Praca dyplomowa - magisterska

Transkrypt

1 Wydział Matematyki kierunek studiów: Matematyka specjalność: Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Praca dyplomowa - magisterska Krótkoterminowe prognozowanie cen energii elektrycznej z wykorzystaniem modeli siostrzanych Michał Kucharczyk słowa kluczowe: prognozowanie cen energii elektrycznej, modele siostrzane, model ARX, rynek dnia następnego krótkie streszczenie: W pracy zastosowano modele siostrzane, zbudowane na bazie modelu autoregresji ze zmiennymi zewnętrznymi, do prognozowania cen energii elektrycznej na rynku dnia następnego. W tym celu wykorzystano dane z konkursu GEFCom2014. Następnie porównano błędy uzyskanych prognoz z modelami referencyjnymi oraz zbadano ich zachowanie się w czasie. opiekun pracy dyplomowej prof. Rafał Weron Tytuł/stopień naukowy/imię i nazwisko ocena podpis Do celów archiwalnych pracę dyplomową zakwalifikowano do:* a) kategorii A (akta wieczyste) b) kategorii BE 50 (po 50 latach podlegające ekspertyzie) * niepotrzebne skreślić pieczątka wydziałowa Wrocław, 2016

2 Wydział Matematyki kierunek studiów: Matematyka specjalność: Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Praca dyplomowa - magisterska Short-term forecasting of electricity prices using sister models Michał Kucharczyk keywords: electricity price forecasting, sister models, ARX model, day-ahead market short abstract: In this thesis, sister models are used to forecast electricity prices in the dayahead market. They are based on an autoregressive model with exogenous variables and calibrated to data from the GEFCom2014 competition. Errors of the obtained predictions are compared with benchmark models and their behaviour over time is assessed. opiekun pracy dyplomowej prof. Rafał Weron Tytuł/stopień naukowy/imię i nazwisko ocena podpis Do celów archiwalnych pracę dyplomową zakwalifikowano do:* a) kategorii A (akta wieczyste) b) kategorii BE 50 (po 50 latach podlegające ekspertyzie) * niepotrzebne skreślić pieczątka wydziałowa Wrocław, 2016

3 SPIS TREŚCI 1. Wstęp Rynek energii elektrycznej Deregulacja Specyfika rynku Dane i modele Rodzaje metod w użyciu Dane Oznaczenia Bazowy model ARX Modele siostrzane Wybór modelu Wyniki Prognozy Zachowanie w czasie Podsumowanie Bibliografia

4 1. WSTĘP Elektryczność odgrywa kluczową rolę w rozwoju ludzkości, od zaopatrzenia w nią praktycznie całkowicie zależy obecna rozwinięta cywilizacja. Początkowo handel energią elektryczną był regulowany i sterowany na poziomie centralnym. Konsumenci nie mieli prawa wyboru dostawcy, a ceny były odgórnie narzucane. Jednak w latach 90 ubiegłego wieku nastąpiła deregulacja rynku energii m.in. w większości krajów europejskich oraz w Stanach Zjednoczonych, Kanadzie i Australii. Tam też obecnie znajdują się najbardziej rozwinięte giełdy handlu energią elektryczną. Konsumenci (na rynku hurtowym) mają możliwość wyboru dostawcy, a ceny kształtuje prawo popytu i podaży. Taka sytuacja powoduje jednak, że zwiększa się ryzyko dla wytwórców energii elektrycznej. Na rynku regulowanym przedsiębiorstwa te musiały jedynie prognozować zapotrzebowanie na energię, aby zapewnić odpowiednią jej produkcję na dany dzień. Obecnie natomiast zmienne jest zarówno zapotrzebowanie, jak i ceny. Właściwe zarządzanie przedsiębiorstwem energetycznym wymaga więc odpowiedniej predykcji obu czynników. Rynek energii elektrycznej jest spoód wszystkich rynków towarowych najbardziej zmiennym ceny osiągają nawet zmienność 50% w skali dziennej, to jest dziesięciokrotnie więcej niż np. dla surowców takich jak ropa naftowa czy gaz ziemny (Weron, 2006). W związku z tym gracze na rynku energii zabezpieczają się nie tylko przed zmianami zapotrzebowania, lecz także przed wahaniami cen. Powoduje to duże zainteresowanie tematem krótkoterminowego prognozowania cen energii elektrycznej w celu bieżącego planowania działalności firmy (Aggarwal i in., 2009; Misiorek, 2012). Istnieje wiele metod predykcji cen energii elektrycznej. Ich wybór zależy od sytuacji przedsiębiorstwa, dostępnych danych czy horyzontu czasowego, na który chcemy uzyskać prognozę. W krótkoterminowym prognozowaniu cen energii jedną z metod jest prognozowanie przy pomocy modeli statystycznych. Bazuje ona na założeniu, że zmiany cen można przewidzieć na podstawie danych o przeszłych zachowaniach tej wielkości (Dittman, 2004). Najczęściej stosuje się tutaj modele regresji, autoregresji lub ich modyfikacje. Jednak zarówno wybór właściwej klasy modelu, jak i późniejsze dobranie odpowiednich zmiennych jest zadaniem trudnym. Modele siostrzane mogą w tym pomóc. Idea opiera się na zastosowaniu jednej rodziny modeli (np. autoregresji albo sieci neuronowych) o pewnym zestawie zmiennych objaśniających do uzyskania wielu prognoz (tzw. prognoz siostrzanych) dla jednego zbioru danych. Wprowadzenie ich jest stosunkowo nową koncepcją, zaproponowaną w pracy Liu i in. (2016) dotyczącej krótkoterminowego prognozowania zapotrzebowania na energię elektryczną. Autorzy stworzyli kilka modeli o podobnej budowie, a następnie uednili odpowiednio otrzymane prognozy. Tak uzyskane wyniki okazały się lepsze od rozważanych tam modeli referencyjnych. 2

5 Celem niniejszej pracy jest sprawdzenie, czy wykorzystanie modeli siostrzanych do krótkoterminowego prognozowania cen energii elektrycznej może poprawić jakość prognoz. Zbuduję rodzinę modeli opierając się na modelu typu autoregresji ze zmiennymi zewnętrznymi i sprawdzę, czy otrzymane wyniki są lepsze od modeli referencyjnych. Niniejsza praca składa się z pięciu rozdziałów. W rozdziale drugim przestawiam krótko charakterystykę rynku energii elektrycznej oraz wyjaśniam, dlaczego predykcja cen jest ważnym i interesującym zadaniem. W trzecim rozdziale przedstawiam metody stosowane w prognozowaniu cen oraz dane, z których korzystam. Przybliżam ideę modeli siostrzanych oraz wprowadzam modele referencyjne. W czwartym rozdziale prezentuję prognozy oraz ich analizę przy pomocy różnych miar błędu. W ostatnim rozdziale podsumowuję otrzymane wyniki.

6 2. RYNEK ENERGII ELEKTRYCZNEJ 2.1. DEREGULACJA Po deregulacji rynków energii elektrycznej pod koniec XX wieku, powstały giełdy, na których handlowany jest ten towar. Argumentem za wprowadzeniem konkurencji w tę dziedzinę gospodarki jest przekonanie, że spowoduje to obniżenie cen przy jednoczesnym podniesieniu jakości obsługi (CIRE, 2016). Jest to zrozumiałe na wolnym rynku. Należy jednak pamiętać, że rynki energii nadal są pod nadzorem odpowiednich urzędów (w Polsce jest to Urząd Regulacji Energetyki), aby zapewnić m.in. odpowiednią jakość dostarczanych usług oraz kontrolować taryfy dla odbiorców, którzy ze względów technicznych nie mają wyboru dostawcy energii. Na giełdach energii handel odbywa się najczęściej w formie tzw. rynku dnia następnego (ang. day-ahead market). Ustalanie ceny odbywa się osobno dla każdej z 24 godzin kolejnego dnia (Nowotarski i in., 2014). Każdy uczestnik rynku może złożyć nawet kilka ofert na daną godzinę, np. jeśli jest gotów zwiększyć produkcję przy wyższej osiągniętej cenie. Ostateczna cena rozliczeniowa ustalana jest na podstawie przecięcia się krzywych popytu i podaży, utworzonych odpowiednio z ofert odbiorców i dostawców energii (patrz rys. 1). Tak ustaloną cenę nazywamy ceną spotową lub ceną dzień przed (Nowotarski i Weron, 2016). Cena natychmiastowa występuje z kolei na rynku bilansującym. Należy zwrócić jednak uwagę, że w Stanach Zjednoczonych różni się nieco nomenklatura i ceny te nazywane są odpowiednio ceną forward i spotową (Weron, 2006). Oprócz instrumentu podstawowego, giełdy są również miejscem handlu instrumentami pochodnymi. Podobnie jak na rynkach innych towarów lub rynkach finansowych możemy kupić lub sprzedać m.in. kontrakty futures czy opcje. Służą one do ograniczania ryzyka i zabezpieczania swoich pozycji przed nieprzewidywalnymi ruchami cen. Poza rynkiem giełdowym można wyróżnić również transakcje dwustronne na rynku pozagiełdowym (ang. OTC over-the-counter). Strony takich transakcji nie mają obowiązku upubliczniania szczegółów zawieranych umów w przeciwieństwie do transakcji giełdowych, gdzie występuje pełna jawność. W celu ułatwienia zawierania takich transakcji istnieją platformy handlu pozagiełdowego, których główną rolą jest prezentowanie ofert poszczególnych podmiotów, jednak nie sprawują one nadzoru typowego dla giełd SPECYFIKA RYNKU Rynek energii elektrycznej jest specyficzny. Podstawową różnicą charakteryzującą energię elektryczną na tle innych towarów jest to, że nie ma możliwości jej magazynowania na dużą skalę. W związku z tym w każdym momencie na rynku musi być zachowany bilans energii 4

7 Cena [EUR/MWh] krzywa podazy krzywa popytu x Zapotrzebowanie x 10 6 Rys. 1: Wykres obrazujący ustalanie ceny energii elektrycznej na godzinę 12 dnia 1 stycznia 2015 na giełdzie EPEX SPOT SE we Francji. Wykres wstawiony wewnątrz jest przybliżeniem okolicy punktu przecięcia krzywych popytu i podaży. produkowanej i wykorzystywanej. Często może to powodować ekstremalnie wysokie ceny lub przeciwnie: bardzo niskie, bo ograniczenie produkcji lub jej wstrzymanie na krótki okres jest niemożliwe lub nieopłacalne. Druga sytuacja może zaistnieć przykładowo przy nadprodukcji energii przez turbiny wiatrowe (Woo i in., 2011). Może to doprowadzić nawet do ujemnych cen energii elektrycznej, jak to miało miejsce na przykład 8 maja 2016 roku na rynku niemieckim (rys. 2). Innym ograniczeniem jest brak swobodnego przesyłu energii na większe odległości ze względu na straty mocy (Bamigbola i in., 2014). W związku z tym kupno lub sprzedaż energii elektrycznej ograniczone są do pewnego obszaru. Między innymi z tego powodu większe państwa (np. Stany Zjednoczone) podzielone są na strefy, w których ceny ustalane są oddzielnie. Kolejnym czynnikiem charakteryzującym rynek energetyczny jest duża zmienność zapotrzebowania, od którego zależą ceny. Na konsumpcję prądu wpływ mają m.in. czynniki atmosferyczne oraz biznesowe. W miesiącach zimowych wzrasta zużycie energii w celu ogrzewania oraz, w związku z wcześniejszym zapadaniem zmroku, dłużej pali się światło. Z kolei w lecie ze względu na wysokie temperatury intensywnie pracują klimatyzatory, które również korzystają z energii elektrycznej. Ponadto zapotrzebowanie zmienia się także w mniejszej skali można zauważyć różnice między dniami roboczymi a weekendem, czy nawet pomiędzy godzinami pracy a pozostałymi (Kirschen i Strbac, 2004). Dla rynku energii elektrycznej charakterystyczne jest również występowanie rynku bilansującego. Jako że równowaga ustalana jest dzień przed faktycznym wykonaniem kontraktów, może dojść do różnic pomiędzy szacunkami a rzeczywistymi wartościami zapotrzebowania. Wymaga to korekty właśnie w ramach rynku bilansującego. Konsekwencję błędnej prognozy

8 Cena [EUR/MWh] Godziny Rys. 2: Wykres cen energii elektrycznej w kolejnych godzinach dnia 8 maja 2016 na giełdzie EPEX SPOT SE w Niemczech ponosi przedsiębiorstwo, które dokonuje korekty. Sytuacja ta nie dotyczy oczywiście małych odbiorców, w tym np. gospodarstw domowych (CIRE, 2016). 6

9 3. DANE I MODELE 3.1. RODZAJE METOD W UŻYCIU W prognozowaniu cen energii można wyróżnić kilka rodzajów stosowanych metod (Weron, 2014): 1. agentowe (równowagowe, teoriogrowe) modelują zachowanie uczestników rynku (sprzedawców i kupców) oddziałujących między sobą, ustalając prognozę jako punkt równowagi pomiędzy popytem a podażą; 2. fundamentalne (strukturalne) opisują dynamikę cen przez uwzględnienie czynników fizycznych i ekonomicznych wpływających na cenę; 3. stochastyczne modelują rozkłady cen energii w dłuższym horyzoncie czasowym (tygodnie, miesiące), celem jest zwykle wycena instrumentów pochodnych i zarządzanie ryzykiem; 4. statystyczne głównie modele regresyjne i autoregresyjne opracowywane na potrzeby prognozowania krótkoterminowego (rynek dnia następnego); 5. sztucznej inteligencji w procesie uczenia maszynowego dopasowują się do skomplikowanych systemów dynamicznych, podobnie jak metody statystyczne stosowane są głównie do prognozowania krótkoterminowego (rynek dnia następnego). Modele, które będę wykorzystywał w niniejszej pracy, należą do czwartej z powyższych grup DANE Dane, z których korzystam, pochodzą z konkursu GEFCom2014 (Global Energy Forecasting Competition 2014 Światowy Konkurs Prognozowania [Rynku] Energii 2014). Konkurs ten miał na celu między innymi wypracowanie najlepszych metod w prognozowaniu oraz zbliżenie badaczy akademickich z praktykami w przedsiębiorstwach energetycznych (Hong, 2016). W roku 2014 konkurs był podzielony na cztery części: prognozowanie zapotrzebowania, cen oraz mocy wytwarzanej przez elektrownie wiatrowe i słoneczne (Hong i in., 2016). W części dotyczącej cen energii elektrycznej dane zawierają cenę w danej godzinie, zapotrzebowanie całkowite i strefowe oraz sygnaturę czasową. Początek danych to północ dnia 1 stycznia 2011 r., dane kończą się natomiast 17 grudnia 2013 r. o godzinie 23 (tj. ostatniej godzinie doby 23:00-23:59). Informacje o zapotrzebowaniu są prognozą na odpowiednią godzinę, zatem mogą być wykorzystywane w prognozowaniu cen spotowych. Jak możemy zauważyć na rysunku 3, ceny cechują się dużą zmiennością. Widzimy również istotne wzrosty cen zimą i latem. W okresie letnim spowodowane jest to zapewne większym 7

10 dwuletni okres testowy Cena [USD/MWh] Godziny Rys. 3: Wykres cen, P (t), dla danych z GEFCom2014 zapotrzebowaniem na energię elektryczną (rys. 5, 6) w związku z pracą klimatyzatorów w dni z wysoką temperaturą. W okresie zimowym wzrosty zapotrzebowania są mniejsze wynikają prawdopodobnie z większego zużycia energii na oświetlenie związanego z krótszym dniem oraz ogrzewania spowodowanego niskimi temperaturami. W obu tych okresach widocznie rośnie zmienność cen i pojawiają się obserwacje odstające znacznie od pozostałych wartości, tzw. piki (Nowotarski i in., 2013). Dla danych dotyczących cen zastosowałem transformację poprzez funkcję logarytmiczną. Tak utworzony nowy szereg czasowy charakteryzuje się mniejszą zmiennością, a piki nie są już tak odbiegające od pozostałych danych. Zachowana jest jednak widoczna sezonowość danych, patrz rys OZNACZENIA Wprowadźmy oznaczenia: P (t) cena energii o godzinie t, na którą ustalamy cenę na rynku dnia następnego; p(t) logarytm ceny energii, tzn. p(t) = log P (t); z(t) logarytm całkowitego zapotrzebowania na energię; z zon (t) logarytm strefowego zapotrzebowania na energię; D xxx (t) zmienna binarna (tzw. dummy), która pokazuje spełnienie warunku xxx wartość 1 jest osiągana tylko w momencie, gdy spełniony jest warunek xxx; poniżej będę stosował te zmienne dla xxx będącymi dniami tygodnia (pn, wt,...) lub godzinami (0, 1,...); p min (t) minimum p(t) w danej dobie; p max (t) maksimum p(t) w danej dobie; p avg (t) ednia p(t) w danej dobie; ε(t) ciąg niezależnych zmiennych o jednakowym rozkładzie, o edniej zero i skończonej wariancji (tzw. biały szum). 8

11 6.5 6 dwuletni okres testowy 5.5 Logarytm ceny Godziny Rys. 4: Wykres zlogarytmowanych cen, p(t), z GEFCom2014 Zapotrzebowanie [MWh] dwuletni okres testowy Godziny Rys. 5: Wykres zapotrzebowania na energię elektryczną z GEFCom2014 Zapotrzebowanie strefowe [MWh] dwuletni okres testowy Godziny Rys. 6: Wykres strefowego zapotrzebowania na energię elektryczną z GEFCom2014 9

12 cena o godzinie 3 cena o godzinie 17 Cena [USD/MWh] Dni Rys. 7: Wykres cen dla godziny 3 (odek nocy, najniższe ceny) i 17 (godzina szczytowa, najwyższe ceny w ciągu dnia) dla danych z GEFCom BAZOWY MODEL ARX W praktyce w modelowaniu spotowych cen energii elektrycznej najczęściej wykorzystuje się modele autoregresji i ich modyfikacje. Metody te opierają się nie tylko na aktualnych danych, ale również na przeszłych wartościach szeregu czasowego. Takie modele oznacza się przez AR (Brockwell i Davis, 2002). Dodatkowo, jeśli do modelu AR dołączymy dodatkowy komponent związany z inną zmienną, mówimy o modelu typu ARX (ang. Auto-Regressive with exogenous variable autoregresyjny ze zmienną zewnętrzną). Jako jeden z modeli referencyjnych będę wykorzystywał model typu ARX zaproponowany w pracy Misiorka i in. (2006), a później wykorzystywany m.in. w pracach Werona (2006), Werona i Misiorka (2008), Serinaldiego (2011), Kristiansena (2012), Nowotarskiego i in. (2014), Werona (2014), Gaillarda i in. (2016), Nowotarskiego i Werona (2016) czy Ziela (2016): p(t) = β 1 p(t 24) + β 2 p(t 48) + β 3 p(t 168) + β 4 p min (t 24) + β 5 z(t) + β 6 D pn (t) + β 7 D sob (t) + β 8 D nd (t) + ε(t), (1) gdzie p(t 24), p(t 48), p(t 168) oznaczają (zlogarytmowane) wartości cen odpowiednio dobę, dwie doby i tydzień wcześniej część autoregresyjna modelu. Zapotrzebowanie z(t) jest tutaj zmienną zewnętrzną. Minimum ceny wiąże wartości cen również dla pozostałych godzin z danego dnia, natomiast zmienne binarne (indykatory poniedziałku, soboty i niedzieli) odpowiadają za sezonowość tygodniową. Należy zwrócić uwagę, że odnosimy się do przeszłych cen jedynie z tej samej godziny, na którą wykonujemy prognozę. Wynika to ze znacznych różnic cen pomiędzy godzinami w tym samym dniu (zob. rys. 7). Model ten będę nazywał modelem ARX1. 10

13 3.5. MODELE SIOSTRZANE Modele siostrzane zostały zaproponowane w pracy Liu i in. (2016). Pomysł ten polega na wykorzystaniu jednej rodziny modeli (np. autoregresji albo sieci neuronowych) o pewnym zestawie predyktorów do opisu zbioru danych. Co więcej, używając różnych okien kalibracji możemy otrzymać modele o tych samych zmiennych objaśniających, ale innych parametrach (Wang i in., 2016). Takie modele nazywamy siostrzanymi (ang. sister models), a prognozy otrzymane z tych modeli prognozami siostrzanymi (ang. sister forecasts). W pracy Liu i in. (2016) modele siostrzane wykorzystywane były do wyznaczania prognoz przedziałowych zapotrzebowania na energię. Uednianie prognoz siostrzanych za pomocą regresji kwantylowej (tzw. metoda Quantile Regression Averaging QRA, zob. Nowotarski i Weron, 2015) prowadziło do lepszych wyników niż modele referencyjne. Podobne wyniki otrzymali Nowotarski i in. (2016) w kontekście uedniania prognoz punktowych zapotrzebowania. Podejście to nie było jednak jeszcze wykorzystywane do prognozy cen energii WYBÓR MODELU W związku ze specyfiką cen spotowych na rynku energii elektrycznej, prognozy wykonywałem co godzinę. Okno kalibracji modelu dla każdej godziny miało długość jednego roku, to jest 8760 godzin. Prognozy dotyczyły okresu testowego obejmującego daty (patrz rys. 3, 4). Dopasowanie wykonywałem przy pomocy funkcji regress.m w oprogramowaniu Matlab. W celu wybrania modelu do dalszych analiz wyszedłem od modelu postaci p(t) = β 1 p(t 24) + β 2 p(t 48) + β 3 p(t 168) + β 4 p min (t 24) + β 5 Z(t) + β 6 D pn (t) + β 7 D sob (t) + β 8 D nd (t) + β 9 p min (t 48) + β 10 p max (t 24) + β 11 p max (t 48) + β 12 p avg (t 24) + β 13 p avg (t 48) + β 14 z(t 24) + β 15 z(t 168) + β 16 z zon (t) + [β β ] D godz (t) + [β β ] (D godz (t) p(t 24)) + β 64 + ε(t). (2) W powyższym wzorze D godz (t) oznacza 23 zmienne pomocnicze oznaczające kolejne godziny (zmienna oznaczająca ostatnią godzinę jest kombinacją liniową tych zmiennych). Z kolei w przypadku składników (D godz (t) p(t 24)), D godz (t) oznacza 24 zmienne dummy, które po przemnożeniu przez p(t 24) przyjmują tylko wartość w odpowiadającej godzinie (zamiast wartości 0 i 1 przyjmowane są odpowiednio wartości 0 i cena dla danej godziny). Można to interpretować jako rozbicie predykcji na 24 osobne prognozy dotyczące kolejnych go- 11

14 dzin. We wzorze (2) oznacza standardowy iloczyn skalarny, czyli sumę iloczynów. Zatem [β β ] D godz (t) = β 17 D 0 (t) β 39 D 22 (t). Model ten zawiera 8 zmiennych z podstawowego modelu ARX1, zob. wzór (1). Ponadto, dodałem do modelu czynniki podobne, które przypuszczalnie mogą mieć wpływ na zachowanie się cen energii. Bazowałem na obserwacji danych, analogii do prognoz zapotrzebowania oraz specyfice rynku energii. Dodatkowo, oprócz powyższych zmiennych, zastosowałem wyraz wolny (β 64 ). Dopasowałem ten model do danych z 2011 roku, a następnie wybrałem zmienne, które na poziomie istotności 0.05 okazały się nieistotne w modelu, czyli nie miały wpływu na cenę energii. Wybierałem zmienną, która była najmniej istotna statystycznie i ją usuwałem. Operację powtarzałem, aż wszystkie zmienne w modelu były istotne. Przy wykonywaniu tej czynności sprawdzałem przy pomocy testu Diebolda-Mariano (1995), jak zmienia się moc predykcyjna modelu na przestrzeni dwóch lat prognozy i czy jest to zmiana znacząca (również na poziomie 0.05). Podczas usuwania zmiennych test nie wykazywał statystycznie istotnych różnic w mocy predykcyjnej; nie zmieniał się również istotnie błąd edniokwadratowy. Powyższa procedura doprowadziła mnie do modelu ARX2 postaci: p(t) = β 1 p(t 24) + β 2 p(t 48) + β 3 p(t 168) + β 4 p min (t 24) + β 5 z(t) + β 6 D pn (t) + β 7 D sob (t) + β 8 D nd (t) + β 9 p min (t 48) + β 10 p max (t 24) + β 12 p avg (t 24) + β 13 p avg (t 48) + β 14 z(t 24) + β 16 z zon (t) + β 64 + ε(t). (3) W powyższym wzorze możemy zauważyć powtarzające się zmienne, brane jedynie w różnych momentach czasowych. Możemy to uznać za podstawę do skonstruowania modeli siostrzanych. Jeżeli w przypadku zmiennych najbardziej podstawowych, czyli przeszłych cen oraz zapotrzebowania, będziemy włączać do modelu nie tylko wartości dla godziny, na którą wykonywana jest prognoza, ale również dla innych godzin, otrzymamy rodzinę podobnych modeli. Ponadto, jeśli dodatkowo zmienne dotyczące maksimum, minimum i edniej z całej doby będziemy opóźniać nie tylko o dobę i dwie, jak to ma miejsce w modelu ARX2, lecz o dowolną liczbę dni (do 7 włącznie), dostaniemy większą rodzinę zbliżonych do siebie modeli. 12

15 Na podstawie powyższych obserwacji skonstruowałem następujące modele siostrzane p(t) = β 1 p(t 24) + β 2 p(t 48) + β 3 p(t 168) + β 4 p min (t 24) + β 5 z(t) + β 6 D Mon (t) + β 7 D Sat (t) + β 8 D Sun (t) + β 10 p max (t 24) + β 12 p avg (t 24) + β 14 z(t 24) + β 16 z zon (t) + β 64 + γ 1 p(t 24 i) + γ 2 p(t 48 i) + γ 3 z(t i) + γ 4 p max (t 24 j) + γ 5 p min (t 24 j) + γ 6 p avg (t 24 j) + ε(t), (4) dla i = 0,..., 24; j = 1,..., 7. Zauważmy, że dla i = 0 będzie to model z γ 1, γ 2, γ 3 = 0, a dla j = 1 otrzymamy γ 4, γ 5, γ 6 = 0, ponieważ odpowiednie zmienne występują już wcześniej w modelu.

16 4. WYNIKI 4.1. PROGNOZY Do oceny błędu wykorzystywałem następujące miary: błąd edniokwadratowy (root mean square error) RMSE = 1 T T h=1 ( P (h) ˆP (h)) 2; (5) edni bezwzględny błąd procentowy (mean average percentage error) MAPE = 1 T T P (h) ˆP (h) P (h) ; (6) h=1 edni błąd bezwzględny ważony tygodniowo (weekly-weighted mean absolute error), gdzie P (h) jest ednią dla danego tygodnia WMAE = 1 T T P (h) ˆP (h) P (h) ; (7) h=1 edni skalowany błąd bezwzględny (mean absolute scaled error), który porównuje błąd prognozy modelu z błędem modelu przyjmującego jako prognozę wartość ceny na dobę wcześniej. MASE = 1 T 24 1 T T h=1 T h=24+1 P (h) ˆP (h) P (h) P (h 24). (8) W tabeli 1 widzimy błędy obliczone na przestrzeni całych dwóch lat prognozy. Wyniki najbardziej różnią się pomiędzy błędem RMSE, który odchylenia podnosi do kwadratu, a grupą błędów wykorzystującą wartość bezwzględną. Pierwszy błąd charakteryzuje się tym, że nieprawidłowe prognozy karane są za duże odchylenia od wartości rzeczywistej, w drugim przypadku natomiast bardziej zwracana jest uwaga na powtarzające się małe błędy. Zauważalne różnice to przede wszystkim dużo mniejsze wartości dla j = 2 w stosunku do reszty modeli w przypadku błędu RMSE. Z kolei dla pozostałych miar widzimy znaczące zmniejszenie błędu dla i około 12. Mimo różnic, najlepsze modele ednio w ciągu dwóch lat prognozy są wskazywane podobnie dla j = 2 oraz i 12. Wszystkie rozważane modele siostrzane mają znacznie mniejsze błędy niż model referencyjny ARX1. Widzimy jednak, że model ARX2 jest bardzo zbliżony, jeśli chodzi o błędy, do 14

17 Tabela 1: Błędy modeli siostrzanych, liczone dla okresu testowego dwóch lat prognozy. Poniżej każdej tabeli znajdują się odpowiadające jej błędy dla modeli ARX1 i ARX2 oraz modelu będącego ednią ze wszystkich prognoz siostrzanych. Jaśniejszy kolor oznacza mniejszy błąd, a pogrubienie mniejszą wartość błędu od modelu ARX2. Wszystkie modele mają mniejsze błędy niż ARX1 RMSE RMSE ARX1 = ; RMSE ARX2 = ; RMSE = WMAE WMAE ARX1 = ; WMAE ARX2 = ; WMAE = MAPE MAPE ARX1 = ; MAPE ARX2 = ; MAPE = MASE MASE ARX1 = ; MASE ARX2 = ; MASE =

18 modeli siostrzanych. Mimo to nadal najlepsze prognozy siostrzane są lepsze od predykcji modelem ARX2. Ponadto w tabeli 1 przedstawiłem również błędy dla modelu będącego ednią arytmetyczną wszystkich prognoz siostrzanych przyjęcie takiej edniej jest uznawane za podejście najbardziej uniwersalne w uednianiu cen energii elektrycznej (Bordignon i in., 2013). W przypadku RMSE błąd takiej prognozy jest większy niż dla modelu ARX2, ale mniejszy niż dla ARX1. Z kolei dla pozostałych miar błędu prognoza powstała z uedniania modeli siostrzanych jest lepsza od obu modeli referencyjnych ARX1 i ARX2. Zauważmy dodatkowo, że najlepsze modele siostrzane są lepsze od modelu bez komponentu zmienianego dla tej rodziny modeli (tj. z i = 0, j = 1), zatem dodanie tych zmiennych do modelu poprawia jego własności predykcyjne ZACHOWANIE W CZASIE Błędy zmieniają się w czasie. Rozważmy błędy RMSE uedniane z prognoz na przestrzeni kolejnych kwartałów (wartości w tabelach 2 i 3). Zmienia się ednia wartość błędu dla każdego pomiaru od niewiele ponad 4 w pierwszym kwartale 2012 do ponad 18 w pierwszym kwartale 2013 roku. Zmienia się również to, który z modeli siostrzanych jest najlepszy. W pierwszym kwartale 2012 najmniejsze błędy osiągają modele z j = 2, zwłaszcza ten wyróżniający się dla i = 24. W kolejnym kwartale różnice są mniejsze, również nie ma zdecydowanie najlepszego modelu. Nieznacznie wygrywa model dla j = 2, i = 0, choć na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać, że najlepsze modele znajdują się w okolicy i = 20. W trzecim kwartale wartości RMSE są podobne dla wszystkich modeli, najlepszy okazuje się j = 2, i = 12. Ostatni kwartał 2012 roku to zmiana jeśli chodzi o najlepszą wartość j. Tu najlepsze modele są na poziomie j = 4, 5, a model z najmniejszym błędem to ten dla j = 4, i = 12. W pierwszym kwartale 2013 roku znacznie rośnie błąd dla wszystkich modeli, wyraźnie najmniejsze błędy występują dla j = 2, a dla i = 11 model jest najlepszy. W przeciwieństwie do kolejnego kwartału, gdzie błędy są dużo niższe, a modele z j = 2 są najgorsze. Najlepszym modelem jest ten sam model, co w ostatnim kwartale 2012, czyli z j = 4, i = 12. W następnym okresie najmniejszy błąd jest przy j = 5 i i = 0. Ostatni kwartał 2013 jest bardzo podobny do pierwszego kwartału 2012, z tym samym najlepszym modelem: dla j = 2, i = 24. Jeśli rozważymy miarę błędu MAPE (tabele 4 i 5), również zauważymy zróżnicowanie w kolejnych kwartałach lat 2012 i W pierwszym kwartale 2012 roku, podobnie jak dla błędu RMSE, najlepszym modelem jest ten dla j = 2 i i = 24. W następnym kwartale najmniejsza wartość MAPE osiągana jest dla j = 2 oraz i = 11. W kolejnym okresie najlepszym modelem okazuje się model z j = 7, i = 12. W ostatnim kwartale 2012 najlepsze modele to te dla j = 4, 5 oraz i około Najmniejszy błąd jest osiągnięty dla j = 5 i i = 10. W pierwszym kwartale 2013 błędy znacznie rosną, podobnie jak w przypadku RMSE. Najmniejszy błąd MAPE ma tutaj model dla j = 2, i = 11. W kolejnym kwartale błędy maleją, a najlepszym modelem jest ten 16

19 Tabela 2: Błędy RMSE modeli siostrzanych, liczone w kolejnych kwartałach dla roku Poniżej każdej tabeli znajdują się odpowiadające jej błędy dla modeli ARX1 i ARX2 oraz modelu będącego ednią ze wszystkich prognoz siostrzanych. Jaśniejszy kolor oznacza mniejszy błąd, a pogrubienie mniejszą wartość błędu od modelu ARX2. Wszystkie modele mają mniejsze błędy niż ARX1 Q RMSE 2012Q1 ARX1 = ; RMSE 2012Q1 ARX2 = ; RMSE 2012Q1 = Q RMSE 2012Q3 ARX1 = ; RMSE 2012Q3 = RMSE2012Q3 ARX2 = ; Q RMSE 2012Q2 ARX1 = ; RMSE 2012Q2 = Q4 RMSE2012Q2 ARX2 = ; RMSE 2012Q4 ARX1 = ; RMSE 2012Q4 = RMSE2012Q4 ARX2 = ; 17

20 Tabela 3: Błędy RMSE modeli siostrzanych, liczone w kolejnych kwartałach dla roku Poniżej każdej tabeli znajdują się odpowiadające jej błędy dla modeli ARX1 i ARX2 oraz modelu będącego ednią ze wszystkich prognoz siostrzanych. Jaśniejszy kolor oznacza mniejszy błąd, a pogrubienie mniejszą wartość błędu od modelu ARX2. Wszystkie modele mają mniejsze błędy niż ARX1 Q RMSE 2013Q1 ARX1 = ; RMSE 2013Q1 ARX2 = ; RMSE 2013Q1 = Q RMSE 2013Q3 ARX1 = ; RMSE 2013Q3 ARX2 = 9.421; RMSE 2013Q3 = Q RMSE 2013Q2 ARX1 = ; RMSE 2013Q2 ARX2 = ; RMSE 2013Q2 = Q RMSE 2013Q4 ARX1 = ; RMSE 2013Q4 ARX2 = ; RMSE 2013Q4 =

21 Tabela 4: Błędy MAPE modeli siostrzanych, liczone w kolejnych kwartałach dla roku Poniżej każdej tabeli znajdują się odpowiadające jej błędy dla modeli ARX1 i ARX2 oraz modelu będącego ednią ze wszystkich prognoz siostrzanych. Jaśniejszy kolor oznacza mniejszy błąd, a pogrubienie mniejszą wartość błędu od modelu ARX2. Wszystkie modele mają mniejsze błędy niż ARX1 Q MAPE 2012Q1 ARX1 = ; MAPE 2012Q1 ARX2 = ; MAPE 2012Q1 = Q MAPE 2012Q3 ARX1 = ; MAPE 2012Q3 = MAPE2012Q3 ARX2 = ; Q MAPE 2012Q2 ARX1 = ; MAPE 2012Q2 = Q4 MAPE2012Q2 ARX2 = ; MAPE 2012Q4 ARX1 = ; MAPE 2012Q4 = MAPE2012Q4 ARX2 = ; 19