,%) Sprawdź, w której kolumnie tabeli liczbę ludności przybliża najdokładniej liczba wyznaczona na podstawie wzoru na procent składany i procentu z podpunktu. (odp. kolumna 90: 00 mln) Zaprognozuj liczbę ludności świata w 00 r. (odp. mln).. Punkt procentowy. W sondażach przedwyborczych pewna partia w styczniu uzyskała poparcie 8%, natomiast trzy miesiące później poparcie tej partii wynosiło %. O ile punktów procentowych spadło poparcie dla partii? (odp. pkt) O ile procent spadło poparcie dla partii? (odp. %). W Krainie Matematycznej inflacja wzrosła z % do %. O ile punktów procentowych wzrosła inflacja? (odp. pkt) O ile procent wzrosła inflacja? (odp. 0 %). Pan Acki zarabia 80% średniej krajowej, która w maju 008 roku wynosiła 900 zł. Od lipca otrzymał podwyżkę o 0 punktów procentowych. Ile zarabiał pan Acki? Ile pan Acki zarabia po podwyżce? O ile procent wzrosła jego pensja?. Na jaki procent oddano do banku zł, jeżeli po dwóch latach kapitał końcowy wynosił zł, przy rocznej kapitalizacji odsetek? (odp. %). Oblicz wartość końcową kapitału 800 zł umieszczonego w banku na, % w stosunku rocznym na lata z roczną kapitalizacją odsetek. (odp. 9,88 zł) 8. Pan X wziął w banku kredyt 000 zł na % w stosunku rocznym i nie spłacał odsetek. Jaką kwotę musiał zwrócić do banku po trzech latach z roczną kapitalizacją odsetek? (odp. 0,8 zł)