PROBLEM LQ W OPTYMALIZACJI REGULATORA MOMENTU ELEKTROMAGNETYCZNEGO

Transkrypt

1 rzegorz ELEKROECHNIKA SIEKLUCKI I ELEKRONIKA PROBLEM OM 9. ZESZY LQ W, OPYMALIZACJI REULAORA MOMENU ELEKROMANEYCZNEO rzegorz SIEKLUCKI * PROBLEM LQ W OPYMALIZACJI REULAORA MOMENU ELEKROMANEYCZNEO SRESZCZENIE W artykule przedstawiono optymalizacjê parametryczn¹ regulatora PI w przestrzeni stanu. W procesie optymalizacji wykorzystano konwersjê transmitancyjnego matematycznego modelu do równania stanu i problem liniowo-kwadratowy (LQ). Omówiono reprezentacjê uk³adu regulacji jako systemu jednopêtlowego. Przedstawiono optymalizacjê dla napêdu z silnikiem obcowzbudnym oraz dla napêdu z silnikiem indukcyjnym (metoda DC-SVM). S³owa kluczowe: problem LQ, optymalizacja parametryczna, regulacja momentu elektrycznego, regulator PI, regulator PD, DC-SVM LQ PROBLEM IN ELECROMANEIC ORQUE CONROLLER OPIMIZAION In this paper the PI controller parametric optimization in state-space is presented. he conversion from transferfunction to statespace mathematical model and linear-quadratic (LQ) control problem is used in optimization process. Representation of the control system as one-loop system is discussed. Optimization for drive with separately excited DC motor and drive with induction motor (DC-SVM method) is presented. Keywords: LQ problem, parametric optimization, motor torque control, PI controller, PD controller, DC-SVM. WPROWADZENIE Do sterowania momentem napêdów elektrycznych najczêœciej wykorzystywany jest regulator proporcjonalno-ca³kuj¹cy (PI) i typowo stosuje siê tu kryterium modu³owe. W kryterium tym upraszcza siê model matematyczny napêdu przez pominiêcie si³y elektromotorycznej. akie podejœcie prowadzi do wystêpowania b³êdów w odniesieniu do rzeczywistego obiektu. Dodatkowo nie mo e byæ ono stosowane do uk³adów napêdowych bêd¹cych obiektami oscylacyjnymi napêdy z niewielkimi wartoœciami momentu bezw³adnoœci. Powy szych wad nie ma optymalizacja parametryczna regulatorów w przestrzeni stanu. W artykule przedstawiono jedn¹ z mo liwych do zastosowania metod optymalizacji regulatora momentu elektrycznego. Podstaw¹ jest tu zastosowanie problemu liniowo- -kwadratowego (LQ), który ma ³atwe do zaimplementowania algorytmy numeryczne. Opieraj¹ siê one na rozwi¹zaniu algebraicznego równania Riccatiego (ARE). Zastosowanie problemu LQ w automatyce napêdu znajduje szczególne zastosowanie w zadaniu stabilizacji prêdkoœci (podczas obci¹ enia momentem zewnêtrznym), które omówiono m.in. w [9, 3, 33, 43] oraz obserwatorów momentu obci¹ enia [39, 4]. Artyku³ zosta³ zainspirowany ostatnim zdaniem w [5], które dotyczy³o koniecznoœci poszukiwania prostych i wydajnych metod optymalizacji regulatora momentu w metodzie DCSVM dla silnika indukcyjnego.. PROBLEM LQ Dla liniowego stacjonarnego systemu ci¹g³ego opisanego równaniem stanu: xt &() = Axt % () + But % () () y(t) = Cx(t) () x() = x n m gdzie x i u, przeprowadza siê minimalizacjê kwadratowego wskaÿnika jakoœci w postaci: ( () () () ()) Jc = x t Qx % t + u t Ru % t (3) Wówczas ARE [,, 6, 7,, 34]: A% Pc + PcA% PcBR %% B% Pc + Q% = (4) a prawo sterowania jest opisane nastêpuj¹cymi zale noœciami: ut () = Kxt c () Kc = R % B % (5) Pc gdzie K c jest w ogólnym (wielowymiarowym) przypadku macierz¹ wzmocnieñ regulatora, a P c = P c jest rozwi¹zaniem (4), które jest jednoznacznie okreœlone, gdy para ( AB %, % ) jest stabilizowana, a para ( C%, A% ) jest wykrywalna, czyli Q% = CC % % oraz Q% = Q%, R% = R% >. * AH Akademia órniczo-hutnicza, Wydzia³ Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki, Katedra Automatyki Napêdu i Urz¹dzeñ Przemys³owych, al. A. Mickiewicza 3, 3-59 Kraków, Poland 6

2 ELEKROECHNIKA I ELEKRONIKA OM 9. ZESZY, 3. UK AD REULACJI MOMENU ELEKRYCZNEO Uogólniony uk³ad regulacji momentu z regulatorem proporcjonalno-ca³kuj¹cym (PI) zosta³ przedstawiony na rysunku. Kompensacja zera obiektu przez biegun regulatora prowadzi do struktury przedstawionej na rysunku [35]. Rys. 3. Statyczne sprzê enie zwrotne dla uk³adu drugiego rzêdu Rys.. Schemat blokowy uk³adu regulacji momentu elektrycznego Rys. 4. Przekszta³cony schemat blokowy statycznego sprzê enia zwrotnego regulacja momentu elektrycznego Prowadzi to do koniecznoœci zastosowania filtru wartoœci zadanej ( prefilter ) momentu Meref w postaci Rys.. Uproszczony schemat blokowy z rysunku Dla uk³adu zamkniêtego (rys. ) z regulatorem PD mo - liwe jest wykorzystanie metod przestrzeni stanu w optymalizacji parametrów KR i D [35, 46]. Jedn¹ z mo liwych do zastosowania metod optymalizacji parametrów regulatora momentu jest rozwi¹zanie problemu LQ [, 7,, 4,, 6, 7, 46]. W tym celu nale y dokonaæ konwersji modelu matematycznego obiektu z postaci transmitancyjnej do równania stanu (): %, % A= B = β3 β β x () t M () () () & e t xt = = x t Me() t Z uwagi na przyjêty sposób regulacji (w przestrzeni stanu) nale y przyj¹æ macierz wyjœæ C = I (I jest macierz¹ jednostkow¹). Wówczas A % jest macierz¹ Frobeniusa i (6) spe³nia wyra enie na transmitancjê: M () () e s M s = = ( )( si A % ) B %. us () Dla uk³adu drugiego rzêdu (6) wynikiem optymalizacji statycznego sprzê enia zwrotnego (macierzy wzmocnieñ regulatora) jest: ( ) c R d (6) K = k k, K = k, = k (7) Wektor K c oblicza siê z wykorzystaniem zale noœci (4) oraz (5). Uk³ad regulacji momentu elektrycznego mo na przedstawiæ w postaci jak na rysunku 3, który z uwzglêdnieniem struktury z rysunku przekszta³ca siê do postaci z rysunku 4 [46]. f () s = K d R s + 4. SILNIKI OBCOWZBUDNE PR DU SA EO LUB SILNIKI BEZSZCZOKOWE Z MANESAMI RWA YMI Model matematyczny obcowzbudnego silnika pr¹du sta- ³ego wg prac [45, 3,, 4, 8, 9, 9, 3] wraz z modelem zasilaj¹cego wzmacniacza mocy opisuje siê nastêpuj¹cym równaniem stanu (): ω& () t ψe / J ω() t It & = + () ψe / L / It () / J Mm () t + Kp / L Us () t gdzie: U s napiêcie steruj¹ce wzmacniaczem mocy, I pr¹d twornika, I N znamionowy pr¹d twornika, M m moment obci¹ enia, ω prêdkoœæ k¹towa silnika, ψ e strumieñ skojarzony rotacyjnie z uzw. twornika, R rezystancja uogólniona, L indukcyjnoœæ ca³kowita, L = elektromagnetyczna sta³a czasowa, R J moment bezw³adnoœci napêdu i maszyny roboczej, JR B = elektromechaniczna sta³a czasowa silnika, ψ e wzmocnienie wzmacniacza mocy. K p (8) (9) 7

3 rzegorz SIEKLUCKI PROBLEM LQ W OPYMALIZACJI REULAORA MOMENU ELEKROMANEYCZNEO W modelu matematycznym (9) nie uwzglêdnia siê dynamiki przekszta³tnika tyrystorowego (wzmacniacza mocy) U() s p() s = Kp. Us () s = Uzasadnieniem jest znacznie mniejsze opóÿnienie przekszta³tnika w stosunku do sta³ych czasowych B, silnika. Schemat blokowy napêdu z silnikiem obcowzbudnym (M m nie zale y od ω) przedstawiono na rysunku 5. a wektor stanu ( x() t = X & () t ) x () t It () xt () = = x () t It & () (4) akie oznaczenia pozwalaj¹ rozpisaæ formê kwadratow¹ wskaÿnika jakoœci (3) jako wyra enie: Jc = q( I() t ) q( I() t ) r( U ()) s t + & + (5) Powy sza postaæ wskaÿnika jakoœci oznacza, e zwiêkszenie dowolnej wagi bêdzie objawia³o siê silniejsz¹ minimalizacj¹ sygna³u, z którym dana waga jest zwi¹zana. Proponuje siê przyjêcie wag wskaÿnika jakoœci okreœlonych w nastêpuj¹cy sposób: Rys. 5. Schemat blokowy modelu matematycznego silnika obcowzbudnego λn q =, q =, r =, p (6) Modele matematyczne silników synchronicznych z magnesami sta³ymi (BLDC i PMSM) mo na sprowadziæ do wy ej przedstawionej postaci [4, 49, 39]. Z tego powodu mo liwe jest stosowanie dla nich identycznych metod optymalizacji parametrycznej jak dla silników obcowzbudnych, równie z uwzglêdnieniem pracy przy os³abionym polu. Ograniczeniami konstrukcyjnymi dla silnika obcowzbudnego s¹ [9]: It () λnin ogr. wartoœci pr¹du di() t pin ogr. narastania pr¹du () gdzie λ N, p s¹ sta³ymi dodatnimi. Ograniczenie pochodnej pr¹du nie dotyczy silników synchronicznych. Z uwagi na wyra enie na moment elektryczny M e = ψ e I, regulacja momentu przy sta³ym strumieniu ψ e prowadzi do regulacji pr¹du twornika. Na podstawie modelu (9) lub schematu blokowego (rys. 5) wyznacza siê transmitancjê pr¹dow¹ silnika: IU Is () KpBs () s = = U () s R Bs + Bs + s () Powy sza transmitancja jest podobna do opisu obiektu z rysunku. Z tego powodu równanie stanu () o macierzach (6) posiada wspó³czynniki: K p,, 3 β = β = β = () R B Natomiast macierze wskaÿnika jakoœci (3) przyjmuje siê w postaci: % q Q =, R = r q (3) aki dobór wag wskaÿnika jakoœci oznacza, e sterowanie u nie bêdzie minimalizowane. W przybli eniu wskaÿnik jakoœci (5) przyjmuje postaæ J ( ) ( ) c q I() t q I() t + & (7) która prowadzi do uzyskania transmitancji zamkniêtego uk³adu regulacji momentu elektrycznego w postaci ci Is () () s = Iref () s λ N s + p (8) W literaturze [, 9] przyjmuje siê β = λ N /p jako sta³¹ czasow¹ zoptymalizowanego uk³adu regulacji. Oznacza to, e zamkniêty uk³ad regulacji nie bêdzie przekracza³ konstrukcyjnego ograniczenia na pochodn¹ pr¹du () identycznie jak w metodzie nazwanej kryterium kszta³tu, gdzie w procesie optymalizacji porównuje siê transmitancjê uk³adu zamkniêtego z rysunku 3 z transmitancj¹ wzorcow¹ w postaci (8). Kryterium kszta³tu rozumiane w powy szy sposób ma jedn¹ wadê mo e byæ stosowane jedynie dla silników spe³niaj¹cych warunek B 4, czyli dla obiektów inercyjnych. Optymalizacja w przestrzeni stanów nie ma takich ograniczeñ i mo e byæ wykorzystywana zarówno dla obiektów inercyjnych, jak i oscylacyjnych. Jest to niew¹tpliwie jej wielk¹ zalet¹, zw³aszcza zwi¹zan¹ z silnikami bezszczotkowymi, maj¹cymi znacznie mniejsze momenty bezw³adnoœci w porównaniu z silnikami pr¹du sta³ego lub asynchronicznymi. W celu zaprezentowania mo liwoœci proponowanej metody optymalizacji regulatora momentu wykorzystano parametry silnika 8 kw (Dodatek), gdzie optymalizacjê nastaw regulatora przeprowadzono dla momentu bezw³ad- 8

4 ELEKROECHNIKA I ELEKRONIKA OM 9. ZESZY, noœci J =,69 kgm (silnik jest obiektem inercyjnym) oraz dla fikcyjnego momentu bezw³adnoœci J =, kgm (obiekt oscylacyjny). Drugi przypadek mo e byæ przyk³adem zastosowania omawianej metody dla silników synchronicznych z magnesami trwa³ymi. Dla obydwóch przypadków wagi wskaÿnika jakoœci (7) przyjêto identycznie, zgodnie z (6). Dla napêdów przeprowadzono optymalizacjê parametrów K R, d. W prezentowanych przypadkach uzyskano identyczne przebiegi pr¹du twornika i jego pochodnej (rys. 6). abela. Zestawienie wyników optymalizacji parametrycznej napêdu z silnikiem 8 kw J =,69 kgm J =, kgm K R 36,345 35,96 d,658,658 λ 5, 6, λ 958,6 958,6 Z otrzymanych wyników widaæ ró nicê w nastawie K R regulatora (tab. ), natomiast uk³ad zamkniêty charakteryzuje siê praktycznie identycznymi wartoœciami w³asnymi λ, λ i równanie charakterystyczne przyjmuje postaæ: s (λ + λ )s + λ λ = (9) któr¹ mo na przekszta³ciæ do równania: λλ s ( λ +λ ) s+ = λλ () a po uwzglêdnieniu λ << λ do uproszczenia Rys. 6. Przebiegi pr¹du twornika i jego pochodnej akie wyniki sugeruj¹, e ró nice pojawi¹ siê w sterowaniu U s, które w procesie optymalizacji praktycznie nie podlega³o minimalizacji. Porównanie przebiegów napiêcia steruj¹cego przedstawiono na rysunku 7. s + = λ () Dodatkowo mo na zauwa yæ, e spe³niona jest zale - noœæ: p λ β = = 5 λn () co staje siê potwierdzeniem wzajemnego powi¹zania transmitancji (8) i wskaÿnika jakoœci (7). 5. SILNIKI INDUKCYJNE KLAKOWE MEODA DC-SVM Rys. 7. Porównanie przebiegów napiêcia twornika U dla ró nych wartoœci momentu bezw³adnoœci Realizacja sterowania napiêciowego w uk³adzie rzeczywistym dla przypadku J =, kgm by³aby mo liwa po wczeœniejszym odpowiednim dobraniu transformatora przekszta³tnikowego. Zasady bezpoœredniego sterowania momentem (DC) silnika indukcyjnego zosta³y omówione m.in. w [4,, 7, 4, 5, 47]. Metoda ta zapewnia wysok¹ dynamikê i du ¹ odpornoœæ uk³adu napêdowego oraz ³atwoœæ optymalizacji regulatora prêdkoœci [37]. Wad¹ DC s¹ du e oscylacje momentu elektrycznego i pr¹dów stojana oraz zmienna czêstotliwoœæ PWM napiêcia stojana. Zalety i wady metody wynikaj¹ z zastosowania regulatorów przekaÿnikowych oraz tabeli selekcji wektorów napiêcia stojana. Z powy szych powodów, kosztem dynamiki napêdu, do uk³adu regulacji wprowadza siê modulacjê wektora przestrzennego (SVM) oraz regulatory strumienia stojana i momentu elektrycznego. Przegl¹d najczêœciej stosowanych metod zosta³ zamieszczony w pracy [6]. W niniejszym artykule skoncentrowano siê na metodzie zaproponowanej w [48] i rozwijanej m.in. w pracach [, 3, 6, 5], gdzie 9

5 rzegorz SIEKLUCKI PROBLEM LQ W OPYMALIZACJI REULAORA MOMENU ELEKROMANEYCZNEO w celu uproszczenia modelu matematycznego napêdu wykorzystuje siê odsprzêganie, oraz w pracach [3, 5, 3], gdzie na podstawie równañ silnika indukcyjnego wylicza siê przybli enie transmitancji momentu elektrycznego od napiêcia stojana. W metodzie u ywa siê modelu matematycznego silnika w wiruj¹cym synchronicznie z wektorem strumienia stojana uk³adzie wspó³rzêdnych. Oznacza to zapis równañ silnika z wykorzystaniem metody wektora przestrzennego [, 4, 47, 7, 6, 8, 8, 5, 44, ], gdzie rzeczywist¹ osi¹ uk³adu wspó³rzêdnych jest strumieñ stojana ψ S =ψ Sd + jψ Sq = ψ S =ψs {. = akie podejœcie prowadzi do nastêpuj¹cych równañ [3, 5, 3]: u u Sd dψs = RS isd + (3a) Sq = RS isq +ωms ψ S (3b) R elektromagnetyczna sta³a czasowa wirnika, S elektromagnetyczna sta³a czasowa stojana, L S indukcyjnoœæ stojana, R elektromagnetyczna sta³a czasowa wirnika, δ k¹t obci¹ enia, ρ k¹t pomiêdzy osi¹ stojana a ψ S, ω m prêdkoœæ k¹towa wirnika, ω ms pulsacja (prêdkoœæ) ψ S, μ L σ= ca³kowity wspó³czynnik rozproszenia. L L S R Na podstawie modelu matematycznego (3) wyznacza siê równanie ró niczkowe disq = f ( isq, usq, isd, ψs, ωm, ωms ), czyli w uproszczeniu i Sq = f (u Sq ) i po podstawieniu do równania (3i) uzyskuje siê równanie ró niczkowe dψrd = RRRd i + + ( pbωm ωms) ψ Rq (3c) d Me dme = g, usq, isd, ψs, ωm, ωms (4) dψrq = RRRq i + + ( ωms pbωm) ψ Rd (3d) Li Li ψ S = S Sd + μ Rd (3e) = Li SSq+ Li μ Rq (3f) ψ Rd = R Rd + μ Sd (3g) ψ Rq = R Rq + μ Sq (3h) 3 Me = pbψ SiSq (3i) ω m = e m (3j) d J M M W powy szych równaniach i w dalszej czêœci artyku³u u ywane s¹ nastêpuj¹ce oznaczenia: i Sd, i Sq pod³u na i poprzeczna sk³adowa wektora pr¹du stojana, zapisanego w ruchomym uk³adzie wspó³rzêdnych zwi¹zanym z ψ S, L R indukcyjnoœæ wirnika, L S indukcyjnoœæ stojana, L μ indukcyjnoœæ wzajemna, R R rezystancja wirnika, rezystancja stojana, R S Nastêpnie po za³o eniu M m =, do równania (4) podstawia siê (3j). Ostatecznie przyjmuje siê sta³¹ wartoœæ strumienia ψ S = const oraz pomija siê wp³yw pr¹du i Sd. Po omówionych uproszczeniach zapisuje siê transmitancjê: M gdzie: Me() s βs () s = = u () s s +β s+β Sq 3 3pbψ S RSLR + RRLS 3pbψS β =, β =, β 3 =. σls σlrls σjls (5) Dla wiêkszoœci silników klatkowych powy szy model posiada zespolone wartoœci w³asne, co œwiadczy o jego oscylacyjnej dynamice. Z zaprezentowanego modelu (5) widaæ, e jego postaæ jest identyczna z przyjêt¹ na rysunku. Z tego powodu mo na wykorzystaæ problem LQ do optymalizacji parametrów regulatora momentu. W przypadku silników pr¹du przemiennego nie wystêpuje ograniczenie pochodnej pr¹du, wiêc mo na przyjmowaæ dowolnie ma³e wartoœci wspó³czynnika q we wskaÿniku jakoœci ( ) Jc = q ( Me( t)) q Me( t) r( usq( t)) + & + (6) Po zdefiniowaniu wag wskaÿnika jakoœci przystêpuje siê do rozwi¹zania ARE i obliczenia wektora wzmocnieñ regu- 3

6 ELEKROECHNIKA I ELEKRONIKA OM 9. ZESZY, latora K c identycznie jak dla regulacji pr¹du twornika silnika obcowzbudnego. W zaproponowanej metodzie optymalizacji parametrycznej regulatora PI konieczne jest stosowanie filtru wartoœci zadanej F (s) (rys. 4). Dodatkowo oznacza to, e struktura uk³adu regulacji momentu elektrycznego jest identyczna z przedstawion¹ w [3, 5, 3], a ró nica polega na zastosowaniu innej metody optymalizacji. W cytowanych publikacjach wykorzystywana jest aplikacja SISO DESIN OOL pakietu MALAB-SIMULINK, która pozwala na definiowanie czasu regulacji i przeregulowania zamkniêtego uk³adu regulacji. 6. PODSUMOWANIE Omówiona metodologia w rzeczywistoœci dotyczy optymalizacji regulatora PD, a nie PI, dla obiektu inercyjnego (rys. ) i z tego powodu mo liwe jest tu zastosowanie podejœcia przedstawionego w [46]. W artykule przedstawiono zastosowanie problemu LQ do optymalizacji parametrycznej regulatora momentu elektrycznego silników elektrycznych. Zaprezentowano rozwi¹zanie dla napêdów z: silnikami obcowzbudnymi oraz synchronicznymi z magnesami trwa³ymi (zbli ona postaæ modelu rys. 5), silnikami indukcyjnymi sterowanymi wed³ug metody DC-SVM. W obydwóch przypadkach zastosowano identyczn¹ metodologiê i uzyskano po ¹dane wyniki. Przedstawiono jedn¹ z mo liwych do zastosowania metod doboru wag wskaÿnika jakoœci, która gwarantuje skokow¹ odpowiedÿ momentu elektrycznego zbli on¹ do funkcji wyk³adniczej. Zestawienie algorytmów rozwi¹zywania ARE zosta³o zamieszczone m.in. w [5, 34, 4], a badania porównawcze z³o onoœci obliczeniowej i zbie noœci dla dyskretnych uk³adów drugiego rzêdu (stabilizacja prêdkoœci silnika obcowzbudnego) zamieszczono w [36]. W praktycznych samostroj¹cych uk³adach regulacji momentu elektrycznego do rozwi¹zania ARE, które jest podstaw¹ proponowanej metody, mo na wykorzystaæ metodê Newtona Raphsona opisan¹ w [8]. Dodatkowe informacje dotycz¹ce wad regulacji PI momentem elektromagnetycznym silnika oraz klasycznych metod optymalizacji mo na znaleÿæ w pracach [34, 35, 38]. DODAEK Badania symulacyjne przeprowadzono dla napêdu pr¹du sta³ego o nastêpuj¹cych parametrach: P N = 8 kw, U N = 44 V, I N = 47 A, n N = 8 rpm, ω N = 88 rad/s, ω =,3 rad/s, R =,8 Ω, L = 99 mh, = L/R = 55 ms, ψ e =,97 Vs/rad, λ N = I max /I N, J =,69 kgm, K p = 75 V/V, p = 5I N A/s. Literatura [] Anderson B.D.O., Moore J.B: Optimal control: Linear Quadratic methods. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 99 [] Bisztyga K.: Sterowanie i regulacja silników elektrycznych. Warszawa, WN, 989 [3] Blaabjerg.F., KaŸmierkowski M.P., Zelechowski M., Swierczynski D., Ko³omyjski W.: Design and comparison direct torque control techniques for induction motors. EPE 5, 4.9.5, Dresden, ermany, page on CD, 4 [4] Boldea I., Nasar S.A.: Electric Drives. CRC Press, 999 [5] Bose B.K.: Modern Power Electronics and AC Drives. NJ,Prentice Hall, [6] Buja.S., KaŸmierkowski M.P.: Direct torque control of PWM converter-fed ac motors-a survey. IEEE rans. Ind. Electron., 5(4) (4) [7] Callier F.M., Desoer Ch.A.: Linear System heory. New York, Springer-Verlag, 99 [8] Chiasson J.: Modeling and High-Performance control of Electric Machines. NJ: Wiley-IEEE Press, 5 [9] Ciepiela A.: Automatyka przekszta³tnikowego napêdu pr¹du sta³ego. Kraków, Skrypty uczelniane, Nr. 37, Wydawnictwa AH, 99. [] Ciepiela A.: Automatyka uk³adu Leonarda. Kraków, Wydawnictwa AH, 994 [] Depenbrock M.: Direct self-control (DSC) of inverter-fed induction machine. IEEE ransactions on Power Electronics, (3) (988) 4 49 [] Dorato P., Abdallah Ch., Cerone V.: Linear-Quadratic Control: An Introduction. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 995 [3] elechowski M.: Space Vector Modulated-Direct orque Controlled (DC-SVM) Inverter-Fed Induction Motor Drive. PhD thesis, Faculty of Electrical Engineering Institute of Control and Industrial Electronics, Warsaw University of echnology, 5 [4] órecki H.: Optymalizacja systemów dynamicznych. Warszawa, PWN, 993 [5] KaŸmierkowski M.P., elechowski M., Œwierczyñski D.: Dtc-svm an efficient method for control both induction and pm synchronous motor, page on CD, 4 [6] KaŸmierkowski M.P., Krishnan R., Blaabjerg F.: Control in Power Electronics. San Diego, Academic Press, [7] KaŸmierkowski M.P., unia H.: Automatic Control of Converter-Fed Drives. Warszawa, Elsevier, 994 [8] Kleinman D.L.: On an Iterative echnique for Riccati Equation Computations. IEEE ransaction on Automatic Control, AC-3() (968) 4 5 [9] Kozio³ R., Sawicki J., Szklarski L.: Digital Control of Electric Drives. Warszawa, PWN, 99. [] R. Krishnan. Electric Motor Drives. Modelling, Analysis and Control. NJ: Prentice Hall, [] Kwakernaak H., Sivan R.: Linear Optimal Control Systems. New York: Wiley Interscience, 97 [] Lascu C., Boldea I., Blaabjerg F.: A modified direct torque control for induction motor sensorless drive. IEEE rans. Ind. Appl., 36() () 3 [3] Lascu C., rzynadlowski A..: A sensorless hybrid c drive for high-volume applications using the tms3f43 dsp controller. Ind. Appl. Conference,. hirty-sixth IAS Annual Meeting. Conference Record of the IEEE, () [4] Leonhard W.: Control of Electrical Drives. Berlin, Springer-Verlag, [5] Mehrmann V.: he Autonomous Linear Quadratic Control Problem. heory and Numerical Solution. Berlin, Springer-Verlag, 99 [6] Mitkowski W.: Stabilizacja systemów dynamicznych. Warszawa, WN, 99 [7] Ogata K.: Discrete-ime Control Systems. Prentice Hall, 995 [8] Or³owska Kowalska.: Bezczujnikowe uk³ady napêdowe z silnikami indukcyjnymi. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, 3 [9] Orzechowski., Sieklucki.: Zastosowanie metody spektralnej faktoryzacji w doborze regulatora lq dla napêdu pr¹du sta³ego. Kraków, Elektrotechnika ZN AH, (998) 7() 3

7 rzegorz SIEKLUCKI PROBLEM LQ W OPYMALIZACJI REULAORA MOMENU ELEKROMANEYCZNEO [3] Orzechowski., Sieklucki.: Odpornoœciowe w³aœciwoœci regulatora lq dla napêdu pr¹du sta³ego. Kraków, Elektrotechnika ZN AH, (przyjêty do druku) [3] Pe³czewski W. Krynke M.: Metoda zmiennych stanu w analizie dynamiki uk³adów napêdowych. Warszawa, WN, 984 [3] Rusek J.: Elektrotechnika z elementami napêdów. Kraków, Wydawnictwa AH, 993 [33] Sieklucki.: Problemy dyskretnego sterowania napêdami pr¹du sta- ³ego z uwzglêdnieniem ograniczeñ zmiennych stanu (rozprawa doktorska), Kraków, AH, [34] Sieklucki.: Automatyka napêdu. Kraków, Wydawnictwa AH, 9 [35] Sieklucki.: Pole placement method for dc motor torque. Archives of Control Sciences, 9(3) (9) [36] Sieklucki., Orzechowski.: Metody numeryczne rozwi¹zania problemu lq dla napêdu pr¹du sta³ego. Elektrotechnika i Elektronika, () 5 57 [37] Sieklucki., Orzechowski., Sykulski R.: Dobór parametrów regulatora prêdkoœci w bezpoœrednim sterowaniu momentem silnika indukcyjnego. Elektrotechnika i Elektronika, 4() (5) 85 9 [38] Sieklucki., Orzechowski., Sykulski R., Szostak B.: Start-up of DC drive under load. Archives of Control Sciences, 7(3) (7) [39] Sieklucki., Orzechowski., ondos M., Sykulski R.: Optymalizacja obserwatora momentu przy kwadratowym wskaÿniku jakoœci. Przegl¹d Elektrotechniczny, 7 (8) 9 35 [4] Sieklucki., ondos M.: Linear-quadratic optimization for discretetime load torque observer. th International Power Electronics and Motion Control conference : 4 September 4, Riga, Latvia, EPE PEMC(dok. elektroniczny), 4 [4] Sima V.: Algorithms for Linear-Quadratic Optimization. Marcel Dekker, Inc., 996 [4] akahashi I., Noguchi.: A new quick response and high efficiency control strategy of an induction motor. IEEE rans. on Industrial Applications, IA-:8 87, 986 [43] ondos M., Sieklucki., Pracownik A.: Proportionalintegral LQ control of a two-mass system. th International Power Electronics and Motion Control conference, IEEE: Portoroz, Slovenia, dok. elektroniczny, 6 [44] rzynadlowski A.M.: Control of Induction Motors. San Diego, Academic Press, [45] unia H., KaŸmierkowski M.P.: Podstawy automatyki napêdu elektrycznego. Warszawa, WN, 983 [46] Vaccaro J.R.: Digital Control. A State-Space Approach. Mcraw- Hill, Inc., 995 [47] Vas P.: Sensorless Vector and Direct orque Control. Oxford University Press, 998 [48] Xue X., Xu X., Habetler.., Divan D.M.: A low cost stator flux oriented voltage source variable speed drive. Conf. Rec. IEEE-IAS Annu. Meeting, (99) 4 45 [49] Zawirski K.: Sterowanie silnikiem synchronicznym o magnesach trwa³ych. Poznañ, Wydawnictwo Politechniki Poznañskiej, 5 [5] elechowski M., KaŸmierkowski M., Blaabjerg F.: Controller design for direct torque controlled space vector modulated (csvm) induction motor drives. IEEE ISIE, Dubrovnik, Croatia (5) Wp³ynê³o: 5.. rzegorz SIEKLUCKI Urodzi³ siê lutego 97 roku. Studia wy sze ukoñczy³ w roku 997 w Akademii órniczo-hutniczej w Krakowie na Wydziale Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki. Stopieñ naukowy doktora nauk technicznych uzyska³ w roku. Od pocz¹tku pracuje w Katedrze Automatyki Napêdu i Urz¹dzeñ Przemys³owych AH. Zajmuje siê sterowaniem dyskretnym w uk³adach napêdowych. sieklo@kaniup.agh.edu.pl 3